最值模型之費(fèi)馬點(diǎn)模型（解析版）

專題26最值模型之費(fèi)馬點(diǎn)模型

費(fèi)馬點(diǎn)問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位

不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué).費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之

外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等.費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個

頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。

【模型解讀】

結(jié)論1：如圖，點(diǎn)M為A43C內(nèi)任意一點(diǎn)，連接//、BM、CM,當(dāng)M與三個頂點(diǎn)連線的夾角為120。時，

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結(jié)論成立的條件是△NBC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此時費(fèi)馬點(diǎn)就

是最大角的頂點(diǎn)(這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。)

【模型證明】以48為一邊向外作等邊三角形A48E,將3M繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接EN.

???△ABE為等邊三角形，.?.4B=2E,MBE=60°.而乙MBN=60°,；./-ABM=cEBN.

AB=BE

在A4MB與△￡N8中，“ZABM=ZEBN，:-AAMBmAENB(SAS).

BM=BN

連接MV.由三八項(xiàng)汨知，AM=EN.?；/LMBN=60°,BM=BN,；ABMN為等邊三角形.

:.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.：.當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時，/M+3M+CM的值最小.

止匕時，Z5MC=18O°-zA^ffi=120°；UMB=4ENB=180°-乙BNM=120°；

zJA/C=360°-/.BMC-乙4MB=120。.

費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3,分別以A48C的/8、/C為一邊向外作等邊A48E和等邊A4CR連接C￡、BF,

設(shè)交點(diǎn)為則點(diǎn)”即為aZBC的費(fèi)馬點(diǎn)。

【最值原理】兩點(diǎn)之間，線段最短。

結(jié)論2：點(diǎn)尸為銳角A48C內(nèi)任意一點(diǎn)，連接/P、BP、CP,求x/P+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）

【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。

如：保持AP不變，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+^-CP）,如圖，B、P、P2,也四點(diǎn)共線時，取得最小值。

模型特征：PA+PB+PC（尸為動點(diǎn)）

①一動點(diǎn)，三定點(diǎn)；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與己知

三角形且與所作等邊三角形相對的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；③同時線段前可以有不為1的系數(shù)出

現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)。

例L（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同

一條直線上的三個點(diǎn)B,C,求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)

家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)"或"托里拆利點(diǎn)"，該問題也被稱為"將軍巡營"問

題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點(diǎn)）

當(dāng)“BC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到“'PC,連接PP,

故尸P=PC,又P'A'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時，P4+P8+PC取最小值，如圖2,最小值為H8,此時

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)"，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=⑶：

已知當(dāng)。3C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費(fèi)馬點(diǎn)"為該三角形的某個頂點(diǎn).如圖3,若/A4C2120。，

則該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”為⑷點(diǎn).

(2)如圖4,在“BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,已知點(diǎn)P為“BC的"費(fèi)

馬點(diǎn)"，求尸/+P2+PC的值；

A

⑶如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知/C=4km,8C=26km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向4B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4,B,C的鋪設(shè)成本分別為“

元/km,。元/km,也°元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含a的式子表示)

【答案】⑴①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④4(2)5(3)2折。

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)的方法將繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到A/'PC,即可得出可知當(dāng)2,P,P,/在

同一條直線上時，P/+P2+PC取最小值，最小值為在根據(jù)乙4。8=30?？勺C明

NAC4=NA'CP+NBCP+NPCP=90°,由勾股定理求即可，

(3)由總的鋪設(shè)成本=a(P/+P8+亞PC),通過將△/PC繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到"PC,得到等

腰直角APPC,得到回C=PP,即可得出當(dāng)8,尸，P,/在同一條直線上時，PH+P2+PP取最小值,

即PA+PB+?PC取最小值為A'B,然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出A'B即可.

【詳解】(1)W：;PC=P'C,ZPCP'=60°,

.?.△PCP'為等邊三角形；.-.PP'=PC,NP'PC=NPPC=60。,

又PA'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'WA'B,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B,P,P,N在同一條直線上時，P/+PB+PC取最小值，

最小值為H8,此時的P點(diǎn)為該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”，

ZBPC+ZP'PC=180°,NA'PC+NPP'C=180°,.-.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又："PC=^A'P'C,NAPC=ZAP'C=120°,

；.NAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°；

■■ZBAC>120°,：.BC>AC,BC>AB,：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三個頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)/到另外兩個頂點(diǎn)的距離和最小.

又???已知當(dāng)AABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn).

二該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)/,故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

(2)將△4PC繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AAP'C,連接尸P,

由(1)可知當(dāng)3,P,P',/在同一條直線上時，P/+PB+PC取最小值，最小值為48,

?；NACP=ZA'CP',1?.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=NACB=30°,

又???NPCP=60°ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,AB7BC?+4c2=J42+32=5,二尸/+依+尸C最小值為5,

(3)?:總的鋪設(shè)成本=PA-a+PB-a+PC/a=a(PA+PB+叵PC)

當(dāng)尸/+P3+41PC最小時，總的鋪設(shè)成本最低，

將△川(2繞，點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A/'PC,連接尸P,A'B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

???PP'=6PC，PA+PB+亞PC=P'A'+PB+PF，

當(dāng)2,P,P',/在同一條直線上時，尸訝+?8+尸口取最小值，即P/+P8+回C取最小值為H8,

過點(diǎn)H作4H13C,垂足為?.?44c3=60。，ZACA'=90°,ZA/CH=30°,

...A'H=^A'C=2km,HC=ylAC2-AH2=A/42-22=273（km），

BH=BC+CH=273+2指=46（km），：.A'B=^AH2+BH2=J（4后+2?=2^/13（km）

PA+PB+6PC的最小值為2Vi?km

總的鋪設(shè)成本=取?。+必?。+尸0缶=。（尸工+尸8+行尸0=2舊。（元）故答案為：25a

【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

例2.（2023,廣東深圳,二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形48co對角線2。（不含3點(diǎn)）上任

意一點(diǎn)，BM=BN,NABN=15。（點(diǎn)N在4?的左側(cè)），當(dāng)NA/+8M+CN的最小值為6+1時，正方形的邊

【答案】41

（分析］首先通過SAS判定△，必必會△EWB，得出㈤0=EN,因?yàn)閆ABD+ZABN=60。，2"=8N,得出RMNB

是等邊三角形，AM+BM+CM^EN+MN+CM,而且為最小值，我們可以得出EC=G+1,作輔助線，過點(diǎn)E

作所12C交C8的延長線于尸，由題意求出/EAF=30。，設(shè)正方形的邊長為x,在RtAEFC中,根據(jù)勾

股定理求得正方形的邊長為亞.

【詳解】?；"BE為正三角形，；.NABE=60°,AB=BEZNBE=ZABE-ZABN=45°

-：BD是正方形ABCD的對角線，:2ABD=45°ZABD=ZNBE.

BM=BN

在4AMB和4ENB中<ZMBA=NNBE,△AMB^AENB(&4S)AM=EN

AB=EB

在△AffiN中，/ABD+ZABN=60。又?；BM=BN,；.AMBN為等邊三角形，；.MN=BM.

■-AM+BM+CM最小值為V3+1..--EN+MN+CM的最小值為有+1即CE=百+1.

過點(diǎn),E作EFJ.BC交CB的延長線于尸，可得ZEBF=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長為X,則EF=；.

22

在RtAEFC,vEF2+FC2=EC2,■■(j)2+(^x+x)2=(V3+1)2

解得x=0(負(fù)值舍去)????正方形的邊長為正.故答案為：V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角

三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例3.(2023春?江蘇?八年級專題練習(xí))如圖，四邊形ABCD是菱形，A8=6,且乙48c=60°,M是菱形內(nèi)

任一點(diǎn)，連接/跖BM,CM,則/M+2M+CN的最小值為.

【答案】673

【分析】以AW為邊作等邊AS兒W,以3c為邊作等邊△8CE,如圖，則4BCMSBEN,由全等三角形的對

應(yīng)邊相等得到Q3NE,進(jìn)而得到腦V+7VE.當(dāng)/、M、N、￡四點(diǎn)共線時取最小值/￡.根

據(jù)等腰三角形"三線合一”的性質(zhì)得到AH=EH,根據(jù)30。直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】以BM為邊作等邊4BMN,以8c為邊作等邊△8CE,貝！IW=5N=MMBC=BE=CE,

S1BN=LCBE=6O°,:.NBC=KBE,.-.ABCM=ABEN,:.CM=NE,：.AM+MB+CM^AM+MN+NE.當(dāng)/、M、

N、E四點(diǎn)共線時取最小值NE.?.?/5=8C=8￡=6,UBH=AEBH=6。。,：.BHLAE,AH=EH,乙B4H=30°,：.BH=

^AB=3,AH=^BH=3C，--AE=2AH=6^■故答案為6

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì).難度比較大.作出恰當(dāng)

的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

例4.（2023春?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形N3CZ）內(nèi)一點(diǎn)，且48=5,AD=8,N為

邊3c上一點(diǎn)，連接M4、MD、MN,則K4+MD+MV的最小值為.

【答案】5+473

【分析】將■繞點(diǎn)N逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到V/D'”,連接。MM',然后即可得為等邊三角

形，同理VRW為等邊三角形，接著證明當(dāng)M。、MM'、三條線段在同一直線上，MM'+M'D'+MN

的值最小，即M4+MD+MN的值最小，過點(diǎn)。必乍Z）'E_LBC于點(diǎn)E,即M4+MD+MN最小值為：D'E,

問題隨之得解.

【詳解】如圖所示，將繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到V4D'”,連接MM',

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：ND4D'=60°,AD=AD',MD=M'D',

"DD'為等邊三角形，同理V/M，為等邊三角形,

AM=AM'=MM',AD=AD'=DD'=8,：.MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,

，當(dāng)線段MD'、MM'、MV三條線段在同一直線上，且該直線與8C垂直時，++九W的值最小,

即M4+MD+MV的值最小，如下圖，過點(diǎn)OC作DEL3c于點(diǎn)E,交4D于點(diǎn)尸,

M4+MD+MN最小值為：D'E,在矩形/BCD中，DELBC于點(diǎn)、E,

即可知四邊形物跖是矩形，D'ELAD,BPAB=EF=5,

■■■^ADD'為等邊三角形，D'FlAD,：.AF=FD=14D=4,

D'F=yJD'A2-AF2=4y/3，D'E=EF+D'F=5+473,

++的最小值為5+46，故答案為：5+473.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最

短等知識，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

例5.（2023,廣東廣州?校考二模）平行四邊形/3C。中，點(diǎn)E在邊2C上，連/E,點(diǎn)尸在線段/E上，連

BF,連/C.

D

，/VK//\X、IflyG/

/i\/i/?1ri.#Xj////工

/\\//z\\////

/x./?/^/~\4~\C//B^/F/.i

圖I圖2

⑴如圖1,已知48//C,點(diǎn)E為8C中點(diǎn)，BFLAE.若2E=5,BF=2屈,求"的長度；

(2)如圖2,己知N8=NE,ZBFE=ABAC,將射線/E沿/C翻折交C。于〃，過點(diǎn)C作CG，NC交/〃于

點(diǎn)G.若//CB=45。，求證：AF+AE=AG；

⑶如圖3,已知工NC,若N4CB=3。。,48=2,直接寫出4F+/+C尸的最小值.

【答案】(1)/尸=4(2)見解析(3)2萬

【分析】(1)根據(jù)"直角三角形的中線等于斜邊長一半”，可以得到4E=BE=CE=5,再在直角所中,

利用勾股定理求出E尸，則/尸=/石-斯，即可求解；

(2)由題意可得，/C是/GCE的角平分線，且CGL/C,故延長GC交于點(diǎn)“，可證NG=/M,

要證NG=/E+N尸，\^AM=AE+EM,即證明/尸即可，延長3F交/C于N,過E作EP_L4。于

P,先證明A/8NGAE4尸，可以得到NN=EP,再證明四邊形EQCP是正方形，得到EQ=EP="N,接著

證明A/NF會AEQM即可解決；

(3)如圖3,分別以在'和/C為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造"手拉手"模型，即可得到A/FC咨所以

CF=MN,FM=AF,則4尸+8尸+C尸=3F+FJW+MN,當(dāng)B,F,M,N四點(diǎn)共線時，所求線段和的值

最小，利用NB/N=150。，AB=2,AC=AN=2。解A/8N即可解決.

【詳解】(1)-：AB1AC,如圖1,

_______________.D

/.ABAC=90°,E為BC的中點(diǎn)，AE=5,；.AE=BE=EC=5,

■■BFA.AE,.-.ZBFE=9Q°,在RtZiBE尸中，EF=NBE2-BF2=1，■-AF=AE-EF=4■.

(2)證明：如圖2,設(shè)射線4E與射線GC交于點(diǎn)由題可設(shè)NC4M=/C4G=a,

VACVCG,ZACM=ZACG=90°,ZAMG=ZAGM=90°-a,AM=AG,

???/BFE=ABAC,??./ABF+/BAE=/CAM+/BAE,??./ABF=/CAM=a,

???AB=AE,???/ABE=ZAEB,???/ABF+/FBE=NACB+/CAM,

???/ABF=/CAM=a,//CB=45。，ZFBE=ZACB=45°,延長3/交ZC于N,

:.BN=CN,/BNC=/ANF=90。,過E作于尸，貝lj尸￡=/BAC4=90。，

ZBNA=NAPE

在AABN與AEAP中，｛/ABN=NEAP,"BNAEAP(AAS),AN=EP,

AB=EA

過E作E0LCW于0,.?./EQC=N4CM=NEPC=90。，???四邊形E。。尸為矩形，

?/ZBCM=900-ZACB=45°,ZBCM=ZACB,：.EP=EQ=AN,

??.矩形￡0C尸為正方形，.?./〃E0=/E4N,

'/ME。=/FAN

在△ME。與中，\EQ=AN,AEQM^A^2VF(ASA),AF=EM,

\ZEQM=ZANF=90°

-AM=AE+EM,.'.AG=AE+AF；

(3)解：如圖3,把4c繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到/N,得到等邊△ZCN,同理以"'為邊構(gòu)造等邊

/\AFM,

EB匕——■

圖3'

/.AF=AM=FM,AC=AN=CN,ZFAM=ZCAN=60°,

???ZFAM-/MAC=/CAN-ZMAC,??.ZCAF=/NAM,

AF=AM

在與A4W中，IzCAF^ZNAM,AAFC^AAMN（SAS）,

AC=AN

■■,CF=MN,.-.AF+BF+CF=BF+FM+MN,

當(dāng)B,F,M,N四點(diǎn)共線時，4F+8尸+C尸最小，即為線段BN的長度，如圖4,

過N作NT_LR4交其延長線于T,：.NBTN=90°,

■：AB1AC,.-.ZBAC=90°,-AB=2,ZACB=30°,.-.BC=2AB=4,

■■AC=^BC2-AB2=2A/3.AN=AC^2^3,■■^BAN=ZBAC+ZCAN=150°,

ZTAN=180°-ZBAN=30°,在RMaN中，TN=、AN=C,

2

■■AT=>jAN2-TN2=3>■-TB=TA+AB=3+2=5,BN=yiTN2+TB2=2/7>

AF+BF+CF的最小值為2J7.

【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形綜合題，考查了線段的“截長補(bǔ)短"在證明三角形全等中的應(yīng)用，同時要注意基本

輔助線構(gòu)造方法，比如第（2）問中的線段/C既是角平分線，又是垂線段，延長相交構(gòu)等腰就是本題的突

破口，再結(jié)合線段的截長補(bǔ)短來構(gòu)造全等，還考查了多條線段和的最值問題，利用旋轉(zhuǎn)變換來轉(zhuǎn)化線段是

解決此間的關(guān)鍵.

例6.（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王

的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私

人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條

直線上的三個點(diǎn)4B,C,求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)尸的位置.托里拆利成功地解決了費(fèi)

馬的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點(diǎn)4B,C距離之和最小的點(diǎn)稱為A/5C的費(fèi)馬-托

里拆利點(diǎn)，也簡稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn).問題解決：

（1）費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△8PC繞點(diǎn)8順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到A3DE,連接PD,可得△APD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，P/+P8+PC的最小值與線段_的長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形4BC內(nèi)部有一動點(diǎn)尸，NA4c=90。，乙4c2=30。，連接PN,PB,PC,若/3=2,

求P/+P2+PC的最小值；（3）如圖3,菱形/BCD的邊長為4,UBC=60。,平面內(nèi)有一動點(diǎn)E,在點(diǎn)￡運(yùn)

動過程中，始終有N8EC=90。，連接4E、DE,在AADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P,使得PN+PA+PE最小，若存

在，請直接寫出P/+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)兩點(diǎn)之間，線段最短；AE；(2)2療；(3)存在，2岳-2

【分析】(1)連接NE,由兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；

(2)在放AIBC中先求出4C,將ABPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△(?￡)￡,連接尸￡＞、AE,由兩點(diǎn)之間線

段最短可知，P/+P2+PC的最小值與線段/￡的長度相等，根據(jù)勾股定理即可求解；

(3)在/XADE內(nèi)部取一點(diǎn)尸，連接尸4、PD、PE,把△取￡＞饒點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△/GD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，P/+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等，再根據(jù)圓的特點(diǎn)、菱形與勾

股定理即可求出GE,故可求解.

【詳解】(1)連接4E,如圖，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，P4+P5+PC的最小值為線段/￡的長

故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；AE；

圖1

(2)?.?在/ZL48C中，N3NC=90°,々C3=30°,AB=2

；.BC=2AB=4由勾股定理可得心JBC?-//=26

如圖2,將aBPC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△CDE,連接PD、AE,可得△CP。為等邊三角形，乙BCE=60°

A

Pl

B

：.PD=PC由旋轉(zhuǎn)可得?！?P8,C￡=5C=4.-.PA+PB+PC=PA+DE+PD

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段/￡的長度相等

?.?ZJCE="C3+Z5c￡=30°+60°=90°.?.在RtAACE中，AE=^AC2+CE2=2幣

即PA+PB+PC的最小值為2將；

(3)存在在A/DK內(nèi)部是否存在一點(diǎn)尸，使得P/+PD+PE最小，

如圖3,在ZUOE內(nèi)部取一點(diǎn)P,連接上4、PD、PE,把饒點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△尸G。，連接

PF、GE、AG,可得△2￡＞「、ZUDG均為等邊三角形

：.PD=PF由旋轉(zhuǎn)可得PA=GF

.■.PA+PD+PE=GF+PF+PE,兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長度相等

???A8EC=90。.■.點(diǎn)E在以8C為直徑的。。上，如圖3貝！|O8=OC=13C=2

2

如圖3,連接OG交OO于點(diǎn)〃，連接CG交/。于點(diǎn)K,連接/C,則當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)〃重合時，G￡取最小值,

即PA+PD+PE的最小值為線段GH的長

?菱形ABCD的邊長為4,/,ABC=60a：.AB=BC=CD=AD=4

；.AABC、AACD均為等邊三角形；.AC=CD=AD=DG=AG=4,乙4c慶乙4CD=60。

???四邊形/CZ）G是菱形，乙4CG=g乙4。。=30。.-.CG,互相垂直平分

：QK=yAD=2.,.根據(jù)勾股定理得CK=JCD2-DK2=2G--CG=2CK=46

?.?z<9CG=A4C5+Z^CG=60°+30o=90°.-.^Rt/^OCG中,OG=VoC2+CG2=2而

■：OH=OC=1：.GH=OG-OH=2V13-2即PA+PD+PE的最小值為2岳-2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形與圓綜合的最短距離，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓周角定理及兩點(diǎn)之

間的距離特點(diǎn).

例7.（2023?江蘇?校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形N8C。的四個頂點(diǎn)上，/8=10公里，BC=15公

里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E,F,則區(qū)4+座+￡〃+尸。+即的最小值為公里.

【答案】15+106

【分析】將A4E8繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AAGH,連接BH、EG,將△DFC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

4DFM,連接CM、FM、FF,如圖2,此;時￡77、EF、尸N共線，K4+EB+EF+FC+FD是最小值,利用旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，相加即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,將繞4順時針旋轉(zhuǎn)60。得△/G”,連接8"、EG,將△0PC繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)

60。得到△。尸跖連接CM、FF,

圖1

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH,AE=AG,乙EAG=^BAH=60°,BE=GH,

；&EG和ZU3”是等邊三角形，.?./E=EG,

同理得：△￡>"'和△￡>CM是等邊三角形，DF=FF,FC=FM,

:?當(dāng)H、G、E、F、F、M在同一條直線上時，E4+EB+EF+FC+FD有最小值,如圖2,

圖2

■：AH=BH,DM=CM,是48和CD的垂直平分線，：.HMLAB,HMLCD,

"AB=10,.-.AABH的高為5石，

.■.EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+50+56=15+106，

則E4+￡2+EF+PC+ED的最小值是（15+10行）公里.故答案為：（15+106）.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和最短路徑問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，確定最小值時點(diǎn)E和尸

的位置是本題的關(guān)鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結(jié)論.

例8.（2023下?陜西西安?九年級?？茧A段練習(xí)）問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種

基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互?/p>

間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

融+28+尸。的最小值.

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為

折），再利用"兩點(diǎn)之間線段最短"求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將△8PN繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60。至連接PP、AC,記A'C與交于點(diǎn)、D,易

知BA'=BA=BC=1,ZA'BC=NA'BA+NABC=120°.由BP'=BP,ZP'BP=60°,可知中BP為正三角形，

有PB=P'P.

^LPA+PB+PC=P'A+P'P+PC>A'C=y/3.因止匕，當(dāng)/'、p、尸、c共線時，PN+尸8+尸C有最小值是火.

學(xué)以致用：（1）如圖3,在“8C中，NA4c=30。,/2=4,。=3,「為448。內(nèi)部一點(diǎn)，連接P4PB、PC,

則尸/+P5+PC的最小值是.（2）如圖4,在。中，/BAC=45。,AB=26,CA=3,P為—BC內(nèi)

部一點(diǎn)，連接尸4PB、PC,求行P/+P8+PC的最小值.

【答案】（1）5（2）亞

【分析】⑴將△4PC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△回￡,易知“FP是等邊三角形，ZEAB=90°,轉(zhuǎn)化為

兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用"兩點(diǎn)之間線段最短"求最小值（化折為直）.（2）將A4尸8繞點(diǎn)A逆

時針旋轉(zhuǎn)90。得到易知是等腰直角三角形，NE48=135。，作交2/的延長線于

H.轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用"兩點(diǎn)之間線段最短"求最小值（化折為直）.

【詳解】（1）解：如圖3中，

小'、

將LAPC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到A4FE，,AP=AF,NBAF=NCAE=60°,

是等邊三角形，AEAB=90°,在中，BE=J/爐+AB?=5，

■;PA+PB+PC=EF+FP+PB>BE,PA+PB+PC>5,P/+P8+PC的最〃、值為5.故答案為5.

(2)如圖4中，

將尸8繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△/尸E,.?.4F=/P,NFAP=NBAE=90。,

.?.△/燈是等腰直角三角形，；./區(qū)48=135。，作EHL2/交24的延長線于7/.

在RtZXEN”中，ZH=90°,AEAH=45°,AE=AB=272/.EH=AH=2,

在RtZXEHC中，EC=yll2+52=V2942PA+PB+PC=FP+EF+PC>CE，

■-41PA+PB+PC2區(qū),■-6PA+PB+PC的最小值為V29.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點(diǎn)之間線段最短時

的位置的確定，解本題的關(guān)鍵是確定取最小值時的位置.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?宜賓?中考真題）如圖，A/BC和A4DE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，點(diǎn)、D是BC

邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)3、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F,連結(jié)CE.下列結(jié)論：①BD=CE；

4

②ZDAC=NCED；③若BD=2CD,則——=—；④在AZBC內(nèi)存在唯一一點(diǎn)尸，使得尸/+PB+PC的值

AF5

最小,若點(diǎn)。在/尸的延長線上，且NP的長為2,則CE=2+VL其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）

C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】證明之即可判斷①，根據(jù)①可得4〃）8=//EC,由//OC+N/EC=180?？傻?/p>

4，C,E四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得乙EUC=NOEC,即可判斷②，過點(diǎn)A作/GL8C于G,交助的延長線于點(diǎn)

CF4

H,證明AE4"SAFCE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得F=即可判斷③，將△/PC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)

60度，得到△/QP,則“尸尸是等邊三角形，根據(jù)當(dāng)9,P,P,C共線時，尸/+尸5+尸。取得最小值，可得

四邊形/OCE是正方形，勾股定理求得。尸，根據(jù)?！?/。=/尸+尸。即可判斷①.

【詳解】解：：A/3C和A/DE都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.?.△BAD咨4CAE2。=CE故①正確；

AB4D知C4EZADB=ZAECNNOC+NNEC=180°，42C,E四點(diǎn)共圓，

?.?CO=CD4c=/D￡C故②正確；如圖，過點(diǎn)A作NG,2c于G,交E。的延長線于點(diǎn)X,

B

ABAD知CAE,；.NACE=ZABD=45°,ZACB=45°ADCE=90°FC//AH

r)c1CD1

vBD=2CD,BD=CEtmZDEC=——=-,—=-

CE2BC3

設(shè)5C=6Q,則。。=2Q,AG=-BC=3a,EC=2DC=4。貝ljGO=GC—DC=3。-2。二。

2

GDI

FC//AH：.tan”=——=一:.GH=2GD=2aAH=AG+GH=3a+2a=5a

GH2

,cCFCECF4a4n,CF4生廠、-

.〔AE4HsAFCE.?.二；=『==則下?=［；故③正確

AFAHAF5a5AF5

如圖，將A4BP繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60度，得到△4BF,貝葭4PP'是等邊三角形，

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC>B'C,當(dāng)B',P,P,C共線時，P/+PB+PC取得最小值，

止匕時ZCPA=180°-NNPP=180°—60°=120°,乙4PB=ZAP'B'=1SQ°-ZAP'P=180°-60°=120°,

ZBPC=360°-ZBPA-NAPC=360°-120°-120°=120°,此時NAPB=NBPC=NAPC=120°,

AC=AB=AB',AP=AP',NAPC=NAP'B',:.AAP'B&APC,PC=P'B'=PB,

■：ZAPP'=ZDPC=60°,:.DP平分NBPC,PD±BC,

?.?4D,C,E四點(diǎn)共圓，ZAEC=ZADC=90°,

又4D=DC=BD,ABAD知CAE,AE=EC=AD=DC,則四邊形4）CE是菱形，

又/4DC=90。，.,.四邊形ADCE是正方形，

ZB'AC=ZB'AP'+APAC+AP'AP=90°+60°=l50°,

則8'/=8/=/C,AB'=AACB'=1（180°-AB'AC}=15°,

ZPCD=30°,DC=43PD,■-DC=AD,AP=2,

2

則/尸=/￡）-￡）尸=（若一1）Z）P=2,:必=忑~^=拒+\,

AP=2,CE=AD=AP+PD=y/3+3,故④不正確，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形

的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)

2.（2023?成都實(shí)外九年級階段練習(xí)）如圖，在。3c中，NCAB=90°,AB=AC=1,P是“8C內(nèi)一點(diǎn)，

求尸/+尸8+PC的最小值為.

【分析】將41PC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△。尸C,可得PC=PF,DF=AP,將P/+P8+PC轉(zhuǎn)化為

FD+BP+PF,此時當(dāng)8、P、F、。四點(diǎn)共線時，P4+P8+PC的值最小，最小值為8D的長；根據(jù)勾股

定理求解即可.

【詳解】解：將A4PC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△。/C,連接PRAD.DB,過點(diǎn)。作?！?民4,交助的

延長線于點(diǎn)E；；.4P=DF,4PCF=UCD=60°,PC=FC,AC=CD,

???△PCRZUCZ）是等邊三角形，.?.尸C=PRAD=AC^1,。4c=60。

:.PA+PB+PC=FD+BP+PF,

.??當(dāng)2、P、F、。四點(diǎn)共線時，尸/+P8+PC的值最小，最小值為AD的長；

?；NCAB=90°,ACAD=6Q°,:"AD=30。,

DE=--AD=—,AE=VAD2—ED2=,

222

■-BE=\+—,:.BDZBE2+DE?="+后,

22

PA+PB+PC的值最小值為a*五.故答案為：&也

22

4：，—"序

v*

/I

/

BT-.......-.........—,C

【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將A4PC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△。尸C,將三條線段的長

轉(zhuǎn)化到一條直線上.

3.（2023?廣東廣州?一模）如圖,在出入48。中，4BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)，作PD1BC

于點(diǎn)。，線段4D上存在一點(diǎn)0,當(dāng)Q/+Q2+QC的值取得最小值，且/。=2時，則如=________.

A

C

【答案】3+V3

【分析】如圖1,將△BQC繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△2NA1,連接0N,當(dāng)點(diǎn)/，點(diǎn)0,點(diǎn)N,點(diǎn)〃■共線

時，Q/+02+0C值最小，此時，如圖2,連接MC,證明/〃垂直平分BC,證明40=8。，此時尸與。重

合，設(shè)PD=x,則。0=x-2,構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,將繞點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△BMW,連接。N,

2（尸）

：.BQ=BN,QC=NM,乙QBN=60°,.?.△5QN是等邊三角形，

■■.BQ=QN,.-.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

二當(dāng)點(diǎn)/，點(diǎn)0,點(diǎn)N,點(diǎn)/共線時，0N+Q8+QC值最小，此時，如圖2,連接

?.?將△?℃繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到."。"可，BC=BM,4QBN=60°=4CBM,

???△8QN是等邊三角形，&CBM是等邊三角形，；/BQN〃BNQ=60°,BM=CM,

■：BM=CM,AB=AC,,???垂直平分8C,"AD1BC,乙BQD=60。,：.BD=^QD,

"B=AC,4B4C=90°,ADLBC,：.AD=BD,此時P與。重合，設(shè)尸D=x,則。Q=x-2,

.1.x=tan60°x（x—2）=^3（x—2）,.\r=3+百，.■.尸￡>=3+百.故答案為：3+*）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題.

4.（2019?湖北武漢?中考真題）問題背景：如圖，將A4BC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AIDE,DE與BC交

于點(diǎn)P,可推出結(jié)論：PA+PC=PE

問題解決如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=15°,MG=4^/L點(diǎn)。是AMNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到AMNG

三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是

rE

A

——\fp、C/*0\

DN乙----------

【答案】2屈

【分析】如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△MPQ,易知△MOP為等邊三角形，繼而得到點(diǎn)。

到三頂點(diǎn)的距離為：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,由此可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)N、。、P、Q在同一條直線上時，

有ON+OM+OG最小，此時，ZNMQ=75o+60o=135°,過Q作QA_LNM交NM的延長線于A,利用勾股定

理進(jìn)行求解即可得.

【詳解】如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△MPQ,

顯然△MOP為等邊三角形，.?.OM+OG=OP+PQ,

.,.點(diǎn)。到三頂點(diǎn)的距離為：ON+OM+OG=ON+OP+PQ,

二當(dāng)點(diǎn)N、0、P、Q在同一條直線上時，有ON+OM+OG最小，此時，ZNMQ=75o+60°=135°,

過Q作QA1NM交NM的延長線于A,則NMAQ=90。，.-.zAMQ=180°-ZNMQ=45,,,

???MQ=MG=4收，.-^（1=AM=MQ?cos450=4,

■1.NQ=^AN2+AQ2=7（4+6）2+42=2729,故答案為2月.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，最短路徑問題，勾股定理，解直角三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定

的難度，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?重慶?九年級專題練習(xí)）如圖，MBC中，NBAC=30。且AB=AC,P是底邊上的高A”上一點(diǎn).若

AP+BP+CP的最小值為2a,貝!]BC=.

【答案】V6-V2

【分析】如圖將4ABP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AAMG.連接PG,CM.首先證明當(dāng)M,G,P,C共線時,

PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，想辦法求出AC的長即可解決問題.

【詳解】如圖將4ABP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到aAMG.連接PG,CM.

?；PA=PA,???△BAP^ACAP(SAS),.?.PC=PB,

?.-MG=PB,AG=AP,NGAP=60。，???△GAP是等邊三角形，

.■.PA=PG,：.PA+PB+PC=CP+PG+GM,

.?.當(dāng)M,G,P,C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，

???AP+BP+CP的最小值為2亞，；.CM=20,

??1ZBAM=60°,ZBAC=30°,.?ZMAC=90°,；.AM=AC=2,

作BN1AC于N.貝l|BN=，AB=：L,AN=5CN=2-6,

???BC=^BN2+CN2=Jl2+(2-73)2=V6-亞?故答案為76-72.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問