機器人學數(shù)學基礎(chǔ)

機器人學數(shù)學基礎(chǔ)杜志江科學園C1棟機器人研究所512室86414462-25duzj01@研究方向：醫(yī)療機器人智能移動機器人參考教材：付京遜《機器人學》蔡自興《機器人學》理查德·鮑爾《機器人操作手·數(shù)學·編程與控制》第2頁,共44頁，星期六，2024年，5月機器人運動學第3頁,共44頁，星期六，2024年，5月引言

機器人位置和姿態(tài)的描述機器人可以用一個開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模由數(shù)個驅(qū)動器驅(qū)動的轉(zhuǎn)動或移動關(guān)節(jié)串聯(lián)而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具，用以操縱物體人們感興趣的是操作機末端執(zhí)行器相對于固定參考坐標數(shù)的空間幾何描述，也就是機器人的運動學問題機器人的運動學即是研究機器人手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關(guān)節(jié)變量空間之間的關(guān)系第4頁,共44頁，星期六，2024年，5月運動學研究的問題Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!運動學正問題運動學逆問題第5頁,共44頁，星期六，2024年，5月機器人示例第6頁,共44頁，星期六，2024年，5月動畫示例第7頁,共44頁，星期六，2024年，5月

哈佛大學RogerBrockett建立的指數(shù)積公式運動學滾動接觸非完整控制數(shù)學基礎(chǔ)-剛體運動參考文獻：機器人操作的數(shù)學導論作者：理查德·摩雷李澤湘夏卡恩·薩斯特里翻譯：徐衛(wèi)良錢瑞明（東南大學）研究運動學的方法第8頁,共44頁，星期六，2024年，5月丹納維特（Denavit）和哈頓伯格（Hartenberg）于1955年提出了一種矩陣代數(shù)方法解決機器人的運動學問題—D-H方法具有直觀的幾何意義能表達動力學、計算機視覺和比例變換問題其數(shù)學基礎(chǔ)即是齊次變換第9頁,共44頁，星期六，2024年，5月第二章數(shù)學基礎(chǔ)—齊次坐標和齊次變換第10頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.1點和面的齊次坐標

2.1.1點的齊次坐標

一般來說，n維空間的齊次坐標表示是一個（n+1）維空間實體。有一個特定的投影附加于n維空間，也可以把它看作一個附加于每個矢量的特定坐標—比例系數(shù)

式中i,j,k為x,y,z軸上的單位矢量，a=,b=,c=，w為比例系數(shù)

顯然，齊次坐標表達并不是唯一的，隨w值的不同而不同。在計算機圖學中，w作為通用比例因子，它可取任意正值，但在機器人的運動分析中，總是取w=1

。列矩陣第11頁,共44頁，星期六，2024年，5月[例]：可以表示為：

V=[3451]T

或V=[68102]T

或V=[-12-16-20-4]T

第12頁,共44頁，星期六，2024年，5月

齊次坐標與三維直角坐標的區(qū)別V點在ΣOXYZ坐標系中表示是唯一的（x、y、z）而在齊次坐標中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V點在空間位置上不變。

第13頁,共44頁，星期六，2024年，5月

幾個特定意義的齊次坐標：[000n]T—坐標原點矢量的齊次坐標，n為任意非零比例系數(shù)[1000]T—

指向無窮遠處的OX軸[0100]T—

指向無窮遠處的OY軸[0010]T—

指向無窮遠處的OZ軸

2個常用的公式：第14頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.1.2平面的齊次坐標平面齊次坐標由行矩陣P=[abcd]來表示當點v=[xyzw]T處于平面P內(nèi)時，矩陣乘積PV=O，或記為

如果定義一個常數(shù)m=，則有：=可以把矢量解釋為某個平面的外法線，此平面沿著法線方向與坐標原點的距離為。=第15頁,共44頁，星期六，2024年，5月[例]：一個平行于x、y軸，且在z軸上的坐標為單位距離的平面P可以表示為：或

有：PV=例如：點V=[102011]T

必定處于此平面內(nèi)，而點V=[0021]T處于平P的上方點V=[0001]T處于P平面下方。因為：

與點矢相仿，平面也沒有意義第16頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.2旋轉(zhuǎn)矩陣及旋轉(zhuǎn)齊次變換

2.2.1旋轉(zhuǎn)矩陣

設(shè)固定參考坐標系直角坐標為ΣOxyz，動坐標系為ΣO′uvw，研究旋轉(zhuǎn)變換情況。①

初始位置時，動靜坐標系重合，O、O′重合，如圖。各軸對應(yīng)重合，設(shè)P點是動坐標系ΣO′uvw中的一點，且固定不變。則P點在ΣO′uvw中可表示為：

、、為坐標系ΣO′uvw的單位矢量，則P點在Σoxyz中可表示為：第17頁,共44頁，星期六，2024年，5月當動坐標系ΣO′uvw繞O點回轉(zhuǎn)時，求P點在固定坐標系Σoxyz中的位置已知：P點在ΣO′uvw中是不變的仍然成立，由于ΣO′uvw回轉(zhuǎn)，則：用矩陣表示為:（2-7）第18頁,共44頁，星期六，2024年，5月反過來：2.2.2旋轉(zhuǎn)齊次變換用齊次坐標變換來表示式（2-7）第19頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.2.3三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣和合成旋轉(zhuǎn)矩陣

三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣

即動坐標系求的旋轉(zhuǎn)矩陣，也就是求出坐標系中各軸單位矢量在固定坐標系中各軸的投影分量，很容易得到在重合時，有：第20頁,共44頁，星期六，2024年，5月由圖2-5可知，在y軸上的投影為，在z軸上的投影為,在y軸上的投影為，在z軸上的投影為，所以有：方向余弦陣第21頁,共44頁，星期六，2024年，5月同理：

三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣:

第22頁,共44頁，星期六，2024年，5月

合成旋轉(zhuǎn)矩陣:例1：在動坐標中有一固定點，相對固定參考坐標系做如下運動：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求點在固定參考坐標系下的位置。解1：用畫圖的簡單方法第23頁,共44頁，星期六，2024年，5月解2：用分步計算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）（2-14）（2-15）（2-16）第24頁,共44頁，星期六，2024年，5月

上述計算方法非常繁瑣，可以通過一系列計算得到上述結(jié)果。將式（2-14）（2-15）（2-16）聯(lián)寫為如下形式：R4x4為二者之間的關(guān)系矩陣，我們令：定義1：當動坐標系繞固定坐標系各坐標軸順序有限次轉(zhuǎn)動時，其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序左乘。注意：旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換

第25頁,共44頁，星期六，2024年，5月

平移齊次變換矩陣注意：平移矩陣間可以交換，平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換第26頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.2.4相對變換

舉例說明：例1：動坐標系∑0′起始位置與固定參考坐標系∑0重合,動坐標系∑0′做如下運動：①R(Z,90o)②R（y,90o）③Trans(4，-3,7)，求合成矩陣解1：用畫圖的方法：第27頁,共44頁，星期六，2024年，5月解2：用計算的方法根據(jù)定義1，我們有：

以上均以固定坐標系多軸為變換基準，因此矩陣左乘。如果我們做如下變換，也可以得到相同的結(jié)果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②繞當前軸轉(zhuǎn)動90o；③繞當前軸轉(zhuǎn)動90o；求合成旋轉(zhuǎn)矩陣。（2-20）第28頁,共44頁，星期六，2024年，5月解1：用畫圖的方法解2：用計算的方法（2-21）第29頁,共44頁，星期六，2024年，5月式（2-20）和式（2-21）無論在形式上，還是在結(jié)果上都是一致的。因此我們有如下的結(jié)論：動坐標系在固定坐標系中的齊次變換有2種情況：定義1：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。定義2：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉(zhuǎn)或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。結(jié)果均為為動坐標系在固定坐標中的位姿（位置+姿態(tài)）。相對于固定坐標系，

也就是說，動坐標系繞自身坐標軸做齊次變換，要達到繞固定坐標系相等的結(jié)果，就應(yīng)該用相反的順序。

第30頁,共44頁，星期六，2024年，5月右乘的意義：機器人用到相對變換的時候比較多例如機械手抓一個杯子，如右圖所示，手爪需要轉(zhuǎn)動一個角度才抓的牢，相對于固定坐標系表達太麻煩，可以直接根據(jù)手爪的坐標系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。

oH第31頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.2.5繞通過原點的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換有時動坐標系∑O′可能繞過原點O的而分量分別為rx、ry、rz的任意單位矢量r轉(zhuǎn)動φ角。研究這種轉(zhuǎn)動的好處是可用∑O′繞某軸r的一次轉(zhuǎn)動代替繞∑O各坐標軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動為推導此旋轉(zhuǎn)矩陣，可作下述變換：繞X軸轉(zhuǎn)α角，使r軸處于XZ平面內(nèi)繞Y軸轉(zhuǎn)-β角，使r

軸與OZ軸重合繞OZ軸轉(zhuǎn)動φ角繞Y軸轉(zhuǎn)β角繞X軸轉(zhuǎn)-α角第32頁,共44頁，星期六，2024年，5月由上圖容易求出：由定義1和定義2，上述5次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為：（2-25）第33頁,共44頁，星期六，2024年，5月帶入式（2-25），得由該式可以推出3個基本旋轉(zhuǎn)矩陣第34頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.2.6齊次變換矩陣的幾何意義

設(shè)T=，有一個手爪，已知其在∑O的位置，設(shè)一個該坐標系∑O′，已知，，那么∑O′在∑O中的齊次坐標變換為，如果手爪轉(zhuǎn)了一個角度，

則：第35頁,共44頁，星期六，2024年，5月T反映了∑O′在∑O中的位置和姿態(tài)，即表示了該坐標系原點和各坐標軸單位矢量在固定坐標系中的位置和姿態(tài)。該矩陣可以由4個子矩陣組成，寫成如下形式：為姿態(tài)矩陣（旋轉(zhuǎn)矩陣），表示動坐標系∑O′在固定參考坐標系∑O中的姿態(tài)，即表示∑O′各坐標軸單位矢量在∑O各軸上的投影為位置矢量矩陣，代表動坐標系∑O′坐標原點在固定參考坐標系∑O中的位置為透視變換矩陣，在視覺中進行圖像計算，一般置為0為比例系數(shù)

第36頁,共44頁，星期六，2024年，5月如果需要求解∑O在∑O′中的位置和姿態(tài)，此時的齊次變換矩陣為，即求逆矩陣：

其中：這些式子以后經(jīng)常遇到，在機器人計算中，所要求的就是齊次變換矩陣第37頁,共44頁，星期六，2024年，5月2.2.7透鏡成像的齊次變換

第38頁,共44頁，星期六，2024年，5月因此，進行機器人運動學計算時，不能省略透視矩陣，有攝像頭時，透視矩陣為

[0-0]，沒有攝像頭時為[000]。第39頁,共44頁，星期六，2024年，5月知識點：

點和面的齊次坐標和齊次變換三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸