中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：整式的乘法與因式分解（考點(diǎn)清單）原卷版

專題04整式的乘法與因式分解

（考點(diǎn)清單，5個(gè)考點(diǎn)清單+16種題型解讀）

【考點(diǎn)題型一】帚的運(yùn)算

【考點(diǎn)題型二】帚的運(yùn)算的逆運(yùn)算

【考點(diǎn)題型三】毒的運(yùn)算的應(yīng)用——比較大小

【考點(diǎn)題型四】整式的乘除法

【考點(diǎn)題型五】乘法公式

【考點(diǎn)題型六】因式分解

【清單01］帚好算外

)【考點(diǎn)題型七】解決不含某項(xiàng)問(wèn)題

【清單02】整式的乘法

考

題【考點(diǎn)題型八】解決與某個(gè)字母取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題

【清單03】整式的除法點(diǎn)整式的乘法與因式分解

型【考點(diǎn)題型九】解決污染問(wèn)題

清

［清單04］乘法公式清

單【考點(diǎn)題型十】解決誤看問(wèn)題

匕逑05】因式分解單

【考點(diǎn)題型十一】新定義問(wèn)題

【考點(diǎn)題型十二】規(guī)律問(wèn)題

【考點(diǎn)題型十三】幾何圖形問(wèn)題

【考點(diǎn)題型十四】分類討論思想

【考點(diǎn)題十五】數(shù)形結(jié)合思想

【考點(diǎn)題型十六】整體思想

考點(diǎn)儕單

同郵幕的乘法（m,n都是正郵）

幕的運(yùn)算鬲的乘方g5（m,n都是0數(shù)）

積的乘方（M）"=〃必（n為正嬲）

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

整多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

式

的

乘同底數(shù)幕的除法4"。"=（。/0,m,n都是正整數(shù)，并且m>n）

法

零指數(shù)幕")=1(?#0)

與整式的除法

因單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

分

解

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+bj^a^ab+b2

g八r—y公因式:多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式

提公因式法--------------------------

<、p（i98pc=p（a+b+c）

因式分解

，一一_運(yùn)用平方差公式:佃+0仞_勿

公式法

一isffl完全平方^ab+b^fa+b）^a^at^-b^fa-b）2

【清單01】塞的運(yùn)算

L同底數(shù)暴的乘法性質(zhì)

屋^優(yōu)二屋^乂其中相，〃都是正整數(shù)）.即同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)基是指底數(shù)相同的累，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.

（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)幕相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，

即1（m,n,p都是正整數(shù)）.

（3）逆用公式：把一個(gè)累分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)幕的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指

數(shù)之和等于原來(lái)的事的指數(shù)。即相'+"=。叫相（加，〃都是正整數(shù)）.

2.塞的乘方法則

（""尸二屋1"（其中切，〃都是正整數(shù)）.即累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：^amyy=amnp（awO,皿均為正整數(shù)）

（2）逆用公式：=（優(yōu)）'”，根據(jù)題目的需要常常逆用幕的乘方運(yùn)算能將某些幕變形，從而解

決問(wèn)題.

3.積的乘方法則

（"）"=/七'（其中九是正整數(shù)）.即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘.

要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：（。6。）"=錯(cuò)電"-。"5為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更

簡(jiǎn)便.如：g]X21（,=QX2^|=1.

注意事項(xiàng)

（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.

（2）同底數(shù)基的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1,計(jì)算時(shí)不要遺漏.

（3）幕的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)幕的乘法中是指數(shù)相加.

（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式（特別是系數(shù)）都要分別乘方.

（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.

（6）帶有負(fù)號(hào)的幕的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.

【清單02】整式的乘法

1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們

的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

要點(diǎn)詮釋：

(1)單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)累的乘法法則的綜合應(yīng)用.

(2)單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘

法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)基的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”

進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.

(3)運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.

(4)三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

即m(a+b+c)=ma+mb+me

要點(diǎn)詮釋：(1)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)

式的問(wèn)題.

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

(3)計(jì)算的過(guò)程中要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).

(4)對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即

(a+Z?)(m+〃)=am+an+bm+bn

要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之

積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：

(x+a)(x+Z?)=x2+(a+Z?)x+aZ?

【清單03】整式的除法

1.同底數(shù)幕的除法

同底數(shù)幕的除法法則：

一般地，我們有(W0,加，〃都是正整數(shù)，并且機(jī)＞〃).

語(yǔ)言敘述：同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

【拓展】

(1)同底數(shù)累的除法法則的推廣：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)累相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，

例如:a'n-^-a"^ap=a"'~n~p(存0，m,n,p都是正整數(shù)，并且“z>”+p).

(2)同底數(shù)塞的除法法則的逆用：a%"=曖+能(存0,”都是正整數(shù)，并且相").

2.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)塞分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除

式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的實(shí)質(zhì)是將單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)塞的除法運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍是單項(xiàng)式.

【歸納】該法則包括三個(gè)方面：(1)系數(shù)相除；(2)同底數(shù)幕相除；(3)只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同

它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來(lái)驗(yàn)證結(jié)果的正確性.

3.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得

的商相加.

【注意】

(1)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問(wèn)題來(lái)解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面

的符號(hào).

(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng).

(3)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn).

【清單04】乘法公式

1.平方差公式

平方差公式：(a+b)(a-b)-a2-b1

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

要點(diǎn)詮釋：在這里，上。既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又

有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型:

(1)位置變化：如(a+b)(-A+a)利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型

(2)系數(shù)變化：如(3x+5y)(3x-5y)

(3)指數(shù)變化:如(加+")(加一〃2)

(4)符號(hào)變化：如(一。一份(。一5)

(5)增項(xiàng)變化：$0(m+n+p)(m-n+p)

(6)增因式變化：如(a—+

2.完全平方公式

完全平方公式：(?+Z?)'=a2+lab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.

要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加(或

減)這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：

a2+b2=(?+/?)"-2ab=(<?-/?)"+2ab

(a+6)'=(a-b)“+4ab

3.補(bǔ)充公式

(x+p\x+q)-x2+{p+q)x+pq；(a±3)(4.ab+b~)-a3+b3；

(a±-a3+301b+3ab2+b3；(?+/;+c)2-a2+b~+c2+2ab+lac+2bc.

【清單05】因式分解

1.因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

要點(diǎn)詮釋：(1)因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式

分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.

(2)要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.

(3)因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)

算.

2.公因式

多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.

要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.

（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)

中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

3.提公因式法

把多項(xiàng)式小口+"法+*分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式機(jī)，另一個(gè)因式是

（a+i+c）,即掰a+附A+/?c=/n-（a+A+c）,而（a+b+c）正好是掰必+沱除以機(jī)所得的商，這

種因式分解的方法叫提公因式法.

要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，

即“口+>.?:b+mc-m（a+b+c）.

（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多

項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變

為：“+1”或“一1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

4.公式法一一平方差公式

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：

要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.

（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩

個(gè)數(shù)（整式）的差的積.

（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

5.公式法一一完全平方公式

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+b）~a2-2ab+b2

形如儲(chǔ)+2ab+b2,a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.

要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；

（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是

兩數(shù)的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

盛型帳單

【考點(diǎn)題型一】幕的運(yùn)算

【例1】（2023秋?永春縣期末）已知a,b,c為正整數(shù)，且滿足2隈3隈4。=384,則a+6+c的取值不可

能是（）

A.5B.6C.7D.8

【變式1-1］（2024春?港南區(qū)期末）若2〃X2"=26,貝叫+〃=（）

A.3B.4C.5D.6

【變式1-2］（2023秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a3+a2=a5B.a3-i-a2=a4C.a3-a2=a6D.(a3)2=a6

【變式1-3］（2023秋唧城區(qū)期末）計(jì)算：（-2產(chǎn)x（g

【考點(diǎn)題型二】幕的運(yùn)算的逆運(yùn)算

【例2】（2023秋?南陽(yáng)期末）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)運(yùn)用逆向思考的方法來(lái)解決一些問(wèn)題，例如:"若""=4,

，"+"=20,求a"的值.”這道題我們可以這樣思考：逆向運(yùn)用同底數(shù)基的乘法公式，即am+"=am-a",所以

20=4xa",所以a"=5.

（1）若力=8,a2-1-=16,請(qǐng)你也利用逆向思考的方法求出優(yōu)的值；

（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考小豫的方法解答下面的問(wèn)題：

小豫的作業(yè)

計(jì)算：89X（-0.125）9；

解：89x（-0.125）9=（-8x0.125）9=（-1）9=-1.

①小豫的求解方法逆用了曙的一條運(yùn)算性質(zhì)，請(qǐng)你用符號(hào)（字母）語(yǔ)言直接寫出這條性質(zhì)：.

②計(jì)算：（一4產(chǎn)3義0.252°24.

【變式2-1］（2024春?唐山期末）若3'=4,3y=6,則3中的值是（）

A.24B.10C.3D.2

【變式2-2］（2023秋?東莞市校級(jí)期末）已知M=2,加,=5,則療工+>值為（）

A.9B.20C.45D.m9

【變式2-3］（2023秋?舒蘭市期末）當(dāng)x+2y-4=0,則4yD'"的值為（）

A.4B.-4C.6D.8

【變式2-4］（2023秋?金昌期末）已知2戊=°,32"=b,m、”為正整數(shù)，求23，向°".

【考點(diǎn)題型三】幕的運(yùn)算的應(yīng)用—比較大小

【例3】（2023秋?鄲城縣期末）比較255、344、彳翦的大?。ǎ?/p>

A.255<3^<433B.433<3^<255C.255<433<3^D.3**<433<255

【變式3-1］（2023秋?舞陽(yáng)縣期末）已知a=8f,b=279,c=913,則。，b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【變式3-2］（2023秋?藁城區(qū)期末）比較大?。孩疲?，0）2.

【考點(diǎn)題型四】整式的乘除法

【例4-1】（2023秋?南陵縣期末）計(jì)算:（2a2）3-7iz2xa4+a12-a6.

【例4-2］（2023秋?廣陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算（a+1）的結(jié)果是.

【例4-3］（2023秋?和縣期末）（4/6一6。2/+12。63）+2。6.

【例4-4](2023秋?雷州市期末)(-1)2022+()2-(3.14-^-)°.

【例4-5】（2023秋?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：35）3.（/）4+/X/）5.

【例4-6］（2023秋?廉江市期末）（1）已知2,=6,2y=3,求2*4,的值.

（2）已知10"'=5,10"=2,10。=4,求1。3，“+2"-。的值.

【例4-7］（2023秋?于都縣期末）已知多項(xiàng)式4=。+2）2+武1-刈-9.

化簡(jiǎn)多項(xiàng)式A時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過(guò)程.在標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中

【變式4-2］（2023秋?漳州期末）如果（x-4）（x+8）=/+的+〃，那么機(jī)、”的值分別是（）

A.m=4,〃=32B.m=4,〃=—32C.m=-4,n=32D.m=Y，n=—32

【變式4-3］（2023秋?大連期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（y3）2=/B.（~2xy）2=4x2y2

C.x2-x2=2x2D.x6-^x2=x3

【變式4-4］（2023秋?西寧期末）計(jì)算：（3.2X105）（5X103）=.

【變式4-5］（2023秋?松北區(qū)期末）若2020'"=6,2020"=4,則20202m-n=.

【變式4-6］（2023秋?雨花區(qū)期末）若5x-3y-2=0,?25x4-23y?.

【考點(diǎn)題型五】乘法公式

【例5-1】（2023秋?久治縣期末）已知（x+y）2=25,（x-y）2=9,求孫與犬+丁的值.

【例5-2］（2023秋?江陽(yáng)區(qū)期末）計(jì)算：（。+2須。-26）+（。一6產(chǎn).

【例5-3］（2023秋?鞍山期末）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（2x+y+z）（2x-y-z）

【變式5-1］（2024春?平南縣期末）已知a+b=5,ab=2,則代數(shù)式儲(chǔ)一的值為（）

A.8B.18C.19D.25

【變式5-2］（2023秋?安康期末）計(jì)算：2（y-x）2-（2y+xX-x+2y）.

【考點(diǎn)題型六】因式分解

【例6-1】（2023秋?自貢期末）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（）

A.2x（x-3）=2x2-6xB.12m2n=3m2-4n

22,—

C.Q2—2ab+/—1=（aZ?）—1D.x~—（尤+y）（xy）

【例6-2］（2024春?港南區(qū)期末）單項(xiàng)式6/b與9片分的公因式是（）

A.c^bB.3/83C.3a2bD.\Sa3b3

【例6-3］（2023秋?乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）

A.4Y—1B.4/+4x—1C.%?—x-\—D.—xy+

【例6-4］（2023秋?高青縣期末）分解因式：

(1)3儲(chǔ)—6ab+3b2；(2)(x-y)a2+(y-x)b2.

【變式6-1](2023秋?濱海新區(qū)期末)把多項(xiàng)式5/6-lOaZ?分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是()

A.abB.5abC.5a2bD.a2b

【變式6-2](2023秋?臨潼區(qū)期末)閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、

公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如：“病一加〃+2加一2"”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)

現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后

再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過(guò)程為

rrr-mn+2m-In—{m1—rmi)+(2m-2ri)=m(m-ri)+2(m-n)=(m—n)(m+2).此種因式分解的方法叫做

“分組分解法”.請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問(wèn)題：

(1)因式分解：a3-3a2+6a-18；

(2)因式分解：ax+a2—2ab—bx+b2.

【變式6-3](2023秋?東城區(qū)期末)利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：

{ax+b\cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可

acx2+(ad+bc)x+bd—(cue+b){cx+d).通過(guò)觀察可把+兒)尤+標(biāo);看作以％為未知數(shù)，°、％、

c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)ac與常數(shù)項(xiàng)即分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆?/p>

解來(lái)湊一次項(xiàng)的系數(shù)，分解過(guò)程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1,這種分解的方法

稱為十字相乘法.例如，將二次三項(xiàng)式2二+15+12的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，?/p>

圖2,則2尤2+11尤+12=(x+4)(2x+3).

根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：

(1)用十字相乘法分解因式：d+6x-27；

(2)用十字相乘法分解因式：6X2-7X-3；

(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：20(尤+y)2+7(x+y)-6.

aXd+cXb=ad+bc1X3+2X4=11

圖1圖2

【考點(diǎn)題型七】解決不含某項(xiàng)問(wèn)題

【例7】（23-24八年級(jí)?山東聊城?期末）己知多項(xiàng)式M=x2—3ax+6,N=x+3,且MN=4當(dāng)多項(xiàng)式

A中不含尤的2次項(xiàng)時(shí)，。的值為（）

A.-1B.-IC.0D,1

【變式7-1］（2023秋?楚雄州期末）如果計(jì)算（2-加+3/+,蛆3）（_4/）的結(jié)果不含彳5項(xiàng)，那么加的值為（

）

A.0B.1C.-1D.--

4

【變式7-2］（2024春?廣陵區(qū)期末）若（Y+依+2）（2彳-4）的結(jié)果中不含/項(xiàng)，則。的值為（）

A.0B.2C.-D.-2

2

【變式7-3］（2023秋?同心縣校級(jí)期末）如果（元+q）（x+g）展開式中不含x項(xiàng)，則q=.

【考點(diǎn)題型八】解決與某個(gè)字母取值無(wú)關(guān)的問(wèn)題

【例8】（23-24八年級(jí)?湖南常德?期中）知識(shí)回顧：八年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過(guò)這樣一類題“代數(shù)式

ax-y+6+3x-5y-l的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把小y看作字母，a看作

系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原式=（a+3）x-6y+5,

所以a+3=0,則a=—3.

理解應(yīng)用：

（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式27n2一3久一m（3-5x）的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m值；

（2）已知2=（2x+l）（3x-l）-;c（5+3y）,B=2x2-3xy+4,且24-6B的值與x的取值無(wú)關(guān)，求y的

值.

【變式8】（23-24八年級(jí)?浙江金華?期末）若代數(shù)式x（5依—3孫）—（k—3）（3/y—4/）的值與7無(wú)關(guān)，則

常數(shù)k的值為（）

A.2B.-2C.-4D.4

【考點(diǎn)題型九】解決污染問(wèn)題

【例9】(2023秋?重慶期末)小明計(jì)算一道題：-lxy(2y2-x)=-l4xy3+yx2y^,(...)的地方被鋼筆水弄污

了，你認(rèn)為(…)內(nèi)應(yīng)填寫()

A.1B.2C.3D.4

【變式9-1](23-24八年級(jí)?貴州遵義?期末)小明作業(yè)本發(fā)下來(lái)時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：

(24久4y3-■+6久2y2)+(-6x2y)=-4x2y2+3xy-y,你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是

()

A.—18x3y2B.18x3y2C.—2x3y2D.|x3y2

【變式9-2](23-24八年級(jí)?湖北十堰?期末)右側(cè)練習(xí)本上書寫的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式

被墨水污染看不清了.

(1)求被墨水污染的代數(shù)式;

(2)若被污染的代數(shù)式的值不小于4,求x的取值范圍.

【變式9-31(2023秋?南昌期末)老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過(guò)程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式,

形式如下：

、

x(——1xy)=c3x2y—xy2+—1xy

(1)求所捂的多項(xiàng)式；

71

(2)若無(wú)=*，y=-,求所捂多項(xiàng)式的值.

3"2

【考點(diǎn)題型十】解決誤看問(wèn)題

【例10](2023秋?瀏陽(yáng)市期末)小馬和小虎兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：(3x+a)(2x+8),由于小馬抄

錯(cuò)了。的符號(hào)，得到的結(jié)果為6Y-17x+12；由于小虎漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為

3%2—5x—12.

（1）求出。，b的值；

（2）請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法題的正確結(jié)果.

【變式10】（2023秋?西平縣期末）某同學(xué)在計(jì)算-3尤加上一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)錯(cuò)將加法做成了乘法，得到的答案

是3/-3爐+3無(wú)，由此可以推斷出正確的計(jì)算結(jié)果是（）

A.一x~—2x—1B.%-+2x—1C.—x~+4x—1D.x~—4尤+1

【考點(diǎn)題型十一】新定義問(wèn)題

【例11】（2023秋?衡陽(yáng)期末）對(duì)于整數(shù)a、6定義運(yùn)算：aX6=（一f+3"）"（其中沉、〃為常數(shù)），如3

派2=（3?）,+（23匕

（1）填空：當(dāng)機(jī)=1,“=2023時(shí)，2X1=；

（2）若1X4=10,2X2=15,求4221的值.

【變式11-1】（2023秋?江漢區(qū)期末）定義一種新的運(yùn)算“（。泊）”，若優(yōu)=匕,則（a,b）=c.

①依定義，（2,16）=；

②若（5,10）+（5,20）=（5,x）,則x=.

【變式11-2】（2023秋?攸縣期末）一般地，若a"=6（a>0且a關(guān)1,6>0）,則“叫做以。為底6的對(duì)數(shù)，記

為log：,即log：=〃.譬如:34=81,則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù),記為log?（即lo雪=4）.根據(jù)對(duì)數(shù)的

定義完成下列問(wèn)題：

（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：

(2)由(1)中計(jì)算的結(jié)果及結(jié)合三個(gè)數(shù)4；16；64之間滿足的等量關(guān)系式，直接寫出log：；log；6；log?

滿足的等量關(guān)系式.

(3)由(2)猜想一般性結(jié)論：log?+log"=(。>0且awl,/?>0,?>0),并根據(jù)幕的運(yùn)算法則：

4?"=a"。以及對(duì)數(shù)的含義證明你的猜想.

【變式11-3】(2023秋?望城區(qū)期末)規(guī)定a*b=2"x2",求:

(1)求1*3；

(2)若2*(2*+1)=64,求x的值.

【變式11-4X2023秋?鯉城區(qū)期末)規(guī)定兩數(shù)a、6之間的一種運(yùn)算，記作(a,6)：如果優(yōu)=6,那么(a,b)=c.

例如：因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.根據(jù)上述規(guī)定，填空：

(1)(3,27)=；

(2)若(2,10)=x,(2,5)=y,則2,寸的值為.

【考點(diǎn)題型十二】規(guī)律問(wèn)題

【例12】(23-24八年級(jí)?福建寧德?期末)“九章興趣小組”開展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)行研

究.

小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧.

例如：

24x26=100x(2x3)+4x6,結(jié)果為624；

42X48=100X(4X5)+2x8,結(jié)果為2016；

小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧.

例如：

45x65-100x(4x6+5)+25,結(jié)果為2925；

35X75=100x(3X7+5)+25,結(jié)果為2625；

(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫出計(jì)算63x67的速算過(guò)程；

(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；

(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘.請(qǐng)你直接用含有字母

的等式表示該規(guī)律.

友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10,則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ).

【變式12-1](23-24八年級(jí)?福建寧德?期中)下圖揭示了(。+6尸5為非負(fù)整數(shù))的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)

系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.請(qǐng)觀察并解決問(wèn)題：今天是星期五，再過(guò)7天也是星期五，那么再過(guò)514天是星

期.

I2I

\/\/

331

\/\/\/

4()()1

(a+b)i—a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=

【變式12-2](23-24八年級(jí)?四川成都?期中)觀察：下列等式2-1)(%+1)=%2一1,(x-l)(x2+%+

1)=/—1,(x—1)(X3+X2+X+1)=X4—1…據(jù)此規(guī)律，當(dāng)(X—1)(”+X5+X4+X3+%2+X+1)=

0時(shí)，代數(shù)式/。24-2的值為

【變式12-3](23-24八年級(jí)?廣東揭陽(yáng)?期中)在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是

2020年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)2x2的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用

較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

2020年八月

.-

H—.mK7\

134567

8910H121314

15161718192021

22232425262728

2930

（1）圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說(shuō)的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為.

（2）換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果

沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)題型十三】幾何圖形問(wèn)題

【例13】（2023秋?乾安縣期末）如圖，一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為寬為“，把6個(gè)大小相同的小長(zhǎng)方形放

入到大長(zhǎng)方形內(nèi).

（1）大長(zhǎng)方形的寬"?=,長(zhǎng)〃=（長(zhǎng)和寬都用含。，。的式子來(lái)表示）.

（2）求在大長(zhǎng)方形中，陰影部分的面積（用含a,6的式子來(lái)表示）

（3）若6=2a,大長(zhǎng)方形面積為大長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積為邑，則土=

12￡

【變式13-11（2023秋?安康期末）如圖所示的是人民公園的一塊長(zhǎng)為（2根+〃）米.寬為（〃z+2”）米的空地.預(yù)

計(jì)在空地上建造一個(gè)網(wǎng)紅打卡觀景臺(tái)（陰影部分）.

（1）請(qǐng)用機(jī)、〃表示觀景臺(tái)的面積.（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）

（2）如果修建觀景臺(tái)的費(fèi)用為200元/平方米.且已知加=5（米），〃=4（米）.那么修建觀景臺(tái)需要費(fèi)

用多少元?

【變式13-2】（2023秋?宜州區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為（2。+46）米，寬為（2。-6）米的長(zhǎng)方形地塊,

角上有四個(gè)邊長(zhǎng)為①-加米的小正方形空地，開發(fā)商計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化.

（1）用含有a、6的式子表示綠化的總面積（結(jié)果寫成最簡(jiǎn)形式）；

（2）物業(yè)找來(lái)陽(yáng)光綠化團(tuán)隊(duì)完成此項(xiàng)綠化任務(wù)，已知該隊(duì)每小時(shí)可綠化86平方米，每小時(shí)收費(fèi)200元，則

該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)多少費(fèi)用？（用含a、6的代數(shù)式表示）

【考點(diǎn)題型十四】分類討論思想

【例14］（23-24八年級(jí)上?湖北荊門?期末）若￡+2（加-3）x+16是完全平方式，則機(jī)=—.

【變式】［2024杭州濱江區(qū)模擬］若X2-4XJ-j2=0（j>0）,貝!］；=

【考點(diǎn)題型十五】數(shù)形結(jié)合思想

【例15-1］（2023秋?臨潁縣期末）實(shí)踐與探索

如圖1,邊長(zhǎng)為。的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所

示）.

圖1圖2

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是；(請(qǐng)選擇正確的一個(gè))

A.a1-b1={a+-b)

B.a2-2ab+b2=(a-b)2

C.a1+ab=a(a+b)

(2)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：

①已知4〃一步=24,2a+b=6,貝U2a—b=.

②計(jì)算：1002-992+982-972+...+42-32+22-12.

【例15-2］（2023秋?晉江市期末）【實(shí)踐探究】

小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究:

①②③④

（1）現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖2所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫出一個(gè)代數(shù)恒等

式:

【問(wèn)題解決】

（2）若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為x+2y的正方體，其中②號(hào)長(zhǎng)方體和③號(hào)長(zhǎng)方體各需要多少個(gè)?

試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由;

【拓展延伸】

（3）如圖3,在一個(gè)棱長(zhǎng)為y的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為尤的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫

出V一無(wú)3因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問(wèn)題：已知。與2〃分別是兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，且

o,-8H3=(a-2n)(4-4an),當(dāng)a-2”為整數(shù)時(shí)，求a”的值.

【變式15-1][2023北京石景山區(qū)期末]著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾用詩(shī)詞表達(dá)了“數(shù)形結(jié)合”的