考點01集合（4種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁考點01集合（4種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算．【知識點】1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集{x|x∈U，且x?A}?UA常用結(jié)論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.【核心題型】題型一集合的含義與表示解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．【例1】下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】選項A：兩個集合中元素對應(yīng)的坐標不同，A錯誤；選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤；選項D：是以0為元素的集合，是數(shù)字0，D錯誤.故選：B【變式1】已知集合，若下列三個關(guān)系有且只有一個正確：①；②；③，則（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】B【分析】根據(jù)集合相等的定義分類討論進行求解即可.【詳解】假設(shè)①，②錯，③對，因為，所以有，此時；假設(shè)①，③錯，②對，因為錯，必有，而，不符合集合元素的互異性，假設(shè)不成立；假設(shè)②，③錯，①對，因為錯，所以，因為錯，所以對，而對，因此只能，不符合集合元素的互異性，假設(shè)不成立，綜上所述：，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用假設(shè)法、應(yīng)用集合元素的互異性進行判斷.【變式2】（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目條件得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得且，解得．故選：A【變式3】（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合，，則集合的非空子集個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．8 D．7【答案】B【分析】由題意化簡集合，得，由此即可進一步求解.【詳解】因為，，因此．故該集合的非空子集個數(shù)為個.故選：B．題型二集合間的基本關(guān)系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．【例2】在集合的子集中，含有3個元素的子集的個數(shù)為.【答案】35【分析】根據(jù)給定條件，利用子集的意義，借助組合列式計算即得.【詳解】集合中有7個元素，所以含有3個元素的子集的個數(shù)為.故答案為：35【變式1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知集合，若，則.【答案】2【分析】根據(jù)交集結(jié)果可知，結(jié)合子集關(guān)系分析求解.【詳解】因為，可得，可知，且，所以.故答案為：2.【變式2】集合，，且，則實數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)集合關(guān)系，可得，從而可求解.【詳解】由題意得，則，解得.故答案為：.【變式3】若集合，則實數(shù)a的值的集合為．【答案】【分析】分與兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案.【詳解】當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得；綜上可知，a的值的集合為．故答案為：．題型三集合的基本運算命題點1集合的運算【例3】（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知集合，集合，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)給定條件把集合B寫成用形式表示的集合，再與集合A求交集即可.【詳解】依題意，，而，所以，.故選：A【變式1】（2024·云南紅河·二模）設(shè)集合，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的運算性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】由得，所以，.故選：A.【變式2】（23-24高一上·陜西寶雞·期中）已知則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知集合的交集及補集定義運算即得．【詳解】因則,故.故選：D．命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．【例4】（2024·四川涼山·二模）已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)值域化簡集合A，再利用給定的運算結(jié)果，借助包含關(guān)系求解即得.【詳解】集合，而，由，得，則，所以的取值范圍為.故選：B【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩集合的元素特征和中只有2個元素的要求，可得到關(guān)于的不等式組，解之即得.【詳解】因為，，又，中有2個元素，所以中的2個元素只能是，則，解得.故選：A.【變式2】．已知集合，或，．(1)求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的運算求出；（2）先求出，再求出，再由充分不必要條件構(gòu)造關(guān)于的方程組，解出即可.【詳解】（1）因為，又，所以.（2）或，所以，因為“”是“”的充分不必要條件，則，又，所以.題型四集合的新定義問題解決集合新定義問題的關(guān)鍵解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．【例5】（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）對于全集R的子集A，定義函數(shù)為A的特征函數(shù)．設(shè)A，B為全集R的子集，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義進行驗證．【詳解】選項A，，若，則，此時，若且，則，，若，則，則，所以成立，A正確；選項B，由補集定義知時，，，同樣知時，，，所以，B正確；選項C，時，必有且，因此，當(dāng)時，與中至少有一個成立，因此，而與至少有一個成立，綜上有，C正確；選項D，當(dāng)時，若，則，，，因此，此時不成立，D錯誤．故選：D．【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）定義，若集合，則A中元素的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用集合的新定義找到符合條件的元素個數(shù)即可.【詳解】由題知y的可能取值有，，，0，1，2，3，則集合A中有7個元素.故選：B.【變式2】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個數(shù)是（

）個．A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】先確定集合有四個元素，則可得其非空子集的個數(shù).【詳解】根據(jù)題意，，則集合的非空子集的個數(shù)是.故選：B【變式3】已知實數(shù)集滿足條件:若，則，則集合中所有元素的乘積為（

）A．1 B． C． D．與的取值有關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)題意，遞推出集合A中所有元素，可得答案．【詳解】由題意，若，，，，，綜上，集合.所以集合A中所有元素的乘積為.故選：A.【課后強化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．下列說法中正確的是（

）A．1與表示同一個集合B．由1，2，3組成的集合可表示為或C．方程的所有解的集合可表示為D．集合可以用列舉法表示【答案】B【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念以及表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】對于A，1不能表示一個集合，故錯誤；對于B，因為集合中的元素具有無序性，故正確；對于C，因為集合的元素具有互異性，而中有相同的元素，故錯誤；對于D，因為集合中有無數(shù)個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.故選：B.2．（2024·福建廈門·二模）設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（

）A．60 B．100 C．120 D．130【答案】D【分析】明確集合中滿足的含義，結(jié)合組合數(shù)的計算，即可求得答案.【詳解】由題意知集合中滿足的元素的個數(shù)，即指中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3，故滿足條件的元素的個數(shù)為（個），故選：D3．集合的子集的個數(shù)是（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】D【分析】首先判斷出集合有2個元素，再求子集個數(shù)即可.【詳解】易知集合有2個元素，所以集合的子集個數(shù)是.故選：D.4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知全集，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖，即可求解.【詳解】如圖，畫出圖，并將條件中的集合標在圖中，

如圖，集合．故選：C二、多選題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，為集合的個不同子集，為了表示這些子集，作行列的數(shù)陣，規(guī)定第行第列的數(shù)為．則下列說法中正確的是（

）A．?dāng)?shù)陣中第一列的數(shù)全是0，當(dāng)且僅當(dāng)B．?dāng)?shù)陣中第列的數(shù)全是1，當(dāng)且僅當(dāng)C．?dāng)?shù)陣中第行的數(shù)字和表明集合含有幾個元素D．?dāng)?shù)陣中所有的個數(shù)字之和不超過【答案】ABD【分析】由集合的子集的概念和規(guī)定第行與第列的數(shù)為，對選項一一判斷即可．【詳解】選項A：數(shù)陣中第一列的數(shù)全是，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，，故A正確．選項B：數(shù)陣中第列的數(shù)全是1，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，，故B正確．選項C：數(shù)陣中第列的數(shù)字和表明集合含有幾個元素，故C錯誤．選項D：當(dāng)，，，中一個為本身，其余個子集為互不相同的元子集時，數(shù)陣中所有的個數(shù)字之和最大，且為，故D正確.故選：ABD6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（

）A．，是一個戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素【答案】BD【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結(jié)合選項，分別舉例，判斷正誤.【詳解】對于A，因為，，所以，故A錯誤；對于B，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時沒有最大元素，有一個最小元素為0，故B正確；對于C，若有一個最大元素，有一個最小元素，則不能同時滿足，，故C錯誤；對于D，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時沒有最大元素，也沒有最小元素，故D正確．故選：BD.三、填空題7．已知集合，且，則．【答案】2【分析】根據(jù)集合自己的概念即可求解．【詳解】∵，且，∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2．故答案為：2四、解答題8．已知集合，，全集，且，(1)求集合；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)補集的定義和運算即可求解；（2）根據(jù)交集的定義和運算即可求解.【詳解】（1）因為，所以.（2），由（1）知，.9．已知集合，.(1)求及；(2)求.【答案】(1)，(2)【分析】利用交集，并集及補集運算直接求解.【詳解】（1）集合，,故，（2）.【綜合提升練】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數(shù)軸得到關(guān)于的不等式組，解之即得.【詳解】或，或，又，解得.故選:D.2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的并集與補集運算即可.【詳解】因為，所以，又，所以．故選：D.3．（23-24高三下·湖北·階段練習(xí)）已知集合，，若定義集合運算：，則集合的所有元素之和為（

）A．6 B．3 C．2 D．0【答案】A【分析】計算出的所有取值即可得.【詳解】可為、，可為、，有、、，故，所以集合的所有元素之和為6.故選：A．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析集合A可知或，結(jié)合并集和補集的定義與運算即可求解.【詳解】對于集合中的元素，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，所以或或，故.故選：B．5．設(shè)全集，集合．集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求集合，再結(jié)合集合間的運算求解.【詳解】因為等價于，解得，即，又因為，可得，所以.故選：D.6．（2024·陜西咸陽·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計算出集合、后，借助補集定義及交集定義即可得.【詳解】由，即，解得，故，由，可得，即或，故，故.故選：B.7．已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（

）A．①對②對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①錯②錯【答案】A【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷②是真命題.【詳解】因為若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，所以，，因為，滿足其中且，所以，因為，且，，所以，因為，，，所以，故①對；下面討論元素與集合的關(guān)系，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，所以；當(dāng)時，，，，所以；當(dāng)時，，，，所以；依次類推，當(dāng)時，，，，所以，則，故②對.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.8．已知函數(shù)，為高斯函數(shù)，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，.記，，則集合，的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分別求出集合，然后利用集合的交集運算從而求解.【詳解】由題意得，所以，因為，所以，所以，所以，，當(dāng)時，，，此時，當(dāng)時，，，此時，當(dāng)時，，此時，綜上：，所以，故C正確.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)高斯函數(shù)對分情況討論具體的取值求出集合，從而求解.二、多選題9．若全集，，，則集合等于（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)交并補的混合運算逐個選項判斷即可.【詳解】對A，，，故，故A錯誤；對B，，故，故B正確；對C，，故，故C正確；對D，，故，故D正確.故選：BCD10．（2024·遼寧遼陽·一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】求出集合，根據(jù)集合的運算即可判斷A，B；結(jié)合，可判斷C；由，結(jié)合判別式，可求得a的范圍，即可判斷D.【詳解】由題意得，故，，A錯誤，B正確；由于，故，則，C正確；若，則能取到所有的正數(shù)，即，則或，即，D正確，故選：BCD11．已知集合滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，則中的元素的個數(shù)為1B．若，則中的元素的個數(shù)為15C．若，則中的元素的個數(shù)為45D．若，則中的元素的個數(shù)為78【答案】BCD【分析】對于A，由集合的定義即可列舉出集合中所有的元素即可判斷；對于B，中的元素均為正奇數(shù)，對分類討論即可驗算；對于C，原問題等價于將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法即可驗算；對于D，原問題等價于將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法驗算即可.【詳解】由題意得，所以中的元素的個數(shù)為，A錯誤.由題意得中的元素均為正奇數(shù)，在中，當(dāng)時，有共5個元素，當(dāng)時，有共4個元素，當(dāng)時，有共3個元素，當(dāng)時，有共2個元素，當(dāng)時，有共1個元素，所以中的元素的個數(shù)為，B正確.，可轉(zhuǎn)化為將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為45，C正確.，可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為，D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷CD選項的關(guān)鍵是將問題進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，并利用隔板法，由此即可順利得解.三、填空題12．已知集合，，若，則的最大值為．【答案】【分析】依題意可得，即可求出的取值范圍，從而得解.【詳解】因為，且，所以，則，所以的最大值為.故答案為：13．（2024·廣東湛江·一模）已知全集為實數(shù)集，集合，，則．【答案】【分析】解不等式可分別求得集合，根據(jù)并集和補集定義可得到結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得：，即，，.故答案為：.14．（2024·遼寧·一模）已知集合，，則，.【答案】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故答案為：；四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A?B，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】[1，＋∞).【詳解】解：若A＝?，則Δ＝4－4a＜0，解得a＞1；若1∈A，由1－2＋a＝0得a＝1，此時A＝{1}，符合題意；若2∈A，由4－4＋a＝0得a＝0，此時A＝{0，2}，不符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).【考查意圖】利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍．16．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.(1)求集合M；(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)[3，5](2)（－∞，2]【詳解】（1）由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，所以A＝[－1，5].由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞）.所以M＝[3，5].（2）因為M∩C＝M，所以M?C，則解得a≤2.故實數(shù)a的取值范圍是（－∞，2].17．已知為實數(shù)，設(shè)集合．(1)設(shè)集合，若，求實數(shù)的取值范圍．(2)若集合，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)包含關(guān)系可得，故可求參數(shù)的取值范圍.（2）根據(jù)解集為可得判別式的符號，故可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），因為，故，故即.（2）因為，故即在上恒成立，故，故.18．對于集合，定義函數(shù)．對于兩個集合，定義集合．已知集合．(1)求與的值；(2)用列舉法寫出集合；(3)用表示有限集合所包含元素的個數(shù)．已知集合是正整數(shù)集的子集，求的最小值，并說明理由.【答案】(1)，；(2)；(3)4.【分析】（1）根據(jù)給定的定義計算即得.（2）求出，再結(jié)合定義及運算寫出集合.（3）根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案.【詳解】（1）依題意，，所以，.（2）由，得，因此屬于不屬于的元素為，屬于不屬于的元素為，所以.（3）依題意，對于集合，，①若且，則，②若且，則，因此要使的值最小，3，5，9一定屬于集合，是否屬于集合不影響的值，集合不能含有之外的元素，所以當(dāng)為集合的子集與集合的并集時，取得最小值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及集合新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義進行集合的分拆并結(jié)合集合元素的性質(zhì)、包含關(guān)系以及集合運算等知識綜合解決.19．對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．(1)設(shè)，請寫出向量集Y并判斷X是否具有性質(zhì)P（不需要證明）．(2)若，且集合具有性質(zhì)P，求x的值；(3)若X具有性質(zhì)P，且，q為常數(shù)且，求證：．【答案】(1)，具有性質(zhì)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)向量集Y的定義，結(jié)合的元素，直接寫出，再判斷是否滿足性質(zhì)即可；（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，任取，，討論的取值，結(jié)合的范圍，即可求得的取值；（3）根據(jù)性質(zhì)的定義推出為定值，結(jié)合，即可推證.【詳解】（1）根據(jù)向量集的定義可得：，若，則存在，使得，同理亦可證明對任意，也滿足性質(zhì)，故具有性質(zhì)P．（2）對任意a，，都存在c，，使得，即對于，都存在，使得，其中a，b，c，，因為集合具有性質(zhì)P，選取，，則有，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，滿足，故；經(jīng)檢驗，集合具有性質(zhì)P．（3）證明：取，設(shè)且滿足，由得，從而s，t異號，∵－1是x中唯一的負數(shù)，∴s，t中一個為－1，另一個為1，故．因為，所以，X具有性質(zhì)P，取，，設(shè)，因為，且c，d中的正數(shù)大于等于1，所以只能，所以，．又X中只有個大于1的正數(shù)，即，且，這個大于1的正整數(shù)都屬于集合X，所以只能，，…，即，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題第三問的關(guān)鍵是能夠根據(jù)性質(zhì)的定義，推出，以及為定值，進而根據(jù)X中只有個大于1的正數(shù)解決問題.【拓展沖刺練】一、單選題1．（2023·上海寶山·一模）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且.現(xiàn)有如下兩個命題:①；②集合.則下列選項中正確的是（

）A．①是真命題，②是真命題； B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題； D．①是假命題，②是假命題.【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷②是真命題.【詳解】因為若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，所以，，因為，滿足其中且，所以，因為，且，，所以，故①是假命題；記，當(dāng)時，，因為，，，所以；下面討論元素與集合的關(guān)系，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，所以，當(dāng)時，，，，所以，當(dāng)時，，，，所以，依次類推，當(dāng)時，，，，所以，下面討論時，集合中元素與集合的關(guān)系，因為，有，，且，所以，綜上所述，，有，即，故②是真命題.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.2．已知函數(shù)，若非空集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨設(shè)的解集為，從而得，進而得到且，又，為方程的兩個根，可得，由此得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.．【詳解】因為，不妨設(shè)的解集為，則由得，所以，又，，所以且，因為的解集為，所以是，即的兩個根，故，即，此時由，得，則，因為，顯然，且開口向上，對稱軸為，所以，則，又，解得，即.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于假設(shè)的解集為，進而得到且，從而得解.3．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：D4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合的范圍，再根據(jù)交并補和集合間的關(guān)系的定義分別判斷各選項即得.【詳解】，，因故A項錯誤；由，知B項錯誤；由知C項錯誤；因，故D項正確.故選：D.5．（23-24高三上·上?！て谥校┰O(shè)且，n為正整數(shù)，集合．有以下兩個命題：①對任意a，存在n，使得集合S中至少有2個元素；②若存在兩個n，使得S中只有1個元素，則，那么（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①、②都是假命題 D．①、②都是真命題【答案】A【分析】對于①命題，令函數(shù)，分和兩種情況，利用零點存在定理得即可判斷；對于②命題，通過舉例說明.【詳解】對于①命題，設(shè)，令函數(shù)，因為，，所以存在有，當(dāng)時，，所以存在有，對于，因為是偶函數(shù)，所以和情況一樣，故①是真命題；對于②命題，通過①得出一下結(jié)論：越小，集合元素數(shù)量越少，同理得出如果集合只能有一個元素，只能是的區(qū)間存在一個零點，因此先討論的零點情況（如果只有一個零點，也只有一個零點），其圖象如下圖：

即時，也滿足故②是假命題.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于零點存在定理的應(yīng)用以及由①得出的結(jié)論.二、多選題6．設(shè)集合是實數(shù)集的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點，則在下列集合中，以0為聚點的集合有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)集合聚點的定義，逐一分析每個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，從而得到答案.【詳解】對于集合，對任意的，都存在，使得，所以0是集合的聚點，A選項正確；對于集合，對于某個實數(shù)，比如，此時對任意的，都有，也就是說不可能，從而0不是集合的聚點，B選項錯誤；對于集合，對任意的，都存在，即，使，所以0是集合的聚點，C選項正確；對于集合，，隨著n增大而增大，的最小值為，故當(dāng)時，即不存在x，使得，D選項錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：集合新定義的應(yīng)用，其中解答中認真審題，正確理解集合的新定義——集合中聚點的含義，結(jié)合集合的表示及集合中元素的性質(zhì)，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力.7．下列說法正確的是（

）A．已知集合，，則B．終邊落在軸上的角的集合可表示為C．若，則D．在中，若，則為等腰三角形【答案】AC【分析】根據(jù)集合，表示終所在的位置，即可判斷A；根據(jù)角度與弧度不能混用即可判斷B；根據(jù)輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；由題意可得或，即可判斷D.【詳解】集合表示終邊落在直線上角的集合，集合表示終邊落在直線及坐標軸上角的集合，因此A正確；B選項出現(xiàn)角度與弧度混用錯誤；C選項，即，即，所以，解得，故C正確；D選項，若，因為，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故D錯誤．故選：AC.三、填空題8．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由題意分集合是否為空集進行討論，結(jié)合，列出相應(yīng)的不等式（組），從而即可得解.【詳解】集合，集合，且，若，則，即，此時滿足，即滿足題意；若，則，即，此時若要使得，則還需或，解得或，注意到此時，從而此時滿足題意的的范圍為或；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.9．（2024·四川遂寧·二模）已知等差數(shù)列的公差為，集合有且僅有兩個元素，則這兩個元素的積為．【答案】/【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】，則，其周期為，而，即最多3個不同取值，集合有且僅有兩個元素，設(shè)，則在中，或，或，又，即，所以一定會有相鄰的兩項相等，設(shè)這兩項分別為,于是有，即有，解得，不相等的兩項為，故，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題關(guān)鍵是通過周期性分析得到相等的項為相鄰的兩項，不相等的兩項之間隔一項，從而求得答案.10．（23-24高三上·江西·期末）定義：有限集合，則稱為集合的“元素和”，記為.若集合，集合的所有非空子集分別為，，…，，則.【答案】【分析】根據(jù)錯位相減可得中的元素和，根據(jù)每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，即可求解．【詳解】由題意知集合中的元素分別為，，，，，設(shè)①，則②，①②，得，所以．由于集合中每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，所以．故答案為：．四、解答題11．設(shè)自然數(shù)，由個不同正整數(shù)構(gòu)成集合，若集合的每一個非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個數(shù)(1)已知集合，集合，分別求解．(2)對于集合，若取得最大值，則稱該集合為“極異集合”①求的最大值（無需證明）．②已知集合是極異集合，記求證：數(shù)列的前項和．【答案】(1),；(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義求出集合的子集個數(shù)即可得出結(jié)果；（2）①根據(jù)元素個數(shù)可得集合共有個非空子集，的最大值為；②根據(jù)極異集合的定義，利用等比數(shù)列前項和即可得只需證明，再由元素互異性和元素的取值范圍可得結(jié)論.【詳解】（1）已知集合的非空子集有15個：計算可得，即．集合的非空子集有15個：計算可得，即（2）①集合共有個非空子集，的最大值為②，即證不妨設(shè)，即的非空子集中元素和最小的子集的為，最大的為集合是極異集合，，代表有個不同的正整數(shù)，即，所以中有個元素，由元素互異性可得又，即可得，因此數(shù)列的前項和.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于理解新的定義，并結(jié)合數(shù)列及其前項和性質(zhì)進行化簡計算，并由集合元素的互異性得出結(jié)論.12．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個元素），如果對于A中的任意兩個元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì)．(1)試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由．(2)若．證明：A不可能具有性質(zhì)．(3)若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個數(shù)的最大值．【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析(2)證明見解析(3)920【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否具有性質(zhì)即可；（2）將分為個子集，結(jié)合抽屜原理證明結(jié)論；（3）先證明連續(xù)個自然數(shù)中至多有個元素屬于，由此可得集合A中元素個數(shù)不超過個，再舉例說明存在含有個元素的滿足要求的集