《線性代數(shù)》 課件 黃先開 第5章 相似對角化

《線性代數(shù)》課件第五章相似對角化§5.1相似矩陣的定義及性質(zhì)§5.2

方陣的特征值及特征向量§5.3

方陣可對角化的條件§5.4

實對稱矩陣的對角化§5.1

相似矩陣的定義及性質(zhì)一、引例

(人口遷移問題)已知某城市2015年的城市人口為500萬,農(nóng)村人口為780萬,假設(shè)每年大約有5%的城市人口遷移到農(nóng)村（95%仍然留在城市）,有12%的農(nóng)村人口遷移到城市（88%仍然留在農(nóng)村）,忽略其它因素對人口規(guī)模的影響,預(yù)測一下20年后(2035年)的人口分布．分析

用

分別表示2015年城市和農(nóng)村的人口．設(shè)

為初始人口向量,

，對2016年及后面的年份,我們用向量表示出每一年城市和農(nóng)村的人口．我們的目標(biāo)就是用數(shù)學(xué)公式表示出這些向量之間的關(guān)系．

，，，……

由已知，,一年之后,城市與農(nóng)村人口的分布分別為：因此,2016年全部人口的分布為即，其中.若人口遷移的百分比保持不變,則可以繼續(xù)得到2017年、2018年、……的人口分布公式：……,因此要預(yù)測20年后的人口分布，關(guān)鍵要計算，其中如何計算？二、相似矩陣的定義及性質(zhì)

定義1

設(shè)

，都是

階方陣,若有

階可逆矩陣

,使則稱矩陣

相似于，稱是的相似矩陣,記為

.

對

進(jìn)行運算

稱為對

進(jìn)行相似變換,可逆矩陣

稱為把

變成

的相似變換矩陣.

相似關(guān)系的三條性質(zhì):

（1）反身性:

.

（2）對稱性:若

,則

.（3）傳遞性:若,,則.

注：單位矩陣只能相似于自身.性質(zhì)1若

階方陣

與

相似,則

.

性質(zhì)2若

階方陣

與

相似,則

.

性質(zhì)3若

階方陣

與

相似,則

與相似,其中m為任意正整數(shù).

證

因

與

相似,按定義有

階可逆矩陣

,使

.故

性質(zhì)3若

階方陣

與

相似,則

與相似,其中m為任意正整數(shù).

證因

與

相似,即有可逆矩陣,使.故所以

與

相似.

推論

設(shè)

是

的一元多項式,若

階方陣

與

相似,則

的多項式

一定與

的多項式

相似.即

.

特別地,若有可逆矩陣,使

為對角矩陣,則而對于對角矩陣,有

例1對于引例1中矩陣

，取矩陣

，試計算.解

由于,故

可逆,

經(jīng)計算得記

，從而

.由推論得注（1）在引例1中即某城市2035年的城市人口約為893.92萬,農(nóng)村人口約為386.08萬．（2）求一個方陣的

次冪（如果可以）可以轉(zhuǎn)化為求對角矩陣的

次冪，例1中矩陣

求法在§5.3節(jié)中給出.

（3）相似矩陣有相同的行列式、相同的秩(其它性質(zhì)§5.2節(jié)給出).

本章接下來要討論的主要問題是：（1）方陣

滿足什么條件才能相似于對角矩陣？（2）若方陣

相似于對角矩陣,相似變換矩陣

如何求？§5.2方陣的特征值及特征向量一、特征值及特征向量的概念

定義1設(shè)

是

階方陣,若存在數(shù)

和

維非零列向量

，使則稱數(shù)

為矩陣

的特征值，稱非零向量

為

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.

（5.1）例

對于

階單位矩陣

和任一

維非零列向量,均有所以

是單位矩陣

的一個特征值,是

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.注

(1)特征值問題是針對方陣而言的.此外,特征向量

是非零向量.

(2)若向量是階方陣

對應(yīng)于特征值

的一個特征向量,則

也是

對應(yīng)于

的特征向量.

(3)若向量

與是階方陣

對應(yīng)于同一個特征值

的兩個特征向量,則

也是

對應(yīng)于

的特征向量,其中

是不全為零的任意常數(shù).

(4)特征向量不是被特征值所唯一決定的.相反,特征值卻是被特征向量所唯一決定的.

若特征向量

所對應(yīng)有兩個特征值，,即有.每一特征向量只能屬于一個特征值.

接下來討論如何求給定的

階方陣

的特征值和特征向量.

將(5.1)式改寫成

,即，

（5.2）(5.2)式說明

是

個未知數(shù)、

個方程的齊次線性方程組的非零解.而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式即.

定義2設(shè)為階方陣，記

,則稱

為矩陣

的特征多項式.方程

稱為矩陣

的特征方程.

(2)階矩陣

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有

個特征值(重根按重數(shù)計算)

.

注(1)求

的特征值就是求特征方程的解.

設(shè)

為矩陣

的一個特征值,則由方程可求得非零解

,那么

便是

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.

綜上分析,可以得到求

階方陣

的特征值和特征向量的步驟:

（1）解特征方程

,求出矩陣

的全部特征值

，

，（可能有相同的）；（2）對于每一個特征值

,求出齊次線性方程組

的一個基礎(chǔ)解系,從而得到矩陣

的對應(yīng)于特征值

的全部特征向量.

例1求§5.1節(jié)引例1中矩陣

的特征值和特征向量.

解

由矩陣

的特征方程得矩陣

的特征值為

.

當(dāng)時,解齊次線性方程組

,即易求得方程組的一個基礎(chǔ)解系

,所以

對應(yīng)的全部特征向量為（為非零常數(shù)）.

當(dāng)時,解齊次線性方程組

，即

易求得方程組的一個基礎(chǔ)解系

,所以

對應(yīng)的全部特征向量為

（為非零常數(shù)）.

由此得

的全部特征向量為

，

,其中

，.

例2求矩陣

的特征值和特征向量.

解

由矩陣

的特征方程得特征值,.

當(dāng)時,解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系為

,所以

的屬于

的特征向量為

,其中

為非零常數(shù).當(dāng)時,解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系為

,所以

的屬于

的特征向量為

,其中

為非零常數(shù).由此得

的全部特征向量為

,

其中

，

.

注在本例中,二重特征值

所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)只有一個,小于該特征值的重數(shù)2.

例3求矩陣

的特征值和特征向量.

解

由矩陣

的特征方程得特征值,.

當(dāng)時,解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系為

,.故的屬于

的特征向量為

,其中，是不全為零的常數(shù).對于,解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系為

,所以

的屬于

的特征向量為

,其中

為非零常數(shù).由此得

的全部特征向量為

，其中

，是不全為零的常數(shù)，為非零常數(shù).注在本例中,二重特征值

所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)恰好與特征值的重數(shù)相同.

例4設(shè)為階方陣,且滿足

,求

的特征值.

解

設(shè)為矩陣

的特征值,則存在

維非零列向量

,使得兩端同乘以

，有

，兩式相減,注意到

,得

，

從而又

,得

,故

的特征值為0和1.性質(zhì)

若

階方陣

與

相似,則

與的特征多項式相同.

證

因

與

相似,則有

階可逆矩陣

,使

.故=注上述結(jié)論的逆不一定成立,即特征多項式相同的的矩陣不一定相似.例如矩陣，的特征多項式都等于

，但它們顯然不相似.推論1若

階方陣

與

相似,則

與的特征值相同.

推論2若

階方陣

與對角矩陣相似,則

是的個特征值.

推論3若

階方陣

與

相似,則矩陣的主對角線上元素之和與矩陣

的主對角線上元素之和相等.

一般地,矩陣

的主對角線上元素之和稱為矩陣

的跡,記為

.故推論3的結(jié)論可簡記為

.

例5設(shè)矩陣

與

相似,其中求和的值.

解法一

因矩陣

與

相似,故與有相同的特征多項式,即得令，得,即

令，得,即

，

從而

.

解法二

因

是對角矩陣,故知

有特征值-1，2，，而特征方程為以

代入得

，由

知

有特征方程

的特征值應(yīng)為-1，2，-2,比較特征值知

.二、特征值及特征向量的性質(zhì)

性質(zhì)1

階方陣

與其轉(zhuǎn)置矩陣

有相同的特征多項式,從而也有相同的特征值.

證因為即

與其轉(zhuǎn)置矩陣

稱為有相同的特征多項式,因此它們的特征值也相同.性質(zhì)2

階方陣

的特征值為

,則（1）（2）（3）階方陣

可逆的充分必要條件是其任一特征值不等于零.

性質(zhì)3

設(shè)方陣

的特征值，非零向量

為的對應(yīng)于特征值

的特征向量,則（1）當(dāng)可逆時,

是的特征值；（2）當(dāng)可逆時,

是的特征值；（3）設(shè)是的一元多項式,則

是的特征值，

且仍為，，的分別對應(yīng)于特征值，，的特征向量.

證

由已知,有

,則（1）當(dāng)

可逆時,由

,有

,因

可逆,知

,故

所以是的特征值,

為的對應(yīng)于特征值

的特征向量.

（2）由及（1）易得是的特征值,

為的對應(yīng)于特征值

的特征向量.

（3）先證和分別是與的特征值(

為常數(shù),

為正整數(shù)).

所以和分別是與的特征值.

從而是的特征值，為對應(yīng)于特征值

的特征向量.

例6設(shè)3階方陣

的特征值為，，.求

（1）的特征值和

；

（2）的特征值和

.解（1）由性質(zhì)2（2）有

,從而由性質(zhì)3（2）可得

的特征值為

,,,故（2）記,由性質(zhì)3（3）有從而可得

的特征值為

，，，故性質(zhì)4

設(shè)是方陣

的

個特征值，依次是與之對應(yīng)的特征向量,如果

各不相等,則

線性無關(guān).

證

對特征向量的個數(shù)

用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時，因特征向量

,故只含一個向量的向量組

線性無關(guān).結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)有

個互不相同的特征值時結(jié)論成立.要證當(dāng)有

個互不相同的特征值時結(jié)論也成立,即假設(shè)向量組

線性無關(guān),要證向量組

線性無關(guān).為此,令(5.3)用左乘上式,得即（5.4）(5.4)式減去(5.3)式的

倍,得按歸納法假設(shè)

線性無關(guān).故

.而

.于是得

,代入(5.3)式得

,而

,得

.因此,向量組

線性無關(guān).性質(zhì)4

設(shè)是方陣

的個特征值，是屬于特征值

的線性無關(guān)的特征向量(),則

線性無關(guān).即把矩陣

的

個互不相同的特征值所對應(yīng)的

組各自線性無關(guān)的特征向量并在一起是線性無關(guān)的.

如例3中,特征值

對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為,.特征值

對應(yīng)的特征向量為

,由上面結(jié)論可知向量組,,仍是線性無關(guān)的.

例7設(shè)

和是方陣

的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量依次為

,，證明

不是

的特征向量，其中

且為兩個常數(shù).

證

按題設(shè),有

故用反證法,假設(shè)

是的特征向量,則應(yīng)存在數(shù)

，使于是，即因,按性質(zhì)4知，線性無關(guān),故由上式得

,又因為

且

,所以

，與題設(shè)條件

矛盾.因此

不是的特征向量.

§5.3方陣可對角化的條件對

階方陣

,若能找到相似變換矩陣

，使為對角矩陣,這稱為把

階方陣

對角化.

階方陣

滿足什么條件才能相似于對角矩陣？

定理1

階方陣

與對角矩陣相似（即能對角化）的充分必要條件是

有

個線性無關(guān)的特征向量.

證

必要性

階方陣

與對角矩陣相似,即存在可逆矩陣

,使

為對角矩陣.

把用其列向量表示為由，得.即于是有可見是的特征值,而

的列向量

就是

的對應(yīng)于特征值

的特征向量.因為矩陣

可逆,其列向量組

必線性無關(guān).

充分性設(shè)矩陣有個線性無關(guān)的特征向量

,對應(yīng)的特征值依次為

.即令（因特征向量不是唯一的,所以矩陣

也不是唯一的,并且

可能是復(fù)矩陣）,則

可逆,從而(5.5)式可改寫為

（5.5）記

,則

從而，于是階矩陣

與對角矩陣

相似.

(2)構(gòu)造可逆矩陣

，則為對角矩陣,對角線上的元素依次是特征值

.

(1)求出階方陣

的

個特征值

及對應(yīng)的

個線性無關(guān)的特征向量

.

化

階方陣

為相似對角矩陣的具體方法：注意：特征值

排列順序與特征向量

排列順序相對應(yīng).

推論

如果

階方陣有個互不相等的特征值，則與對角矩陣相似.

§5.2節(jié)例1，對于方陣

,全部特征值是

,其對應(yīng)的特征向量

,構(gòu)造可逆矩陣

，因為,所以

可對角化，從而有

，這也回答了為什么可以取矩陣

來計算§5.1節(jié)例1中

了.

例1已知矩陣

,求可逆矩陣,將矩陣

對角化.解

先求矩陣

的特征值和特征向量得矩陣

的特征值為

,

,.

將代入齊次線性方程組

得

將代入齊次線性方程組

得

,解得特征向量

.,解得特征向量

.由于特征值都是單根,所以矩陣

可以對角化.

取,則一定可逆,因此有.

將代入齊次線性方程組

得

,解得特征向量

.例2判斷下面矩陣是否能對角化？若能,將其對角化.解

（1）由特征方程（1）（2）當(dāng)時,解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系為

.當(dāng)

時,解齊次線性方程組得的特征值為

由于,故基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的向量.基礎(chǔ)解系為,.由§5.2節(jié)性質(zhì)5推廣的結(jié)論知

線性無關(guān),以它們作為列向量構(gòu)造矩陣,則注若取則（2）由§5.2節(jié)例2知,矩陣

的特征值,

.

屬于的線性無關(guān)的特征向量只有一個,為

,

屬于的特征向量為

.由于只有兩個線性無關(guān)的特征向量,故方陣

不能對角化.

例2（1）中,

的特征方程有重根,但存在3個線性無關(guān)的特征向量,所以

可以對角化；例2（2）中,

的特征方程有重根,但不存在3個線性無關(guān)的特征向量，不能對角化.

注：每一個

重特征值

,可求得

個線性無關(guān)的特征向量時,矩陣必可以對角化，否則就不可以對角化.

方陣

的特征方程有重根時,

是否可以對角化,依賴于重根所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)：齊次線性方程組

的系數(shù)矩陣的秩

，或齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)恰好等于特征值

的重數(shù)

.

定理2

階方陣

相似于對角矩陣的充分必要條件是的重特征值有

個線性無關(guān)的特征向量（）.

推論

階方陣

相似于對角矩陣的充分必要條件是的重特征值

所對應(yīng)的特征矩陣

的秩為

（）.

綜上分析,我們得出下面的結(jié)論：（1）當(dāng)方陣

的特征值全部是單根時,是可對角化的.

（2）當(dāng)方陣

的特征值有重根時,對于每一個

重根,的秩為

時,

可對角化；否則

不能對角化.

例3設(shè)

，問

為何值時,矩陣

能對角化？解得對于單根

,可求得線性無關(guān)的特征向量恰有1個,由定理2知矩陣

可對角化的充分必要條件是對應(yīng)重根

有兩個線性無關(guān)的特征向量,即方程

有兩個線性無關(guān)的解,亦即系數(shù)矩陣

的秩.

由要，得

.因此,當(dāng)

時,矩陣

能對角化.

例4設(shè)三階方陣

滿足（

）,其中列向量,

,,試求矩陣

.解

由（）,可得因為是三階方陣

的三個不同特征值的特征向量,所以

線性無關(guān),從而矩陣

可逆,于是=§5.4

實對稱矩陣的對角化定義1設(shè)

維實向量令=

,稱為向量與的內(nèi)積.

一、向量的內(nèi)積、正交向量組及正交矩陣，如果與都看成矩陣，且與都是列向量,有

.

根據(jù)內(nèi)積的定義,很容易證明內(nèi)積具有下列性質(zhì)：內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算,其結(jié)果是一個實數(shù).

設(shè)，，為維列向量,

為實數(shù),

（1）（2）（3）（4）且性質(zhì)(2)、(3)兩條稱為內(nèi)積運算的線性性質(zhì).定義2稱非負(fù)實數(shù)

為維向量

的長度.若

,則當(dāng)時,稱向量

為單位向量.

顯然

維向量

都是單位向量.

若，則是單位向量.對一個非零向量

求出單位向量

稱為把

單位化.

向量的長度具有下列性質(zhì)（，為維向量,

為實數(shù)）（1）非負(fù)性：且；（2）齊次性：

=

；（3）施瓦茨（Schwarz）不等式：

；

（4）三角不等式：

.

證（1）與（2）是顯然的,下面證明（3）和（4）.（3）先證施瓦茨不等式即

若,不等式顯然成立.若

,則

.做向量

(

),則對任意的

,一定有

,即

對任意的

均成立,而左邊是關(guān)于

的一元二次多項式,故判別式,從而（4）再利用施瓦茨不等式來證明三角不等式即

.由（3）有

(當(dāng)

時).因此有下面的定義：定義3設(shè),是兩個非零

維向量,稱為向量與的夾角.

例1設(shè)

,求向量與的夾角.

解，由定義3得定義4

設(shè)有向量

,，若,則稱向量與正交或垂直,記作

.

顯然,零向量與任意向量都正交.只有零向量才能與自己正交.例2設(shè)

,求與向量

都正交的單位向量.

解設(shè)向量

與向量

都正交,則對系數(shù)矩陣施行初等行變換,得得基礎(chǔ)解系

.取向量

,于是所求的單位向量為例如,

維單位向量組

是一個單位正交向量組.

下面討論正交向量組的性質(zhì).定義5

在

中,若

是兩兩正交的非零向量,則稱向量組

為正交向量組.若正交向量組的每個向量都是單位向量,則稱該向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組或單位正交向量組.

等式兩邊與

做內(nèi)積,得定理1若

維向量組

是正交向量組,則向量組

線性無關(guān).證

設(shè)有

,使即因為

兩兩正交,故

,所以

.又，,故

.因此向量組

線性無關(guān).

但是,上述定理的逆命題不成立,即若向量組

線性無關(guān),則它不一定是正交向量組.

如,，顯然

線性無關(guān),但是不正交.

施密特（Schmidt）正交化方法:

設(shè)維向量組

線性無關(guān),取………容易驗證

兩兩正交,且

與等價.

例3

設(shè)向量組

,用施密特正交化方法將其化為單位正交向量組.解

首先驗證向量組

線性無關(guān).因為然后將

中的每一個向量單位化,即取則就是與

等價的單位正交向量組.

所以向量組

線性無關(guān).

其次正交化.取

，，則向量

是正交向量組.最后單位化.取則向量組

是與向量組

等價的單位正交向量組.

注單位正交化的過程一定是先正交化后再單位化,反之不對.例4已知

求一組非零向量

使

兩兩正交.解令,由題意

應(yīng)滿足方程

,即它的基礎(chǔ)解系為，其中

于是得將基礎(chǔ)解系正交化,即為所求.取定義6若

階實矩陣滿足

例如,

，，都是正交矩陣.

則稱

為正交矩陣.

由正交矩陣的定義知,正交矩陣

一定可逆,且

.可以證明，正交矩陣有下列性質(zhì)：（1）若為正交矩陣,則

的逆矩陣

也是正交矩陣；（2）若和都是正交矩陣,則

也是正交矩陣；（3）若為正交矩陣,則

或.

定理2

階實矩陣

為正交矩陣的充分必要條件是

的列（行）向量組為單位正交向量組.

證設(shè)的列向量組為

,則而于是

即為單位正交向量組.

同理可證：

為正交矩陣的充分必要條件是

的行向量組為單位正交向量組.

.

定義7若為正交矩陣,則線性變換

稱為正交變換.

設(shè)為正交變換,則有由于表示向量的長度,相當(dāng)于線段的長度,因此

說明經(jīng)正交變換后線段長度保持不變,這是正交變換的優(yōu)良特性.

二、實對稱矩陣的對角化定理3實對稱矩陣的特征值必為實數(shù).

證

設(shè)復(fù)數(shù)為階實對稱矩陣

的特征值,復(fù)向量為對應(yīng)的特征向量,即用表示的共軛復(fù)數(shù),

表示

的共軛復(fù)向量,而

為實對稱矩陣,有

=

,故

.于是有及兩式相減,得但因

,所以

故,即

，這就說明

是實數(shù).

不同的特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).對于實對稱矩陣來說,不同的特征值所對應(yīng)的特征向量不僅線性無關(guān)而且正交.

定理4設(shè)

是實對稱矩陣

的兩個特征值,

是對應(yīng)的特征向量,若

,則

與正交.

證

由已知有

，，因?qū)ΨQ,故

,于是即但,故

,即

與

正交.

例5已知

，是實對稱矩陣

的三個特征值,且對應(yīng)的特征向量為

，