最值模型之瓜豆模型（原理）直線軌跡型（解析版）

專題29最值模型之瓜豆模型（原理）直線軌跡型

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型解讀】

瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。

動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。

主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線一上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。

模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線

1）如圖，P是直線2C上一動(dòng)點(diǎn)，連接4P,取4P中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P在2c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0點(diǎn)軌跡是？

解析：當(dāng)尸點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，0點(diǎn)軌跡也是一條直線.

理由：分別過/、。向2C作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)樗訯V

始終為的一半，即。點(diǎn)到8c的距離是定值，故。點(diǎn)軌跡是一條直線.

2）如圖，在NLPQ中"/Q為定值，當(dāng)點(diǎn)尸在直線2C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

解析：當(dāng)/P與/。夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形。

理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的0點(diǎn)的位置，連線即可，比如。點(diǎn)的起始

位置和終點(diǎn)位置，連接即得。點(diǎn)軌跡線段。

【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。

1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）

①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；

②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；

③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；

④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；

⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對角線、全等、相似）為

其他已知軌跡的線段求最值。

例1.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtA45C中，乙4=90。，初為5c的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn),

過點(diǎn)C作CGII/8,交府的延長線于點(diǎn)G,若/C=8,AB=6,則四邊形NCG"周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通過證明△BAffiV/XCA/G可得8〃=CG,可得四邊形NCG”的周長即為/5+/C+G”,進(jìn)而可確定

當(dāng)時(shí)，四邊形/CG”的周長有最小值，證明四邊形NCG"為矩形可得"G的長，進(jìn)而可求解.

【詳解】???CGII4B,.?.M=NMCG,???〃■是3c的中點(diǎn)，.

ZB=ZNCG

在和△CMG中，\BM=CM，:ABMHmACMG（ASA）,：.HM=GM,BH=CG,

NBMH=ZCMG

■.■AB=6,NC=8,.?.四邊形NCG"的周長=/C+CG+/〃+G//=/8+NC+GH=14+G//,

.?.當(dāng)GH最小時(shí)，即MHLAB時(shí)四邊形NCG77的周長有最小值，

?.?乙4=90。，.9句的。，.?.四邊形NCG8為矩形，；.GH=8,

???四邊形NCG”的周長最小值為14+8=22,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定G8的值是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，“3C是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)￡為高2。上的動(dòng)點(diǎn).連

接CE,將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接相，EF,DF,則ACL?下周長的最小值是.

【答案】3+3省/3百+3

【分析】根據(jù)題意，證明ACBE1尸，進(jìn)而得出尸點(diǎn)在射線質(zhì)上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于""的對稱點(diǎn)。，連

接。C',設(shè)CC'交小于點(diǎn)O,則//。。=90。，則當(dāng)。，尸,C'三點(diǎn)共線時(shí)，尸C+ED取得最小值，即

FC+FD^F'C+F'D=CD',進(jìn)而求得C'。，即可求解.

【詳解】解：??必為高上的動(dòng)點(diǎn).??.NC8E=gNNBC=30°

???將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.“BC是邊長為6的等邊三角形，

.-.CE=CF,NECF=ZBCA=60°,BC=AC：.&CBE知CAF

.?./。4尸=/。2￡=30。，點(diǎn)在射線詼上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

作點(diǎn)C關(guān)于"'的對稱點(diǎn)CL連接。C',設(shè)CC'交"'于點(diǎn)。，則//。。=90。

在RM/OC中，ZCAO=30°,貝!|CO=g/C=3,

則當(dāng)尸,C'三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)C+ED取得最小值，即尸。+網(wǎng)>=尸'。'+尸1>=。。'

vCC'=AC=6,NACO=NC'CD,CO=CD：.^ACO^C'CD：.ZC'DC=ZAOC=90°

在AC'DC中，CD=《CC'2-CD。=用-32=36

???ACDF周長的最小值為CD+尸C+Cr>=Cr?+DC'=3+3VL故答案為：3+373.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定,

勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，48=6,BC=10,/3=60。，點(diǎn)E在線

段2c上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)）.連接以點(diǎn)/為中心，將線段/E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4F,連接DF,

則線段DF長度的最小值為.

【答案】2G

【分析】以N5為邊向右作等邊△A8G,作射線G尸交4D于點(diǎn)，，過點(diǎn)。作DWLG//于河.利用全等三

角形的性質(zhì)證明//G/=60°,得出點(diǎn)尸在平行于的射線GH上運(yùn)動(dòng)，求出DM即可.

【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊△48G,作射線G尸交/￡＞于點(diǎn)區(qū)過點(diǎn)。作于

M

:四邊形/5C。是平行四邊形，/8=60°,.?./8/。=120。，

?.?△/2G是等邊三角形，AZBAG=ZEAF=60°,BA=GA,EA=FA,

:./BAE=NFAG,：./\BAE^/\GAF（SAS）,ZB=ZAGF=60°,

點(diǎn)尸在平行于AB的射線G8上運(yùn)動(dòng)，

,：ZHAG=ZAGF=60°,△NHG是等邊三角形，

:.AB=AG=AH=6,：.DH=AD-AH=4,

A

VZDHM=ZAHG=G0°,.-.D/W=DH?sin60°=4x—=2A/3,

2

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)尸與M重合時(shí)，。尸的值最小，最小值為2g,故答案為：2日

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)產(chǎn)

的在射線Ga上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中的壓軸題.

例4.（2022?山東泰安?統(tǒng)考二模）如圖，矩形23C。的邊/5=],8C=3,E為AB上一點(diǎn)、,且NE=1,F

為工。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,若以E尸為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EA=KG,連接CG,則CG

的最小值為（）

【分析】過點(diǎn)G作GH1AB于H,過點(diǎn)G作MNUB,由"44S"可證△GE"三△￡/〃，可得GH=AE=L,可

得點(diǎn)G在平行N3且到48距離為1的直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)尸與。重合時(shí)，CG有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作于凡過點(diǎn)G作跖VII/8,

,四邊形/8CZ)是矩形，AB=一,BC=3,.■.Z.B=90",CD=一,AD=3,

22

9

■：AE=1,.-.BE=-,■■^GHE=^A=/.GEF=90",

2

:.乙GEH+^EGH=90。,&GEH+AFEA=90°,：.AEGH=AFEA,

又?:GE=EF,.?.△GEH三4EFA(AAS),；.GH=AE=1,

???點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)尸與。重合時(shí)，CG有最小值，此時(shí)//=即=3,

-1-3^+22=1,故選B.

■■CG的最小值=

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)

鍵.

例5.(2023?陜西?西安市八年級(jí)期末)預(yù)備知識(shí)：(1)在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：隨著變量

t的變化，動(dòng)點(diǎn)P(3l,2-。在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

一番深思熟慮后，聰明的小明說："是一條直線"，老師問：“你能求出這條直線的函數(shù)表達(dá)式嗎？"

小明的思路如下：設(shè)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為歹=b+6(無力0),

將點(diǎn)尸(3/,2-。代入得：2-t=k-3t+b,整理得(3左+1)/+6-2=0

“為任意實(shí)數(shù)，等式恒成立，:3斤+1=0,6-2=0；"=-；，b=2

這條直線的函數(shù)表達(dá)式為了=-；x+2

請仿照小明的做法，完成問題：隨著變量t的變化，動(dòng)點(diǎn)尸(3/,2-。在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線

I,求直線/的函數(shù)表達(dá)式.

問題探究：⑵如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知42,0),5(5,9),且NB4C=90°,AB=AC,則點(diǎn)C的

坐標(biāo)為.

圖1圖2

結(jié)論應(yīng)用：(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(1,0),Q是直線y=+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

PQ,過點(diǎn)P作且=連接O0,求線段。。'的最小值.

【答案】⑴直線/的函數(shù)表達(dá)式為尸-白+2乂2)點(diǎn)C(-7,3)；⑶。最小值為VL

【分析】(1)利用待定系數(shù)法將點(diǎn)P代入解析式，利用恒等性質(zhì)得出弘+1=0,6-2=0,求出直線解析式

即可；(2)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)過C作CE垂直x軸于E,過8作BFlx軸于F,證明△CAEmaABF(AAS)

得出CE=AF,EA=FB,根據(jù)點(diǎn)8(5,9)點(diǎn)A(2,0)求出點(diǎn)F(5,0)即可；

(3)過Q作QGlx軸于G,過Q作Q'HLf軸于H,先證△QPG三△PQ'H(AAS),設(shè)Q(a,-1a+2)分三

種情況,當(dāng)。41時(shí)，點(diǎn)Q'(-；a+3,1-a)OQ'=^OH2+Q(U2=^|(a-2丫+5,當(dāng)l<a<4,點(diǎn)Q，(-ga+3,

1-a),00.'=y/OH1+Q(H2=(?-2丫+5,當(dāng)a24時(shí)，點(diǎn)Q'(3-；a,1-a)00.'=

^OH2+Q^H1=J/-+(1-a)2=加-2)2+5,求出每種情況的最小值，然后比較大小即可.

【解析】(1)解：設(shè)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為了=丘+/上力0),將點(diǎn)P(3/,27)代入得：2—=h3f+b,整

理得(3左+1)/+6-2=0,為任意實(shí)數(shù)，等式恒成立，3左+1=0,b-2=Q,

.?%=-；,6=2,.?.這條直線的函數(shù)表達(dá)式為＞=-；x+2,

???隨著變量t的變化，動(dòng)點(diǎn)P(3/,2T)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線I,

直線/的函數(shù)表達(dá)式為了=x+2.

(2)解:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)過C作CE垂直x軸于E,過B作BFlx軸于F,.?.NECA+NCAE=9O。，

■.■AB=AC,NBAC=90°,.?.ZC4￡+ZMB=9O°,:.乙ECA=^FAB,

ZECA=ZFAB

在△CAE和△A8F中，\ZCEA=ZAFB,.-./\CAE^AABF(AAS),；.CE=AF,EA=FB,

CA=AB

???點(diǎn)8(5,9)點(diǎn)A(2,0),.?.點(diǎn)F(5,0).?.n=5-2=3;2-m=9,；.m=-7,.??點(diǎn)C(-7,3)；

(3)解：過Q作QGlx軸于G,過Q作Q'Hlx軸于H,

?.?NQPQ'=90°,NQGP=NQ'HP=90°,.?ZQPG+NQ'PH=90°,乙Q'PH+4HQ'P=90°,:.乙QPG=^HQ'P,

ZQPG=ZPQ'H

在△QPG和△PQ'H中，＜NQGP=NPHQ',；AQPGmAPQ'H(AAS),；.PG=Q'H,QG=PH,

PQ=Q'P

??,Q是直線y=-工x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Q(a,-』a+2),

22

當(dāng)oSl時(shí)，:.QG=PH=--a+2,PG=QH=l-a,.?.點(diǎn)Q'(-L+3,1-a),

22

-OQ=yloH2+Q(n2=

<5>。，a。時(shí)，。Q，隨0的增大而咸小，當(dāng)E時(shí)最小。Q，噌+5。

值，分類思想的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求直線解析式，恒等式性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理,

函數(shù)的最值，分類思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

例6.（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形/BCD中，ZB=45°,E、尸分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連

接力￡、EF,G、X分別為/￡、所的中點(diǎn)，連接G".若G”的最小值為3,則BC的長為

【分析】連接呼，利用中位線的性質(zhì)=要使GH最小，只要小最小，當(dāng)//時(shí);里最

小為6,由/8=45。確定△/即為等腰直角三角形，得出/尸=8尸=6,由勾股定理得：AB2=BF2+AF2

求出2C即可.

【詳解】解：連接如"?；G,H分別為4E,E尸的中點(diǎn)，；.G〃〃/尸，S.GH=^AF,

要使G77最小，只要"'最小，當(dāng)2c時(shí)，腸最小，

?.?6”的最小值為3二/尸=6,：/3=45。，l/84歹=45。,

???BF=AF=6,???AB=y]AF2+BF2=6直，

???四邊形/BCD是菱形，.??恥=/3=6啦.故答案為：6V2.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)圖形中的中位線，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用問題，掌握

中位線的性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例7.（2023?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。中，ZC=90°,AC=BC=6.P為邊48上一動(dòng)點(diǎn)，

作尸。,2c于點(diǎn)D,PELAC于點(diǎn),E,則的最小值為.

A

【答案】3亞

【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出N8,判斷出四邊形CDPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得

DE=CP,再根據(jù)垂線段最短可得“8時(shí)，線段DE的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方

程求解即可.

【詳解】解：如圖，連接CP,

A

?；NC=90°,AC=BC=6,；.仙=^AC2+BC2=超+6=672，

^.^PD^LBC于點(diǎn)D,PE_L/C于點(diǎn)￡,//C8=90。，.?.四邊形CDPE是矩形，.?.Z）E=CP,

由垂線段最短可得CPJL/8時(shí)，線段C尸的值最小，此時(shí)線段。E的值最小，

此時(shí)，SA猾c=；/C?BC=g/B?CP,代入數(shù)據(jù)：6'6=g，60，CP,

.?.CP=30,???OE的最小值為3TL故答案為：3TL

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CPL/2時(shí)，線段DE的值

最小是解題的關(guān)鍵.

例8.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，RtA￡8C中，ZACB=90°,ABAC=60°,點(diǎn)。是邊8C上一動(dòng)點(diǎn),

以點(diǎn)/為旋轉(zhuǎn)中心，將/。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段連接CE,若NC=1,則CE的長的最小值為

（）

121-

A.-B.§C.1D.V2

【答案】A

【分析】在上取一點(diǎn)K,使得/K=/C,連接CK,DK,然后證明出VE4C&V￡MK（SAS）,然后根據(jù)

垂線段最短得到當(dāng)。K/8C時(shí)，DK的值最小，最后利用30。角直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖所示，在48上取一點(diǎn)K,使得/K=/C,連接CK,DK,

vZACB=90°fABAC=60°,/.ZEAD=ZBAC=60°,/B=3。。，：./EAC=/DAK,

又?：AE=AD,AC=AK,;NEAC4DAK(SAS),；.CE=DK?.當(dāng)DK_LBC時(shí),OK的值最小，

-AC=AK=1,/5=30。，/ACB=90。,；,AB=2AC=2,

5K=—/K=1,，OK='BK=2.C￡的長的最小值為g.故選A

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，垂線段最短，30。角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,/C=8C=4,點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)

尸是NC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,以心為邊在PD的下方作等邊三角形尸。。，連接C。.則。。的最小值

是（）

k

Q

J3r-3

A.-B.1C.V2D.-

22

【答案】B

（分析］以CD為邊作等邊三角形CDE,連接￡。，由題意易得乙PDCUQDE,PD=QD,進(jìn)而可得△PCD三△0ED,

則有成＞=90。，然后可得點(diǎn)0是在便所在直線上運(yùn)動(dòng)，所以C0的最小值為CQ1QE時(shí)，最后問

題可求解.

【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形C0E,連接￡0,如圖所示：

???xPDQ是等邊三角形，:.NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

:4CDQ是公共角，；DC=4QDE,??.△PCDm&QED(&4S),

■.■ZACB=90°,/C=8C=4,點(diǎn)。是3c邊的中點(diǎn)，

；/PCD=4QED=90°,CD=DE=CE=ggC=2,.?.點(diǎn)。是在0￡1所在直線上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)C。聞￡時(shí)，C0取的最小值，.?./?！?。=90。-/(?￡￡>=30。，；.C0=gcE=l；故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形

的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?福建廈門?九年級(jí)校考期中）如圖，長方形/BCD中，AB=3,BC=4,￡為8C上一點(diǎn).且

BE=1,尸為48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接EF,將△BE尸繞著點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到△"EG的位置，其中點(diǎn)

5、點(diǎn)廠的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)X、點(diǎn)G,連接尸G和CG,則CG的最小值為（）.

-----------------------------------\D

BEC

A.—B.3C.1+逑

D.VH

22

【答案】c

【分析】如圖，將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段期,連接DE交CG于J.首先證明NEHG=90。,

推出點(diǎn)G的在射線用上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)CG，"G時(shí)，CG的值最小，證明四邊形EHGJ是矩形，進(jìn)一步推出

JE=JD,則C7=XZcE=逑，即可得到CG的最小值為1+逑

222

【詳解】解：如圖，將線段3E繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段破,連接。E交CG于/

BEC

???四邊形/BCD是矩形，AB=CD=3,ZS=ZBCD=90°,

???ZBEH=ZFEG=45°,ZBEF=ZHEG,

■：EB=EH,EF=EG,：°EBFaHEG(SAS),；.NB=NEHG=90<）

.??點(diǎn)G的在射線AG上運(yùn)動(dòng)，.?.當(dāng)CGLHG時(shí)，CG的值最小，

BC=4,BE=1,CD=3,.-.CE=CD=3,：.ZCED=ZBEH=45°

：.ZHEJ=90°=ZEHG=ZJGH=90°,.?.四邊形EHGJ是矩形，

.-.DE//GH,GJ=HE=BE=l,；.CJ1DE,JE=JD,

■-CJ=-CE=^-,■■CG^CJ+GJ^l+—,；.CG的最小值為l+±2.故選：C.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形得到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

3.（2023上?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形N8CD的邊長為4,點(diǎn)￡是正方形對角線所在

直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4E,以4E為斜邊作等腰MA/M（點(diǎn)A,E,尸按逆時(shí)針排序），則CF長的最

C.4D.2

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和題干給定的A/E尸是以/E為斜邊作等腰直角三角形，證明AGL4sA也石，得

到李=當(dāng)進(jìn)一步證明&LF~AALE,得到GF//AB,由正方形的性質(zhì)得點(diǎn)〃為的中點(diǎn)，有點(diǎn)尸在BC

FLEL

的垂直平分線G8上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)”重合時(shí)，CF的值最小.

【詳解】解：連接/C交8。于點(diǎn)G,連接G尸并延長交3C于點(diǎn)〃，如圖,

???四邊形/BCD是正方形，.?.NABC=90°,AABD=45°,AB=CB=4,

???△/￡/是以/￡為斜邊作等腰直角三角形，.?.4斤=防，ZAFE=9Q°,ZFAE=ZFEA=45°,

GLAL,GLFL

--BD±AC,AAGL=ZEFL=90°,ZALG=ZELF,AGLA^^FLE,--=---,則n---=---，

FLELALEL

???ZGLF=ZALE,:.AGLF~AALE,ZLGF=ZLAE=45°,

:.NLGF=NABD,則G尸〃,?iZGHC=ZABC=90°,

,?,點(diǎn)G為正方形/BCD對角線的交點(diǎn)，.?.點(diǎn)〃為8c的中點(diǎn)，.,?點(diǎn)尸在8c的垂直平分線G"上運(yùn)動(dòng),

.?.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)“重合時(shí)，CP的值最小，此時(shí)。尸=CH=g3C=2.

即CF長的最小值為2.故答案選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)和垂線段最短，利用相

似的邊長比證明對應(yīng)三角形邊長的相似比，并找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

4.（2023上?河北保定?九年級(jí)校考期中）如圖，在中，ZBAC=90°,且=6,NC=8,點(diǎn)。是

斜邊8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作"/148于點(diǎn)M,于點(diǎn)N,連接,點(diǎn)。為血W的中點(diǎn),

則線段的最小值為（）

A.4.8B.5C.2.4D.3.6

【答案】C

【分析】由勾股定理求出8。的長，再證明四邊形是矩形，可得MN=4D,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)

3c時(shí)，的值最小，再利用三角形面積求出N。，可得4。，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AD,

222

,/ZBAC=90°f且Z3=6,AC=8,/.BC=^B^+AC=76+8=10，

vDMVAB,DN1AC,ZDMA=ZDNA=ABAC=90°,

四邊形是矩形，，兒W=AO=^AD,.?.當(dāng)4028c時(shí)，4D的值最小，

此時(shí)，SAABC=^ABAC=^-BC-AD,/。=上手=吸=4.8，，NO的最小值為2.4,故選：C.

22BC10

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對

角線相等.

5.（2023上?山西臨汾?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在。8C中，AB=BC=W,/C=12,點(diǎn)。，￡分別是

AB,3c邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE,F,M分別是OE的中點(diǎn)，則尸N的最小值為（）

A

B.10C.9.6D.4.8

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì).連接/石，作于點(diǎn)

H.由三角形中位線的性質(zhì)得由垂線段最短可知當(dāng)NE最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)尸N的值最

小，然后利用勾股定理求出的長即可.

【詳解】解：連接NE,作3c于點(diǎn)H.

???點(diǎn)D,￡分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，；.可是V/AE的中位線，

???當(dāng)4E最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)的值最小.設(shè)BH=x,貝lJ"=10-尤,

?■-102-X2=122-（10-X）2,;.X=2.8,：.AH-2.S2=9.6-，尸M的最小值為4.8.故選D.

6.（2023上?廣東廣州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形48CD的邊長為4,/BCM=30。，點(diǎn)￡是直線CN

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,線段BE繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到3廣，則線段。下長度的最小值等于（）

C.2V6-2V3D.276-73

【答案】B

【分析】連接2。，在8。上截取3G,使BG=8C,連接尸C,過點(diǎn)。作。H1GF于點(diǎn)X,證明

ACBE知G"(SAS),得出NBCE=ZBG尸=30°,點(diǎn)尸在直線GP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與〃重合時(shí)，的值

最小，求出最小值即可.

【詳解】解連接8D,在3。上截取8G,使BG=8C,連接9G,過點(diǎn)。作，GF于點(diǎn)”，如圖所示

???四邊形/BCD是正方形，

AB=BC=CD=AD=4,ZADC=ZDCB=ZABC=ZBAD=90°,ZCBD=45°,

BD=\]AB2+AD2=4A/2>BG=BC=4,;.DG=BD-BG=46-4,

CB=GB

ZCBG=NEBF,1-,ZCBE=ZGBF,在MBE和AGBF中<NCBE=GBF,

BE=BF

KBE咨AGBF(SkS),ABCE=ZBGF=30°,

.??點(diǎn)廠在直線G尸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與〃重合時(shí)，。下的值最小，

DHIGF,ZDGH=ZBGF=30°,：.DH=-DG=242-2,故選：B.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題

意作出輔助線，得出點(diǎn)/在直線G尸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與“重合時(shí)，。尸的值最小，是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?江蘇?徐州市三模)如圖，03c中，ABAC=45°,AB=AC=8,尸為48邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以

PA、PC為邊作YP/QC,則線段的最小值為.

【答案】472

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知。點(diǎn)在平行的線段。。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)4。，。。時(shí)，工。最小，根據(jù)勾

股定理即可求解.

【詳解】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

CQHAB,則。點(diǎn)在平行的線段。。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，工。最小，

CPHAQ,則CP_L/5,在Rt^NPC中，NB4c=45°,/C=8,

PC=AP=—x8=4y/2,即"0最小值為4近.故答案為：4c.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，確定。點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.

8.（2023上?湖北武漢?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知NMON=30。，B為OM上一點(diǎn)、,BALOVA,四

邊形/8CZ）為正方形，P為射線8M上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,將C尸繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得CE,連接

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)的綜合

應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等以及垂線段最短進(jìn)行解

答.連接PO,依據(jù)SAS構(gòu)造全等三角形，即A8C￡絲AOCP,將3E的長轉(zhuǎn)化為尸D的長，再依據(jù)垂線段最

短得到當(dāng)尸〃最短時(shí)，BE亦最短，根據(jù)乙飲加=30。，。。=2+26，即可求得尸。的長的最小值.

【詳解】解：如圖，連接尸。，

M

由題意可得，PC=EC,APCE=90°=ZDCB,BC=DC,：.NDCP=NBCE,

DC=BC

在AOCP和ABCE中，＜NDCP=NBCE,^DCP^BCE（SAS）,PD=BE,

CP=CE

當(dāng)。P_L（W時(shí)\PD最短,此時(shí)BE也最短,

?.?N4O8=30。，48=2=40,.?.03=2x2=4,■.OA=^42-22=273■-OD=OA+AD=2y5+2,

二當(dāng)。尸_L(W時(shí)，DP,ODJ**=\+6,??.BE的最小值為1+VL故答案為：1+JL

22

9.(2023上?湖南長沙?九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)/。,0),點(diǎn)C是y軸上

一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為(0刈)，線段。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至線段C2,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為,連接

BO,則臺(tái)。的最小值是.

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找點(diǎn)3的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?？碱}型.

設(shè)C(0,M,過點(diǎn)8作軸，垂足為點(diǎn)〃，證明A/OC四AC〃B(44S),推出“C=。4出，可得

點(diǎn)8的坐標(biāo)為(〃?,〃?+1),推出點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線＞=x+l,根據(jù)垂線段最短解決問題即可.

【詳解】設(shè)。(。,加)，過點(diǎn)3作軸，垂足為點(diǎn)

NBHC=90°,NHCB+NB=90°,

???線段C4繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至線段C8,

ABAC=90。,CB=CA,NHCB+N/CO=90°,ZB=ZACO,

QDAOC=90°,:.^AOC^CHB（AAS）,HC=OA,HB=OC,

???點(diǎn)C(0,M,點(diǎn)41,0),.?.點(diǎn)3的坐標(biāo)為OM+1),.■.點(diǎn)5的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=x+l,

?.?直線。=%+1交X軸于石(-1,0),交歹軸于尸(0,1),.?.?！?。尸=1,￡尸=也，

15

過點(diǎn)。作產(chǎn)于丁.則。T=上石尸,

22

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)7重合時(shí)，03的值最小，最小值為"，

2

故答案為：(私機(jī)+1);旦.

2

10.(2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，已知“8C中，乙4c8=90。，NB4c=30°,

BC=2,4B=4,AC=20點(diǎn)。為直線48上一動(dòng)點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,

連接磯)、BE,點(diǎn)尸在直線上'上且。R=8C,貝IjBE最小值為.

【答案】V3

【分析】首先通過證明△CDF名△ECB(SAS)得到CF=BE,再根據(jù)垂線段最短將最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到的距

離，最后利用面積法計(jì)算即可.

【詳解】解：VZACB=90°,NBAC=30°,ZABC=60°,即NBDC+ZBCD=60°,

由旋轉(zhuǎn)可知：CD=CE,NDCE=60°=ZBCE+ZBCD,NBDC=ZBCE,

DF=BC

在ACDF和AECB中，\ZFDC=ZBCE,ACDF^△ECB(SAS),

CD=CE

CF=BE,則當(dāng)Cb_LN。時(shí)，C尸最小,即BE最小，vBC=2,AB=4,AC=26,ZACB=90°,

；?點(diǎn)C到4D的距離為處匹=至沱=6,的最小值為百，故答案為：V3.

AB4

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，面積法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，轉(zhuǎn)化思想.

11.(2023上?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在長方形/BCD中，AB=4,BC=3,E為邊上的點(diǎn),

且4E=1.尸為4D邊上的動(dòng)點(diǎn)，以E尸為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形GE尸，EF=EG.設(shè)CD中點(diǎn)為

M,則MG的最小值為

DMC

【分析】過點(diǎn)G作于a,過點(diǎn)、G作PN〃AB，證明△GEHg/XE/弘（AAS）,可得G〃=E4=1,

可得點(diǎn)G在平行4B且到4B距離為1的直線PN上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)加、G、b共線時(shí)，MG有最小值，即可

求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作G77L/8于過點(diǎn)、G作PN〃AB,NEHG=90。,

???四邊形/3C。是長方形也就是矩形，AB=4,BC=3,

ZD=ZA=90°=ZEHG,AD=BC=3,；.NAFE+NFEA=90°,

???△GEF是等腰直角三角形，EF=EG,;.NFEG=90°,

：.ZHEG+ZFEA=90°,:"HEG=NAFE,

'ZEHG=ZFAE

在△GEH和△E"中，\zHEG=NAFE,：.△GEHMEFA（AAS）,

EG=FE

GH=EA=1,??點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線PN上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)M、G、b共線時(shí)，MHAB,則9/，尸N,此時(shí)MG有最小值，

此時(shí)ND=NA=ZAHM=90°，二四邊形是長方形，

：.MH=DA=3,：.MG=MH-GH=3-1=2,；.MG的最小值為2,故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查長方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，等腰直角三

角形的性質(zhì)，垂線段最短，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?貴州畢節(jié),中考真題）如圖，在RS/BC中，/8/。=90。,/5=3,8。=5,點(diǎn)p為邊上任意一

點(diǎn)，連接上4,以PA,PC為鄰邊作平行四邊形尸4。。，連接尸。，則尸。長度的最小值為.

A

【答案】二##2.4

【分析】利用勾股定理得到3C邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知。尸最短即為最短，利用垂線

段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明AC42s△CPO利用對應(yīng)線段的比得到0P的長度，繼而得到PQ的長

度.

【詳解】解：?.?皿C=90。,?3,3C=5,；.AC7BC=AB2=4,

???四邊形/PC。是平行四邊形，.，/。;。。，CO=AO,

"PQ最短也就是PO最短，.?.過O作BC的垂線0P',

ZACB=ZP'COZCP'O=NCAB=90°,.?,ACAB^ACP'O,

.?C?O胃=OP嗎'，.?2.1=O容P'，.?.”=6/???則產(chǎn)。的最小值為20P=129，故答案為：12

oCAB53555

【點(diǎn)睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂

線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題.

13.（2022?廣東?東莞二模）如圖，已知等腰三角形尸N5,乙BAP=45°,AB=AP,將三角形放在平面直角坐

標(biāo)系中，若點(diǎn)/（-3收，0）,點(diǎn)8在y軸正半軸上，則。夕的最小值是.

【答案】3近-3##-3+3亞

【分析】把△N03繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使48與線段4P重合，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為C,直線C尸交x軸于點(diǎn)

證得△/4CZ）為等腰直角三角形，可得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CP上，當(dāng)。尸1CP時(shí)，OP最短，當(dāng)。P1CP

時(shí)，△OPD為等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題.

【詳解】解：如圖，把八4。8繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使N8與線段4P重合，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,直線CP

交x軸于點(diǎn)。，

貝IJ/U03三ZL4CP,：./LBAO=Z.PAC,4c=—02=90°,AC=AO=3亞,

■：Z.BAP^S°,即N3/O+NP/O=45°,...乙PAC+乙PAO=45°,即NC4O=45°,

??.△ACD為等腰直角三角形，.??點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線CP上，

.?.當(dāng)OP1CP時(shí)，OP最短，當(dāng)OP1C尸時(shí)，△OPD為等腰直角三角形，

???A4CD為等腰直角三角形，AC=3亞，.?.4D=6AC=6,

：.OD=6-3&,：.OP=3舊3.即。尸最小值為3a-3.故答案為：372-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△/CD和△。尸。為等腰直角三角形.

14.（2022?江蘇宿遷?三模）如圖在中，乙4cB=90。，乙4=30。，BC=2.。是N8上一動(dòng)點(diǎn)，以DC為

斜邊向右側(cè)作等腰比ADCE,使NC應(yīng)＞=90。，連接3E,則線段2E的最小值為.

【分析】以ZC為斜邊在/C右側(cè)作等腰直角三角形/?C,邊E[C與AB交于點(diǎn)G,連接?E延長與交

于點(diǎn)尸，作BEzLE用于點(diǎn)Ez，由&△DCE與為等腰直角三角形，可得乙DCE=KDE=UCE產(chǎn)

乙CAEi=45°,于是乙4CD=4E￡E,因此△/CD“Z\E/CE,所以NC4Z）=NC?￡=30。，所以￡在直線?￡上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BE2IEF時(shí),BE最短,即為8曷的長.

【詳解】解：如圖，以/C為斜邊在NC右側(cè)作等腰直角三角形NE/C,邊EQ與AB交于點(diǎn)G,連接?E

延長與N8交于點(diǎn)尸，作BE2工E/于點(diǎn)、E2,連接CF,

■.■Rt/XDCE與RtAAEjC為等腰直角三角形，

：.3CE=乙CDE=UCEi=乙CAE】=45。/CD=HCE

CDAC

■■■—=—,:.AACDMEiCE,:.乙CAD=4CEjE=30°,

CAC力]

???。為N8上的動(dòng)點(diǎn)，在直線?E上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)尸時(shí)，BE最短,即為BE2的長.

在A4GC與△?GF中，乙iGC=LE]GF,乙CAG=LGE1F,

:.LGFE尸乙4CG=45°；.ABFE2=45°,

??2。1。=4。?￡=30。，.?.點(diǎn)/,點(diǎn)C,點(diǎn)F,點(diǎn)?四點(diǎn)共圓,

:.乙4EiC=UFC=90。,且々BC=60°,BC=2,：.BF=1,

■-BF=42BE2,：.BE2=^,故答案為：—.

22

【點(diǎn)睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握

含30。角和45。角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（2023?陜西師大附中三模）如圖，正方形48CZ）中，48=4,點(diǎn)E為邊8C上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)/繞點(diǎn)E

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F,則。尸的最小值為

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【答案】2山

【分析】48上截取/G=EC,過點(diǎn)。作。〃_LC/交CF的延長線于點(diǎn)H,證明△/GEgzXEC尸，ADCH是

等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解.

【詳解】如圖，N2上截取NG=EC,過點(diǎn)。作DHLC尸交CF的延長線于點(diǎn)4,

?.?正方形48co中，AB=4,將點(diǎn)/繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)尸，

:.BG=BE叢BEG是等腰直角三角形乙4EF=90°,NABE=NC=90。,