中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題13以三角形為背景的幾何類比探究壓軸問題（原卷版）

壓軸題13以三角形為背景的幾何類比探究壓軸問題例1．（2023?濟(jì)陽區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，連接CD，CD＝6，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作△DEF，使∠EDF＝90°，DE＝DF＝10．（1）連接BF，CE．線段BF和線段CE的數(shù)量關(guān)系為，直線BF和直線CE的位置關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)EC∥AB時(shí)，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)G，求DG的長度；（3）當(dāng)E，C，B在同一條直線上時(shí)，請直接寫出EC的長度．例2．（2023?龍港區(qū)模擬）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接AE，CE．（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖1，請直接寫出線段EC和線段AC的數(shù)量關(guān)系；（2）點(diǎn)D在線段BC上（不與點(diǎn)B，C重合）時(shí)，請寫出線段AC，DC，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若AB＝42，CD＝1，請直接寫出△DCE的面積．例3．（2023?鐵西區(qū)模擬）（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，連接AD，BC，探究AD與BC的關(guān)系，并證明．（2）如圖2，△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AC的延長線上，連接BD，將線段BD繞著D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ED，連接BE，過點(diǎn)E作EF∥AB交AC延長線于點(diǎn)F．求證：AF＝2CD．（3）如圖3，△ABC中，若AB＝8，AC＝33，若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到CD，連接AD，直接寫出AD的取值范圍．例4．（2023?懷遠(yuǎn)縣校級模擬）在△ABC和△EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，BC＝k?AC，CD＝k?CE．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，探索AE與BD的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)k≠1時(shí)，請?zhí)剿鰽E與BD的關(guān)系，并證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，分別在BD、AE上取點(diǎn)M、N，使得BD＝m?MD，AE＝m?NE，試探索CN與CM的關(guān)系，并證明．1．（2023?蚌山區(qū)校級二模）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上，AC，BE相交于F點(diǎn)．①求證：BD＝CE；②若AF＝DF，AB＝5，BC＝6，求BD的長．（2）如圖2，若∠BAC＝90°，M為BE的中點(diǎn)，連接AM，求證：AM⊥CD．2．（2023?徐州模擬）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC．連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．連接MP，PN，MN．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是：；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，證明：（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝2，AB＝6．求△PMN面積的最大值．3．（2023?重慶模擬）已知△ABC為等邊三角形，D是邊AB上一點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，連接BE．（1）如圖1，延長BE交AC于點(diǎn)F，若∠ABF＝15°，BF=6，求AF（2）如圖2，將△BEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AGC，延長BC至點(diǎn)H，使得CH＝BD，連接AH交CG于點(diǎn)N，猜想線段CE，GN，DE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，AB＝8，點(diǎn)H是BC上一點(diǎn)，且BD＝2CH，連接DH，點(diǎn)K是AC上一點(diǎn)，CK＝AD，連接DK，BK，將△BKD沿BK翻折到△BKQ，連接CQ，當(dāng)△ADK的周長最小時(shí)，直接寫出△CKQ的面積．4．（2023?大連一模）問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題，如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接AD，∠ADB＝60°，點(diǎn)E在線段AD上，且DE＝CD，連接CE．求證∠ACE＝∠BAD．獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實(shí)踐探究；（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答：“如圖2，連接BE，以B為圓心，BE長為半徑畫弧，交AE于點(diǎn)F，連接BF，探究線段AF與DE，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后，提出下面的問題，請你解答：“如圖3，在（2）條件下，過E作EK⊥AC于K，若DE＝2，BC＝3EF，求EK的長．”5．（2023?前郭縣一模）如圖，已知∠ABC＝90°，P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，D是AP的中點(diǎn)，連接BD，作點(diǎn)B關(guān)于AP的對稱點(diǎn)B′，連接B′D，B′P．（1）當(dāng)B′P∥BD時(shí)，判斷△B'DP的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)B′P∥AB時(shí)，△B'DP的形狀是；（3）當(dāng)B′D∥AB時(shí)，若AB＝2，則△B'DP的面積是．?6．（2023?海曙區(qū)一模）已知E在△ABC內(nèi)部（如圖①），等邊三角形ABC的邊長為6，等邊三角形BDE的邊長為4，連結(jié)AE和DC．（1）求證：AE＝DC；（2）當(dāng)AE⊥BD時(shí)，求CD的長；（3）將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)（如圖②），求旋轉(zhuǎn)過程中EF的取值范圍．7．（2023?邗江區(qū)一模）翻開數(shù)學(xué)發(fā)展史，我們就知道數(shù)學(xué)不僅是抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，還有另外一面．人類從結(jié)繩計(jì)數(shù)開始就在進(jìn)行著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并且通過實(shí)驗(yàn)不斷發(fā)展數(shù)學(xué)．可見，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的方式，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式．在某次數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)中，幾位同學(xué)利用三角板進(jìn)行了如下的實(shí)數(shù)學(xué)驗(yàn)，請大家在這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上思考并回答相關(guān)問題：幾位同學(xué)把兩塊完全相同的等腰直角三角板按圖1方式擺放，已知△ABC≌△DEF，∠ABC＝∠DEF＝45°，BC⊥AC，EF⊥DF，AC＝DF＝8cm，線段AC在直線MN上，點(diǎn)F在線段AB上，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合．（1）∠CAE＝，BF＝cm；（2）將三角板DEF的直角頂點(diǎn)F沿FA方向滑動(dòng)，同時(shí)頂點(diǎn)D沿AN方向在射線AN上滑動(dòng)，如圖2．①當(dāng)點(diǎn)F恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí)，求∠AFD的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)F從初始位置滑動(dòng)到點(diǎn)A處時(shí)，請直接寫出點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)D，F(xiàn)分別作AN，AB的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)P，連接AP，線段AP的長度是否為定值？如果是，請求出結(jié)果；如果不是，請說明理由．8．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，將△ABC的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD，連接BD．（1）如圖1，連接CD，若∠BAD＝90°，∠ADC+∠ABC＝180°，AC＝72，BC＝4，求CD的長；（2）如圖2，點(diǎn)E在BD上，且滿足BC＝DE，連接AE，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，連接DF交AE于點(diǎn)M，若∠BDF＝∠BCA，∠ADB+∠ABC＝180°，求證AM＝EM；（3）如圖3，若∠BAD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝9，點(diǎn)P在直線AC上且滿足AP=23BC，將△ABP沿虛線GH折疊使得點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P落在AB上，連接PP'；與折痕GH交于點(diǎn)O，請直接寫出BP最小時(shí)，點(diǎn)O到9．（2023?河北區(qū)一模）將一個(gè)直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B(2，23)，∠OAB＝90°，以點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△AOB，得到△ACD，點(diǎn)O，B的對應(yīng)點(diǎn)分別是C，D，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤180（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)C落在OB邊上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，連接OC，BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段OC，BD的中點(diǎn)，連接AE，AF，EF，若線段OC的長為t，試用含t的式子表示線段AE的長度，并寫出t的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若△AEF的面積是S，當(dāng)60°≤α≤120°時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．10．（2023?福田區(qū)二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長的比叫做頂角的張率（scop）．如圖1，在△XYZ中，XY＝XZ，頂角X的張率記作scop∠X=底邊腰=YZXY．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的，所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義∠α（0°＜∠α＜180°）的張率，例如，scop60°＝1，如圖2，P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)C，D分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，以AC，CD，DB為邊分別在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG，連接PE和PG．（1）【理解應(yīng)用】①若等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG的邊長分別為a，b，c，則a，b，c三者之間的關(guān)系為；②scop∠EPG＝；（2）【猜想證明】如圖3，連接EF，F(xiàn)G，猜想scop∠EFG的值是多少，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖4，連接EF，EG，若AB＝12，EF=27，則△EPG的周長是多少？此時(shí)AP11．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在△ACB的內(nèi)部，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接DE、BD、AE．（1）判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）如圖2，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，寫出線段BE、CE、AE的數(shù)量關(guān)系為；（3）如圖3，若AC＝2，DC＝1.2，點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，當(dāng)E、D、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，連接BD，求BD的長度．?12．（2023?甘井子區(qū)模擬）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E．求證：∠ABE＝∠CAD．獨(dú)立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，將線段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F在AD的延長線上，連接BF，過點(diǎn)C作CG∥BF，交AD于點(diǎn)G．猜想AE與FG的數(shù)量關(guān)系，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，過點(diǎn)E作EH⊥CE，交AC于點(diǎn)H時(shí)，若給出AB的邊長，則圖3中所有已經(jīng)同字母標(biāo)記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，過點(diǎn)E作EH⊥CE，交AC于點(diǎn)H，AB＝5，求AH的長．”13．（2023?武漢模擬）【問題提出】如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，探究DE與EB的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】（1）先將問題特殊化如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，猜想ED和EB數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）再探究一般情形．如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．【問題拓展】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí)，EH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作GE∥AB，交線段AC的延長線于點(diǎn)G，AG＝5CG，BH＝3．直接寫出CG的長．14．（2023?臨潼區(qū)二模）已知等邊三角形ABC，過A點(diǎn)作AC的垂線l，P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，連接QB．（1）如圖1，直接寫出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P，B在AC同側(cè)，連接PB并延長，與CQ交于點(diǎn)D，若AP＝AC，求證：線段PD垂直平分CQ；（3）如圖3，某地河堤路l旁有一邊長為4的等邊三角形花圃ABC，且AC邊垂直于路l，市政部門計(jì)劃在河堤路另一側(cè)修建一個(gè)三角形的觀景平臺APQ，要求點(diǎn)P，B分別位于AC邊的異側(cè)，連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，再連接AQ和PQ，若三角形觀景平臺APQ的面積等于34，求此時(shí)AP15．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作AB的垂線，與△ABC的直角邊AC（或BC）相交于點(diǎn)E．設(shè)線段AD的長為a（cm），線段DE的長為h（cm）．（1）為了探究變量a與h之間的關(guān)系，對點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中不同時(shí)刻AD，DE的長度進(jìn)行測量、探究，得出以下幾組數(shù)據(jù)：變量a（cm）00.511.522.5n3.54變量h（cm）00.51m21.510.50在平面直角坐標(biāo)系中，以變量a的值為橫坐標(biāo)，變量h的值為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)如圖2﹣1；以變量h的值為橫坐標(biāo)，變量a的值為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)如圖2﹣2．根據(jù)探究的結(jié)果，解答下列問題：①上表中m＝；n＝；②將圖2﹣1，圖2﹣2中描出的點(diǎn)順次連接起來；③根據(jù)②中的連線，判斷下列說法正確的是（填“A”或B”）；A．變量h是以a為自變量的函數(shù)B．變量a是以h為自變量的函數(shù)（2）如圖3，記線段DE與△ABC的一直角邊、斜邊圍成的三角形（即陰影部分）的面積（cm2）為S．①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量a的取值范圍：并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出其函數(shù)圖象．②寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．性質(zhì)一：；性質(zhì)二：．16．（2023?青島一模）【閱讀理解】三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝180°，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD＝180°，所以∠CBD＝∠A+∠C．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步應(yīng)用】如圖③，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC延長線上一點(diǎn)，（1）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，則∠ACB＝°；（2）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，則∠CBD+∠BCE＝°；（3）若∠A＝m°，則∠CBD+∠BCE＝°．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC延長線上一點(diǎn)，（4）若∠A＝60°，分別做∠CBD和∠BCE的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝°；（5）若∠A＝60°，分別做∠CBD和∠BCE的三等分線交于點(diǎn)O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，則（6）若∠A＝m°，分別做∠CBD和∠BCE的n等分線交于點(diǎn)O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，則17．（2023?驛城區(qū)校級二模）在綜合實(shí)踐課上，輔導(dǎo)老師要求同學(xué)操作探究學(xué)具中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識（△ABC的三個(gè)角為45°、45°、90°；△DEF的三個(gè)角為30°，60°，90°，EF＝43cm）．（1）如圖1，將一副三角尺按圖擺放，等腰直角三角尺的直角邊BC恰好垂直平分EF，且BC與DE相交于點(diǎn)P，求DP的長；（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，將△ACB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使直角邊BC經(jīng)過點(diǎn)D，另一直角邊AC與DE相交于點(diǎn)Q，求DQ的長；（3）在（2）的條件下，將△ABC在邊EF上平移，如圖3，當(dāng)點(diǎn)C是EF的三等分點(diǎn)時(shí)，直角邊AC與DE相交于點(diǎn)G，請直接寫出DG的長．18．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為線段AB上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作CF⊥CD，CF＝CD，連接DF，延長CA到點(diǎn)E，連接BE，使得∠ABE+∠BCD＝45°．（1）如圖1，若BE=10，求DF（2）如圖2，點(diǎn)G是線段DF上一點(diǎn)，連接CG，過點(diǎn)G作GH⊥CG，過點(diǎn)D作DH⊥CD，交GH于點(diǎn)H，求證：DH+BE=2（3）如圖3，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，連接DM，若A