江蘇省南京市江寧區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市江寧區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知拋物線,所以，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.在數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，，（），則（）A. B.nC. D.【答案】C【解析】數(shù)列中，，，所以是首項(xiàng)為3公差為3的等差數(shù)列，則，，.故選：C3.設(shè)a為正實(shí)數(shù)，若圓與圓相外切，則a的值為（）A.4 B.6 C.24 D.26【答案】B【解析】結(jié)合題意：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以圓心距為，而，因?yàn)閮蓤A相外切，所以，即.故選：B.4.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)m=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．現(xiàn)給出“冰雹猜想”的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），．當(dāng)時(shí)，使得的最小正整數(shù)n值是（）A.17 B.16 C.15 D.10【答案】B【解析】時(shí)即.故選：B5.圓關(guān)于直線對(duì)稱后的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的圓心半徑為，由得，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得,所以對(duì)稱圓的方程為.故選：A.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)（異于O點(diǎn)），若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】依題意，設(shè)聯(lián)立方程組，，得，所以，因?yàn)?，即，解?故選：D7.若函數(shù)在處有極大值，則常數(shù)c為（）A.1 B.3 C.1或3 D.-1或-3【答案】B【解析】函數(shù)，，由題意知，在處的導(dǎo)數(shù)值為，，或，又函數(shù)在處有極大值，故導(dǎo)數(shù)值在處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，滿足導(dǎo)數(shù)值在處左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負(fù)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)值在處左側(cè)為負(fù)數(shù)，右側(cè)為正數(shù)．故．故選：B．8.已知圓的一條切線與雙曲線C：（，）有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得圓心，半徑，則圓心到切線的距離，解得：，所以切線方程為，因?yàn)榕c雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9.已知曲線C的方程為（），則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件C.存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為雙曲線，且離心率為D.當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為【答案】ABD【解析】由題意，曲線C的方程為（）對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以是A正確的；對(duì)于B中，當(dāng)曲線C的方程為（），表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)曲線C的方程為（）表示離心率為的雙曲線時(shí)，則滿足，無解，所以C不正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為（），可得，此時(shí)雙曲線C漸近線方程為，所以D是正確的.故選：ABD.10.已知直線，，則（）A.直線過定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，兩直線，之間的距離為1【答案】ACD【解析】對(duì)A，變形為令，則，因此直線過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由于，，故兩直線不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由于，故兩直線平行，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，此時(shí)，則兩直線距離，D正確；故選：ACD11.在數(shù)列中，，（），前n項(xiàng)和為．則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】因，可得，且，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，可得，即，則，且在上單調(diào)遞增，可知是遞增數(shù)列，故ACD正確；因?yàn)椋@然，可知不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為上的減函數(shù)，則，即，所以，，A對(duì)B錯(cuò)；因?yàn)椋瑒t，即，所以，，C錯(cuò)D對(duì).故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線傾斜角為45°，則實(shí)數(shù)m的值為_______________．【答案】4【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則直線的斜率，又，解得.故答案為：4.14.如圖，正方形的邊長為2cm，取正方形各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第二個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第三個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，當(dāng)操作次數(shù)無限增大時(shí)，所有這些正方形的面積之和將無限趨近于常數(shù)_______________．【答案】8【解析】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為，第個(gè)正方形的邊長為，即，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于8，故答案為：8.15.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的最大值是___________．【答案】【解析】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，又，所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故答案為：16.如圖所示，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知道：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射（即經(jīng)橢圓在該點(diǎn)處的切線反射）后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)，過點(diǎn)P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點(diǎn)M，則_______________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€與橢圓C相切于點(diǎn)，所以，解得，由橢圓C的方程為，所以,,由橢圓的定義可知：，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分，可得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．解：（1）設(shè)圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，所以，解得，此時(shí)，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，．所以，，所以切線l：，即（2）令，得或．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴的增區(qū)間為，；減區(qū)間為．∴的極大值為，的極小值為．∴，解得：．此時(shí)，，所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以．19.對(duì)于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓C：（），它的離心率是其伴隨雙曲線M的離心率的倍．（1）求橢圓C伴隨雙曲線M的方程；（2）如圖,點(diǎn)分別為雙曲線M的下頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過F的直線l與M上支交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程．解：（1）設(shè)橢圓C與其伴隨雙曲線M的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓C：，則橢圓C伴隨雙曲線M的方程為．（2）由（1）可知，，設(shè)直線l的斜率為k，，，則直線l的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去y得，則，所以，，又，又，所以，解得或，因?yàn)橹本€與雙曲線上支交于兩點(diǎn)，所以，即，，即，解得，所以,所以直線AB的方程為：或.20.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，前3項(xiàng)和為13，且，，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且，若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．在如下兩個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，填入上面橫線處，并根據(jù)題意解決問題．①（，）；②（）．解：（1）由題意得，可得，，設(shè)遞增的等比數(shù)列數(shù)列的公比為q，得，解得或（舍），則；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）選①（），可得為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，，則，，兩式相減可得，化簡可得，所以的前n項(xiàng)和.選②，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減可得，則，可得為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則；所以，可得．所以的前n項(xiàng)和.21.已知橢圓C：（）左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程．（2）若A，B為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過且垂直x軸的直線平分，證明：直線過定點(diǎn)．解：（1）因，又，即，解得，，故橢圓C的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，消去得，則，，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由題意可得，即，所以，即，所以，所以，化簡可得，所以直線的方程為，故直線過定點(diǎn)．22.已知函