高一數(shù)學(xué)必修1導(dǎo)學(xué)案全

第一課時集合的含義及表示方法

【課時目標】

1.集合與元素的特征和關(guān)系；

2.運用集合的兩種常用表示方法一一列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合；

3.空集的含義與符號。

【知識梳理】

1.集合的含義：構(gòu)成一個集合(set).

2.集合中元素的特性：

(1)確定性.設(shè)A是一個給定的集合，x是某一元素，則x是A的元素，或者不是A的元

素，兩種情況必有一種且只有一種成立.

(2)互異性.對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.

(3)無序性.集合與其中元素的排列次序無關(guān).

3.常用數(shù)集及其記法：

自然數(shù)集記作;正整數(shù)集記作或;

整數(shù)集記作有理數(shù)記作;實數(shù)集記作。

4.元素與集合的關(guān)系：

如果a是集合A的元素，就記作；讀作“”；

如果a不是集合A的元素：就記作—或一讀作“”.

5.集合的常用表示方法：

(1)列舉法

將集合的元素___________出來，并表示集合的方法叫列舉法.

元素之間要用分隔，但列舉時與無關(guān)。

(2)描述法

將集合的所有元素都具有性質(zhì)表示出來，寫成的形式,稱之為描述

法.

6.集合相等

如果兩個集合A,B所含的元素則稱這兩個集合相等，記為:

7.議一議

。與｛0｝是一樣的嗎？

。與｛0｝是一樣的嗎？

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.下列研究的對象能否構(gòu)成集合

(1)世界上最高的山峰

(2)高一數(shù)學(xué)課本中的難題

(3)中國國旗的顏色

(4)充分小的負數(shù)的全體

(5)book中的字母

(6)立方等于本身的實數(shù)

(7)不等式2x-8〈13的正整數(shù)解

2.集合的常用表示方法

用列舉法表示下列集合：

(1)中國國旗的顏色的集合；

(2)單詞mathematics中的字母的集合；

(3)自然數(shù)中不大于1C的質(zhì)數(shù)的集合；

(4)同時滿足4的整數(shù)解的集合；

l+x>2x-l

(5)由⑷+凹(a/wR)所確定的實數(shù)集合.

ab

(6)((x,y)|3x+2y=16,xEN,yGN)

用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整數(shù)的集合；

(2)使)，=2-土有意義的x的集合；

x

(3)方程x2+x+l=0所有實數(shù)解的集合；

(4)拋物線y=f2+3x-6上所有點的集合；

【例題精講】

例1：集合M中的元素為1,x,x2-x,求x的范圍？

例2:集合A中的元素由x=a+b(a￡Z,b￡Z)組成，判斷下列元素與集合A的關(guān)系？

1

(1)0(3)

V3-V2

例3.己知集合P={-l,a,b),Q={-l,a2,b2},且Q=P,求l+a2+b2的值.

例4.已知集合,如果真合中只有一個元素，則的值為;如果，則的取

值表示成集合為

【能力提升】

1.設(shè)S是滿足下列兩個條件的實數(shù)所構(gòu)成的集合：

①1￡S,②若，則，請解答下列問題：

(1)若2￡S,則S中必有另外兩個數(shù)，求出這兩個數(shù)；

(2)求證：若，則

(3)在集合S中元素能否只有一個？請說明理由；

(4)求證：集合S中至少有三個不同的元素.

【當堂檢測】

1.用列舉法表示下列集合：

2

(1){x|x2+x+l=O}

(2){x|x為不大于15的正約數(shù)}

(3){x|x為不大于10的正偶數(shù)}

(4){(x,y)10WxW2,0<y<2,x,y￡Z}

2.用描述法表示下列集合：

(1)奇數(shù)的集合；

(2)正偶數(shù)的集合；

(3)不等式2x-3>5的解集；

(4)直舛坐標平面內(nèi)屬于第四象限的點的集合.

3.下列集合表示法正確的是

(1)(1,2,2}；(2){全體有理數(shù)};

(3)方程組的解的集合為{2,4}；

(4)不等式x<5>0的解集為小2-5>0}.

4.下列寫法正確的是__________________

①Q(mào)；②當n￡N時，由所有(T)n的數(shù)值組成的集合為無限集

③R；?-1GZ；⑤由匕ook中的字母組成的集合與元素k,o,b組成的集合是同一個集

合.

5.用￡或任填空

1N-3N0N應(yīng)N

1Z-3Q0Z0R

r22

0N*71R——Qcos300Z

7

6.由實數(shù)-x,|x|,,x,組成的集合最多含有元素的個數(shù)是_______個。

7.三個元素的集合1,a,,也可表示為0,a2,a+b,求a2005+b2006的值.

8.已知集合B={x|}有唯一元素，用列舉法表示a的值構(gòu)成的集合A.

9.集合A={x|y=x2+1},B={t|p=t2+1},C={y|x=},這三個集合的關(guān)系？

10.已知A={a|},試用列舉法表示集合A.

想一想變式題：已知A={a|},試用列舉法表示集合A.

第二課時子集，真子集

【課時目標】

（1）子集、真子集的概念，

（2）弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別。

【知識梳理】

1.子集的概念及記法：

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，則稱集合A為集合B的子集

（subset）,記為_____或_____讀作“_____”或

符號語言可表示為：

圖形語言可表示為:

2.子集的性質(zhì)：

①AqA；②0=③則AqC

4

想一想：與能否同時成立？若能A與B的關(guān)系是什么？

3.真子集的概念及記法：

如果，并且AWB,這時集合A稱為集合B的真子集(properset),

記為_____或_____讀作“”或"”

符號語言可表示為：_____________________

試一試

舉個真子集例子___________________________________

4.真子集的性質(zhì)：

①是任何非空集合的真子集，符號表示為

②真子集具備傳遞性，符號表示為

【例題精講】

一、一個集合的子集、真子集的個數(shù)

①例1.

②寫出集合{a,b}的所有子集及其其子集；

寫出集合{a,b,c}的所有了集及其真了集；

歸納總結(jié)一下

①一個集合里有n個元素，那么它有個子集；

②一個集合里有n個元素，那么它有個真子集；

③一個集合里有n個元素.那么它有個非空真子集.

二、元素與集合、集合與集合的關(guān)系

例2.以下各組是什么關(guān)系，用適當?shù)姆柋硎境鰜?

(1)a與{a}0與0

(2)與{20,,,}

(3)S={-2,-l,1,2},A={-1,l},B={-2,2}；

(4)S=R,A={x|x<0,xeR},B={x|x>0,xeR)；

(5)S={x|x為地球人),A={x|x為中國人},B={x|x為外國人)

嘗試總結(jié)一下

①判斷兩個集合的包含關(guān)系，主要根據(jù)是__________________________,看兩個集合里的

元素的關(guān)系，是包含，真包含，相等.

②元素與集合之間用_______集合與集合之間用

三、子集的性質(zhì)

例3:設(shè)集合A={x|x2+4x=0,xeR),B={x|x2+2(a+l)x+a2-l=0,xeR}?若BA,

求實數(shù)a的取值范圍.

【當堂檢測】

1.判斷下列表示是否正確：

(1)a{a}(2){a}G{a,b}(3){a,b}{b,a}

⑷{11}{-1,0,1}

2.指出下列各組中集合A與B之間的關(guān)系.

(1)A={-1,l},B=Z；

(2)A={1,3,5,15},B={x|x是15的正約數(shù)};

(3)A=N*,B=N

(4)A={x|x=l+a2,aWN*},B={x|x=a2-4a+5,a￡N*}

3.寫出集合{—1,0,1}的所有子集.

4.已知集合A二{x|x=a+,a^Z},B={x|x=,b^Z},C={x|x=,c?Z},試判斷ABC滿足的

關(guān)系

5.設(shè)不等式的解集為，集合，若(，求的取值范圍.

6.設(shè)集合，

若(，求實數(shù)的值.

7.已知集合A={x|x2-l=0},B={x|x2-2ax+b=0},BA,求a,b的取值范圍.

8.(1)已知(1,2)M{1,2,3,4,5),則這樣的集合U有多少個？

(2)已知M={1,2,3,4,5,6,7,8,9),集合P滿足:PM,且若,則10-￡P(guān),則這

樣的集合P有多少個？

第三課時集合的運算-交集

【課時目標】

1.理解交集的概念及其交集的性質(zhì)

2.理解區(qū)間的表示方法

【知識梳理】

1.交集的定義：

一般地，,稱為A與B交集，(intersectionset),記作,

讀作“”.

交集的定義用符號語言表示為：

交集的定義用圖形語言表示為：

注意：(1)交集(AAB)實質(zhì)上是A與B的公共元素所組成的集合.

(2)當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是ACB=.

2.交集的常用性質(zhì)：

(1)AC1A=A；

(2)An0=0；

(3)APB=BAA；

(4)(AriB)nc=An(Bnc)；

(5)ADBA,ADBB

6

3.集合的交集與子集：

思考:ACIB=A,可能成立嗎？

[答]_____________

結(jié)論：APB=AAB

4.區(qū)間的表示法：

設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且@<人我們規(guī)定：

[a,b]=(a,b)=

[a,b)=(a,b]=

(a,+8)=(一8,b)

(-8,+OO)=

其中[a,b],(a,b)分別叫閉區(qū)間、開區(qū)間；[a,b),(a,b]叫半開半閉區(qū)間;

a,b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.

注意：

(1)區(qū)間是數(shù)軸上某一線段或數(shù)軸上的點所對應(yīng)的實數(shù)的取值集合，又一種符號語言

(2)區(qū)間符號內(nèi)的兩個字母或數(shù)之間用”號隔開

(3)8讀作無窮大，它是一個符號，不是一個數(shù)

【例題精講】

例1。求已知兩個集合的交集

(1)設(shè)八={-1,0,1),B={0,1,2,3},求AAB；

(2)設(shè)A={x|x>0},B={x|xWl},求AAB；

(3)設(shè)八二以卜=31<,keZ},B={y|y=3k+lk￡Z},C={z|z=3k+2,kGZ),D={x|x=6k+l,k

EZ),求ACIB；ADC；CAB；DAB；

例2.已知數(shù)集A={a2,a+1,-3),數(shù)集B={a-3,a-2,a2+l},若AAB={-3},求a

的值.

例3(1)設(shè)集合A={y|y=x2-2x+3,x￡R},B={y|y=-x2+2x+10,xGR),求AAB；

(2)設(shè)集合A:{(x,y)|y=x+l,x€R}?B:{(x,y)|y=-x2+2x+,x￡R},求AHB；

例4:已知集合人={2,5},B={x|x2+px+q=0,xER)

(1)若8={5},求p,q的值.

(2)若AGB=B,求實數(shù)p,q滿足的條件.

例5:已知全集U={不大于20的質(zhì)數(shù)},M,N是U的兩個子集，且滿足MPl()={3,5),

{7}19},{2,17},求M,N的值.

【當堂檢測】

1(2010江蘇卷)設(shè)集合.《二{-1,1,3},B={a+2,a2+4),AnB={3},則實數(shù)a=

2(2010浙江文數(shù))設(shè)尸={x|xvl},Q={x|f〈4},則=

3(2010江西理數(shù))2.若集合，，則=

4.設(shè)集合A二{小于7的正偶數(shù)},B={-2,0,2,4},求AAB；

5.設(shè)集合心{儀,丫)|y=-4x+6,x￡R},B={(x,y)|x=y2-l}AAB；

6.設(shè)集合A二{x||x=2k+l,k￡Z},B={y|y=2k-l,k￡Z},C={x|x=2k,k￡Z},

求AAB,BAC.

7.已知集合A二{x|x2+x-6=0},B={x|mx+l=0=0},若AClB=B,求實數(shù)m所構(gòu)成的集合M.

8.已知集合M={x|xWT},N={x|x>a-2},若MCNN,則a滿足的條件是什么?

第四課時集合的運算-并集

【課時目標】

1.理解并集的概念及其交集的性質(zhì)

【知識梳理】

1.并集的定義：

一般地，,稱為A與B并集，記作______,讀作“

并集的定義用符號語言表示為：

并集的定義用圖形語言表示為：—

注意：并集(AUB)實質(zhì)上是A與B的所有元素所組成的集合，但是公共元素在同一個集

合中要注意元素的互異性.

思考：注意集合的并集運算和交集有什么不同？

2.并集的常用性質(zhì)：

(1)AUA=A；(2)AU0=A；(3)AUB=BUA；

(4)(AUB)UC=AU(BUC)；(5)AAUB,BAUB

3.集合的并集與子集：

思考:AUB=A,可能成立嗎？AU是什么集合？

［答］_________________________

結(jié)論：AUB=BAB

【例題精講】

例1根據(jù)下面給出的A、B,求AUB

①八二卜1,0,1),B={0,L2.3}：

8

②人=舊]：*2-2x},B={x||x|^3）；

③A={梯形},B二{平行四邊形}.

例2已知全集U=R,A={x|-4Wx<2},B=(-l,3),P={x|xWO,或x

2),

求：①(AUB)DP②UP③(AFIB)U.

例3已知集合A={y|y=xT,xGR},B={(x,y)|y=x2-l,xGR},C={x|y=x+1,y23},

求(AC)B.

例4:已知集合人=僅尻2-1=0},B={xIx2-2ax+b=0},AUB=A,求a,b的值或a,b所滿足

的條件.

例5若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0),

(1)若AUB=APB,求a的值；

(2)ADB,APO,求a的值.

【當堂檢測】

1（2010上海文數(shù)）已知集合，，則-------

2（2010廣東文數(shù)）若集合，則集合

3.設(shè)A=（-l,3],B=[2,4）,求AUB；

4.已知知{y|y=x2T},B={y|x2=-y+2},求AUB；

5.寫出陰影部分所表示的集合:

圖2

6.集合U={1,2,3,4,5,6},B={1,4},A={2,3,5)

求：

7.若集合1)={1,2,4,m}.Q42,m2},滿足PUQ二{1,2,4,m},求實數(shù)m的值組成的集

合.

8.已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|x2-ax-l=0},C={x|x2-mx+l=0},且AUB=A,AAC;C.

求a,ni的值或取范圍.

第五課時補集、全集

【課時目標】

（1）子集、真子集的概念，

（2）弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別。

r知識梳理】

1.全集的概念：

如果集合U包含我們所要研究的各個集合，這時U可以看做一個全集（universalset）

全集通常記作_____

想一想：

N,Z,R能否看成全集？

2.補集的概念：

設(shè)由U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為U的子集A的補集

（complementaryset）,記為,讀作“”即：=

圖形語言表示___________________

3.補集的性質(zhì)：

①Q(mào)0=②CJJ=③。（。/）二_

【例題精講】

例1：①方程組的解集為A,U=R,試求A及.

②設(shè)全集上艮A={x|x>l},B={x|x+a<0},是的真子集，求實數(shù)a的取值范圍.

10

例2.集合U={x||x-l|<4}，集合A={x\x2v1},求G,A

【能力提升】

1.已知全集5={1,3x343x2+2x1,集合A={1,|2x-l|},如果={0},則這樣的

實數(shù)x是否存在？若存在，求出x,若不存在，請說明理由.

【當堂檢測】

1.已知，（，當取下列集合時，求

(1)A={-1,0}CL,A=

(2)A={x|-l<x<0}QA=

(3)A={x|-l<x<0}Cb,A=

(4)A={x|O<x<\}C；A=

(5)A={x|-1<x<5}Cb,A=

(6)/4={x|-l<x<5}C(jA=

2.已知集合，，則

3.已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集,且AC知⑶,BnA={9},filjA=

4.已知全集，集合，則=

5.日知全集U=R,集合M={x||x-l|2},則

6.設(shè)U=,A=，若，則實數(shù)《1=___.

7.^U=Z,A={x|x=2k,k^Z},B={x|x=2k+1,k^Z},則

8.設(shè)全集，，若

則m—

9.設(shè)全集是數(shù)集U={2,3,a2+2a-3},已知A={b,2},={5},求實數(shù)a,b的值.

高一數(shù)學(xué)《集合》小測試

姓名分數(shù)

一、選擇題

1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是

()

A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家

C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)

2.若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則CU(MUN)=()

A.{1,2,3}B.{2}C.{I,3,4}D.{4[

3.以下六個關(guān)系式：①，②，③，④，⑤，

⑥是空集，其中錯誤的個數(shù)是()

A4B3C2D1

4.點的集合M={(x,y)Ixy20)是指

()

A.第一象限內(nèi)的點集B.第三象限內(nèi)的點集

C.第一、第三象限內(nèi)的點集D.不在第二、第四象限內(nèi)的點集

5.若{1,2}A{1,2,3,4,5}則滿足條件的集合A的個數(shù)是()

A.6B.7C.8D.9

6.滿足的所有集合A的個數(shù)()

A.1個B.2個C.3個D.4個

7、設(shè)集合A=,B=，若AB,則的取值范圍是)

A^a\a>2}B{@《1}CD{@<2}

8、設(shè)集合，，且，則()

A.B.C.I).

9、如圖,U是全集,M、P、S是U的3個子集，則陰影部分所表示的集合是)

A.B、

C.D、

10、集合，，，

且，則有)

A.B.

12

C.D.不屬于P、Q、R中的任意一個

二、填空題

11.已知的真子集的個數(shù)是。

12.集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+l=O},若BA,貝！Ja=_

13、設(shè)全集U=,A=,CA=，貝!j=,=o

14.集合，，_.

15.已知集合A={x[},若AGR=，則實數(shù)m的取值范圍是

16、50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學(xué)實驗做得

正確得有31人，兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有人.

三、解答題

17、已知集合人二,B=,AAB={3,7},

求。的值及集合4。8。

18、已知集合人=,B={x|2<x<10},C={x|x<a),全集為實數(shù)集R.

(1)求AUB,(CRA)GB；(2)如果AC1CW。，求a的取值范圍。

19、已知集合，B=，若，且

求實數(shù)a,b的值。

第7課時函數(shù)的概念與定義域

【課時目標】

1.理解函數(shù)概念；

2.構(gòu)成函數(shù)的三個要素；

3.求一些函數(shù)的定義域：

【知識梳理】

1.函數(shù)的定義：設(shè)是兩個數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則，對于集合口的

—元素，在集合中都有的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從

到的一個函數(shù)，記為.其中組成的集合

叫做函數(shù)的定義域.

2.①函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對應(yīng).

②符號“f:A-B”表示A到B的一個函數(shù)，它有三個要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系,

三者缺一不可.

③集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的惟一性.

④f表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣.

⑤f(x)是一個符號，絕對不能理解為f與x的乘積.

【例題精講】

一、函數(shù)的定義

例1:判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)：

2

(1)xf—(2)%—7=x,xsN,ywR；

x

(3),,；

(4),,?

二、同一函數(shù)

例2:下列各組中的兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？

①5)=x-5?y{=y/x-\y/x-\y1=^(x+l)(x-l)

x+3~

22

③力(幻=(j2x.5)2f2(x)=2x-5?f(x)=x-2x-l,g(t)=t-2t-l.

變式訓(xùn)練下列函數(shù)中哪個與函數(shù)是同一個函數(shù)？

(1)丁=(6;(2)y=y/x^；(3)y=y[x^

三、具體函數(shù)的定義域

例3:求下列函數(shù)的定義域：

(1)；(2)；(3).

四、抽象函數(shù)的定義域

例4:(1)已知的定義域為，求的定義域。

(2)已知的定義域為，求的定義域。

變式訓(xùn)練：已知的定義域為，求的定義域。

14

【當堂檢測】

1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)函數(shù)/(x)=l-4x的定義域為,

(2)函數(shù)/(幻=一4v乙的定義域為______________________________________o

x-4

(3)函數(shù)/。)=|］一1|一1的定義域為o

(4)函數(shù)/&)=>/6+J7=1的定義域為

2.求下列函數(shù)的定義域：

(1)函數(shù)f(x)=j2x二4+——(2)函數(shù)/(外=---------

x-3|x+11-2

\Jl-X

(3)函數(shù)/(x)=--⑷fM

|x+l|-3

1+-

X

3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域。

4.若函數(shù)的定義域為:求實數(shù)的取值范圍.

變式：若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.

第8課時函數(shù)的圖像

【課時目標】

1.能正確畫出一些常見函數(shù)的圖象；

2.會利用函數(shù)的圖象求一些簡單函數(shù)的值域

3.從“形”的角度加深對函數(shù)的理解.

【知識梳理】

函數(shù)的圖象：將函數(shù)自變量的一個值作為_______坐標，相應(yīng)的函數(shù)值作為_______坐標,

就得到坐標平面上的一個點，當自變量所有這些點組成的

圖形就是函數(shù)的圖象.

2.函數(shù)圖像的作法：(1)指點法(2)變換法

基礎(chǔ)訓(xùn)練

練一練：畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)；(2),；

3.函數(shù)的圖象與其定義域,、值域的對應(yīng)關(guān)系：函數(shù)的圖象在軸上的射影構(gòu)成的集合

對應(yīng)著函數(shù)的在軸上的射影構(gòu)成的集合對應(yīng)著函數(shù)的

想一想：函數(shù)的圖像如下

圖2

1.定義域：___值域：___2.定義域：______值域:

【例題精講】

一、函數(shù)的圖像

例1:畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)/(X)=2.￥-1(XG[-2,5])(2)/(X)=(X-1)2+1,XG[1,3)

(3)f(x)=\x-]\(4)f(x)=--

x

例2:畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：

⑴比較〃-2)J⑴J⑶的大小;

⑵若(或，或)比較與的大小；

(3)分別寫出函數(shù)()，()的值域.

變式訓(xùn)練：己知函數(shù)：

(1)若，試比較與的大?。?/p>

(2)若定義域和值域恭是，試求的值.

二、根據(jù)函數(shù)的圖像求函數(shù)的值域

例工已知函數(shù)，利用函數(shù)圖象分別求它在下列區(qū)間上的值域:

(1)；(2)；(3).

例4.求函數(shù)的值域。

例5.求函數(shù)f(x)=Y_4|可+3,(x￡[―3,4])的值域。

16

【當堂檢測】

1.直線與拋物線的交點有個：直線與拋物線的交點可能有個；

2.函數(shù)的圖象如圖所示，填空：

（1）;（2）；（3）;（4）若，則與的大小關(guān)系

為

3.畫出函數(shù)的圖像并回答：

（1）求函數(shù)的值域；（2）若恒成立，求的取值范圍。

4.畫出函數(shù)的圖像并求函數(shù)的值域。

第9課時函數(shù)的表示方法

【課時目標】.

1.掌握表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法一一列表法、解析法、圖象法；

2.能選用恰當?shù)姆椒▉砬蟪鰞蓚€變量之間的函數(shù)關(guān)系；

3.分段表示函數(shù)的解析式，

【知識梳理】

1.函數(shù)的表示方法

用來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫列表法；

用_________來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫解析法（這個等式通常叫函數(shù)的解

析表達式，簡稱）;

用來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫圖象法.

2.分段函數(shù)

在定義域內(nèi)不同部分上：有不同的，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)。

想一想：

分段函數(shù)是一個函數(shù)，還是幾個函數(shù)____________________________________________

分段函數(shù)的定義域怎么表示_______________________________________________________

分段函數(shù)的值域怎么表示—

【例題精講】

一、函數(shù)的表示法

例1：購買某種飲料聽，所需錢數(shù)元.若每聽元，試分別用列表法、解析法、圖

象法將表示成的函數(shù)：并指出函數(shù)的值域.

二、函數(shù)的圖像

例2.畫出函數(shù)和的圖象，并求的值.

三、分段函數(shù)的有關(guān)問題

例3.已知函數(shù)求的值。

例4.已知，（1）求的值。（2）若f（x）=3,求x的值。

例5.某市出租汽車收費標準如下：在以內(nèi)(含)路程按起步價元收費，超過以外

的路程按元/收費，試寫出收費額關(guān)于路程的函數(shù)的解析式；并畫出圖象.

【當堂檢測】

1.鄭強去上學(xué)，先跑步，后步行，如果表示鄭強離學(xué)校的距離，表示出發(fā)后的時間,

則下列圖象中符合鄭強走法的是

4y

2.已

知函

數(shù)

與

分別1234X1234

由下

表給

出：

X

fM2142g(x)2345

則函數(shù)y=g(/(x))的值域為

3.函數(shù)/(x)=7(0<X<1)的定義域為■

x(x>1)

4.已知等腰三角形的周長為24,它的底邊長與腰長的解析式—

5.已知.則f(f(f(-l)))=.

6.作出下列函數(shù)的圖像

嗚)

⑵fM=

-2尤+2,xw[―,1]

7.如圖在邊長為4的正方形ABCD上有一點P,沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終

點)移動，設(shè)P點移動的路程為，的面積為

(1)求八48戶的面積與P移動的路程間的函數(shù)關(guān)系式;

18

(2)作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求函數(shù)的值域。

第10課時高一數(shù)學(xué)函數(shù)的解析式

【課時目標】

1.函數(shù)解析式的常用求法；

2.利用消元法和換元法求解析式。

3.培養(yǎng)抽象概括能力和解決問題的能力.

【知識梳理】

一、解析式的表達形式

解析式的表達形式有一般式、分段式、復(fù)合式等。

1.一般式是大部分函數(shù)的表達形式，例

一次函數(shù)：

二次函數(shù)：

反比例函數(shù)：

正比例函數(shù)：

2.分段式

若函數(shù)在定義域的不同子集上對應(yīng)法則不同，可用n個式子來表示函數(shù)，這種形式的

函數(shù)叫做分段函數(shù)。

例1、設(shè)函數(shù)，則滿足的x的值為.

3.復(fù)合式

若y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，即，那么y關(guān)于x的函數(shù)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)。

例2、已知，則，。

二、解析式的求法

根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式，常用待定系數(shù)法、爽元法、配湊法、賦值(式)法、

方程法等。

L代入法

例1：若，求的解析式。

2.換元法

例2、(1)已知：，求。

(2)已知，求的解析式.

注意：使用換元法要注意的范圍限制，這是一個極易忽略的地方。

3.配湊法

例3、已知：，求。

注意：1.使用配湊法也要注意自變量的范圍限制：

2、換元法和配湊法在解題時可以通用，若一題能用換元法求解析式，則也能用配湊

法求解析式。

4.待定系數(shù)法

若已知函數(shù)為某種基本函數(shù)，可設(shè)出解析式的表達形式的一般式，再利用已知條件求出

系數(shù)。

例4（1）函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象如下圖所示，則求此函數(shù)的解析式.

（2）已知二次函數(shù)，滿足當時有最大值，且與軸交點橫坐標的平方和為

,求的解析式。

（3）.已知是一次函數(shù)：若，求；

5.賦值（式）法

例5、已知函數(shù)對于一切實數(shù)都有成立，且。（1）求的值；（2）求的解析式。

6.方程法例6.已知：，求。

7.由函數(shù)性質(zhì)求解析式

20

例7.(1)設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，求當時f(x)的解析式。

(2)設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當xvO時,f(x)=x+l,求f(x)的解析式。

【當堂檢測】

I.已知函數(shù)，求：

(1)f(x)的最小值是；

(2)/{/[/(0)])=;

⑶若，則=；

(4)若，則的取值范圍是：

(5)若，貝IJ的取值范圍是；

2o(1)已知，求；

(2)已知，求；

(3)已知，求；

(4)已知為一次函數(shù)，且，求：

(5)己知為二次函數(shù)，且，求；

(6)已知為二次函數(shù)，其圖象與x軸相交于A(-1,0)和B(2,0)兩點,

且，求；

(7)已知為二次函數(shù)，當時，，，且與x軸交點的橫坐標的平方和為13,求；

3.(1)，求；

(2)，求；

(3)，求；

(4)，求。

第11課時函數(shù)的單調(diào)性

【課時目標】

1.理解函數(shù)單調(diào)性的概念

2。掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會證明一些簡單函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性

3.提高觀察、抽象的能力

【知識梳理】

1.單調(diào)增函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為A,區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當時,

都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，I稱為的單

調(diào)區(qū)間

注意：(1)“任意”“都有”等關(guān)鍵詞

(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間是有區(qū)別的

2.單調(diào)減函數(shù)的定義

3.一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為A,區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當時,

都有，那么就說在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，I稱為

的單調(diào)區(qū)間

4.函數(shù)圖像與單調(diào)性

函數(shù)在單調(diào)增區(qū)間上的圖像是的圖像

而函數(shù)在單調(diào)減區(qū)間上的組像是的圖像(填“上升”或“下降”)

5.函數(shù)單調(diào)性證明的步驟

(1)

(2)

(3)

(4)

【例題精講】

一、根據(jù)函數(shù)圖像寫單調(diào)區(qū)間

畫下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間

⑴y=-x2+2⑵y=L(xwO)⑶/(X)=-X

x—2x+2,x>0

(4)f(x)=(x+2)\x-\\

二、證明函數(shù)的單調(diào)性

例2(1)求證：在區(qū)間上是增函數(shù)

22

（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)

（3）求證：在上是增函數(shù)

三.較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性證明：

例.3：判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.

四.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍：

例4:已知函數(shù)的定義域為，且對任意的正數(shù)，都有，求滿足的的取值范

圍.

變式：已知函數(shù)的定義域為［-1,1］,且對任意的正數(shù)，都有，求滿足的的

取值范圍.

【能力提升】

I.用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù).

2.利用函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)/(只=竺口］工4在(一2,內(nèi))上的單調(diào)性

x+2I2)

并加以證明

【當堂檢測】

1.求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：

(1)/(x)=x3(2)y=-6-2工(3)y=3x-2x2+1

x+()

(4)/(x+1)=x2-2x+1(5)y=

-x-l,x<0

24

2.函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為

3。函數(shù)y=，6-2元單調(diào)減區(qū)間為

4.（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值為：

（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為；

（3）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則實數(shù)的值為

5.已知函數(shù)和在上都是減函數(shù)，則在上是函數(shù)

6.若在上是增函數(shù)，且，則

（注：從、、中選擇一個填在橫線上）

7.函數(shù)在上遞減，在上遞增，則實數(shù)的取值范圍是

10.8.函數(shù)是定義域上單調(diào)遞減函數(shù)，且過點和，則的自變量的取值范圍是-

11.9.己知函數(shù)f（x）是區(qū)間（0,+8）上的減函數(shù)，那么f（a2—a+1）與的大小關(guān)系

是

求證：在區(qū)間上是減函數(shù)

11。.討論函數(shù)f（x）=Jkx-l的單調(diào)性。

第12課時函數(shù)的奇偶性

【課時目標】

i.掌握函數(shù)的奇偶性的判斷方法。

2.掌握求函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的綜合問題。

3.體會高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想。

【知識梳理】

1.奇偶性：

①定義：如果對于函數(shù)f（X）定義域內(nèi)的任意X都有，則稱f（X）為奇函數(shù)；

若，則稱f（X）為偶函數(shù).如果函數(shù)f（x）不具有上述性質(zhì)，則f（X）不具

有.如果函數(shù)司時具有上述兩條性質(zhì)，則f（x）

②簡單性質(zhì)：

1）圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱；一個函

數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱.

2）函數(shù)/.J）具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于對稱.

3）奇函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)，對稱區(qū)間上單調(diào)性有什么特點？___________

偶函數(shù)又有怎樣的特點？

4）奇函數(shù)在對稱區(qū)間上最值有怎樣的特點？

偶函數(shù)在對稱區(qū)間上最值又有怎樣

5）你能舉一個既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的函數(shù)嗎？

這樣的函數(shù)有什么的特點？

6)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性有什么聯(lián)系與區(qū)別？

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)fM=x4(2)/(X)=X5(3)f(x)=x^-(4)/(x)=4

xx"

⑸⑹(7),

(8)f(x)=O(9)f(x)=2x4+3x2(10)/(x)=|x|->/?

(11)/Cv)-(x-l)2(12)/(x)=Y一國+1,Xw[—1,1]

/(X)=|X+1|+|JV-1|

/(x)=|x+l|-|x-l|

/(x)=Jx-l+\/\-X

/(X)=\lx2-1+yj\-X2

小結(jié)(判斷奇偶性的方法)：

【例題精講】

例1:判斷下列各函數(shù)的奇偶性：

______x+2

(1)f(x)={x-l+\J\-X；(3)f(x)=?o(次區(qū)1)，

-x+2(A>1).

\J\-x2

(2)fM=

|x+2|-2

變式訓(xùn)練(1):已知是定義域為的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x|x—2|,求x<0時，f(x)

的解析式.

變式訓(xùn)練(2):已知是定義域為的偶函數(shù)，當x0時，f(x)=x|x-2|,求x>0時,

f(x)的解析式.

26

變式訓(xùn)練(3):已知是定義域為的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x|x—2|,求f(x)的解

析式.

例2:已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，求的值.

變式訓(xùn)練：是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)=a+是奇函數(shù)？若存在，求常數(shù)a的值，若

不存在，說明理由。

例3:已知函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值.

例4:定義在(一2,2)上的奇函數(shù)在整個定義域上是減函數(shù)，若f(m-l)+f(2m-D>0,

求實數(shù)m的取值范圍.

變式訓(xùn)練：（1）.函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范

圍是

（2）.函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是

（3）.函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是

（4）.函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是

【當堂檢測】

1.已知且，那么

2.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則.

3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，若，則

V9-x2

4.函數(shù)y=的圖象關(guān)于對稱

\x+4\+\x-3\

5.設(shè)奇函數(shù)/Vx）的定義域為［-5,5］.若當［0,5］時，f（x）的圖象如下圖，則

（1）不等式的解集是

（2）不等式燈'OX。的解集是

（3）不等式）（不）—/（一好＜0的解集是

x

28

第13課時函數(shù)的值域

【課時目標】

1.理解函數(shù)值域的概念

2.掌握利用直接法、配方法、換元法、圖像法、分離常數(shù)法等求函數(shù)的值域的方法。

3.了解判別式法，反解法等求函數(shù)值域的方法。

【知識梳理】

復(fù)習函數(shù)的定義、定義域及值域的概念。

定義：

定義域：

值域：

【例題精講】

(一)、直接法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍。

(1)例1.求下列函數(shù)的值域

(2)y=3x+2(-1<X<1)(2)y=3x+2,XG{-1,0,1)

(二)、圖像法(數(shù)型結(jié)合法)：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法,

根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。

(1)例2.求下列函數(shù)的值域

(2)y二,的值域為______________________

x

(3)變式：加上條件："”則其值域為

(4))，g為+3|+|工一5|

變式訓(xùn)練2:求最值。

(-x2+2x-l,xe[0,-foo)

f(x)=

—A~+2A—1,At(—8,0)

(三”配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題,

均可使用配方法。

例3.求下列函數(shù)的值域

(1)()(2)y=3-4x-2x2,xe[l,2](3)

(四)、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法。

例4.(1)求函數(shù)的值域。

變式：上題中加上條件："”求此函數(shù)的值域

(2)y=上四(3)