江西省萍鄉(xiāng)市萍鄉(xiāng)中學(xué)大聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（五）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市萍鄉(xiāng)中學(xué)大聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（五）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為正數(shù)，則“”是“”的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)0<a<1時(shí)，則，此時(shí)0<a<1；所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A.2.已知，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故選：D.3.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數(shù)列”，其數(shù)值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數(shù)學(xué)上，這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：，，記此數(shù)列為，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，，，則.故選：C.4.雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，.是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2，是面積為5的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，，由，求得，因?yàn)?，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，，由得，則，，，，由雙曲線定義可得：，，，所以雙曲線的方程為.故選：A5.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉臑指的是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵中，，若，，直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在塹堵中，平面，，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、A1,0,0、，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，因此，直線與平面所成角的余弦值為．故選：A．6.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則可能的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，因?yàn)?，所以，，，而，即，，所以在上并不單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，，，顯然，，所以上并不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，，顯然，，所以在上并不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)槎x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合題意，結(jié)合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合題意，故C正確.故選：C.7.已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.8.若曲線在與處的切線互相垂直，且交點(diǎn)在直線上，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，故,易知切線斜率存在．因曲線在與處的切線互相垂直，則．因,不妨設(shè)，，則，，此時(shí),．如圖，設(shè)，，，則是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（切線的斜率為1，切線的斜率為）．由圖知，，易得．取，得．經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),無法使的值取到,和.故選:C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在某次英語四級考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數(shù)列，三人各自是否通過這次考試相互獨(dú)立，則（）A.B.甲、乙都通過這次考試的概率為0.24C.甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12D.乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.96【答案】BD【解析】因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，解得，故A錯(cuò)誤；所以甲、乙都通過這次考試的概率為，故B正確；所以甲、丙都不通過這次考試的概率為，故C錯(cuò)誤；所以乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，將的部分圖象沿軸折成直二面角（如圖所示），若，則（）A.B.C.將的圖象向左平移2個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】AB【解析】如圖，過作軸，垂足為，過作軸，垂足為.由題意可知平面平面，平面平面，又平面，則平面，平面，則，則，故，由，則的周期，A項(xiàng)，由圖象可知，所以，由，解得；B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知，.則，因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)，即，.，或.由函數(shù)圖象可知，則，所以，故B正確；C項(xiàng)，由AB可知，，即將的圖象向左平移2個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，.由，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.“大鵬曲線”的方程為，其圖像因?yàn)樾嗡埔恢徽钩岣唢w的大鵬而得名.直線與的交點(diǎn)可能個(gè)數(shù)的集合記為，下列選項(xiàng)正確的是（）A.該曲線關(guān)于軸對稱B.C.D.“”的充要條件是“且”【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，對于A，根據(jù)雙曲線及橢圓的性質(zhì)可得該曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，因?yàn)楹氵^點(diǎn)，當(dāng)直線時(shí)，此時(shí)直線與漸近線平行，直線與的交點(diǎn)為1，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為1，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為2，故，故B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)楹氵^點(diǎn)，聯(lián)立與橢圓得，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故直線與下半橢圓相切，結(jié)合圖象可知：當(dāng)直線時(shí)，直線與的交點(diǎn)為2，故時(shí)，直線與的交點(diǎn)為1，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為0，當(dāng)或時(shí)，直線與的有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為2，故，故C正確，對于D，取，，由C可知直線與的交點(diǎn)為1，故且不能得到，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13.這次月考五有8道單選題，你朋友童同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有思路的題能做對的概率為，沒有思路的題僅隨機(jī)猜，你恰好看到了她一道題的答案，這個(gè)答案是正確的概率為__________．【答案】【解析】設(shè)事件A表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，設(shè)事件表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，這個(gè)答案是正確概率為，故答案為：14.已知，，則的最小值為________．【答案】【解析】由得，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上；而對應(yīng)的點(diǎn)，易知的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且為直角三角形，求的面積．解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍，所以，化簡得，故的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知為直角三角形．①若，此時(shí)，所以，所以的面積．②若，由①同理可得，的面積．③若，因，，所以，，所以，所以，即此時(shí)不符合題意.綜上，的面積為．16.雅禮中學(xué)是三湘名校，學(xué)校每年一屆的社團(tuán)節(jié)是雅禮很有特色的學(xué)生活動(dòng)，幾十個(gè)社團(tuán)在一個(gè)月內(nèi)先后開展豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)，充分體現(xiàn)了雅禮中學(xué)為學(xué)生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學(xué)社舉辦了詩詞大會，在選拔賽階段，共設(shè)兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，若不能正確回答出下可得0分.（1）已知某位選手會5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；（2）已知恰有甲?乙?丙?丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)體有相同的機(jī)會搶答下一問題.記第次回答的是甲的概率是，若.①求和；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.（1）解：設(shè)該選手答對的題目個(gè)數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，易知的所有可能取值為，則，，，故的分布列為012，則.（2）①解：由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，則.②證明：由第次回答的是甲的概率為，得當(dāng)時(shí)，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，則，即，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..17.如圖，四棱錐中，，底面是個(gè)直角梯形，，，.（1）證明：；（2）從下面條件①?條件②?條件③三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問題.條件①：；條件②：；條件③：二面角的大小為.在棱上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.）（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；?）解：因?yàn)?，，又，所以，所以四邊形為矩形，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，；若選條件①：，顯然平面，設(shè)，則，DA=2,0,0，所以，與矛盾，故條件①不符合題意；若選條件②：，顯然平面，設(shè)，則，解得，則，所以，，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得或（舍去），所以的值為；若選條件③：二面角的大小為.由（1）可知即為二面角的平面角，即，又，所以，則，，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得或（舍去），所以的值為.18.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；（2）設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與同向的單位向量；（3）已知為函數(shù)的相伴特征向量，若在中，，若點(diǎn)為該的外心，求的最大值．解：（1）根據(jù)題意知，向量的相伴函數(shù)為當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，故.（2）因?yàn)檎淼玫剑屎瘮?shù)的相伴特征向量，則與同向的單位向量為.（3）由題意得，，在中，，，因此，設(shè)外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，，故，所以，，，代入可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．19.設(shè)數(shù)列：．已知，定義數(shù)表，其中（1）若，寫出；（2）若是不同的數(shù)列，求證：數(shù)表滿足“”的充分必要條件為“”；（3）若數(shù)列與中的1共有個(gè)，求證：數(shù)表中1的個(gè)數(shù)不大于．（1）解：將代入計(jì)算可得．（2）證明：充分性：若，由于令，由此數(shù)列．由于．從而有，即充分性成立；必要性：若．