中考數(shù)學復習：二次根式（專項訓練）（解析版）

專題10二次根式

一、單選題

1.（2021?珠海市九洲中學九年級）在函數(shù)y=Y手中自變量x的取值范圍是（）

A.x>-lB.x<-lC.x>lD.x>-l

【答案】D

【分析】

由題意直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)即被開方數(shù)大于或等于0,可以求出x的范圍.

【詳解】

解：由函數(shù)y=Y乎有意義可得，

x+1>0,解得xN-1.

故選：D.

【點睛】

本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：當函數(shù)表達式是整式時，自變

量可取全體實數(shù)；當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方

數(shù)非負.

2.（2021?內(nèi)蒙古九年級）下列計算中，正確的是（）

A.）,/=a'B.（?！猙）-=+2ab—b~C.x?,x,=x*D.-x/^2,s/3=-\[s

【答案】A

【分析】

分別根據(jù)幕的乘方、積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)累的乘法，二次根式的乘法逐項判斷即可求解.

【詳解】

解：A.（a2>）-a3=a6-a3=a9,因此A選項計算正確，符合題意；

B.（a-b）2=a2-2ab+b2,因此B選項計算錯誤，不合題意；

242+46

C.x-x=x=x,因此C選項計算錯誤，不合題意；

D.6.忑=叵忑=a,因此D選項計算錯誤，不合題意.

故選：A

【點睛】

本題考查了哥的乘方、積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)基的乘法，二次根式的乘法等知識，熟練掌握各

運算法則是解題關鍵.

3.（2021?重慶字水中學九年級）估計a+Ax七的值應在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間.

【答案】C

【分析】

先化簡龍+辰《,再估算無理數(shù)病的值即可解題.

【詳解】

解：V8+V36x=272+^36x1=2V2+V18=272+372=572

5A/2=V50,V49<V50<V64

7<y/50<8

即說+病xg介于7和8之間，

故選：C.

【點睛】

本題考查二次根式的乘法、合并同類二次根式等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

4.（2021?廈門市第九中學九年級）下列二次根式中能與行合并的是（）

A.yfsB.^9C.3D.J12

【答案】D

【分析】

化為最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義解答.

【詳解】

A.a=2母,不能與公合并，故該選項不符合題意；

B.亞=3,不能與百合并，故該選項不符合題意；

C.3,不能與百合并，故該選項不符合題意；

D.V12=25/3,能與百合并，故該選項符合題意.

故選D.

【點睛】

本題主要考查的是同類二次根式的定義，掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵.一般地，把幾個二次根

式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式.

5.（2021?重慶北培?西南大學附中九年級）在函數(shù)>=立二中，自變量x的取值范圍是（）

x-2

A.x>-lB.x>-\C.xN-1且xw2D.x>-l且"2

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范圍.

【詳解】

[x+l>0

解：根據(jù)題意得：…，

[x—2w0

解得：x>—l且x#2.

故選：C.

【點睛】

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

6.（2021?廣西南寧十四中九年級）下列屬于最簡二次根式的是（）

A.B.y/2C.y/9D.J0.1

【答案】B

【分析】

根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們

把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式進行分析即可.

【詳解】

A.《=，開方數(shù)是分數(shù)，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

B.也是最簡二次根式，故此選項符合題意；

C.囪=3含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

D,布=后=嚕被開方數(shù)是分數(shù)，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

故選B

【點睛】

此題主要考查了最簡二次根式，關鍵是掌握最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因

式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

7.（2021?湖南九年級期中）若二次根式H分有意義，則》的取值范圍是（）

A.x>3B.x>3C.x<3D.x<3

【答案】B

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件列式求解即可.

【詳解】

解：?.?二次根式療與有意義

?1-X-3>0,即：x>3.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于零.

8.（2021?廣西百色?中考真題）下列各式計算正確的是（）

A.33=9B.（a-6）-廿

C.2&+3拒=5后D.（202方尸=8.8〃

【答案】C

【分析】

分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、二次根式的計算法則和整式的乘法計算法則進行計算判斷即可得到答案.

【詳解】

解：A、3三27,此選項錯誤；

B、（a-Z?）2=a2-2ab+b2,此選項錯誤；

C、2a+3也=5也，此選項正確；

D、（2a%y=8a43,此選項錯誤.

故選C.

【點睛】

本題主要考查了二次根式的加法運算和整式的乘法運算，解題的關鍵在于熟練的掌握相關知識進行求解.

9.（2021?廣西桂林?中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）

A.AB."C.D.Ja+b

【答案】D

【分析】

要選擇屬于最簡二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整

式；2、被開方數(shù)不能再開方.由被選答案可以用排除法可以得出正確答案.

【詳解】

/、「被開方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

B、"=2是有理數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C、疹=同，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

。、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了滿足是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開方數(shù)不能再開方.

10.（2021?廣西梧州?）下列計算正確的是（）

A.至=3也B.V2+V3=V5C.逅=有D.（a）占2

2

【答案】D

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的加法法則和除法法則逐一進行計算，從而得出答案；

【詳解】

解：y/12=2-\/3,選項A錯誤;

力與。不是同類二次根式，不能合并，選項B錯誤;

=百，選項C錯誤;

（41）2=2,選項D正確;

故選：D

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵

二、填空題

11.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使衣廠有意義的x的取值范圍是

【答案】x>7

【分析】

直接利用二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出答案.

【詳解】

解：G7有意義，則X-7N0,

解得：x>7.

故答案為：x>7.

【點睛】

］此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)是解題關鍵.

12.（2021?遼寧盤錦?）如圖，四邊形48CD為矩形，AB=2道,/D=2也，點尸為邊N8上一點.以DP

為折痕將△以尸翻折，點/的對應點為點4.連結44',AA'交PD于點”，點0為線段2c上一點，連結

AQ,MQ,則/。+河。的最小值是________

【答案】472

【分析】

如圖，作點/關于的對稱點7,取40的中點R,連接27,QT,RT,RM.想辦法求出RS,RT,求出

的最小值，再根據(jù)a+。河=。河+。4117,可得結論.

【詳解】

解：如圖，作點A關于BC的對稱點T,

取ND的中點尺，連接57,QT,RT,RM.

?.?四邊形48。是矩形，

；ZR4T=9O°,

?；AR=DR=6,AT=2AB=46,

：.RT=yjAR2+AT2=#五>+（4后=50,

"A,/關于。尸對稱，

■■.AA'LDP,

.-?ZJMD=90°,

,:AR=RD,

:.RM=gAD=也,

■：MT>RT-RM,

■■MT>A42，

??.MT的最小值為4a,

???QA+QM=QT+QM>MT,

.■.QA+QM>4y[2，

.?.QA+QM的最小值為4行.

故答案為：4vL

【點睛】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是求出的最小值，屬于中考常考題

型.

13.（2021?四川巴中?中考真題）函數(shù)y=V^7+一1中自變量x的取值范圍是

x+3

[答案1x<2且洋-3

【分析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可得解.

【詳解】

解：由題意得，2-xNO且x+3聲0,

解得爛2且x#-3.

故答案為：爛2且在-3.

【點睛】

本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù);

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非

負.

14.（2021?湖南衡陽?中考真題）若二次根式VT與有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】侖3

【分析】

利用二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)列不等式，再解不等式即可得到答案.

【詳解】

解：由題意得：x-320,

x>3.

故答案為：x>3.

【點睛】

本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關鍵.

15.（2021?青海）觀察下列各等式：①2點=『7］；@3^|=^3+|；③4心=14…根據(jù)以上規(guī)

律，請寫出第5個等式：

【答案】6那

【分析】

根據(jù)左邊根號外的因數(shù)與根號內(nèi)的分子相同，根號內(nèi)的分母為分子平方與1的差，右邊根號內(nèi)為左邊根號

外與根號內(nèi)兩數(shù)之和，即可找到其中規(guī)律，從而寫出第〃個等式，再將〃=6代入即可求出答案.

【詳解】

解：猜想第〃個為:

（〃為大于等于2的自然數(shù)）;

理由如下:

VH>2,

添項得：

2

聞〃/2n-1"4\~n(n3-1)i+n

提取公因式得：

2

聞/In-1'\~n(nV--1)i—+n

分解分子得：

即:

本題考查二次根式的計算，需要通過觀察分析和尋求規(guī)律、歸納和論證的抽象思維能力，得出一般性的結

論；解答此題的關鍵是仔細觀察、細致分析，局部找規(guī)律，整體找關系.

三、解答題

16.(2021?遼寧鞍山?)先化簡，再求值：-7%*-，其中a=布+2.

【答案】上;，1+逅

【分析】

根據(jù)分式的混合運算的運算法則把原式化簡為三，再代入求值.

a-2

【詳解】

______3Ya-]

用牛：a2-4Ja2+2a

13Q(Q+2)

Q—2(Q+2)(Q—2)CL—\

a-1Q(Q+2)

(Q+2)(Q—2)Q—1

a

Q—2

當.+2時，原*^=$=

【點睛】

本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值.

17.（2021?廣西河池?）計算：巫+4一|-1￡|+|-V3|.

【答案】3G

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，負整數(shù)指數(shù)累，絕對值和有理數(shù)的乘方計算法則求解即可得到答案.

【詳解】

解：VT2+4-'-^j+|-V3

=2V3+---+V3

44

=3^/3

【點睛】

本題主要考查了二次根式的性質(zhì)化簡，負整數(shù)指數(shù)塞，絕對值和有理數(shù)的乘方計算法則，解題的關鍵在于

能夠熟練掌握相關知識進行求解.

18.（2021?遼寧錦州?中考真題）先化簡，再求值：（x-1-義）十二一，其中x=G-2.

x+1X'+x

【答案】X（x+2）,3-2^/3

【分析】

先把括號內(nèi)的分式通分，再將除法轉化為乘法，把各分子和分母因式分解，然后進行約分化簡，最后代入

求值.

【詳解】

解：原式=三『、理

(x+2)(%一2)*x(x+1)

x+1x-2

=x(x+2).

把尸行-2代入，原式=(73-2)(V3-2+2)=3-273.

【點睛】

本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

Y—3X—3X

19-(2。"?遼寧盤的)先化簡，再求值：-IT』其中x=a+4

4

【答案】三，2a

【分析】

先利用平方差公式和完全平方公式對原式進行分解因式化簡，然后代入值計算即可得到答案.

【詳解】

解：原j式=xE-3.(Tx-4)r(x+^4)一三x

x+4x_4

x-4x-4x-4

當工=及+4時，

原式=(夜：4)一4=1=23

【點睛】

本題主要考查了因式分解，分式的化簡求解，解題的關鍵在于能夠熟練掌握因式分解的方法.

20.(2021?貴州遵義?)先化簡三二1十(《±竺_&),再求值，其中》=0_2.

x-2xx-x

【答案】交.

2

【分析】

根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，把x的值代入計算即可.

【詳解】

解：原式=:+2)(/2)一色上空

x(x-2)x

x+2x

x(x+2)2

1

x+2

原式―丁V2

當x=V2-2時,

V

【點睛】

本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵.

（1—yA2Y—2—

21.（2021?遼寧阜新市教育服務中心）先化簡，再求值：1+一卜二《~?，其中無=拒+「

Ix+\）x+2x+\

【答案】-一->V2+1

x-1

【分析】

分式算式中有加法和除法兩種運算，且有括號，按照運算順序，先算括號里的加法，再算除法，最后代入

計算即可.

【詳解】

htx(x+11—xA2x—2

原式=---7+----7―o7

1工+1x+1Jx+2x+l

2.2(1)

x+1(x+1)2

2(x+l)2

-----------------

x+12(x-l)

x+1

當X=0+1時，

原式"3"

【點睛】

本題是分式的化簡求值題，考查了二次根式的混合運算，二次根式的除法等知識，化簡時要注意運算順序,

求值時，最后結果的分母中不允許含有二次根式.