第2章 《相交線與平行》章末綜合檢測卷-七年級數(shù)學(xué)下冊同步課堂（北師大版2024）

PAGE1第2章：《相交線與平行線》章末綜合檢測卷（試卷滿分：120分，考試用時：120分鐘）姓名___________班級考號______________選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）1．（2024秋?姑蘇區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種 B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 D．在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【分析】平行線的判定和性質(zhì)，垂直等，對各選項(xiàng)逐一判斷，可得到結(jié)果．【解答】解：A．在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交兩種，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，該選項(xiàng)正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂直等，熟練掌握平行線的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?永春縣期末）如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，A、B、C、D都在直線l上，PB⊥l于B，在P與A、B、C、D四點(diǎn)的連線中，線段PB最短，依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短 C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．垂線段最短【分析】由垂線段最短，即可得到答案．【解答】解：PB⊥l于B，在P與A、B、C、D四點(diǎn)的連線中，線段PB最短，依據(jù)是垂線段最短．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查垂線段最短，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線段最短．3．（2024秋?仁壽縣期末）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)余角的定義，可得答案．【解答】解：C中的α+β＝180°﹣90°＝90°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了余角，利用余角的定義是解題關(guān)鍵．4．（2024秋?安寧區(qū)校級期末）如圖，下列推理及所論述理由正確的是（）A．因?yàn)镈E∥BC，所以∠1＝∠C．理由是：同位角相等，兩直線平行 B．因?yàn)椤?＝∠3，所以DE∥BC．理由是：同位角相等，兩直線平行 C．因?yàn)镈E∥BC，所以∠2＝∠3．理由是：兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．因?yàn)椤?＝∠C，所以DE∥BC．理由是：兩直線平行，同位角相等【分析】此題考查平行線的性質(zhì)及判定定理，可由同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角判定其平行，又有平行可得角之間的關(guān)系．【解答】解：A、DE∥BC，所以∠1＝∠C，即兩直線平行，同位角相等，題中理由敘述錯誤，故錯誤；B、∠2＝∠3，可得DE∥BC，即內(nèi)錯角相等，兩直線平行，而不是同位角，故錯誤；C、DE∥BC，所以∠2＝∠3，即兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故正確；D、∠1＝∠C，所以DE∥BC，即同位角相等，兩直線平行，故錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)，不要將性質(zhì)與判定混淆．5．（2024秋?建鄴區(qū)校級期末）如圖，已知∠A與∠B互補(bǔ)，DE平分∠ADC，∠1＝40°，那么∠2＝（）A．80° B．85° C．95° D．100°【分析】根據(jù)題意，由條件得到AD∥BC，從而得到∠ADE＝40°，結(jié)合角平分線得到∠ADC＝2∠ADE＝80°，即可得到∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠A與∠B互補(bǔ)，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ADE，∵∠1＝40°，∴∠ADE＝40°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE＝80°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠DCB＝180°﹣80°＝100°，∴∠2＝∠DCB＝180°﹣80°＝100°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?秦淮區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定分別進(jìn)行分析可得答案．【解答】解：A、∠3＝∠4，根據(jù)內(nèi)錯角相等，BD∥AC，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得：AB∥CD，故此選項(xiàng)符合題意；C、∠D＝∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得：BD∥AC，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∠D+∠ACD＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得：BD∥AC，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．7．（2024秋?南通期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°【分析】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，∴∠3＝∠BOD，∵∠EOD+∠1＝90°，∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查互余的概念，關(guān)鍵是掌握余角的性質(zhì)．8．（2024秋?北林區(qū)期末）如圖，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠DEB＝2∠ABC；其中正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，∵BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF＝∠EDB，∵BC⊥BD，∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°，∵∠EDB＝∠DBE，∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，∴BC平分∠ABE，故①正確，符合題意；∵∠EBC＝∠BCA，∴AC∥BE，故②正確，符合題意；∵∠DEB＝∠EBA，∠EBA＝2∠ABC，∴∠DEB＝2∠ABC，故③正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，9．（2024?建始縣一模）小明在學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)后，把含有60°角的直角三角板擺放在自己的文具上，如圖，AD∥BC，若∠2＝70°，則∠1＝（）A．22° B．20° C．25° D．30°【分析】過F作FG∥AD，則FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝70°，再根據(jù)∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣70°＝20°，進(jìn)而得到∠1＝∠AFG＝20°．【解答】解：如圖，過F作FG∥AD，則FG∥BC，∴∠2＝∠EFG＝70°，又∵∠AFE＝90°，∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°，∴∠1＝∠AFG＝20°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的知識，比較簡單，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2024?汕頭模擬）如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺燈及其示意圖．固定支撐桿AO垂直底座MN于點(diǎn)O，AB與BC是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺燈燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外側(cè)光線CD、CE組成的∠DCE始終保持不變．現(xiàn)調(diào)節(jié)臺燈，使外側(cè)光線CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，則∠DCE＝（）A．58° B．68° C．32° D．22°【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作AG∥MN，過點(diǎn)B作BH∥CD，則AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，則∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，進(jìn)而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AG∥MN，過點(diǎn)B作BH∥CD，∵CD∥MN，∴AG∥MN∥BH∥CD，∵OA⊥MN，∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°，∵∠BAO＝158°，∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，∴∠ABH＝∠BAG＝68°，∵CE∥AB，BH∥CD，∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，∴∠DCE＝∠ABH＝68°，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．（2023秋?化州市期末）如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊，∠1＝30°，∠2＝50°，則∠3的度數(shù)等于．【分析】根據(jù)題意可得：AB∥CD，從而可得∠4＝∠2＝50°，然后利用三角形的外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∵∠4是△EFG的外角，∴∠4＝∠1+∠3，∵∠1＝30°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°，故答案為：20°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?安徽期末）一個角的余角等于這個角的補(bǔ)角的13，則這個角為【分析】設(shè)這個角的度數(shù)是x，這個角的補(bǔ)角為180﹣x，余角為90﹣x．根據(jù)“一個角的余角等于這個角的補(bǔ)角的13【解答】解：設(shè)這個角的度數(shù)是x°，則90﹣x=13（180﹣解得x＝45．故答案為：45°．【點(diǎn)評】本題主要考查了余角和補(bǔ)角的概念以及運(yùn)用．互為余角的兩角的和為90°，互為補(bǔ)角的兩角之和為180°．解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從題中找出角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果．13．如圖，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝130°，則∠1＝度．【分析】先利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠SRQ＝130°，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠PRQ＝80°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵QR∥ST，∴∠3＝∠SRQ＝130°，∵OP∥QR，∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝80°，∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝50°，故答案為：50．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?晉江市期末）如圖是一款可折疊的晾衣架及其正面示意圖，已知∠PDE＝115°，若要使GH∥DE，則∠DBH＝°．【分析】由同位角相等，兩直線平行，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)∠DBH＝∠PDE＝115°時，GH∥DE．故答案為：115．【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．15．（2024春?江陵縣期末）將一塊三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對于給出的五個條件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判斷直線m∥n的有．（填序號）【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個小題中的條件，可以判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．【解答】解：∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故①不符合題意；∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合題意；∵∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°，∴∠ABC+∠1＝55°＝55°＝∠2，∴m∥n，故③符合題意；∵∠ABC＝∠2﹣∠1，∴∠2＝∠ABC+∠1，∴m∥n，故④符合題意；過點(diǎn)C作CE∥m，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，∴∠1＝∠5，∴EC∥n，∴m∥n，故⑤符合題意；故答案為：③④⑤．【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板ACD繞著點(diǎn)C按順時針以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)90°后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間t＝秒時，三角板A′CD′有一條邊與三角板ABC的一條邊恰好平行．【分析】分三種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：分三種情況：①當(dāng)A′C∥AB時，如圖：∴∠A′CA＝∠BAC＝45°，∴15t＝45，∴t＝3．②當(dāng)A'D'∥AC時，∴∠A′CA＝∠A′＝30°，∴15t＝30，∴t＝2．③當(dāng)A'D'∥AB時，∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°，∴15t＝75，∴t＝5．綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間t＝2或3或5秒時，三角板A′CD′有一條邊與三角板ABC的一條邊恰好平行．故答案為：2或3或5．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本小題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（8分）（2024春?嘉祥縣期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）直接利用角平分線的定義以及結(jié)合鄰補(bǔ)角的定義得出答案；（2）結(jié)合已知得出∠AOC的度數(shù)，再利用角平分線的定義得出答案．【解答】解：（1）OF與OD的位置關(guān)系：互相垂直，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE=1∴OF與OD的位置關(guān)系：互相垂直；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC=1∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF=12∠【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角的定義，正確得出各角之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．（8分）（2024春?新城區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OE在∠DOB內(nèi)部，且∠DOE＝2∠BOE．過點(diǎn)O作OF⊥OE．（1）若∠COF＝54°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠COF＝∠DOE，那么OB平分∠DOF嗎？為什么？【分析】（1）根據(jù)直角的性質(zhì)，可得∠EOF＝90°，根據(jù)補(bǔ)角的定義得∠DOE＝180﹣∠EOF﹣∠COF，再由∠DOE＝2∠BOE，即可求解；（2）根據(jù)∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，可得∠COF＝∠DOE＝45°，再由∠DOE＝2∠BOE，可得∠BOE＝22.5°，從而得到∠DOB＝67.5°，∠BOF＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可求解．【解答】解：（1）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠COF＝54°，∴∠DOE＝180°﹣∠EOF﹣∠COF＝180°﹣90°﹣54°＝36°，∵∠DOE＝2∠BOE，∴∠BOE=1∴∠BOE的度數(shù)為18°；（2）平分，理由如下：∵∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，∴∠COF＝∠DOE＝45°，∵∠DOE＝2∠BOE，∴∠BOE＝22.5°，∴∠DOB＝∠DOE+∠BOE＝67.5°，∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DOB＝∠BOF，∴OB平分∠DOF．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線，角平分線的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握垂直的性質(zhì)，根據(jù)題意得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2024春?武侯區(qū)校級期中）如圖，EF⊥AC于點(diǎn)F，DB⊥AC于點(diǎn)M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，請問AB與MN平行嗎？說明理由．完成下列推理過程：解：AB∥MN，理由如下：因?yàn)镋F⊥AC，DB⊥AC，（已知）∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（）∴EF∥DM，（）∴∠2＝∠CDM．（）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠，（）∴MN∥CD，（）∵∠3＝∠C，（已知）∴AB∥CD，（）∴AB∥MN．（）【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，則∠1＝∠CDM，根據(jù)平行線的判定得到MN∥CD，又∠3＝∠C，則AB∥CD，然后根據(jù)平行公理的推論即可得到AB∥MN．【解答】解：AB∥MN，理由如下：因?yàn)镋F⊥AC，DB⊥AC，∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（垂直的定義）∴EF∥DM，（同位角相等，兩直線平行）∴∠2＝∠CDM，（兩直線平行，同位角相等）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDM，（等量代換）∴MN∥CD，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∵∠3＝∠C，∴AB∥CD，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴AB∥MN．（平行于同一直線的兩條直線平行）故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；CDM；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題時注意：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；平行于同一直線的兩條直線平行．20．（8分）（2024秋?蒼梧縣期中）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，射線OD平分∠BOC，過點(diǎn)O作OE⊥OD，G是射線OB上一點(diǎn)，連接DG，滿足∠ODG+∠DOG＝90°．（1）求證：∠AOE＝∠ODG；（2）若∠ODG＝∠C，求證：CD∥OE．【分析】（1）由垂線的定義得出∠DOE＝90°，結(jié)合平角的定義得出∠AOE+∠DOG＝90°，結(jié)合∠ODG+∠DOG＝90°即可得證；（2）由角平分線的定義得出∠DOG＝∠COD，由垂線的定義得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，結(jié)合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，從而得出∠C＝∠COE，即可得證．【解答】證明：（1）∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°，∴∠AOE+∠DOG＝90°，∵DG⊥AB，∴∠ODG+∠DOG＝90°，∴∠AOE＝∠ODG；（2）∵OD平分∠BOC，∴∠DOG＝∠COD=12∠∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠COE+∠COD＝90°，由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°，∴∠ODG＝∠COE，∵∠ODG＝∠C，∴∠C＝∠COE，∴CD∥OE．【點(diǎn)評】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．21．（9分）（2024秋?雙流區(qū)期末）已知：AB∥CD，直線EF交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段EF上一點(diǎn)，M，N分別在射線EB，F(xiàn)D上，連接PM，PN．（1）如圖1，求證：∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）如圖2，當(dāng)MP⊥NP時，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度數(shù)．【分析】（1）過點(diǎn)P作PH∥AB，證明AB∥PH∥CD得∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，由此即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義設(shè)設(shè)∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，則∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，進(jìn)而得∠FNP＝180°﹣2β，∠FNQ＝180°﹣β，然后根據(jù)（1）的結(jié)論得∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得β﹣α＝45°，由∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ即可得出答案．【解答】（1）證明：過點(diǎn)P作PH∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴AB∥PH∥CD，∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，即∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）∵M(jìn)Q平分∠EMP，NQ平分∠DNP，∴設(shè)∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β，∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β，∵M(jìn)P⊥NP，∴∠MPN＝90°，由（1）的結(jié)論得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β，∴β﹣α＝45°，∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，理解垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．22．（9分）（2023秋?船營區(qū)校級期末）如圖，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．【計(jì)算與觀察】（1）若∠DCE＝35°，則∠BCA＝；若∠ACB＝150°，則∠DCE＝；【猜想與證明】（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系？并說明理由．【拓展與運(yùn)用】（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角的和差定義計(jì)算即可．（2）利用角的和差定義計(jì)算即可．（3）利用（2）的結(jié)論計(jì)算即可．【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°，∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°，∴∠BCA＝145°；②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°．故答案為：145°，30°；（2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB與∠DCE互補(bǔ)）．理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝180°．（3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7，∴72∠DCE+∠DCE解得∠DCE＝40°．【點(diǎn)評】本題考查余角和補(bǔ)角，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．23．（10分）（2024秋?朝陽區(qū)校級期末）已知，如圖AB∥CD．①由圖（1）易得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系（直接寫結(jié)論）；②由圖（2）試猜想∠B、∠BED、∠D的關(guān)系并說明理由；[延伸拓展]利用上面（1）（2）得出的結(jié)論完成下題：③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，則∠BFD＝°．【分析】①過點(diǎn)E作EF∥AB，證明AB∥EF∥CD得∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，則∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，由此可得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系；②過點(diǎn)E作EH∥AB，證明AB∥EH∥CD得∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°，則∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°，由此可得∠B、∠BED、∠D的關(guān)系；③設(shè)∠ABF＝α，∠CDF＝β，則∠EBF＝2α，∠EDF＝2β，∠ABE＝3α，∠CDE＝3β，根據(jù)①②的結(jié)論得∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°，則∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°，由105+3α+3β＝360°，得α+β＝85°，進(jìn)而可得∠BFD的度數(shù)．【解答】解：①∠B、∠BED、∠D的關(guān)系是：∠BED＝∠B+∠D，理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖（1）所示：∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，∴∠BED＝∠B+∠D，故答案為：∠BED＝∠B+∠D；②∠B、∠BED、∠D的關(guān)系是：∠B+∠BED+∠D＝360°，理由如下：過點(diǎn)E作EH∥AB，如圖（2）所示：∵AB∥CD，∴AB∥EH∥CD，∴∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°，∴∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°，∴∠B+∠BED+∠D＝36