湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=｛1，6｝，B=｛5，6，7，8｝，則A∪B=（）A.｛1，5，6，7，8｝ B.｛1，5，6，8｝ C.｛6，6｝ D.｛6｝【答案】A【解析】由題.故選：A.2.函數(shù)的零點(diǎn)是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】令，即函數(shù)的零點(diǎn)是.故選：C.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點(diǎn)，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由題意得，解得.故選：B.5.已知，則函數(shù)與函數(shù)的圖像在同一坐標(biāo)系中可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像為B.故選：B.6.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A5 B. C.4 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：．7.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，解得，即.故選：B.8.已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.的解集為或【答案】D【解析】不等式的解集為或，則函數(shù)開口向下，故，A正確；不等式的解集為或，則對(duì)于函數(shù)，有，，B，C正確；不等式的解集為或，即方程的解為，則，且，即為，，解得，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列各式正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】A：，正確；B：，正確；C：由，即，錯(cuò)誤；D：由，即，正確.故選：ABD.10.下列函數(shù)中最小正周期為，且為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)榈膱D像是由的圖像在軸下方的關(guān)于軸對(duì)稱后與軸上方的圖像共同組成，所以的最小正周期為，所以A正確；對(duì)于B，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域?yàn)?，，最小正周期為，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，所以C正確；對(duì)于D，定義域?yàn)?，最小正周期為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.下列說法正確的是（）A.命題“，”否定是“，”B.函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱C.為奇函數(shù)D.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】BCD【解析】因?yàn)槊}“，”的否定是“，”，故A錯(cuò)誤；函數(shù)與互為反函數(shù)，故其圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；因?yàn)?，可求得定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，和，故D正確．故選：BCD．12.已知函數(shù)，則下述結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】BCD【解析】由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故可知：，故函?shù)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故可知：，所以根?jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知對(duì)稱點(diǎn)為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，有根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，，設(shè)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，所以，因?yàn)樵趦?nèi)是單調(diào)增函數(shù)，所以在內(nèi)也是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13._____________．【答案】【解析】由誘導(dǎo)公式可得．14.若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據(jù)條件可以轉(zhuǎn)化為，不等式在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，只需滿足，，解得，綜上可得，的取值范圍為.15.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)___________.【答案】【解析】令，可得當(dāng)時(shí)，，所以圖象一定經(jīng)過定點(diǎn).16.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是______．【答案】【解析】由題意可得，扇形AOB的面積是，扇形COD面積是．則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）已知，求的取值范圍.解：（1）由題知，，因?yàn)?，即，解得，所以，?dāng)時(shí)，，所以.（2）由題知，由（1）得，，由題得，，當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得綜上，或.19.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期T；（2）求的最小值以及取得最小值時(shí)的集合．解：（1）由得，所以.（2）由（1）知，此時(shí)，即，故x的集合為.20.某地為助力鄉(xiāng)村振興，把特色養(yǎng)殖確定為特色主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)，現(xiàn)計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個(gè)大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留1.5米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道．設(shè)溫室的一邊長(zhǎng)度為x米，如下圖所示．（1）用x表示兩個(gè)養(yǎng)殖池的總面積y，并求出x的取值范圍；（2）當(dāng)溫室的邊長(zhǎng)x取何值時(shí)，總面積y最大？最大值是多少？解：（1）依題意設(shè)溫室的一邊長(zhǎng)度為x米，得溫室的另一邊長(zhǎng)為米，則矩形養(yǎng)殖池長(zhǎng)為米，寬為米，因此養(yǎng)殖池的總面積，因?yàn)?，所以，所以取值范圍為．?），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式等號(hào)成立，當(dāng)溫室的邊長(zhǎng)為30米時(shí)，總面積取最大值為1215平方米．21.如圖，為半圓的直徑，，為圓心，是半圓上的一點(diǎn)，，將射線繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，過分別作于，于.（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用的三角函數(shù)表示兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求四邊形的面積的最大值.解：（1）如圖，以所在直線為軸，為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，坐標(biāo)為.（2