云南省昆明市2025屆高三“三診一模”摸底診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

云南省昆明市2025屆高三“三診一模”摸底診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題及參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.已知向量，，則（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在現(xiàn)象為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知集合，，則（）A.B.C.D.4.某次測(cè)試成績(jī)，記成績(jī)120分以上為優(yōu)秀，則此次測(cè)試的優(yōu)秀率約為（）參考數(shù)據(jù)：若，則，.A.B.C.D.5.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，，則（）A.B.C.D.6.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（）A.B.C.D.7.已知一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在球的球面上，若圓錐的母線與球的半徑之比為，則圓錐與球的體積之比等于（）A.B.C.D.8.從幾何體的某一項(xiàng)頂點(diǎn)開(kāi)始，沿著棱不間斷、不重復(fù)地畫(huà)完所有棱的畫(huà)法稱為“一筆畫(huà)”，下列幾何體可以“一筆畫(huà)”的是（）二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則（）A.B.C.D.10.已知函數(shù)，則（）A.圖象關(guān)于軸對(duì)稱B.是的一個(gè)周期C.在單調(diào)遞增D.圖象恒在軸的上方11.“四葉草”形態(tài)優(yōu)美、寓意美好.已知曲線，其形態(tài)極像“四葉草”，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，則（）A.有4條對(duì)稱軸B.圍成的面積大于C.D.的面積最大值為4三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù).13.圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一，一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現(xiàn)有6枚黑色棋子和2枚白色棋子隨機(jī)排成一行，每枚棋子排在每個(gè)位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為.14.已知函數(shù)，曲線在兩點(diǎn)（不重合）處的切線互相垂直，垂足為，兩切線分別交軸于兩點(diǎn)，設(shè)面積為，若恒成立，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交的準(zhǔn)線于點(diǎn).（1）當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，求；（2）求直線的斜率；（3）若四點(diǎn)共圓，求該圓的半徑.17.如圖，四棱臺(tái)的底面為正方形，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若側(cè)面為等腰梯形，.（?。┳C明：平面平面；（ⅱ）求平面和平面夾角的余弦值.18.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）討論的單調(diào)性.19.已知數(shù)列，，，是的前項(xiàng)和.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2），求；（3）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.參考數(shù)據(jù)：.參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案DADBBACC二、選擇題題號(hào)91011答案ABCABDACD三、填空題12.113.14.1四、解答題15.解：（1）由正弦定理及二倍角公式得，∵，∴，，故，∴（2）由得，由余弦定理得，∴，故，∴的周長(zhǎng)為.16.解：（1）由題意知，拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，，∴.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，∴，，∴，直線方程為，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，直線的斜率為0，（3）由題意知，，不妨設(shè)在第一象限，∵四點(diǎn)共圓，直線平行軸，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，∴，即，∴∵，解得，故，∴.17.解：（1）證明：取中點(diǎn)為,連結(jié),,由為的中點(diǎn)得,，在四棱臺(tái)中，由已知得，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，∴平面.（2）（?。?，∴，∴，即，又，，∴平面，由平面，故平面平面.（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，四棱臺(tái)的高為，,,.設(shè)平面的法向量為，則，令得平面的一個(gè)法向量為，同理得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，∴平面和平面夾角的余弦值為.18.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴有極小值，無(wú)極大值，極小值為.（2）①當(dāng)時(shí)，，，若，，，單調(diào)遞增；若，，，單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，，，，，若，，，，單調(diào)遞增；若，，，，單調(diào)遞減；若，，，，單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，，，，若，，，，單調(diào)遞增；若，，，，單調(diào)遞減；若，，，，單調(diào)遞增.⑤當(dāng)時(shí)，，若，，，單調(diào)遞減；若，，，單調(diào)遞增.19.解：（1）由題意得，又，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，故.，則，兩式相減得，，，∴.