中考數(shù)學二輪培優(yōu)題型訓練壓軸題08二次函數(shù)與面積最值定值問題（六大類型）（原卷版）

壓軸題08二次函數(shù)與面積最值定值問題（六大類型）題型一：二次函數(shù)與三角形面積最值問題例1．如圖，已知拋物線y=12x2+bx過點A（﹣4，0）、頂點為B，一次函數(shù)y=12x+2的圖象交y（1）求拋物線的表達式；（2）已知P是拋物線上一動點，點M關于AP的對稱點為N．①若點N恰好落在拋物線的對稱軸上，求點N的坐標；②請直接寫出△MHN面積的最大值．題型二：二次函數(shù)與三角形面積等積問題例2．如圖，等腰直角三角形OAB的直角頂點O在坐標原點，直角邊OA，OB分別在y軸和x軸上，點C的坐標為（3，4），且AC平行于x軸．（1）求直線AB的解析式；（2）求過B，C兩點的拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個交點為D，試判定OC與BD的大小關系；（4）若點M是拋物線上的動點，當△ABM的面積與△ABC的面積相等時，求點M的坐標．題型三：二次函數(shù)與四邊形面積最值問題例3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知A（3，0），該拋物線的對稱軸為直線x＝1．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）求點B、C的坐標；（3）將線段BC平移，使得平移后線段的一個端點在這條拋物線上，另一個端點在x軸上，若將點B、C平移后的對應點分別記為點D、E，求以B、C、D、E為頂點的四邊形面積的最大值．題型四：二次函數(shù)與面積分割問題例4．已知拋物線y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3的頂點C在定直線l上．（1）求C點的坐標（用含m的式子表示）；（2）求證：不論m為何值，拋物線與定直線l的兩交點間的距離d恒為定值；（3）當拋物線的頂點C在y軸上，且與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）時，是否存在直線n滿足以下三個條件：①n與拋物線相交于點M，N（點M在點N的左側），且與線段AC交于點P；②∠APN＝2∠ACO；③n將△ABC的面積分成1：2的兩部分．若存在，求出直線n的解析式；若不存在，請說明理由．題型五：二次函數(shù)與面積比問題例5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=23x2+bx﹣2的圖象與x軸交于點A（3，0），B（點B在點A左側），與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，作直線（1）填空：b＝；（2）將△AOC平移到△EFG（點E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對應），若點E落在拋物線上且點G落在直線AD上，求點E的坐標；（3）設點P是第四象限拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT與△CPT的面積之比．題型六：函數(shù)關系與面積問題例6．平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m為常數(shù)，m≠±1）與軸交于定點A及另一點B，與y軸交于點C．（1）當點（2，2）在拋物線上時，求拋物線解析式及點A，B，C的坐標；（2）如圖1，在（1）的條件下，D為拋物線x軸上方一點，連接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求點D的坐標；（3）若點P是拋物線的頂點，令△ACP的面積為S，①直接寫出S關于m的解析式及m的取值范圍；②當58≤S≤15

一、解答題1．（2023春·全國·九年級專題練習）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與坐標軸分別交于點A(0,6)，B(6,0)，C(?2,0)，點P(1)求拋物線的解析式；(2)當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值，面積最大值是多少？2．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于

A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點C，點(1)求該拋物線的解析式；(2)當△PBD與△BDE的面積之比為1：2時，求點P的坐標；3．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線y=?x2+bx+c過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y=?x+3與x軸交于點(1)求拋物線的解析式；(2)點Mt,0是x軸上的一個動點，點N是拋物線對稱軸上的一個動點，當DN=2t，△MNB的面積為154時，求出點M與點4．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A(4，0)(1)求拋物線的表達式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；(3)如圖，OP交AB于點C，PD∥BO交AB于點D．記△CPB，△BCO的面積分別為S1，S5．（2023·新疆克孜勒蘇·統(tǒng)考一模）如圖所示，拋物線y=?x2+2x+3的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(1)求拋物線頂點D的坐標；(2)在直線BC上方的拋物線上有一點M，使得四邊形ABMC的面積最大，求點M的坐標及四邊形ABMC面積的最大值；(3)點E在拋物線上，當∠EBC=∠ACO時，直接寫出點E的坐標．6．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A?1,0、B4,0，與y軸交于點C0,2．點D為拋物線第四象限一動點，連接AC、BC、BD(1)求拋物線的解析式；(2)當S△BCD=S(3)在第（2）問的條件下，延長線段AC、DB交于點E．請判斷△ADE的形狀，并說明理由．7．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）在邊長為4的正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F，作PE⊥PB交直線CD于點E，設PA=x，S△PCE(1)求證：DF=EF；(2)當點P在線段AO上時，求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；(3)點P在運動過程中能否使△PEC為等腰三角形？如果能，請直接寫出PA的長；如果不能，請簡單說明理由．8．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2a<0的圖像與x軸交于點A(?1,0)、B(2,0)，與(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點P是二次函數(shù)圖像上位于線段BC上方的一個動點．①如圖，連接AC，CP，AP，AP交BC于點E，過點P作AC的平行線交BC于點Q，將△PEQ與△PCE的面積比S△PEQS△PCE記為a，將△PCE與△ACE的面積比S△PCES△ACE記為②已知點N是y軸上一點，若點N、P關于直線AC對稱，求CN的長．9．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線BC的解析式為y=?x+6，直線BC交x軸和y軸分別于點B和點C，拋物線y=?29x2+bx+c交x軸于點A和點B(1)求拋物線的解析式；(2)點P是第二象限拋物線上的點，連接PB、PC，設點P的橫坐標為t，△PBC的面積為S．求S與t的函數(shù)關系式（不要求寫出t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，點D在線段OB上，連接PD、CD，∠PDC=45°，點F在線段BC上，EF⊥BC，F(xiàn)E的延長線交x軸于點G，交PD于點E，連接CE，若∠GED+∠DCE=180°，DC>DE，S△CDE=15，求點10．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+ca<0與x軸交于A?2,0、B(1)試求拋物線的解析式；(2)直線y=kx+1k>0與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線BC交于點M，記m=S△CPMS△CDM(3)在（2）的條件下，m取最大值時，點Q是x軸上的一個動點，點N是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形？請直接寫出滿足條件的N點的坐標．11．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標軸分別交于A，B，C三點，其中A(?4,0)、B(1，0)(1)求拋物線的解析式；(2)連接BM，交線段AC于點D，求SΔADMS(3)連接CM，是否存在點M，使得∠ACO+2∠ACM=90°，若存在，求12．（2023·海南?？凇ず？谑械诰胖袑W?？级＃┤鐖D①，已知拋物線L:y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A0,3，B1,0．過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC(1)求拋物線的關系式并寫出點E的坐標；(2)若動點P在x軸下方的拋物線上，連結PE、PO，當△OPE面積最大時，求出此時P點橫坐標；(3)若將拋物線向上平移?個單位，且其頂點始終落在△OAE的內(nèi)部或邊上，寫出?的取值范圍；(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸上l的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．13．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點A，B，其中點B的坐標為(4,0)(1)求拋物線y=?12x(2)點P是直線BC上方的拋物線上一個動點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；(3)連接B和（2）中求出點P，點Q為拋物線上的一點，直線BP下方是否存在點Q使得∠PBQ=45°？若存在，求出點Q的坐標．14．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A?6，0，B0，8，C8，0，點P為線段AC上的一動點（點P與點A，C不重合），過點P作PQ∥BC交AB于點Q，將(1)當點D恰好落在BC上時，求點P的坐標；(2)若△PDQ與△ABC重疊部分面積S與點P橫坐標t之間的函數(shù)解析式為S=a(t+6)2(?6<t≤1)?(3)是否存在點P，使得∠BDQ為直角？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．15．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+ax+1（a為常數(shù)），經(jīng)過點P2,?7，點Q在拋物線上，其橫坐標為m，將此拋物線上P、Q兩點間的部分（包括P、(1)求拋物線的解析式．(2)若點B是拋物線上一點，橫坐標為1．過點B作x軸的平行線交拋物線于另一點C，連結BC，求△PBC的面積．(3)當拋物線的頂點是圖像G的最高點，且圖像G的最高點與最低點到x軸的距離和為定值時，求m的取值范圍．(4)已知點M2m?1,?7、N2m?1,12m+1、E2,12m+116．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在左側），與y軸交于點C，點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PD∥y(1)求點A，B，C的坐標；(2)設點P的橫坐標為m，請用含m的式子表示線段PD的長；(3)如圖2，連接OP，交線段BC于點Q，連接PC，若△PCQ的面積為S1，△OCQ的面積為S2，則17．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平而直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A?2,0，B4,0(1)試求拋物線的解析式；(2)直線y=kx+1k>0與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線BC交于點M，記m=S△CPMS△CDM(3)在（2）的條件下，m取最大值時，是否存在x軸上的點Q及坐標平面內(nèi)的點N，使得P，D，Q，N四點組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的Q點和N點的坐標：若不存在，請說明理由．18．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A1,0，點B?3,0，與y(1)求拋物線的解析式及頂點坐標D；(2)如圖1，點Ex,y是線段BD上的動點（不與B，D重合），EF⊥x軸于F，設四邊形OFEC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，并求S(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+3向下平移k個單位長度，平移后的頂點為D'，與x軸的交點是A'，B19．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A3,0和點B，對稱軸是直線x=2，與y軸交于點C，點P在拋物線上（不與(1)當a=2時．①求拋物線的解析式；②點P在直線AC的下