專題一　第1講　函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考情分析1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)的定義域與值域、

分段函數(shù)、函數(shù)圖象的識別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、

對稱性)的綜合應(yīng)用，難度屬于中等及以上.2.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在壓軸題的位置，多與導(dǎo)

數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題相結(jié)合命題.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三函數(shù)的概念與表示函數(shù)的圖象函數(shù)的性質(zhì)專題強(qiáng)化練考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示1.復(fù)合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍即為f(g(x))的定義域.(2)若f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域.2.分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.核心提煉例1

(1)(2023·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，＋∞)，則函數(shù)F(x)＝f(2x－3)＋的定義域?yàn)锳.(2,3] B.(－2,3]C.[－2,3] D.(0,3]√√故當(dāng)x≤2時(shí)，滿足f(x)＝7－x≥5.若a>1，f(x)＝3＋logax在它的定義域上為增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，由f(x)＝3＋logax≥5，得logax≥2，∴l(xiāng)oga2≥2，若0<a<1，f(x)＝3＋logax在它的定義域上為減函數(shù)，f(x)＝3＋logax<3＋loga2<3，不滿足f(x)的值域是[5，＋∞).規(guī)律方法(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.(2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.

(1)(2023·濰坊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝

則f(8)等于A.10

B.9

C.7

D.6跟蹤演練1√則f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.(2)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“M函數(shù)”.下列為“M函數(shù)”的是A.f(x)＝sinxcosx B.f(x)＝lnx＋exC.f(x)＝2x

D.f(x)＝x2－2x√√B中，函數(shù)f(x)＝lnx＋ex的值域?yàn)镽，故B是“M函數(shù)”；C中，因?yàn)閒(x)＝2x>0，故C不是“M函數(shù)”；D中，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D不是“M函數(shù)”.考點(diǎn)二函數(shù)的圖象1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換.2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn).核心提煉

(1)(2023·寧波十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝

的圖象可能為例2√定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－ln|－x|sin(－2x)＝ln|x|sin2x＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除選項(xiàng)B，D；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，ln|x|<0，sin2x>0，所以f(x)＝－ln|x|sin2x>0，故排除選項(xiàng)C.(2)(多選)(2023·吉安模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是A.x1＋x2＝－4B.x3x4＝1C.1<x4<4D.0<x1x2x3x4≤4√√設(shè)f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，則0<t<4，則直線y＝t與函數(shù)y＝f(x)的圖象的4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x4，對于A，函數(shù)y＝－x2－4x的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，則x1＋x2＝－4，故A正確；對于B，由圖象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正確；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4≤4，由圖象可知log2x4∈(0,4)，則1<x4<16，故C錯(cuò)誤；由圖象可知－4<x1<－2，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝

－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0,4)，故D錯(cuò)誤.規(guī)律方法(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特殊點(diǎn)排除不符合要求的圖象.(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問題.

(1)(2022·全國乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[－3,3]的大致圖象，則該函數(shù)是跟蹤演練2√對于選項(xiàng)B，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，與圖象不符，故排除B；√函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.f(x－1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長度得到，故A正確；f(－x)的圖象可由f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱后得到，故B正確；由于f(x)的值域?yàn)閇0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的圖象與f(x)的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中f(|x|)的圖象不正確.當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－2x，表示一條線段，且線段經(jīng)過(－1,2)和(0,0)兩點(diǎn).考點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)).2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.核心提煉3.函數(shù)的周期性若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的周期為2|a|.4.函數(shù)圖象的對稱中心和對稱軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱.例3考向1單調(diào)性與奇偶性

(2023·泰安模擬)已知奇函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a<b<c

B.c<b<aC.b<c<a

D.b<a<c√因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)且在R上是減函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0.因?yàn)間(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因?yàn)閒(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0.即g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，因?yàn)?＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，所以g(3)<g(log25.1)<g(20.8)，即b<a<c.例4

(多選)(2023·鹽城統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列說法正確的有A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)對稱C.函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)D.函數(shù)g(x)是以6為周期的周期函數(shù)√√考向2奇偶性、周期性與對稱性對于A選項(xiàng)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).由f(x)＋g(2－x)＝1，可得f(－x)＋g(2＋x)＝1，可得g(2＋x)＝g(2－x)，所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，因?yàn)間(x)－f(x－4)＝3，則g(2－x)－f(－2－x)＝3，又因?yàn)閒(x)＋g(2－x)＝1，可得f(x)＋f(－2－x)＝－2，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)對稱，B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＋f(－2－x)＝－2，則f(x)＋f(x＋2)＝－2，從而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，則f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，C正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)間(x)－f(x－4)＝3，且f(x)＝f(x－4)，所以g(x)－f(x)＝3，又因?yàn)閒(x)＋g(2－x)＝1，所以g(x)＋g(2－x)＝4，又因?yàn)間(2－x)＝g(2＋x)，則g(x)＋g(x＋2)＝4，所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝4，故g(x＋4)＝g(x)，因此函數(shù)g(x)是周期為4的周期函數(shù)，D錯(cuò)誤.二級結(jié)論(2)若f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和x＝b對稱，則f(x)的周期為2|a－b|.(3)若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x＝b對稱，則f(x)的周期為4|a－b|.

(1)(2023·林芝模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞減，且f(x＋2)為偶函數(shù)，則不等式f(x－1)>f(2x)的解集為跟蹤演練3√∵函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，又∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴由f(x－1)>f(2x)得|(x－1)－2|>|2x－2|，(2)(多選)已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，則下列結(jié)論正確的是A.g′(x)為奇函數(shù)

B.f(2)＝2C.g′(2)＝2 D.f(2022)＝2√√√∵g(x)為偶函數(shù)，∴g(－x)＝g(x)，∴－g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)為奇函數(shù)，故A正確；又f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，解得f(2)＝2，g′(2)＝0，故B正確，C錯(cuò)誤；∵f(x)－g′(4－x)＝2，∴f(x＋4)－g′(－x)＝2，又g′(x)為奇函數(shù)，則f(x＋4)＋g′(x)＝2，又f(x)＋g′(x)＝2，∴f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(2022)＝f(2)＝2，故D正確.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題12345678910111213141516√12345678910111213141516D滿足①，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝ln(1－x)單調(diào)遞減，也滿足②.B不滿足①；12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516函數(shù)定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，函數(shù)為奇函數(shù)，排除B，D；故f(3)>f(4)，排除A.4.(2023·天津)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為12345678910111213141516√12345678910111213141516由題圖知，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且f(－2)＝f(2)<0，A，B為奇函數(shù)，排除；5.(2023·新高考全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√1234567891011121314151612345678910111213141516函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以a的取值范圍是[2，＋∞).√1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閒(2a－1)－1≤0?f(2a－1)≤1.①當(dāng)2a－1≥1時(shí)，f(2a－1)≤1恒成立.123456789101112131415167.(2023·大連模擬)已知對于每一對正實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)f(x)都滿足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，則滿足f(n)＝n(n∈N*)的n的個(gè)數(shù)是A.1

B.2

C.3

D.4√令y＝1得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－x－1，即f(x＋1)－f(x)＝x＋2，故當(dāng)x∈N*時(shí)，f(x＋1)－f(x)>0，又f(1)＝1，f(2)＝4，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上單調(diào)遞增，所以滿足f(n)＝n(n∈N*)僅有f(1)＝1，即n僅有1個(gè).12345678910111213141516√12345678910111213141516因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)中心對稱，所以f(x＋3)＝－f(－x＋3)，則f(x)＝－f(－x＋6)，所以f′(x)＝f′(－x＋6)，即g(x)＝g(－x＋6)，所以g(x＋3)＝g(－x＋3)，所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱.12345678910111213141516所以g(x)的周期為T＝3.12345678910111213141516又g(3)＝－3，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＝1.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·大同模擬)十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”D(x)＝

它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)f(x)＝x2－D(x)，則下列函數(shù)f(x)的函數(shù)值可能是A.3 B.2C.1 D.012345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516√√12345678910111213141516當(dāng)－2≤x<1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,4]，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝－x＋2的值域?yàn)?－∞，1]，故f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，故B正確；當(dāng)x≥1時(shí)，令f(x)＝－x＋2＝2，無解，當(dāng)－2≤x<1時(shí)，令f(x)＝x2＝2，得到x＝

，故C正確；當(dāng)－2≤x<1時(shí)，令f(x)＝x2<1，解得－1<x<1，當(dāng)x≥1時(shí)，令f(x)＝－x＋2<1，解得x>1，故f(x)<1的解集為(－1,1)∪(1，＋∞)，故D錯(cuò)誤.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516對于A，f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；對于B，對于任意的x∈R，12345678910111213141516所以π為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，故2π不是函數(shù)f(x)的最小正周期，故C錯(cuò)誤；所以函數(shù)f(x)的最小值為2，故D正確.12.(2023·嘉興模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，則下列結(jié)論一定正確的是A.f(1－x)＋f(1＋x)＝3B.f′(2－x)＝f′(2＋x)C.f′(f(1－x))＝f′(f(1＋x))D.f(f′(x＋2))＝f(f′(x))√12345678910111213141516√√f(2x)＋f(2－2x)＝3，令x＝2x，得f(x)＋f(2－x)＝3，令x＝x＋1，得f(1－x)＋f(1＋x)＝3，故A正確；由選項(xiàng)A的分析知f(x)＋f(2－x)＝3，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得f′(x)－f′(2－x)＝0，即f′(x)＝f′(2－x)，

①又f′(x)＝f′(－x)，f′(x)為偶函數(shù)，所以f′(2－x)＝f′(x－2)，

②由①②得f′(x)＝f′(x－2)，所以函數(shù)f′(x)的周期為2.12345678910111213141516所以f′(2－x)＝f′(x)＝f′(2＋x)，即f′(2－x)＝f′(2＋x)，故B正確；由選項(xiàng)B的分析知f′(2－x)＝f′(2＋x)，則函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱.12345678910111213141516由選項(xiàng)B的分析可知函數(shù)f′(x)的周期為2，則f′(x)＝f′(x＋2)，所以f(f′(x))＝f(f′(x＋2))，故D正確.1234567891011121314151612345678910111213141516三、填空題13.(2023·全國甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋為偶函數(shù)，則a＝_____.2＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2