浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：一次函數(shù)及其圖象（講解篇）

第13講一次函數(shù)及其圖象

1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念

考試

考試內(nèi)容

要求

一般地，如果_____________(k、b是常數(shù)，kWO),那么y叫做X的

一次函數(shù)

一次函數(shù).

b

特別地，當(dāng)____________時，y=kx+b變?yōu)開____________(k是常數(shù)，

正比例函數(shù)

kWO),這時y叫做x的正比例函數(shù).

2.一次函數(shù)的圖象

考試

考試內(nèi)容

要求

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0,____________________)和

一次函數(shù)的(____________________,0)的一條_____________________.

b

圖象特別地，正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0,—)和(1,—)

的一條_________________.

直線y=kx

直線y=kx+b可以看成是由直線y=kx平移得到，b>0,向_____平

+b與y=kxC

移_______________個單位；b<0,向_________平移_______個單位.

之間的關(guān)系

3.一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)

考試

考試內(nèi)容

要求

k>b符號圖象形狀經(jīng)過的象限函數(shù)的性質(zhì)

/

k>0,b>0—

0A

y隨x的增大而

y

k>0,b<0一

~0

/

k<0,b>0

-0

y隨x的增大而

k<0,b<0---------A

一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限是指圖象經(jīng)過第一、三、四象限或第一、

易錯點(diǎn)

三象限.

4.確定一次函數(shù)的解析式

考試

考試內(nèi)容

要求

常用方法待定系數(shù)法.

①已知兩點(diǎn)坐標(biāo)確定解析式；②已知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定解析式；③b

常見類型

通過平移規(guī)律確定函數(shù)解析式.

5.一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

考試

考試內(nèi)容

要求

一次函數(shù)與一元一次方程kx+b=O的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k

一次方程W0）的圖象與____________軸交點(diǎn)的_____________坐標(biāo).

一次函數(shù)與一元一次不等式kx+b>0（或kx+bVO）（kWO）的解集可以看作一次C

一元一次不函數(shù)y=kx+b取____________值（或_________值）時自變量x的取值

等式范圍.

一次函數(shù)與兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是兩個一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kix+bi和y=k2x+b2b

方程組所組成的關(guān)于x、y的方程組___________________的解.

6.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

考試

考試內(nèi)容

要求

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)建模.要做到這種轉(zhuǎn)化，首先要

建模思想分清哪個量是自變量，哪個量是函數(shù)；其次建立函數(shù)與自變量之間的

關(guān)系，要注意自變量的取值范圍.

C

實(shí)際問題中在實(shí)際問題中，可以根據(jù)自變量的取值求函數(shù)，或者由函數(shù)求自變量

一次函數(shù)的的值.由于自變量的取值范圍一般受到限制，所以可以根據(jù)一次函數(shù)

應(yīng)用的性質(zhì)求出函數(shù)在某個范圍的最值.

考試

考試內(nèi)容

要求

1.待定系數(shù)法，是求一次函數(shù)解析式的常用方法，一般是先設(shè)待求的

函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組，通

基本過解方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求函數(shù)解析式的方法.

C

方法2.利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題時，要注意仔細(xì)分析圖象中各點(diǎn)的含

義，尤其是圖象與圖象或坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想從

圖象中獲取有用的信息.

1.（2017?溫州）已知點(diǎn)（一1,yi）,（4,y》在一次函數(shù)y=3x—2的圖象上，則y”yz,

0的大小關(guān)系是（）

A.0<yi<y2B.yi<0<y2C.yi<y2<0D.y2<0<yi

2.（2017?紹興）某市規(guī)定了每月用水18立方米以內(nèi)（含18立方米）和用水18立方米以

上兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該市的用戶每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）是用水量x（立方米）的函數(shù)，其圖

象如圖所示.

(1)若某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費(fèi)多少元?

(2)求當(dāng)x>18時，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，若小敏家某月交水費(fèi)81元，則這個月用水

量為多少立方米？

【問題】如圖，直線AB分別交x,y軸于點(diǎn)A,B.

⑴若點(diǎn)A(—1,0),寫出一條直線AB的解析式；

⑵若點(diǎn)A(—2,0),B(0,1),請你盡可能多的寫出關(guān)于直線AB的信息.

【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理一次函數(shù)概念以及圖象與性質(zhì).

加磨,親浙R

類型一一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1一次函數(shù)y=2x+6.

(1)圖象經(jīng)過第象限；

(2)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

(3)當(dāng)一1<XW1時，y的取值范圍是；

⑷當(dāng)點(diǎn)A(—5,y,和B(—2,y?)都在圖象上，則yi與y?的關(guān)系是;

(5)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是.

【解后感悟】一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

例2如圖，已知直線L：y=-2x+4與x,y軸分別交于點(diǎn)N,C,與直線lz：y=kx

+b(kWO)交于點(diǎn)M,直線12與x軸的交點(diǎn)為A(—2,0),

(1)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,則4AMN的面積是；

⑵若點(diǎn)M在第一象限，則k的取值范圍是.

【解后感悟】兩條直線的相交問題，利用數(shù)形結(jié)合和圖象的運(yùn)動來解決.

變式柘屐

1.(1)(2017?海南模擬)一次函數(shù)y=mx+n與y=mnx(mn#O),在同一平面直角坐標(biāo)

系的圖象是()

⑵(2017?南京模擬)關(guān)于直線1：y=kx+k(kW0),下列說法正確的是

①點(diǎn)(0,k)在直線1上；②直線1經(jīng)過定點(diǎn)(一1,0)；③當(dāng)k>0時，y隨x的增大而

增大；④直線1經(jīng)過第一、二、三象限；⑤直線1經(jīng)過第一、二、三象限，則k>0.

類型二一次函數(shù)的解析式

例3

(1)如圖，一直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)，P是線段AB上任意一點(diǎn)(不

包括端點(diǎn))，過P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長為10,則該直線的函

數(shù)表達(dá)式是.

⑵一次函數(shù)y=2x+b與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為4,則b=.

(3)已知一次函數(shù)圖象交x軸于點(diǎn)(一2,0),與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5,則該一

次函數(shù)解析式為.

(4)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知一次函數(shù)y=kx+b(k#O)的圖象過點(diǎn)P(l,1),與

x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且1a〃NABO=3,那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

【解后感悟】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是本題的關(guān)鍵；注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思

想運(yùn)用.

例4已知直線1：y=2x—1

(1)將直線1向上平移5個單位長度后再向左平移3個單位后所得的直線解析式為

(2)將直線1與直線m關(guān)于x軸對稱，則直線m的解析式為

(3)將直線1繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線n,則直線n的解析式為.

【解后感悟】(1)求直線平移后的解析式時要注意平移時k的值不變，只有b發(fā)生變化;

(2)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的特點(diǎn)求解；(3)根據(jù)點(diǎn)(a,b)繞原點(diǎn)順時針旋

轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(b,-a),得到它們繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°以后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，

然后根據(jù)待定系數(shù)法求解.

■變式拓式_______________

2.(1)(2017?溫州模擬)根據(jù)下表中一次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，可得p

的值為.

X-201

y3P0

(2)(2017?南京市江寧區(qū)模擬)把一次函數(shù)y=kx+l的圖象向上平移1個單位,再向右

平移3個單位后所得直線正好經(jīng)過點(diǎn)(5,3),則該一次函數(shù)表達(dá)式為.

(3)(2017?紹興模擬)把直線y=—x+3向上平移m個單位后，與直線y=2x+4的交點(diǎn)

在第一象限，則m的取值范圍是.

(4)(2017?蘇州模擬)如圖，A(0,1),M(3,2),N(4,4).動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y

軸以每秒1個單位長度的速度向上移動，且過點(diǎn)P的直線1：y=—x+b也隨之移動，設(shè)移

動時間為t秒.

①當(dāng)t=3時，求1的解析式；

②若點(diǎn)M,N位于1的異側(cè)，確定t的取值范圍；

③直接寫出t為何值時，點(diǎn)M關(guān)于1的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.

類型三一次函數(shù)

（2）如圖，直線y=x+b與直線y=kx+6交于點(diǎn)P（3,5）,則關(guān)于x的不等式x+b>kx

+6的解集是.

【解后感悟】（1）此題主要理解一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系，關(guān)鍵是正確求出一次函

數(shù)關(guān)系式；（2）從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=x+b的值大于丫=1?+6的值的自

變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=x+b在直線y=kx+6上方部

分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.解決此類問題一般方法為畫出圖象，仔細(xì)觀察圖象，根

據(jù)圖象寫出方程（組）解、不等式解集.注意不等式解集交點(diǎn)（公共點(diǎn)）處函數(shù)值相等，所以解

集要么在交點(diǎn)左側(cè)要么在交點(diǎn)右側(cè).注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

■變式打屐_______________

3.（1）（2017?荷澤）如圖，函數(shù)yi=—2x與y?=ax+3的圖象相交于點(diǎn)A（m,2）,則關(guān)

于x的不等式一2x>ax+3的解集是（）

（2）（2017?濰坊模擬）如圖，已知函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=kx—3的圖象交于點(diǎn)P（4,

—6）,則不等式ax+bWkx—3<0的解集是.

第⑵題圖

(3)(2017?濰坊模擬)如圖，直線y=kx+b經(jīng)過A(2,1),B(—1,—2)兩點(diǎn)，則不等

式/x〉kx+b〉一2的解集為.

第⑶題圖

(4)(2015?武漢)已知一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4).求這個一次函數(shù)的解析

式，并求關(guān)于x的不等式kx+3W6的解集.

類型四一次函數(shù)的應(yīng)用

例6(2016?南京)如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y(單位：￡/A血與速度x(單

位：七"/團(tuán)之間的函數(shù)關(guān)系(30WxW120),已知線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中，該汽車的速度每

增加\km/h,耗油量增加0.002L/km.

⑴當(dāng)速度為50WA,100WA時，該汽車的耗油量分別為L/km、

L/km.

⑵求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

⑶速度是多少時，該汽車的耗油量最低？最低是多少？

>(L/km)c

A/-

0.15

0.12

306090120x(km/h)

【解后感悟】正確求出兩線段的解析式是解好本題的關(guān)鍵，因?yàn)橄禂?shù)為小數(shù)，計算要格

外細(xì)心，容易出錯；另外，此題中求最值的方法：兩圖象的交點(diǎn)，方程組的解；同時還有機(jī)

地把函數(shù)和方程結(jié)合起來，是數(shù)學(xué)解題方法之一，應(yīng)該熟練掌握.

■變式拓展

4.（2017?寧波模擬）某種汽車油箱加滿油并開始行駛，油箱中的剩余油量y（升）與行

駛的里程x（雨）之間的關(guān)系為一次函數(shù)，如圖:

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）加滿一箱油汽車可行駛多少千米?

【閱讀理解題】

在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)

三角形.例如，圖中的一次函數(shù)的圖象與X,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則AOAB為此函數(shù)的坐

標(biāo)三角形.

3

(1)求函數(shù)y=—]x+3的坐標(biāo)三角形的三條邊長；

(2)若函數(shù)y=-]x+b(b為常數(shù))的坐標(biāo)三角形周長為16,求此三角形面積.

【方法與對策】解本題的關(guān)鍵是理解坐標(biāo)三角形，利用一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)進(jìn)

行求解；由于b的不確定性，導(dǎo)致圖象的位置不同，解題就需要分類討論：b>0和b<0兩

種情況.該題型是中考命題趨勢.

【不能明確X、y取值范圍的幾何意義】

一次函數(shù)y=kx+b(kW0)的圖象如圖所示，當(dāng)y>3時，x的取值范圍是()

A.x<0B.x>0C.x<2D.x>2

參考答案

第13講一次函數(shù)及其圖象

【考點(diǎn)概要】

b

1.y=kx+bb=0y=kx2.b—r直線0k直線上b下|b|3.一、

K

[y=kix+bi

二、三一、三、四增大一、二、四二、三、四減小5.x橫正負(fù)《

[y=k?x十bz

【考題體驗(yàn)】

1.B2.(1)由縱坐標(biāo)看出，某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費(fèi)45元；(2)由81元

>45元，得用水量超過18立方米，設(shè)函數(shù)解析式為丫=1?+13年218),?.?直線經(jīng)過點(diǎn)(18,

[18k+b=45,[k=3,

45),(28,75),...”，「、解得，c二函數(shù)的解析式為y=3x—9(x218),當(dāng)y

[28k+b=75,[b=-9,

=81時，3x—9=81,解得x=30,答：這個月用水量為30立方米.

【知識引擎】

【解析】⑴不唯一.如y=-x—l；(2)解析式為y=|x+l；y隨x的增大而增大；

圖象經(jīng)過一、二、三象限等.

【例題精析】

例1⑴一、二三(2)(-3,0),(0,6)⑶4<yW8(4)yi<y2(5)9例2(1)4；

(2)0<k<2

例3

55

(l)y=5—x；(2)±4；(3)y=]x+5或y=—]x—5；(4)在^^AOB中，由3〃NAB0=

3,可得0A=30B,則一次函數(shù)y=kx+b中k=±；.?一次函數(shù)y=kx+b(kW0)的圖象過點(diǎn)

12141

p(l,1),，當(dāng)k=a時，求可得b=a；k=一3時，求可得b=w.即一次函數(shù)的解析式為y=w

O0OuJ

214.

x+鼻或y=—評+鼻.令y=0,則x=—2或4,?,?點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一2,0)或(4,0).故答案

JUO

為：(-2,0)或(4,0).例4(l)y=2x+10；(2)y=—2x+l；(3)y=—gx—例5

[b=2,[a=-2,

(1)由一次函數(shù)y=ax+b,?.?x=0時,y=2,x=2時,y=-2,解得七o

[2a+b=-2,[b=2,

???一次函數(shù)解析式為y=—2x+2,?,?方程ax+b=0變?yōu)橐?x+2=0,解得：x=l.同理不

等式ax+b>2的解集是xVO.故答案為：x=l；x<0.(2)當(dāng)x>3時，x+b>kx+6,即

不等式x+b>kx+6的解集為x>3.故答案為：x>3.例6(1)設(shè)AB的解析式為：y=kx

[30k+b=0.15,[k=-0.001,

+b,把(30,0.15)和(60,0.12)代入y=kx+b中得：,解得

[60k+b=0.12,〔b=0.18,

AAB：y=-0.001x+0.18,當(dāng)x=50時，y=-0.001X50+0.18=0.13,由線段BC上一點(diǎn)

坐標(biāo)(90,0.⑵得:0.12+(100-90)X0.002=0.14,故答案為：0.13,0.14；

⑵由⑴得:線段AB的解析式為：y=—O.OOlx+O.18；(3)設(shè)BC的解析式為：y=kx

[90k+b=0.12,1k=0.002,

+b,把(90,0.12)和(100,0.14)代入y=kx+b中得：,解得

[100k+b=0.14,[b=—0.06,

[y=-0.001x+0.18,[x=80,

???BC：y=0.002x-0.06,根據(jù)題意得解得答：速度是80knj//i

ty=O.002x-0.06,[y=Q.1.

時，該汽車的耗油量最低，最低是0.1〃版.

【變式拓展】

1.(I)C⑵①②③⑤

2.(1)1(2)y=0.5x+l(3)m>l(4)①直線y=—x+b交y軸