浙教版八年級數(shù)學專項復習：三角形的初步認識 單元綜合檢測（解析版）

第07講三角形的初步認識單元綜合檢測

一、單選題

1.下列長度的各組線段能組成三角形的是（）

A.15cm,10cm,7cmB.4cm,5cm,9cm

C.3cm,8cm,5cmD.3cm,6cm,3cm

【答案】A

【分析】根據三角形的三邊關系解答即可.

解：A,V7+10>15,/.15cm,10cm,7cm的三條線段能組成三角形，符合題意;

B>V4+5=9,/.4cm,5cm,9cm的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

C>>.13+5=8,3cm,8cm,5cm的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

D、：3+3=6,3cm,6cm,3cm的三條線段不能組成三角形，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，屬于基礎題目，熟知三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩

邊之差小于第三邊是解題的關鍵.

2.下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）

【分析】根據三角形高的定義判斷即可得到答案.

【解析】解：ABC中AC邊上的高即為過點2作AC的垂線段，該垂線段即為AC邊上的高，四個選項中

只有選項D符合題意，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形高線定義，解題的關鍵是熟知過三角形一個頂點作對邊的垂線得到的線段

叫三角形的高.

3.下面命題中，是假命題的為（）

A.三角形的中線、角平分線、高都是線段B.任意三角形的內角和都是180。

C.三角形的外角大于該三角形任意一個內角D.直角三角形中的兩個銳角互余

【答案】C

【分析】根據三角形的中線、角平分線、高的定義、三角形的內角和定理、三角形的外角的性質逐一進行

判斷即可

【解析】解：A.三角形的中線、角平分線、高都是線段，是真命題；

B.任意三角形的內角和都是180。，是真命題；

C.三角形的外角大于該三角形任意一個和它不相鄰內角，是假命題；

D.直角三角形中的兩個銳角互余，是真命題；

故選：C

【點睛】本題考查了三角形的中線、角平分線、高的定義、三角形的內角和定理、三角形的外角的性質，

熟練掌握相關的知識是解題的關鍵

4.如圖，已知/A5C,以點8為圓心，適當長為半徑作弧，分別交于。，P；作一條射線EE,以

點廠圓心，3。長為半徑作弧I,交所于點H；以〃為圓心，PD長為半徑作弧，交弧/于點。；作射線為2.這

樣可得NQEE=ZABC,其依據是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【分析】根據題意得出3P=BO=尸Q=DP=QH,利用SSS證明以注根據全等三角形的性

質即可得出NQFE=ZABC.

【解析】解：如圖，連接DP,QH,

根據題意得，BP=BD=FQ=FH,DP=QH,

BP=FQ

在△P3D和QFH中，＜BD=FH,

DP=QH

；.ZXPBD公△QFH(SSS),

ZABC=NQFE,

故選：A.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

5.如圖，△ACBZAA'CB',ZBCB,=30°,則NACA的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據全等三角形的性質得到ACS',結合圖形計算，得到答案.

【解析】解：???△ACBg/XACfi',

ZACB=ZACB',

：.ZACB-ZACB=ZACB'-ZACB,

：.ZACA^ZBCB=30°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵.

6.如圖，AB與CD相交于點。，且。4=03,添加下列選項中的一個條件，不能判定‘AOC和BOD全等

的是（）

A.OC=OD

B./A=/B

C.AC=BD

D.AC//BD

【答案】C

【分析】已知AO=3O,由對頂角相等可得到—AOC=—3OD,根據全等三角形的判定方法依次判斷即可.

【解析】解：題目隱含一個條件是/AOC=4。。，已知是AO=50,

A、OC=OD,根據SAS判定三角形全等，不符合題意；

B、=根據ASA判定三角形全等，不符合題意；

C、AC=BD,SSA無法判定三角形全等，符合題意；

D、AC//BD,

；./A=NB,ZC=ZD,根據ASA或AAS能判定三角形全等，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，靈活選用全等三角形的判定方法是解題關鍵.

7.下列所給條件中，能畫出唯一的ABC的是（）

A.AC=3,AB=4,3C=8B.ZA=50。,ZB=30。,AS=10

C.ZC=90°,AB=90D.AC=4,AB=5,ZB=60°

【答案】B

【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三邊關系分別判斷得出即可.

【解析】解：A、3+4<8,不符合三角形三邊關系定理，即不能畫出三角形，故本選項不符合題意；

B、ZA=50°,=30°,AB=10,根據ASA能畫出唯一-ABC,故此選項符合題意；

C、ZC=90°,90,不能根據條件畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；

D、AC=4,AB=5,ZB=60°,不能根據條件畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；

故選：B

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及三角形三邊關系，正確把握全等三角形的判定方法是解題

關鍵.

8.如圖，AD是ABC中/區(qū)4c的平分線，DE上AB于點、E,A5C的面積為7,DE=2,AB=4,則AC

的長是（）

【答案】A

【分析】作。F1AC于尸，證明止=DE=2,由面積可得［xABxDE+IxACxDFn7,從而可得答案.

22

【解析】解：作OF1AC于E

；AD是.ABC中,5AC的角平分線，DEJ.AB,DF1AC,

:.DF=DE=2,

：.-xABxDE+-xACxDF=y,

22

—x4x2H—xACx2=7,

22

解得AC=3,

【點睛】本題考查的是角平分線的性質，三角形面積公式的應用，熟記角平分線的性質并靈活應用是解本

題的關鍵.

9.如圖，甲、乙、丙三個三角形，每個三角形的內角均為55。,60。,65。.記甲、乙、丙三個三角形的周長依

次為4、/乙、/再.已知AB=OE=G”,則%、/乙、/丙的大小關系為()

C.，甲＜，丙〈/乙D./丙＜^＜，甲

【答案】B

【分析】在甲三角形中，作459=65。，交AC的延長線于點尸，易證.ABF'烏瓦彳(SAS),即得出

CABF'=C_EDF?再根據CABF'＞CABC，即得出CEDF＞CABC，即/乙〉/甲；同理可證/丙＞I乙,即得出％〈/乙〈/丙.

【解析】解：如圖，在甲三角形中，作NABP'=65。，交AC的延長線于點F,

ZABF'=ZEDF

在‘ABF'和一￡D尸中，,AB=DE

ZBAF'=ZDEF

：.^ABF'^EDF(SAS),

?r—c

,,JABF'_JEDF?

1?c>c

?LABF'JABC，

即/乙＞/甲；

■■cEDF>cABC,

同理又可證/丙＞I乙,

..%〈/乙＜/丙.

故選B.

【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質.正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵.

10.如圖，在一ABC中，/BAC和NA3C的平分線相交于點o,AE交BC于E,3F交AC于憶

過點。作OD，3C于。，下列四個結論：

?ZAOB=90°+ZC；②當NC=60。時，AF+BE=AB-,③若OD=a,AB+BC+CA=2b,貝1sAsc="，

其中正確的是（）

【答案】B

【分析】由角平分線的定義和三角形內角和定理可求解NAO3和NC的關系，進而判定①；根據NC=60。

得N54C+NBC4=120。，根據角平分線和三角形內角和定理得NBOE=60。，在A2上取一點H,使BH=BE,

利用SAS證明△HBOdEBO可得ZAOH=ZAOF=60°,利用ASA可證明△HAg&AO得AF=AH,進

而可判定②；作O〃_LAC于X,OM_LAB于跖根據題意得a/=OM=OD=a,AB+BC+CA=2b,

利用三角形面積即可判斷③，即可得.

【解析】解：和NABC的平分線AE,B尸相交于點。，

AZOBA=-ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

???ZAOB=180°-AOBA-ZOAB

=180°--ZCBA--ZCAB

22

=180°-1(180°-ZC)

=90°+-ZC,

2

故①錯誤;

ZC=60°,

JZBAC+ZBCA=120°,

VAE,砥分別是/B4C和/ABC的平分線,

ZOAB+/OBA=1(ZBAC+ZABC)=60°

/.ZAOB=120°,

JNAOb=60。，

JZBOE=60°,

如圖所示，在AB上取一點區(qū)使BH=BE,

???斯是/ABC的角平分線,

:./HBO=/EBO,

在△HBO和乙防。中,

BH=BE

<ZHBO=ZEBO

BO=BO

：.△班O(SAS),

???ZBOH=ZBOE=60°,

：.ZAO"=60。，

ZAOH=ZAOF=60°,

在.和石40中,

ZHOA=/FAO

<AO=AO

ZAOH=ZAOF

/.△HAOdEAO(ASA),

???AF=AH,

:.AB=BH+AH=BE+AF,

故②正確；

如圖所示，作。H_LAC于H,于",

???/BAC和/ABC的平分線相交于點O,

???點。在NC的平分線上，

OH=OM=OD=a,

AB+BC+CA=2b,

：.5AARr=-AB-OM+-AC^OH+-BC.OD

△MC222

=1(AB+AC+BC).?

=ab，

故③正確；

綜上，②③正確,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，三角形全等的判定與性質，解題的關鍵是掌

握這些知識點，添加輔助線.

二、填空題

11.木工師傅在做好門框后，為了防止變形常常按如圖那樣釘上兩根斜拉的木板條，即圖中的A3、。兩

根木條，其數(shù)學依據是.

【答案】三角形具有穩(wěn)定性

【分析】根據三角形的性質：三角形具有穩(wěn)定性，即可進行解答.

【解析】解：木工師傅在做好門框后，為了防止變形常常按如圖那樣釘上兩根斜拉的木板條，即圖中的A3、

8兩根木條，其數(shù)學依據是：三角形具有穩(wěn)定性；

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

【點睛】本題主要考查了三角形的性質，解題的關鍵是掌握三角形具有穩(wěn)定性.

12.如圖，已知,ABC今。BE,AB=4,BE=10,則的長是.

【答案】6

【分析】根據全等的性質可得AB=3D=4,BC=BE=10,觀察圖形得8=3。一9.

【解析】解：AABC^ADBE,AB=4,BE=10,

AB=BD=4,BC=BE=10,

.-.CD=BC-BD=W-4=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，熟練應用全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵.

13.如圖，己知N1=N2,要說明6ABe/BAD，

(1)若以“SAS”為依據，則需添加一個條件是；

(2)若以“ASA”為依據，則需添加一個條件是

【答案】BC=ADZBAC=ZABD

【分析】(1)根據SAS可添加一組角相等，故可判定全等；

(2)根據ASA可添加一組角相等，故可判定全等；

【解析】解：⑴已知一組角相等和一個公共邊，以“SAS”為依據，則需添加一組角，即=故答案

為：BC=AD-

(2)已知一組角相等，和一個公共邊，以“ASA”為依據，則需添加一組角，即/區(qū)4c=

故答案為：ZBAC=ZABD.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等.

14.如圖，已知AEBD,4=63。，/2=37。，則/C=.

工/E

【答案】26726M

【分析】由平行線的性質可得NAEC=N2=30。，再利用三角形的外角性質即可求/C.

【解析】解：AEBD,Z2=37°,

:.ZAEC=Z2=3T,

Z1=63°,Z1=ZC+ZAEC,

ZC=Z1-ZAEC=26°.

故答案為：26°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質及三角形外角的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行,

內錯角相等.

15.在中，3。平分/ABC,CO平分/AC3,當NA=50。時，ZBOC=°.

【答案】115

【分析】根據三角形的內角和定理和角平分線的定義求解即可.

【解析】解：???在一ABC中，30平分/ABC,CO平分/ACB,NA=50。,

180。—50。

ZOBC+ZOCB==65°

2

???ZBOC=180。-65。=115。；

故答案為：H5.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟記三角形的內角和是解題的關鍵.

16.如圖，在一ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于（AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點N,作直

線分別交8C,AC于點。，E.若AE=3,△ABD的周長為13,則,/1BC的周長為

【答案】19

【分析】利用線段的垂直平分線的性質得出AD=DC即可解決問題.

【解析】解：由題意可知，DE垂直平分線段AC,

；.DA=DC,AE=EC=3,

△ABD的周長為13,

.\AB+AD+BD=13,

；.AB+BD+DC=13,

AABC的周長=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19,

故答案為：19.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段的垂直平

分線的性質，屬于中考?？碱}型.

17.如圖，ABC的周長為18,BC=8,AD是邊BC上的中線，△ABD的周長比ACD的周長大2,則AC

的長為.

【答案】4

【分析】依據一ABC的周長為18,的周長比一ACD的周長大2,可得AB-AC=2,由此即可解題.

【解析】解：：ABC的周長為18,BC=8,

AB+AC=18-8=10,

?.〔ABM的周長比△ACN的周長大2,

AB-AC=2,

AB=6,AC=4,

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了三角形三角形中線的定義，解題時注意：中線分成的兩個三角形周長差等于邊長

差.

18.如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=8cm,3C=15aw,點〃從A點出發(fā)沿A—C—B路徑向終點運

動，終點為B點，點N從2點出發(fā)沿B—CTA路徑向終點運動，終點為A點，點M和N分別以每秒2cm

和3cm的運動速度同時開始運動，兩點都要到達相應的終點時才能停止運動，分別過M和N作/于E,

于尸設運動時間為f秒，要使以點E,C為頂點的三角形與以點N,F,C為頂點的三角形全等,

則f的值為.

【答案】M或7或8

【分析】先求出點M從點A到點C的時間和到點B的時間，點N從點B到點C的時間和到點A的時間，

然后根據M、N所在的位置分類討論，分別畫出對應的圖形，找出全等三角形的對應邊并用時間t表示，然

后列出方程即可得出結論.

23

【解析】解：由題意可知：點M從點A到點C需要AC+2=4s,到點B共需（AC+BC）-2=ys

23

點N從點B到點C需要BC+3=5s,到點A共需（AC+BC）-3=ys

①當gt<4時，即點M在AC上，點N在BC上，如下圖所示

EC

此時AM=2t,BN=3t,

；.CM=8—2t,NC=15-3t

NMEC=NCFN=NACB=90。，

ZMCE+ZNCF=90°,ZCNF+ZNCF=90°

ZMCE=ZCNF

若CM=NC時，利用AAS可得△MCE^ACNF

即8-2t=15-3t

解得：t=7（不符合前提條件，故舍去）；

②當4st<5時，即點M在BC上，點N在BC上，如下圖所示

易知：當M、N重合時滿足題意

此時CE=2t-8,CN=15-3t,CE=CN

；.2t—8=15—3t

23

解得：t=不；

23

③當5Wt＜了時，即點M在BC上，點N在AC上，如下圖所示

.*.CM=2t-8,NC=3t-15

ZMEC=ZCFN=ZACB=90°,

ZMCE+ZNCF=90°,ZCNF+ZNCF=90°

ZMCE=ZCNF

若CM=NC時，利用AAS可得△MCE^ACNF

即2t-8=3t-15

解得：t=7；

④當時，即點M在BC上，點N與點A重合，如下圖所示

，CM=2t-8,NC=8

ZMEC=ZCFN=ZACB=90°,

ZMCE+ZNCF=90°,ZCNF+ZNCF=90°

ZMCE=ZCNF

若CM=NC時，利用AAS可得AMCE0zXCNF

即2t-8=8

解得：t=8.

23

綜上所述：要使以點M,E,C為頂點的三角形與以點N,F,C為頂點的三角形全等，則/的值為二或7

或8.

23

故答案為：1或7或8.

【點睛】此題考查的是全等三角形與動點問題，掌握全等三角形的判定定理、行程問題公式和分類討論的

數(shù)學思想是解決此題的關鍵.

三、解答題

19.寫出下列命題的條件和結論.

(1)兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；

(2)絕對值等于3的數(shù)是3；

(3)如果那么OF是/OOE的平分線.

【答案】(1)條件：兩條直線被第三條直線所截；結論：同旁內角互補

(2)條件：一個數(shù)的絕對值等于3；結論：這個數(shù)是3

(3)條件：/DOE=2/EOF；結論：。尸是/OOE的平分線

【分析】命題由題設和結論兩部分組成，題設是己知事項，結論是由己知事項推出的事項；命題常?？梢?/p>

寫為“如果...那么…”的形式，如果后面接題設，而那么后面接結論.

(1)解：兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補的題設是兩條直線被第三條直線所截，結論是同旁內

角互補；

(2)解：絕對值等于3的數(shù)是3的題設是一個數(shù)的絕對值等于3,結論是這個數(shù)是3；

(3)解:如果/。0E=2/E0凡那么。f是的平分線的題設是/OOE=2NE。凡結論是OF是/DOE

的平分線.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，寫出一個命題的題設和結論常常改寫成“如果…那么…”的形式；熟

練地掌握命題的組成是解題的關鍵.

20.如圖，在_ABC中，D,E分別是8C邊上的點，連接BE,AD,相交于點尸.

(l)VBDF的三個頂點是什么?三條邊是什么？

(2)AB是哪些三角形的邊？

【答案】(DV瓦加的三個頂點是點5,D,F,三條邊是8尸，BD,DF

(2)AB是&ABE,ZXABF,AABD,.ABC的邊

【分析】(1)根據三角形的邊和頂點解答即可；

(2)根據三角形的邊解答即可.

【解析】(1)解：V3DF的三個頂點是點B,D,F,三條邊是BF,BD,DF；

(2)解：AB是一ABE,ZxABF,△ABD,ABC的邊.

【點睛】本題考查三角形，解題的關鍵是掌握三角形的角和邊的概念.

21.如圖所示，己知A5c和。是AC上一點，AD=AB,DE//AB,DE=AC,求證：AE=BC.

【分析】由平行線的性質可得N4DE=Za4C,根據全等三角形的判定和性質即可找證明.

【解析】VDE//AB,

：.ZADE=ZBAC,

?.,在VAT見和一BAC中,

AD=BA

-NADE=ABAC,

DE=AC

：.ADE.BAC(SAS),

AE=BC.

【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，由“SAS”證得絲△BAC是解答本題

的關鍵..

22.如圖，在4ABe中，點。，點E分別在邊45,邊8C上，連接DE,A￡）=AC,ED=EC.

（1）求證：ZADE=ZC.

⑵若ABJLOE,NB=30。，求—A的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析

（2）60°

【分析】（1）連接AE,利用SSS定理證出ADE=ACE,根據全等三角形的性質即可得證；

（2）先根據垂直的定義可得NADE=90。，再根據（1）的結論可得NC=90。，然后根據三角形的內角和定

理即可得.

【解析】（1）證明：如圖，連接AE,

C

AD=AC

在VADE和AACE中，＜ED=EC,

AE=AE

ADE=ACE(SSS),

:.ZADE=ZC.

(2)解：AB±DE,

:.ZADE=90°,

由(1)己證：ZADE=ZC,

.-.zc=90°,

NB=30。，

ZA=180°-ZB-ZC=60°.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、垂直的定義、三角形的內角和定理，熟練掌握全等三角形

的判定與性質是解題關鍵.

23.在—ABC中，^CAE=25,ZC=40,NCBD=30,求ZAFB的度數(shù).

【答案】95°

【分析】根據三角形的外角定理得出NA￡B=NG4E+NC,再根據NAEB=/CBD+NAEB即可求解.

【解析】解：,.,/C4￡'=25,ZC=40,

ZAEB=NC4E+NC=25°+40°=65°,

；NCBD=30,

ZAFB=ZCBD+ZAEB=30°+65°=95。.

【點睛】本題主要考查了三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個

內角之和.

24.畫圖并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1.在方格紙中將.."C經過一次平移后得到

A'B'C,圖中標出了點C的對應點C.

(1)請畫出平移后的_AB'C'；

(2)若連接A4，，CC',則這兩條線段之間的關系是:

(3)利用網格畫出“WC中AC邊上的中線8。；

(4)利用網格畫出ABC中邊上的高CE；

(5)A3'。面積為.

【答案】(1)見解析

(2)A4'〃CC,=CC

(3)見解析

(4)見解析

(5)10

【分析】(1)根據平移的性質找到A產的對應點A,",然后順次連接即可求解;

(2)觀察圖形，根據平移的性質即可求解；

(3)根據網格的特點，中線的性質，畫出.ABC中AC邊上的中線8。；

(4)根據網格的特點，三角形高的定義，畫出“ABC中A3邊上的高CE；

(5)根據網格的特點，根據三角形面積公式即可求解.

【解析】(1)解：如圖所示，A?C'即為所求;

(2)解：如圖所示，A4,//CC,A4,=CC

（3）解：如圖所示，3。即為所求;

（5）SA,B,C=^x5x4=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了平移作圖，平移的性質，畫三角形的中線，三角形的高線，求三角形面積，熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

25.如圖，在.ABC中，AD,AF分別為ABC的中線和高，8E為△ABD的角平分線.

⑴若N3ED=60。，Za4D=40°,求的大小.

⑵若ABC的面積為40,BD=5,求AF的長.

【答案】（1）50°

(2)8

【分析】（1）先利用三角形的外角性質計算出NAfiE=20。，再利用角平分線定義得到加C=2ZABE=4O。,

然后根據高的定義和互余兩角的性質求出/助尸的度數(shù)；

（2）先根據三角形中線定義得到BC=23D=10,然后利用三角形面積公式求AF的長.

【解析】（1）解：ZBED=ZABE+ZBAE,

ZABE=60°-40°=20°,

BE平分NABC,

ZABC=2ZABE=40°,

AF為高,

ZAFB=90°,

NBAF=90°-ZABF=90°-40°=50°；

（2）&￡）為中線，

:.BC=2BD=1Q,

7

S/A\ArBHC.=2-^FBC,

10

【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形外角性質和三角形面積公式.本題的關鍵是充分應用三角形

的角平分線、高和中線的定義.

26.如圖，在中，AB>AC.

(1)用直尺和圓規(guī)作BC的中垂線，交于點。(要求保留作圖痕跡)；

(2)連接CO,若AB=8,AC=4,求,ACD的周長.

【答案】(1)作圖見解析

(2)ACD的周長為12

【分析】(1)直接利用線段垂直平分線的作法得出直線MN；

(2)利用線段垂直平分線的性質得出ZVIDC的周長為=AC+CD+4)=AC+A￡>+B￡)=AC+AB,進而得出答

案.

【解析】(1)解：如圖所示：

直線即為所求；

(2)解：由(1)可知，直線是線段BC的垂直平分線，

DC=DB,

：.ACD的周長為=4。+。+/1￡)=7^+71￡)+8￡)=4。+的，

?/AB=8,AC=4,

.ACD的周長為8+4=12.

【點睛】本題考查基本作圖以及線段垂直平分線的性質與作法，正確掌握線段垂直平分線的性質是解題的

關鍵.

27.如圖，為ABC的角平分線，E為AB上一點,BE=BC,連結OE.

A

（1）求證：△BDCt△BDE；

⑵若AB=10,CD=3,NC=90。，求的面積.

【答案】（1）證明過程見詳解

⑵15

【分析】（1）根據SAS可證明

（2）由全等三角形的性質得出ZBEE>=NC=90。，OC=OE,根據三角形的面積公式可得出答案.

【解析】（1）證明：???3D為的角平分線，

ZBCD=ZEBD.

在.皮）C和BDE中,

BC=BE,

"ZCBD=ZEBD,

BD=BD,

,BDC、BDE（SAS）.

（2）解：,:ABDC會ABDE,

：.ZBED=ZC=90°,DC=DE.

又：CD=3,

：.DE=3.

：.SAABD=^AB-DE=^X10X3=15.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義、三角形的面積，熟練掌握全等三角形的

判定與性質是解題的關鍵.

28.如圖所示，AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=90°,且N￡BD=42。，

R

(1)求證：NDBC=NEAC；

⑵求NAE3的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)132°

【分析】(1)利用SAS證明一ACE”BCD,根據全等三角形的性質，即可得出結論；

(2)由/D3C=NE4C推出NE4C+ZEBC=42。，再利用三角形內角和定理求得N￡AB+N￡BA,再次利用三

角形內角和定理，即可求解.

【解析】(1)證明：ZACB=ZECD=90°,

ZACB-ZBCE=ZECD-ZBCE,

:.ZACE=NBCD,

在"支和ABCD中

AC^BC

<ZACE=ZBCD,

DC=EC

AACE絲△BCD(SAS),

:.NEAC=NDBC；

(2)解：/DBC=NEAC,

ZDBC+ZEBC=ZEAC+NEBC=NEBD=42°,

在.ABC中，NEAB+ZEBA=180。-(ZACB+ZEAC+NEBC)=180°-(90°+42°)=48°,

在4ABE中，NAEB=180°-(Z￡AB+ZEBA)=180°-48°=132°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，熟練掌握三角形全等的判定方法是解

題的關鍵，難點在于整體思想的運用.

29.在_鉆(7中，ZACB=90°,AC^BC,直線MN經過點C,且AD_LMN于，BELMN^E.

圖1圖2

⑴當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證:

①4ACDRCBE；

②DE=AD+BE.

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證:DE=AD—BE；

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問OE、AD,鴕具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系,

并加以證明.

【答案】(1)①見解析；②見解析

(2)見解析

⑶DE=BE—AD,證明見解析

【分析】(1)①由垂直關系可得Nl=N3,則由AAS即可證明ADC^CEB；②由ADC三CEB的性質及

線段和的關系即可證得結論；

(2)由垂直可得N1=NCBE,則由AAS可證明ACD^CBE,由全等三角形的性質及線段差的關系即可證

得結論；

(3)由垂直可得NACD=NCBE,則由AAS可證得..ACD三_CBE,由全等三角形的性質及線段的和差關系

即可得到三線段間的關系.

【解析】(1)如圖

圖1

①：ZADC=ZACB=90°,

?，?Zl+Z2=Z3+Z2=90°,

JN1=N3.

XVAC=BC,ZADC"CEB=90。,

：.ADC=CEB.

②???ADCtCEB,

ACE=AD,CD=BE,

：.DE=CE+CD=AD+BE.

(2)VZACB=ZCEB=90°,

：.Zl+Z2=ZCBE+Z2=90°,

JZ1=ZCBE.

又?：AC=BC,ZADC=ZCEB=90°,

ACD=CBE,

：.CE=AD,CD=BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE.

圖2

(3)當MN旋轉到圖3的位置時，AD.DE、助所滿足的等量關系是。石=5石-AD(或

AD=BE-DE,BE=AD+DE等).

???ZACB=ZCEB=90°f

：.ZACD+/BCE=NCBE+/BCE=9U。,

???ZACD=ZCBE,

又?；AC=BC,ZADCNCEB=90。,

：.ACD=^CBE,

：