軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)（易錯(cuò)點(diǎn)梳理+練習(xí)）帶解析-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第13講軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)易錯(cuò)點(diǎn)梳理

。?丁易錯(cuò)點(diǎn)梳理

易錯(cuò)點(diǎn)01不能正確理解對(duì)稱軸的含義

在敘述軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸時(shí)，錯(cuò)把對(duì)稱軸當(dāng)成射線或線段，導(dǎo)致敘述錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)02誤用“三線合一”

“三線合一”是等腰三角形中特殊線段具有的性質(zhì)，并不是所有的三角形的“三線”都“合一”。

易錯(cuò)點(diǎn)03在解有關(guān)等腰三角形問(wèn)題時(shí)容易漏解

在解決等腰三角形的底角、腰的問(wèn)題時(shí)漏解解決與等腰三角形的底角、腰有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，通常需要分類討

論。

易錯(cuò)點(diǎn)04在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，混淆對(duì)應(yīng)角和旋轉(zhuǎn)角

在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫作旋轉(zhuǎn)角.對(duì)應(yīng)角是指旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)角。

易錯(cuò)點(diǎn)05混淆中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)

稱.把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，能與原來(lái)位置的圖形重合，這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱圖形.兩者不可

混淆。

例題分析

考向01軸對(duì)稱

例題1：（2021?海南?三亞市崖州區(qū)崖城中學(xué)九年級(jí)期中）下列圖標(biāo)中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

的是（）

A-B'￡C

【答案】D

【思路分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖

形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原

來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形；據(jù)此判斷即可；

【解析】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不

是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形,

也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵.

例題2：（2021?河南?鄭州市第二初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)及F、G、X分別為四邊形的四邊

AB.BC、CD、D4的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH,下列說(shuō)法正確的為（）

A.一定不是平行四邊形

B.一定不是中心對(duì)稱圖形

C.當(dāng)時(shí)，它是軸對(duì)稱圖形

D.當(dāng)時(shí)，它是矩形

【答案】C

【思路分析】先連接AC,BD,EF=HG=-AC,EH=FG=：BD,可得四邊形所GH是平行四邊形可判

斷A,根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，四邊形EFGH是平行四邊形是中心對(duì)稱圖形可判斷B,當(dāng)

時(shí)，EF=FG=GH=HE,此時(shí)四邊形EFG”是菱形，據(jù)此可判斷C,只有時(shí)是矩形，當(dāng)AC與8。不

垂直時(shí)，不是矩形可判斷D即可.

【解析】解：連接AC,BD交于O,AC交G尸于DB交EF于N,如圖：

?.?點(diǎn)E、F、G、X分別為四邊形A3CO的四邊AB、BC、CD、ZM的中點(diǎn),

：.EF=HG=^AC,EH=FG=5BD,EF//AC,GF〃DB,

四邊形EFGH是平行四邊形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

???平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，

，四邊形EFGH是平行四邊形，

???四邊形EFGH是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，EF=FG=GH=HE,此時(shí)四邊形E尸是菱形，

菱形是軸對(duì)稱圖形，

菱形EFG”是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C正確；

只有AC_L2Z>時(shí)NMON=90。，

'JGF//DB,

：.AC±GF,

：.ZOMF=90°,

,：EF/7AC,

：.BDLEF,

：.ZONF=90°,

：.ZNFM=36Q°-ZMON-ZOMF-ZONF=9Q0,

平行四邊形GHEF是矩形，

當(dāng)AC與BD不垂直時(shí)，

,:GF〃DB,EF〃AC,

，四邊形為平行四邊形，NMFN=NMON,90°,即/GFEr90。，

；?平行四邊形GHEF不是矩形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的運(yùn)用，軸對(duì)稱識(shí)別，中心對(duì)稱識(shí)別，矩形判定，三角形中位線性質(zhì)

解題時(shí)注意：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理.

考向02等腰三角形

例題3：（2021?廣東?松崗實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCO中，ZABC=120°,將菱形折疊，使點(diǎn)

A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與B、D重合），折痕為EF,若DG=2,AD=6,則BE的長(zhǎng)為（）

D.

W）

'EB

57

A.-B.-C.3D.3.5

23

【答案】A

【思路分析】作EH，BO于H,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=EA,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理

得到AABD為等邊三角形，得到根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【解析】解：作EHLBD于H,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AD=AB,ZABD=ZCBD=gZABC=60°,

...△ABD為等邊三角形，

：.AB=BD=AD=6,

設(shè)BE—x,貝!JEG=AE=6-x,

在RtAEHB中，BH=』無(wú)，EH=-x,

22

在RtAEHG中，EG2=￡H2+G//2,即（6-尤）2=（^x）2+（4-5無(wú)）2,

22

解得，尤=g，

:.BE=—,

2

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜

合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

例題4：（2021?河南鎮(zhèn)平?九年級(jí)期中）如圖，？ABC中，AB^AC,平分NS4C,OE〃AC交AB于E,

貝I班,-S^ABC

A.1:4B.1:3

【答案】A

【思路分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)證明=再證明3￡=A瓦？BDE??BCA,再利用相似三角形的

面積之比等于相似比的平方，可得答案.

【解析】解：???AB=ACAD平分的C,

BD=DC,

'/DE//AC,

、BDBEi

\---=---=1.?BDE??BCA

DCAE

BE=AE,

：.DE=-AC,

2

v?BDE??BCA

「鼾之_1

SVABC4

故選A

【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的定義與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解本

題的關(guān)鍵是證明m=AE.

考向03旋轉(zhuǎn)

例題5：（2021?天津?yàn)I海新?九年級(jí)期中）如圖，在?ABC中，ABAC=15°,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將?ABC繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到?ADE,點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為￡（、￡,連接CE,若CE〃,則NCW的大小是（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【答案】D

【思路分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AC,ZDAB=ZEAC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得NAEC=NACE,

然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NACE=NC43=75。，得出NEAC=30。，于是得到結(jié)論.

【解析】解：:△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AOE,

：.AE=ACfNDAB=NEAC,

，ZAEC=ZACEf

9

：CE//ABf

：.ZACE=ZCAB=75°,

：.ZAEC=ZACE=75°,

：.ZEAC=180°-2x75°=30°,

???ZCA￡）=ZEAZ）-ZEAC=75o-30o=45o,

：.ZCAD=45°,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和，角的和差，掌

握二角形旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，等腰二角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理，二角形內(nèi)角和，角的

和差，是解題的關(guān)鍵.

例題6：（2021?遼寧大石橋?九年級(jí)期中）如圖，△ABC以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180。后得到VA2C.ED

是△ABC的中位線，經(jīng)旋轉(zhuǎn)后為線段*已知ED=2,則的值是（）

A.1B.2

【答案】C

【思路分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得即=ED=2,再根據(jù)三角形的中位線定理求解即可.

【解析】解：'.,△ABC以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180。后得到△A'B'C,ED是^ABC的中位線，經(jīng)旋轉(zhuǎn)后為

線段EO,

:.ED=ED=2,

:.BC=2ED=4,

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的中位線定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2W微練習(xí)

【答案】C

【解析】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；8、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)

稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；是軸對(duì)稱圖

形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C.

2.（2021?重慶八中九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在等腰放AABC中，=90°,AB==6+1,點(diǎn)。是AC

上一點(diǎn)，將ABCD沿8。折疊至△連接AC且滿足AC'=DC,則點(diǎn)。到AB的距離為（）

A.2B.

【答案】D

【解析】解：過(guò)。作于點(diǎn)E,

B

設(shè)NCBD=%。，則NC&D=NCBD=x。，

VZABC=90°,AB=BC,

:.ZABC=90°-2xfZBAC=ZBCA=45°,

由折疊知，AB=BC=BC,

/.ZBAC=ABCA=45。+%,

/.Z.CrAD=x,

?/AC=DC,

,\ZCAD=ZCDA=X9

?/ZBCD=ZC=45°,

?/ZCAD+ZCZM+ZACD=180。，

.,.x+x+45°+x+45°=180°,

解得，x=30°,

.\ZDBE=900-x=60°,

.\ZBDE=30°,

:.BD=2BE,

設(shè)

vZBAC=45°,

AE=DE=y,

:.BE=AB-AE=y[3+]-y,

BD=2BE=2y/3+2-2y,

BD2-BE2=DE2,

，(2肉2-2yy-(6+1-yU，

解得，y=6,或y=2g+2（此時(shí)AE>AB,舍去）,

DE=\/3,

故選：D.

3.（2021?四川錦江?九年級(jí)期末）已知，將AABC沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8落在邊AC上（如圖。），再

將/CA。對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,折痕為斯（如圖b）,再沿AE所在直線剪下，則陰影部分展開(kāi)后的

形狀為（）

A

丁仁

D

BD--------cC

圖（a）圖(b)

A.等腰三角形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】c

【解析】解：陰影部分展開(kāi)后如圖所示，

BDC

由折疊可得，ZAFE=ZA'F￡=90°,AF=A'F,EF=EF,

與EE互相平分，AA'±EE,

四邊形AEAE是菱形，

故選：C.

4.（2021?江蘇宿遷?九年級(jí)期中）如圖，BD、CE是?ABC的高，M是3c的中點(diǎn)，ZA=70°,則NOME的

度數(shù)為（）

A

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】解：?.,NA=70。，

，ZABC+ZACB=180°-ZA=110°,

?：CE和BD分別是△ABC的高，

???ZCEB=ZBDC=90°,

???"是3C的中點(diǎn)，

??.EM=BM=CM=-BC,

2

ZMEB=ZMBE,/MDC=/MCD,

：.ZBME=180°-ZMBE-ZMEB=180°-2ZMBE,

同理NCMD=180°-2ZMCD,

AZEMD=1SO°-ZBME-ZCMD=1SO0-(180°-2ZMC￡>)-(180°-2ZMBE)

=2(/MCD+/MBE)-180°

=220°-180°

=40°,

故選B.

A

5.（2021?福建?浦城縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，￡4=4,將△RLB

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4PMC,則PF的長(zhǎng)等于（）

3

A.4B.273D.

2

【答案】A

【解析】解：:△ABC是等邊三角形,

：.AC=AB,/048=60。，

..?將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4PiAC,

：.ACPiA^/\BPA,

：.APi=AP,ZCAPi=ZBAP,

：.ZCAB=ZCAP+ZBAP^ZCAP+ZCAPi=60°,

gpZMPi=60°,

：.AAPPi是等邊三角形，

：.PiP=B\=4,

故選：A.

6.（2021?上海市文來(lái)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，D、E、尸內(nèi)分正?ABC的三邊A3、BC、AC均為1:2兩部

分，AD,BE、C尸相交成的？PQR的面積是?ABC的面積的（）

A

ABC.一D

-:'?8-7

【答案】D

【解析】解：如圖，過(guò)。作。"http://AC,交BE于H,

設(shè)等邊三角形9C的邊長(zhǎng)為：3%

結(jié)合題意可得:BD=AF=CE=a,CD=BF=AE=2a

?BDH??BCE,?PDH??PAE

BDPHPHPD

^C~~CE'~AE~~AP"

aPD_l_1

..Uli———,————

3AP2a6

「EQFR1

同理：==一,

7BQRC6

設(shè)等邊三角形ABC的面積為：3m,

-S&BCF~2m,S4BCE=m,

6

SAAFR=y^^ACF=—m,S^—m,

ABP7

S四邊形3次?尸=—SMFR=~m=S四邊形c￡)PQ

四邊形四邊形

-S/QR—S&CBF.S^BPD一Ssp/s—S-7=-5AABC,

二？PQR的面積是?ABC的面積的;.

故選D

7.（2021?江蘇?無(wú)錫市錢橋中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊?ABC中，點(diǎn)。在邊AC上，且AD=3,

將含30。角的直角三角板（N尸=30。）繞直角頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，DE、。廠分別交邊A3、BC于P、Q.連接尸Q,

當(dāng)跖〃尸。時(shí)，長(zhǎng)為（）

A.6B.739C.10D.6石

【答案】B

【解析】解：過(guò)點(diǎn)。作QKLAC于K,

在等邊?ABC中，ZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=10,

在RtZkEFD中，NE=60°,NF=30。，

:EF//PQ,

：.ADPQ=60°,ZDQP=30°,

/.ZAPD+ZADP=ZAPD+NQPB,

ZADP=ZQPB,

又：ZA=ZB=60°,

△ADPsABPQ,

?_A_D___A__P__P_D_

??Bp-BQ—QP'

???在Rt^PQD中，ZDQP=30°,

PD=；QP,

PD1

即礦5，

.AD_APPD_1

-BP~BQ~QP~2"

*/AD=3f

??一9

BP2

???BP=6,

已知AB=10

???AP=AB-BP=10-6=4,

?__4___1_

,,蔽一5'

BQ=8,

CQ=BC-BQ=10-8=2,

在RtACQK中，NC=60°,

.??NKQC=30。，

??.KC=-=-=\,

22

DK=AC-AD-KC,

：.DK=10—3—1=6,

而sin/C=^^,

.5。K°石

??sin60=-----=—,

22

/.KQ=6,

在RtZJDQK中，DQ=^KQL+DK1,

?*-DQ=7(73)2+62=A/3+36=A/39，

即OQ=弧.

故選：B.

BQc

8.（2021?山東南區(qū)?九年級(jí)期中）如圖，在口ABCD中，ZB=60°,AB=BC,AEL2C于點(diǎn)E,連接DE,交

AC于點(diǎn)G.以。E為邊作等邊△￡>￡V,連接4尸，交。E于點(diǎn)N,交OC于點(diǎn)M,且M為A尸的中點(diǎn).在下

列說(shuō)法中：①/EAN=45。,②^AE=6CM,③SAAGE=&DGC,@AF_LDE.正確的個(gè)數(shù)有（）

B

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】解：連接CF過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)”，

B

???四邊形A3CD是平行四邊形，ZB=60°,AB=BC,

??.△ABC、△ADC者B是等邊三角形，AD//BC,

*：AE±BC,

：.BE=CE,ZBAE=ZCAE=3O°,

設(shè)BE=CE=a,貝!JAB=BC=AC=2a,

:?AE=6a,

ZADC=NEDF=60。,

：.ZADE=ZCDF,

AD=CD

在△D4E和△OCF中，＜NADE=/CDF,

ED=FD

：./\DAE^/\DCF(SAS),

：.AE=CF,/DAE=/DCF,

：.ZDCF=ZDAE=90°,

：.NAC尸=150。，

VAC^CF,

：.ZCAF^ZCFA^50,

：.ZEW45°,故①錯(cuò)誤；

VZAHM^ZFCM=90°,MA=MF,/AMH=/FMC,

：.AAHM^AFCM(AAS),

HM—CM=《。，

：.y/3CM=^a=^-AE,故②正確；

22

'：AD//BC,

?,SAAEC=SADCE,

SAAELSAGCE=SbDCE~ShGCE,

即SAAGE=S^DGC)

故③正確；

???△瓦甲是等邊三角形，

AF±DE,貝IJAF垂直平分。E,貝!|AO=AE,

顯然A6UE，故A尸與不垂直，故④錯(cuò)誤；

.?.正確的是②③，一共2個(gè)，

故選：B.

9.(2021?福建?福州十八中九年級(jí)期中)在。。中，將圓心繞著圓周上一點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度仇使旋轉(zhuǎn)后的

圓心落在。。上，則。的值可以是()

A.45°B.60°C.90°D.180°

【答案】B

【解析】解：如圖所示:

O,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AO=AO',

：.OO'=OA=AO',

為等邊三角形.

：.Q=ZOAO'=60°.

故選:B.

10.（2021?湖北哪陽(yáng)?九年級(jí)期中）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,8分別在x軸，y軸上，OA=OB=2,

AO=40，將矩形AB。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.(4,6)B.(6,4)

【答案】A

如圖，過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,連接OD,

■.■OA=OB=2,

..NASO=/BAO=45。，

四邊形A3CD是矩形

:.ZABC=90°,

:.ZDAE=45°,

???BC=AD=A41,

：.AE=DE=4,

OE—OA+AE=6,

。（一6,4）,

?.?矩形ABCD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。,

則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,6)；

則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,-4)；

則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(T,-6)；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-6,4)；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，

.-.2021-4=505……1,

則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,6).

故選：A.

n.(2021?江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中)如圖，△ABC中，AB=AC=2下,ZBAC=a°,

tanZABC=^,G為BC中點(diǎn)，。為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DG=好.將線段8。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)暖，得

到則四邊形BACB'面積的最大值為()

A

B

A.24B.25C.12D.13

【答案】A

【解析】解：如圖，連接AD,AG,過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)

VAB=AC=2A/5,BG=GC,

：.AG.LBC,

4G1

VtanZABC=——=-,

BG2

???AG=2,BG=4,

sinZABG=sin/GBH,

.GHAG

??一，

BCAB

GH_2

：.GH=,

5

VAB=AC,DB=DB',NBAC=NBDB',

：.ZABC=ZDBB',—=—,

BCBB'

ZABD=ZCBB',

/?AABD^ACBB',

,/DG力,

5

???點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心，手為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)。在8G的延長(zhǎng)線上時(shí)，△A2D的面積最大，最

...V3CB'的面積的最大值為16,

???四邊形3AC2'面積的最大值為gx8x2+16=24,

故選：A.

12.把一副三角板（如圖甲）放置，其中NACB=NZ）EC=90。，ZA=45°,ZD=30°,斜邊AB=60cm,

DC=772cm,把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到△D,CEi（如圖乙），這時(shí)A3與CDi相交于點(diǎn)0,

與DiEi相交于點(diǎn)F.則線段的長(zhǎng)為（）

A.5,011B.50cmC.5cmD.3cm

【答案】B

【解析】解：VZACB=ZDEC=90°,ZD=30°,

ZDC￡=90°-30°=60°,

ZACr>=90°-60°=30°,

;旋轉(zhuǎn)角為15。,

：.ZACDi=30°+15°=45°,

X'."ZCAB=45°,

/.△ACO是等腰直角三角形，

ZACO=ZBCO=45°,

'：CA=CB,

.,.AO=CO=；A2=3亞,

?；DC=70

:.D\C=DC=]叵,

??D]0-Jy/2-3A/2=4-\/2>

在RtAAODi中，ADi=JACP+DO=5近，

故選：B.

13.如圖，在?ABC中，/C=64。，將?ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到AAB'C且點(diǎn)。在8C上，則403

的度數(shù)為（）

B；

A.42°B.48°C.52°D.58°

【答案】C

【解析】解：?.?將?ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△AB'L,ZC=64°,

\AC=AC,ZCAC=ZBAB^ZB=ZB,

.\ZC=ZACC=64°f

ZCAC=180°-ZC-ZACC=52°,

ZBAB1=52°,

:.ZB,AD=5T,

-,ZB=ZB,ZBDC=ZRDA,

/.ZBCD=ZBAD=52°,

即N8C3的度數(shù)為52。,

故選：C.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)蜘蛛最初在點(diǎn)A（p,0）（p是常數(shù)，且p>l）,第一次爬到射線04繞O

點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。方向上的4點(diǎn)，^OAi=pOA；第二次爬到射線。4i繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。方向上的A2

點(diǎn)，且O42=pQ4i；…；第2021次爬行到A2021點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(p2021,0)

D.(gp2022,_1p2022)

C.(一夕2021,0)

【答案】D

的位置為次一循環(huán),

【解析】解：由題意可得，射線。41、0A2.OA3.04、0A5、OA66

???2021：6=336...5,

???點(diǎn)^2021在第四象限，且射線042021與X軸正半軸的夾角為60°,

VA(p,0)(P是常數(shù)，且〃>1),

.\OA=pf

OA\=pOA,OA2=pOAi,.......

.\OAi=p2,OAi—p3,.......

???。4)21=，2°22,

又??,NA202iO”=60。，

???NO42021H=30。,

產(chǎn),

A2gHJO%；-OH。

=j。怎2:-g。4021>

2

又???點(diǎn)A2021在第四象限，

.??金康'-爭(zhēng)加)，

故選：D.

二、填空題

15.如圖，。。與△OAB,的邊AB相切，切點(diǎn)為2.將^OAB繞點(diǎn)2按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△O0B,使點(diǎn)

O’落在。。上，邊交線段A3于點(diǎn)C.若NA'=20。，則/OCB=

【答案】80

與△OAB的邊A3相切，切點(diǎn)為2

/.ZOBA=90°

又?:NA=20°

ZAOB=1QP

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：OB=BO',ZAW=ZABO=90°

又,：O(y=OB

???△030,為等邊三角形

/。2。'=60°

ZOBC=ZABO-ZOBO'=30°

NOCB=180°-NCOB-NOBC=80°

故答案為：80

16.(2021?廣東白云?九年級(jí)期中)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，有點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),將線段AB繞點(diǎn)8順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在了軸上，那么旋轉(zhuǎn)角是'

【答案】315或135

【解析】解：如圖，

VA(-2,0),B(0,2),

/.OA=OB=2,

AAOB是等腰直角三角形，

ZABO=ZOAB=45°,

/.ZABC'=180°-ZABO=135°

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為315。(旋轉(zhuǎn)角為360J/ABO)或135°(旋轉(zhuǎn)角為NASC)時(shí)，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在y軸上,

故答案為：315或135.

17.如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=9,AC=12,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn),

若將△CDP沿DP折疊得AEDP,若點(diǎn)E在AABC的中位線上，則CP的長(zhǎng)度為.

B

P

D

【答案】2或8-2萬(wàn)

【解析】解：①如圖，設(shè)BC邊中點(diǎn)為連接。

當(dāng)E在OM上時(shí)，

由折疊可知，CP=PE,ZC=ZDEP,

\'BC=9,AC=12,ZC=90°,

i9

：.AB=15,CM=gBC=—,

22

???CO」AC=6,

2

：.DM=—,DE=6,

2

EM——,

2

在放△PEM中，PM1=P^EM1,

93

(--CP)2=C產(chǎn)+(—)2,

22

：.CP=2；

②如圖，設(shè)AB邊的中點(diǎn)為N,連接DM

B

當(dāng)E點(diǎn)落在ON上時(shí)

BC=9,AC=12fZC=90°

9

C￡>=6,DN=-

2

由折疊可知，DE=CD,ZC=ZDEP=90°,

?:DE〃CB,

：.ZCDE=90°,

???四邊形SEP是矩形，

9

：.CP=DN=—

2

■:DE=CD,

???四邊形OCPE是正方形，

：.CP=CD=6,此時(shí)點(diǎn)E落在。N的延長(zhǎng)線上（不符合，舍去）

③如圖，設(shè)3C、A3中點(diǎn)分別為“、N,連接MN、DN,

當(dāng)E點(diǎn)落在MN上時(shí)，

由折疊可知，DE=CD,CP=PE,ZC=ZDEP=90°,

VBC=9,AC=12f

99

CM=—,CD=6,DN=—,MN=6,

在RtADEN中,。/;冷+硒2,

9

；?62=NE+(-)2,

2

:?NE=—不，

2

3

EM=6----V7,

2

在放△PEM中，PgENf+PM2,

:,CP2=(--CP)2+(6--V7)2,

22

??CP=8—2A/7；

綜上所述，。尸的值為2或8-2將，

故答案為：2或8-24.

18.(2021?重慶?字水中學(xué)九年級(jí)期中)如圖，在三角形紙片ABC中，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，連接AO,把

△ABD沿著AO翻折，得到△AED,連接CE,若BC=3不，tan/ECB=旦,則AAEC的面積為.

【答案】子

【解析】解：連接3巳過(guò)點(diǎn)。作垂足為",

:?BD=CD=^~,

2

由折疊得，BD=DE,ADLBE,

：.DE=DB=DC,

:./DBE=/DEB,ZDEC=ZDCE,

又：ZDBE+ZDEB+ZDEC+ZDCE^180°,

NBEC=90。,即BE±EC,

：.EC//AD,

??SbAEC-S^DECJ

在△DEC中，DE=DC=^-,DM上EC,

2

：.ME=MC,

9：tmZECB=^-DM

2~CM

設(shè)MC=2m,則DM=非m,

由勾股定理得，DM2+MC2=DC2,

即4加+5*=（主巨）2,解得根=也^,

22

年

MC=y/l9

：.SADEC=IECDM=N叵乂2手工小,

2222

7

:,S>AEC=S卜DEC=—A/5.

2

故答案是：口非.

2

19.（2021?黑龍江龍沙?九年級(jí)期中）已知等腰^ABC內(nèi)接于半徑為10的。。中，且圓心O到BC的距離為

6,則這個(gè)等腰△ABC底邊上的高是—.

【答案】4或16或164

【解析】解：①當(dāng)3C是底，AABC是銳角三角形時(shí)，如圖1,

連接Q4交3C于點(diǎn)

?.-AB=ACf

.\AD±BC,

?.-OA=lO,OD=6,

,-.AD=10+6=16,

②當(dāng)2c是底，AABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2,

同理可得，AD=OA-OD=W-6=4.

③當(dāng)8C是腰時(shí)，連接30并延長(zhǎng)到AC于E,作8八2C于點(diǎn)O,

在處ABOZ)中，03=10,OD=6,

BD=y/OB2-Olf=7102-62=8，

:.BC=2BD=16,

設(shè)OE=x,在中，CE-=OC1-OE2=102-x2,

在RtNBCE中，CE°=BC2-BE2=162-(10+%)2,

/.IO2-%2=162-(10+X)2,

14

解得％=二，

.-.BE=10+—=—.

55

故答案為：4或16或164.

20.（2021?安徽包河?九年級(jí)期中）如圖，在等邊AABC中，AB=2,點(diǎn)P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，M為3尸的中

點(diǎn)，連接CM.

B

（1）當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，CM的長(zhǎng)為；

（2）若點(diǎn)尸移動(dòng)到使NPMC=60。時(shí)，CM的長(zhǎng)為.

【答案】立

2

【解析】解：（1），.?等邊△ABC中，AB=2,且點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn),

AC=BC=AB=2,PC=-AC=1,PB±AC,ZACB=60°,

2

在必△PBC中，PB=ylBC2-PC2=>/3>

?點(diǎn)M為的中點(diǎn)，

:.PM=-PB=—,

22

在mAPMC中，CM=y/PM2+PC2=J+仔=弓，

故答案為：;

2

（2）設(shè)尸〃=。（。>0）,則尸3=2a,

"PMC=NPCB=60°

在△P"C和APCB中,=

△PMC^APCB,

PMPC_CMaPCCM

"~PC~~PB~^C'用正一匯一〒，

解得PC=0a或尸C=-0a（不符題意，舍去），

,PCCM,缶CM

由不一=F-得B：——=——，

2a22a2

解得CM=0，

故答案為：V2.

三、解答題

21.（2021?浙江?溫州市第十二中學(xué)二模）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在一條直線上，F(xiàn)B〃E4交EC于H

點(diǎn)，EA=FB,AB=CD.

（1）求證：AACE^ABDF；

（2）若CH=BC,ZA=50°,求ND的度數(shù).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）80°.

【解析】證明：（1）-.-FB//EA,

：.ZA=ZDBF,

-.■AB=CD,

:.AB+BC=CD+BC,AC=BD,

EA=FB

在AACE^ABDF中，＜NA=ZDBF,

AC=BD

△ACE^ABDF；

（2）由（1）已得：ZA=ZDBF,

vZA=50°,

:.ZDBF=50°,

?/CH=BC,

:./BHC=/DBF=50°,

ZACE=180°—ZBHC-ADBF=80°,

由（1）已證：△ACEgZ^BDF,

.-.ZZ)=ZACE=80°.

22.(2021?湖北?黃石經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)教研室九年級(jí)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)

分別為A(2,4)、B(l,0)、C(5,1)

(1)畫(huà)出AA3c關(guān)于x軸對(duì)稱的小A1B1C1,其中A、B、C分別和4、S、G對(duì)應(yīng),則點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為；

(2)將△ABC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△A2&C2,其中A、B、C分別和4、歷、。2對(duì)應(yīng)，畫(huà)出△A282c2,

則點(diǎn)C2的坐標(biāo)為；

(3)△AiBiCi與4A2&C2關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱

【答案】(1)圖見(jiàn)解析，(5,-1)；(2)圖見(jiàn)解析，(-1,5)；(3)(0.5,0.5)

【解析】解：(D如圖所示：△4B1G即為所求，

:△ABC關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱的△44G,點(diǎn)C(5,1),

.??關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)改變符號(hào)Ci(5,-1)

故答案為(5,-1)；

(2)如圖所示：△A282c2即為所求，

:將4AB繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△4鳥(niǎo)G

；?點(diǎn)C繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。，橫坐標(biāo)邊縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)變?yōu)闄M坐標(biāo)，點(diǎn)C2在第二象限，

...點(diǎn)C2坐標(biāo)為(-1,5),A2(-5,2),&(0,1)

在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)4(-5,2),B2(0,1),C2(-1,5),

順次連結(jié)線段A2所,82c2,C2A2,

則4A2B2C2是△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的圖形，

故答案為(-1,5)；

(3)點(diǎn)B與點(diǎn)B2的中點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，0+1)=0.5,縱坐標(biāo)為90+1)=0.5

4G與△4與G關(guān)于點(diǎn)(0.5,0.5)成中心對(duì)稱.

故答案為(050.5).

23.(2021?山東陵城?九年級(jí)期中)在如圖所示的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，AA3c的頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交

點(diǎn)上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,-1).

(1)畫(huà)出△ABC向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△46G,并寫出點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Bi的坐標(biāo)；

(2)畫(huà)出△4B1G繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的△A2&C2,并寫出點(diǎn)片的對(duì)應(yīng)點(diǎn)&的坐標(biāo).

【答案】(1)見(jiàn)解析；點(diǎn)5的坐標(biāo)為(-1,3)；(2)見(jiàn)解析；點(diǎn)&的坐標(biāo)為(3,1).

【解析】解：(1),??三角形ABC向上平移4個(gè)單位得到三角形AAG，B(-1,-1),

；.用的坐標(biāo)為(-1,3),

如圖所示，△A4G即為所求；

(2)如圖所示，即為所求；

「AAB2G是△A4G繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，Bl(-1,3),

用的坐標(biāo)為(3,1).

24.(2021?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中)問(wèn)題提出：

(1)如圖1,在AABC中，ZBAC=90°,AH±BC,垂足為點(diǎn)若AB=4,AC=3,則線段CH的長(zhǎng)度

為.

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD,點(diǎn)F為CO邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的

一點(diǎn)，連接AE,AF,EF.若/胡P=45。，BC=6,CD=2,求線段EF的長(zhǎng).

問(wèn)題解決：

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=AD,ZABC=60°,NC=90。，點(diǎn)N是BC邊上的兩

點(diǎn)，連接AM,AN,BD,BD交AM于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)F.若/A￡4N=30。，BE=4,DF=6,求△AMN的

面積.

【解析】解：(D如圖①，

1.,ZBAC=90°,AB=4,AC=3,

?*-BC=VAB2+AC2=A/42+32=5,

?：AH.LBC,

，ZAHC=90°,

,/S^ABC=1AB-AC=|BOAH,

!x3x4=1x5AH,

一」2

??Ari-,

由勾股定理得：CH=/AC?-AH?=

、9

故答案為：—；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AGLAE,交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???NE4G=90。，

ZBAD=90°,

???ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZDAG=90°

：.ZBAE=ZDAG,

u

：ZBAD=ZC=90°9

.\ZBAD+ZC=180°,

???ZB+ZA￡)C=180°,

*.*ZADC+ZAZ)G=180°,

ZADG=ZB,

在△ABE和△ADG中,

ZBAE=ZDAG

AB=AD

ZB=ZADG

：.AABE^AADG(ASA),

G

*：ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=NGA尸=45。=ZEAF,

9：AF=AF,

在△￡4尸和△GA尸中,

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：./\EAF^/\GAF(SAS),

：.EF=FG,

???尸是CO的中點(diǎn)，且CD=2,

：.DF=CF=1,

設(shè)3￡*=冗，則OG=x,EF=FG=x+l,EC=6-x,

在R3EFC中，由勾股定理得：Em=EC+C產(chǎn),

(x+1)2=12+(6-x)2,

解得：尤=］1Q，

.?.E5F=x+4\=—18+1=2——5

77

(3)如圖③，過(guò)點(diǎn)A作AOLBD于O,

u

：AD//BCf

：.ZABC+ZBAD=180°,

ZABC=60°,

：.ZBAD=120°,

u

：AB=ADf

：.ZABF=ZA￡>F=30°,

AB=AD=2AO,

設(shè)AO=a,AB=2”，則OB=OD=AB2-AO2==也〃,

:.BD=2AO=2。,

VBE=4,DF=6,

:?BF=2有〃-6,EF=2y/3a-4-6=2s/3a~10,

ZEAF=ZABF=30°fZAFE=NAFB,

：.AAFE^ABM,

.AFEF

??而-IF'

:?AI^=BF?EF=（2島-6）（2耳-10）,

u222

\AF=AOWFf

6Z2+（y/3a-6）2=（2A/3（2-6）（2y/3a~10）,

2a2-5月a+6=0,

解得：〃1=2豆，（22=B,

2

當(dāng)〃=26時(shí)，。。=6〃=6乂2后=6,此時(shí)。與尸重合，如圖1所示,

圖1

：.BF=DF=6,

；.EF=2,

R3AE/中，ZEAF=30°,

：.AE=2EF=4=BE,

???N8AE=NA5E=30。，

?/ZABM=60°,

：.ZAMB=90°,ZMBE=30°,

：.EM=2,

?=4+2=6,

61-

:.MN=H=26

ZXAMN的面積=』AM-A7V=LX6X2^=6V^；

22

當(dāng)4=且時(shí)，0A=MOB=OD=~,

222

BD=OB+OD=3<4+6=10,

此種情況不成立，

△AMN的面積6班.

25.（2021?江蘇?無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，CELBD,AB=8,BC=6,P為BD

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PB長(zhǎng)半徑作。P,OP交CE、BD、BC交