2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊復(fù)習(xí)課教案含解析新人教B版必修4

PAGE1-模塊復(fù)習(xí)課(老師用書獨(dú)具)(老師用書獨(dú)具)一、弧度制與隨意角的三角函數(shù)1．角的概念經(jīng)過推廣以后，包括正角、負(fù)角、零角．2．按角的終邊所在位置可分為象限角和坐標(biāo)軸上的角(又叫象限界角)．3．與角α終邊相同的角可表示為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．4．角度制與弧度制的換算關(guān)系是180°＝π.5．扇形弧長公式是：l＝αr，扇形面積公式是S＝eq\f(1,2)lr.6．三角函數(shù)在各象限的符號可簡記為一全正，二正弦，三正切，四余弦．7．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).8．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式都可表示為eq\f(kπ,2)±α，k∈Z的形式，可簡記為奇變偶不變，符號看象限．二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．正弦函數(shù)(1)定義域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.(2)單調(diào)增區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))k∈Z；單調(diào)減區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))k∈Z.2．余弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；單調(diào)減區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.3．正切函數(shù)(1)定義域：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).(2)單調(diào)增區(qū)間：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.4．對于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，應(yīng)明確A，ω確定“形變”，φ，k確定“位變”，A影響值域，ω影響周期，A，ω，φ影響單調(diào)性．針對x的變換，即變換多少個單位長度，向左或向右很簡單出錯，應(yīng)留意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)分．5．由已知函數(shù)圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式時常用的解題方法是待定系數(shù)法．由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定φ.但由圖象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一的解．否則φ的值不確定，解析式也就不唯一．三、向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算1．零向量與單位向量(1)長度為0的向量叫做零向量，規(guī)定零向量與隨意向量平行．(2)長度等于一個單位的向量叫單位向量，單位向量有多數(shù)個．2．相等向量、相反向量與共線向量(1)長度相等方向相同的向量叫相等向量．(2)與向量a方向相反且等長的向量叫做向量a的相反向量．(3)向量的基線相互平行或重合，稱這些向量共線或平行．3．向量的加法與減法(1)向量的加法滿意三角形法則與平行四邊形法則．(2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))它表示向量減法的幾何意義，可簡記為“終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量”．4．?dāng)?shù)乘向量與數(shù)量積運(yùn)算實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且λa的長|λa|＝|λ||a|，a·b＝|a||b|cosθ.四、平行向量基本定理與平面對量基本定理1．假如a＝λb，則a∥b，反之，假如a∥b且b≠0，則肯定存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.2．假如e1和e2是一個平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實(shí)數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.3．直線l的向量參數(shù)方程eq\o(OP,\s\up8(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(OB,\s\up8(→)).五、向量的運(yùn)算律與坐標(biāo)運(yùn)算1．向量的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)安排律(λ＋u)a＝λa＋ua，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實(shí)數(shù)λ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))，a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)，a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.六、三角恒等變換1．和角公式(1)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β.(2)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．倍角公式與半角公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α，(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，(4)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(1－cosα,sinα)＝eq\f(sinα,1＋cosα).3．協(xié)助角公式f(x)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)．1．鈍角是其次象限角． (√)[提示]鈍角的范圍是大于90°而小于180°，始邊與x軸正半軸重合時，終邊落在其次象限，因此鈍角是其次象限角．2．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長短有關(guān)． (×)[提示]依據(jù)角度、弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小都與圓的半徑長短無關(guān)，而與弧長與半徑的比值有關(guān)，所以錯誤．3．已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0. (√)[提示]當(dāng)α為三角形的內(nèi)角時，0°<α<180°，由三角函數(shù)的定義知sinα>0.4．三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值． (×)[提示]三角函數(shù)線表示軸上的向量，不僅有大小，也有方向，三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．5．對隨意角α，eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝taneq\f(α,2)都成立． (×)[提示]由正切函數(shù)的定義域知α不能取隨意角，所以錯誤．6．若cosα＝0，則sinα＝1. (×)[提示]由同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1知，當(dāng)cosα＝0時，sinα＝±1.7．誘導(dǎo)公式中角α是隨意角． (√)[提示]在誘導(dǎo)公式中，角α沒有限定條件，也就是α為隨意角．8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))>0，則θ是第一象限角． (×)[提示]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ<0,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0))，所以θ為其次象限角．9．畫正弦函數(shù)圖象時，函數(shù)自變量通常用弧度制表示． (√)[提示]在平面直角坐標(biāo)系中畫y＝sinx(x∈R)的圖象自變量x為實(shí)數(shù)，通常用弧度表示．10．函數(shù)y＝3sin(2x－5)的初相為5. (×)[提示]在y＝3sin(2x－5)中x＝0時的相位φ＝－5稱為初相，故初相為－5.11．由函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象得到y(tǒng)＝sinx的圖象，必需向左平移． (×)[提示]由函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象得到y(tǒng)＝sinx的圖象，可以把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象向右平行移動eq\f(π,3)得到y(tǒng)＝sinx的圖象，不肯定向左平移．12．函數(shù)y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2)))的圖象與函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象的形態(tài)完全一樣． (√)[提示]由正、余弦曲線可知它們的圖象形態(tài)一樣．13．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數(shù)y＝cosx的圖象． (√)[提示]函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))的圖象，因?yàn)閥＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，故正確．14．正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù)． (×)[提示]正切函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))k∈Z，只能說正切函數(shù)在每一個開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上為增函數(shù)，不能說它在整個定義域上為增函數(shù)．15．若sinα＝eq\f(1,5)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則α可表示為α＝eq\f(π,2)＋arcsineq\f(1,5).(×)[提示]∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴π－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵sinα＝sin(π－α)＝eq\f(1,5)，∴π－α＝arcsineq\f(1,5)，∴α＝π－arcsineq\f(1,5).16．向量就是有向線段． (×)[提示]向量可以用有向線段來表示，但不能說向量就是有向線段，如0就不是有向線段．17．若向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))滿意|eq\o(AB,\s\up8(→))|>|eq\o(CD,\s\up8(→))|，且eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))同方向，則eq\o(AB,\s\up8(→))>eq\o(CD,\s\up8(→)). (×)[提示]向量的模也就是向量的長度可以比較大小，但向量又具有方向性，因此向量不能比較大?。?8．兩個向量相加事實(shí)上是兩個向量的模相加． (×)[提示]向量的加法滿意三角形法則和平行四邊形法則，兩個向量的和仍是一個向量．19．對于隨意實(shí)數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b. (×)[提示]當(dāng)m＝0時，不肯定有a＝b.20．向量a與向量b平行，則a與b同向或反向． (×)[提示]a與b中若有一個為零向量，則其方向不確定．21．一個平面內(nèi)有多數(shù)對不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)全部向量的基底． (√)[提示]在平面內(nèi)，只要兩個向量不共線，它們就可作為該平面內(nèi)全部向量的基底．22．相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)． (√)[提示]相等向量長度相等，方向相同，那么坐標(biāo)明顯相同，又向量可以平移，因此與起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)．23．相等的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)肯定不同． (√)[提示]若是零向量，起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，留意零向量的特別性．24．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，則必有a1b2＝a2b1. (√)[提示]若a∥b，則a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.25．若a·b＝b·c，則肯定有a＝c. (×)[提示]當(dāng)b＝0時，滿意a·b＝b·c，但不肯定有a＝c.26．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?a1b1＋a2b2＝0. (×)[提示]當(dāng)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b為非零向量時，則a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.27．對于隨意實(shí)數(shù)α，β，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ都不成立． (×)[提示]當(dāng)α＝eq\f(π,3)，β＝－eq\f(π,3)時，cos(α＋β)＝1，cosα＋cosβ＝1，此時cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.28．對于隨意α∈R，sineq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinα都不成立． (×)[提示]當(dāng)α＝2kπ(k∈Z)時，上式成立，但一般狀況下不成立．29．taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)，只須要滿意α≠2kπ＋π，(k∈Z)． (√)[提示]taneq\f(α,2)中，eq\f(α,2)≠kπ＋eq\f(π,2)即α≠2kπ＋π，(k∈Z)，eq\f(sinα,1＋cosα)中，cosα≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．30．若x＋y＝1，則sinx＋siny≥1. (×)[提示]∵sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)＝2sineq\f(1,2)·coseq\f(x－y,2)，又0<eq\f(1,2)<eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，∴sineq\f(1,2)<sineq\f(π,6).∴2sineq\f(1,2)<2sineq\f(π,6)＝1，∴sinx＋siny＝2sineq\f(1,2)·coseq\f(x－y,2)<coseq\f(x＋y,2)≤1.∴sinx＋siny<1.1．(2024·全國卷Ⅲ)若sinα＝eq\f(1,3)，則cos2α＝()A.eq\f(8,9)B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9)D．－eq\f(8,9)B[cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(7,9).]2．(2024·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿意|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－bA．4 B．3C．2 D．0B[a·(2a－b)＝2a2－3．(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up8(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))A[由題可得eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up8(→)).]4．(2024·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．πA[法一：f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，且函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，則由0≤x＋eq\f(π,4)≤π，得－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3π,4).因?yàn)閒(x)在[－a，a]上是減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－\f(π,4)，,a≤\f(3π,4)，))解得a≤eq\f(π,4)，所以0＜a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4)，故選A.法二：因?yàn)閒(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，則由題意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥0在[－a，a]上恒成立，結(jié)合函數(shù)y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的圖象可知有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(π,4)≥0，,a＋\f(π,4)≤π，))解得a≤eq\f(π,4)，所以0＜a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4)，故選A.]5．(2024·全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，則下面結(jié)論正確的是()A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個單位長度，得到曲線C2D[因?yàn)閥＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\r