浙江省余姚市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試卷

浙江省余姚市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

L經(jīng)過4（-1,28）方（2,何）兩點的直線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知圓Ci：x2+y2-4x=0,圓C2：x2+y2-2x-2y+l=0,則兩圓的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

3.在平行六面體中，E為的中點，若前=乂赤+y而+z瓦M(jìn)，則O,y,z）=（）

A.B.C.D.(-1,一"|',1

4.雙曲線畢一耳=1的焦點到漸近線的距離為（)

Z4

A.V2B.2C.V6D2V3

*~

5.已知函數(shù)/(%)=cosx+sin2x,則f(今)=()

A.-3B.0C.-2D.2

6.把正方形紙片4BCD沿對角線AC折成直二面角，E為AB的中點，F(xiàn)為CD的中點，。是原正方形ABCD

的中心，則折紙后NE。尸的余弦值大小為（）

A.一如B._立C.D.

622s

7.數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列1,1,2,3,5,8…其中從第3項起，每一

項都等于它前面兩項之和，即劭=。2=1，斯+2=an+1+an,這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下列各式中

正確的選項為（）

A.+@2+。3+…+。100B.。101=+。3+@5+…+。99

C.diol="2+。4+。6+…+。100D.Qioi=2（。3+。6+。9+…+。99）+1

8.設(shè)橢圓「:寫+券=i（a>b>0）的左焦點為F（-c,0）,點43c,0）在橢圓外，P,Q在橢圓上，且P是線段4Q

aLb乙'

的中點.若橢圓的離心率為｝則直線PQ,QF的斜率之積為（）

A.-jB.C,D--吟

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是（

1

A.直線x+y+1=0在y軸上的截距是1

B.直線mx+y+m+2=0(mER)恒過定點(—1,—2)

C.點(0,0)關(guān)于直線久—y—1=0對稱的點為(L—1)

D.過點(1,2)且在%軸、y軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0

10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1

且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛即｝,其前幾項和為S”則()

A.?io-55B.a8-a6=24

C.S10=280D.數(shù)列共有84項

11.已知拋物線C：y=-*2的焦點為尸，點pg%)為拋物線。上一動點，點4I,—3),則()

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=2

B.|P2|+|PF|的最小值為5

C.當(dāng)久o=4時，則拋物線C在點P處的切線方程為久+y-4=0

D.過4F的直線交拋物線C于M,N兩點，則弦MN的長度為16

12.已知/—y2<ex—e~y，貝!J()

A.ln(x+y+1)<0B.(%+y)2+1<ex+y

C.x+y>—sinx—sinyD.cosx—cosy>y2—x2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知力=(1,1,1)%=(—1,2,1)，貝!)2方一石=.

14.已知正項等比數(shù)列｛%J,"1=1,且。2，“4，一”3成等差數(shù)列，貝必2024=.

15.若直線1與單位圓和曲線竽—咚=1均相切，則直線/的方程可以

是.(寫出符合條件的一個方程即可)

16.已知函數(shù)/(%)=e2x+(1-2d)ex-ax｛aER)有兩個零點，求a的取值范圍_______.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)=|x3-2a%2+3K(a為常數(shù))，曲線y=f(均在點4(—l,/(-1))處的切線平行于直線y=

8%—7.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)八%)的極值.

2

18.已知△ABC的三個頂點4(—3,2),B(2,l),C(-2,-3).

(1)求BC邊上中線所在直線的方程；

(2)已知點P(x,y)滿足S“BC=4,且點P在線段AC的中垂線上，求點P的坐標(biāo).

19.已知數(shù)列｛斯｝的首項即=1，且滿足即+1="

⑴證明：數(shù)列島是等比數(shù)列；

1111

(2)若丁+77+…+7＜2024,求正整數(shù)n的最大值.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面4BCD是直角梯形，BC||AD,AB1BC,平面PAB，平面ABC。，△PAB

是邊長為2的正三角形，BC=1,AD=3,即=入而(0＜入＜1).

(1)若CEII平面R4B,求人的值；

(2)若入=g,求平面4BE與平面PCD的夾角的余弦值.

4

3

21.已知函數(shù)/(%)=In%++(a+1)%.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a<0,證明：f(%)<——2.

22.已知橢圓E：4+4=1(00)過點4(0,2),離心率為李.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(—3,2)的直線Z與橢圓E交于B,C兩點，直線4B,4C分別與x軸交于M,N兩點，求證：MN中點

為定點.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為％因為直線經(jīng)過4（-1,2百）鳳2,修），

所以經(jīng)過A.B兩點的直線的斜率為k=卓與綽=一噂，即tana=—堂，

又因為0°Wa<180°,所以a=150°.

故答案為：D.

【分析】由題意，根據(jù)兩點斜率公式，結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：易知圓Ci的圓心，半徑分別為0（2,0）/1=2,

圓C2的圓心，半徑分別為。2（1,1）/2=1，圓心距IC1C2I=VTT1=V2,

因為T1一「2=1<|C1C2|<ri+r2=3,所以兩圓的位置關(guān)系為相交.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)已知條件，先求兩圓的圓心和半徑，再計算圓心距，結(jié)合圓心距與半徑和、差的大小關(guān)系判斷即

可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：由題意，作出平行六面體4BCD—4/1的。1，如圖所示：

—>—>—>[->—>1—>—>

則BE=BA+AA\+2=—AB+AD+AA^

即（x,y,z）=（-

故答案為：A.

【分析】由題意，作出圖形，由空間向量的線性運算求解即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：雙曲線車一耳=1，易知焦點坐標(biāo)（土詬0）,漸近線方程為物:土y=0,

N4

不妨取焦點（便,0）,漸近線段久-y=0,則焦點到漸近線的距離為喀西=2.

V3

故答案為：B.

【分析】根據(jù)雙曲線方程求出焦點坐標(biāo)和漸近線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求解即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：函數(shù)/(%)=cos久+sin2x,求導(dǎo)可得/'(%)=—sinx+2cos2%,則/''(今)=一si嗎+2cos(2x

5)=-3.

故答案為：A.

【分析】先求導(dǎo)，再代值求解即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：連接。0,貝UD014C,過點F作FH14C,垂足為H,連接如圖所示:

因平面ZZ4CJ"平面4BC,且平面ZMCC平面ABC=AC,FHDAC,

所以FH1平面4BC,XEHc^F?ABC,則F41EH.設(shè)正方形4BCD的邊長為4,

12

則AC=4V2,DO=2V2,FH=*D0=遮,AH=^AC=3Vz

在△4EH中，由余弦定理可得：EH2=AH2+AE2-2AH-XEcos45°=18+4-2X3V2X2X=10>

在RtAEFH中，EF=yjEH2+FH2=2V3-又OF=94。=2,0E==2,

設(shè)ZEOF=。，在△EOF中，由余弦定理：cos)=0E2爆2手F2=4+*12=_[

20E-0F82

故答案為：c.

【分析】連接。0,則D014C,過點F作F414C,垂足為H,連接FH,EH,構(gòu)造RMEFH,分別求

易得FH,利用余弦定理求EH即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：A、。101=。100+&99,故A錯誤;

B、。101=。100+。99=。99+。98+。99=2a99+。98=2a99+@97+。96

=2a99+。97+。95+094=…=2a99+“97+。95+…+05++“2

=2的9+。97+。95+…+恁+。3+故B錯誤；

C、。101=<1100+“99=a100+“98+a97=a100+a98+。96+a95

=…=。100+。98+。96+…+。4+。2+故C錯誤；

D、(Xioi=。100+。99=。99+。98+。99=2。99+。98=2a99+“97+。96

6

=2a99+。96+。95+“96=2(“99+。96)+。95

二2((199+。96)+。94+093=2((199+“96)+。93+。92+。93=2((199+。96+“93)+。92

=…=2（的9+。96+。93+…+。3）+。2=2（。99+。96+。93+…+。3）+1，故D正確.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的定義以及數(shù)列求和逐項判斷即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：記橢圓的右焦點為E,連接PE,QF,如圖所示：

由題意可知，點F（—c,0）為橢圓「的左焦點，

因為點4（3c,0）、E（c,0）,易知點E為線段/F的中點，又因為P為2Q的中點，所以PE〃QF,

取線段PQ的中點M，連接。M,則喘=羯=2,

所以。M〃PE,貝i)OM〃QF,所以k°M=kQF，

設(shè)點P（%i，yi）、Q（x2,y2）,則點M（"i產(chǎn),”及）,

償+4=1

所以””，作差可得與1+左4=o,

遙+阿一。2b2

京-1

中-0為一＞2*一W=b2

所以liOM^PQ=xx

l~2x202,

因為橢圓「的離心率為e.=1||=鼠||=}喏器，

所以k°MkpQ=一,，即％F^PQ=_*

故答案為：B.

【分析】記線段PQ的中點M,連接。M,取右焦點E,連接PE,推導(dǎo)出。M〃QF,可得出岫MMQ=%/演（2,

利用點差法可求得岫“kpQ=—,，再結(jié)合橢圓「的離心率公式求解即可.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：A、直線%+y+1=0,令％=0,求得y=-1,則直線x+y+l=0在y軸上的截距

是—1,故A錯誤；

X-I-1—0

{+2=0，

7

解得｛。二_；，故直線mx+y+TH+2=o(7nGR)恒過定點(一1,一2),故B正確；

C、設(shè)力(O,O),B(1,—1),易知心B=5^=—1，直線上久―y—1=0的斜率為1，則2B1Z,又因為4B的

中點償，—當(dāng)在直線％-y—i=o上，所以點(。，0)關(guān)于直線％—y—i=o對稱的點為(L—1)，故C正確；

D、過點(1,2)且在％軸、y軸上的截距相等的直線為y=2%或％+y-3=0,故D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】由題意，令久=0,解y,即可判斷A；把直線方程化成關(guān)于參數(shù)小的方程，依題得到求

解即可判斷B；只需驗證兩點間的線段中點在直線上，且兩點的直線斜率與已知直線斜率互為負(fù)倒數(shù)即可判斷

C；截距相等分兩種情況，截距為0和截距不為零兩種情況計算，即可判斷D.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：1至1)500這500個數(shù)中能被2除余1的數(shù)有：1,3,5,7......499,

1到500這500個數(shù)中能被3除余1的數(shù)有：1,4,7……499,

由題意現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成首項為1，末項為499,公差為6的等差數(shù)列，

所以冊=6n—5,(1<n<84,neN*),

所以。10=55,a8—a(,=12,S10=10x(1+55)_2QQ,數(shù)列｛斯｝共有84項.

故答案為：ACD.

【分析】由題意得現(xiàn)將1到500這500個數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，則

它們構(gòu)成首項為1,末項為499,公差為6的等差數(shù)列，由此即可逐一判斷每一個選項.

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、易知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為C：/=-8y,則準(zhǔn)線方程為y=2,故A正確；

B、過點P向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為點B,過點4向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為點C,如圖所示：

貝小24|+\PF\=\PA\+\PB\>\AC\=5,當(dāng)且僅當(dāng)點P與點E重合時等號成立，點E為AC與拋物線的交點,

故B正確；

C、切點為(4,—2),且切線斜率存在，所以設(shè)切線方程為y+2=k(x—4),

聯(lián)立拋物線方程得/+8kx—32k—16=0,所以△=64/+64(2k+1)=0,解得k=—1,

8

所以當(dāng)孫=4時，則拋物線C在點P處的切線方程為x+y—2=0,故C錯誤；

D、由題意4(1,—3)尸(0,—2),所以四尸=-3：卜2)=一],

所以直線4F:y+2=-刈即4F:x+y+2=0,聯(lián)立拋物線方程得/一8久-16=0,

由韋達(dá)定理可得%M+%N=8,\MN\=2—+2—yj\j=4—(——2)—(一%N—2)=8+QM+久N)=16,

故D正確.

故答案為：ABD.

【分析】化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A；由拋物線定義結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可判斷B；設(shè)出切線方程

(斜率為參數(shù))，聯(lián)立拋物線方程由判別式為0即可驗算判斷C；聯(lián)立4口方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、

焦點弦公式即可判斷D.

12.【答案】B,C

【解析X解答】解:因為%2-y2<ex-e~y,即％2-ex<(-y)2-e~y.令/(%)=x2-ex,則有/(%)<f(—y),

則/'(%)=2%—e%,令g(%)=2%—e%,則g(%)=2—e%,

令g'(%)=2—ex=0,可得x-ln2,

當(dāng)久e(-8,)2)時，g'(%)>0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)%6(仇2,+8)時,g\x)<0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞減，

故gMmax=g(伍2)=2ln2-2<0,

所以總有,故fO)單調(diào)遞減；所以%>-y,即％+y>0；

A、ln(x+y+1)>Ini=0,故A錯誤；

B、設(shè)=e%—/—1(、>0),則/i'(x)=e%-2%=—f'(%)>0,

故在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/i(%)>h(0)=0,

所以％2+1<e%(%>0),因為％+y>0,所以(％+y)2+1<e%+y,故B正確；

C>x+y>—sinx—siny,即％+sinx>(—y)+sin(—y).

設(shè)u(x)=%+sinx,則u(x)>u(—y),

則"3)=1+cos%20,所以〃(X)單調(diào)遞增.

因為工,-y,所以〃(%)>&(-y),故C正確；

D、cosx—cosy>y2—x2,BP%2+cosx>y2+cosy,

令t(x)=x2+cosx,則t(x)>t(y),

因為t(—x)=(—x)2+cos(—%)=x2+cosx=t(x),所以t(x)=x2+cosx為偶函數(shù),

所以t(x)>t(y)即為t(x)>t(-y).

則t'(%)=2%—sinx,令zn(%)=2久—siziK,則加(％)=2—cos%>0,所以zn(%)單調(diào)遞增.

又TH(0)=0,所以當(dāng)％6(-8,0)時，m(x)<0,t'(x)<0,函數(shù)1(%)單調(diào)遞減；

9

當(dāng)工e(0,+8)時,m(x)>0,t'(x)>0,函數(shù)1(久)單調(diào)遞增，

當(dāng)—y<x<0時，t(—y)>t(x),故D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)/(%)=/-砂，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，計算出x與y的關(guān)系，再根據(jù)函

數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即可.

13?【答案】(3,0,1)

【解析】【解答】解：因為五=(1,1,1)%=(-1,2,1)，所以23一另=(2,2,2)1,2,1)=(3,0,1).

故答案為：(3,0,1).

【分析】由題意，根據(jù)空間向量線性運算的坐標(biāo)表示計算即可.

14.【答案】G)

【解析】【解答】解：設(shè)正項等比數(shù)列｛斯｝的公比為q(q>0),

因為。2，。4,一成等差數(shù)，所以2<24=。2—。3，即2q?=l—q,解得q=稱，

所以數(shù)列的通項公式為斯=(當(dāng)一，則。2024=G)-

故答案為：?)2023

【分析】設(shè)正項等比數(shù)列｛斯｝的公比為q(q>0),由。2,。4,一。3成等差數(shù)列可得2a4=。2-。3,求出公比q=最

求出數(shù)列｛6｝的通項公式an=G)，再求解即可.

15.【答案】y=±孥尢土孚(寫出符合條件的一個方程即可)

【解析】【解答】解：由題意，可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：y=kx+b,

聯(lián)立消去y整理可得：(1+k2)x2+2kbx+b2-1-0,

因為直線與單位圓相切，所以Ai=4k2b2—4(l+k2)(b2—1)=0,化簡得〃=1+卜2,

ry=kx+b

聯(lián)立避y2_，消去y整理得：(3—4/)/一8協(xié)%—4爐—12=0,

(WF=1

因為直線與曲線相切，所以&=64k2b2—4(3-4k2)(—4爐—12)=0,化簡得〃=16/^2—4,

由優(yōu)解得用="2=小則仁+攣力=+浮,

S'=4k'-333-3'—3

所以直線方程為：y=+攣久+尊1

故答案為：y=±孚久土密

【分析】由題意，設(shè)直線方程為：y^kx+b,根據(jù)直線I與單位圓和曲線車—^=1均相切，方程聯(lián)立，由

43

判別式為零求解即可.

10

16.【答案】(1,+8)

【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=e2x+(1-2d)ex—ax{aGR)定義域為R,

求導(dǎo)可得/(%)=2e2x+(1—2d)ex—a=(ex—a)(2ex+1),

當(dāng)a<0時，/(%)>0,/(>)在R上單調(diào)遞增，所以fQ)至多有一個零點.

當(dāng)a>0時，由/'(%)V0,解得：x<Ina,由/'(%)>0,解得：x>Ina,

故函數(shù)/(%)在(-8,lna)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)久=Ina時，/(%)取得最小值，

2

/(x)min=/(Ina)=a—a—alna—a(l—a—Ina).

令/i(a)=1—a—Ina,ae(0,+oo),貝！J3(a)=—1—i<0,

所以/i(a)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

又無(1)=0,所以要使fOOmEV0,即無(a)<0,則a>l.

又因為f(—1)=當(dāng)+上的+a=l+e+a;(e-2)>0,

所以/(久)在(一8,Ina)上有一個零點，

又f(ln(3a))=3a2+3a—aln(3a)=磯3a4-3—In(3a)]=a[(3a—1)—ln(3a)+4]

令g(x)=x—1-In%,%G(3,+co),貝IJg'Q)=1一1=>o,

所以g(x)在(3,+8)上單調(diào)遞增，

因為a>l,所以3a>3,所以g(3a)=3a—1—ln(3a)>g(3)>0,所以/'(ln(3a))=a[3a+3—ln(3a)]>

a[g(3d)+4]>4a>0.

所以人切在(Ina,+8)上也有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(L+8).

故答案為：(L+8)

【分析】先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)a進(jìn)行分類討論，在a>0時，通過判斷函數(shù)/(久)

的單調(diào)性求得其最小值，依題需使f(x)min<0推得a>1；接著分段說明函數(shù)/'(尤)在區(qū)間(-8,Ina)和(Ina,+oo)

上各有一個零點即得.

17.【答案】(1)解：函數(shù)/'(%)=—2a/+3%定義域為R,/(%)=X2—4ax+3,

因為曲線y=f(x)在點4(—l,/(-1))處的切線平行于直線y=8%—7,

所以/'(-1)=4a+4=8,解得a=l；

(2)解：由(1)可得/■'(%)=/-4%+3=(%-1)(%-3),

令/'(%)>0,解得久〉3或％<1,令/'(久)<0,解得1<久<3,

則函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，在(一8,1),(3,+8)上單調(diào)遞增，

11

%(—8,1)1(1,3)3(3,+8)

/1(%)+0-0+

/(%)/極大值、極小值/

故x=1時函數(shù)取極大值，極大值為/(I)=*%=3時函數(shù)取極小值，極小值為f(3)=0.

【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，由題意可得/'(I)=4a+4=8,求解即可；

(2)由(1)可得f'。)=/一4久+3=(無一1)(無一3),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表求解即可.

(1)f(%)—x2—4ax+3,

?.?在點4(—1/(-1))處的切線平行于直線y=8x-7,

1)=4a+4=8,.'.a—1；

(2)由(1)可得/(工)=/—4久+3=(久一l)(x—3),

令/'(%)>0得x>3或久<1,列表如下：

X(-8,1)1(L3)3(3,+8)

f(x)+0—0+

/極大值極小值/

；?極大值為/(I)=極小值為/(3)=0.

18.【答案】(1)解：由題意BC中點。(0,—1),

所以所在直線的斜率k=勻二奈=一1,

所以2D所在直線的方程為y+1=—久，

即BC邊中線AD所在直線的方程x+y+1=0；

(2)解：因為B(2,l),C(-2,-3),所以|BC|=V16+16=4式,

kBC=_^_2=1,所以直線BC的方程為y-1=%—2，即久―y—1=0,

設(shè)點P到直線BC的距離d,則由題意SMBC=1X4V2d=4,

所以點P到直線BC的距離d=區(qū)一晨”=V2,

則點P所在直線方程為％-、+1=0或％-丫-3=0,

因為4(—3,2)，C(—2,-3),

所以心c=_彳尚)=-5,線段ZC中點坐標(biāo)為一右，

所以線段AC的中垂線為y+,=,(%+/即y=皆久，

—y—3=0

所以聯(lián)立1或1,

?yy=5x

12

所以點p的坐標(biāo)為:(2,―?；蚵闪?/p>

【解析】【分析】(1)先求B,C的中點坐標(biāo)，根據(jù)兩點斜率公式求4。所在直線的斜率，結(jié)合點斜式化簡求解

即可；

(2)由兩點間距離公式求|BC|=4/，直線BC的方程為無一y—1=0,結(jié)合S^BC=4以及點到直線的距離

公式得點P所在直線方程為久-y+l=0或久-y-3=0,進(jìn)一步求得線段AC的中垂線方程，聯(lián)立求解即可.

(1)由題意BC中點0(0,—1),

所以2D所在直線的斜率k=與二a=—1，

一5一U

所以力D所在直線的方程為y+1=—久，

即BC邊中線AD所在直線的方程x+y+1=0；

(2)因為B(2,l),C(-2,-3),所以|BC|=V16+16=4魚,

心。=姜|=1，所以直線BC的方程為y—l=x—2,即％—y—1=0,

設(shè)點P到直線BC的距離d,則由題意SMBC=1X4V2d=4,

所以點P到直線BC的距離d==V2,

則點P所在直線方程為％-丫+1=0或％-丫-3=0,

因為2(—3,2)，C(—2,—3)?

所以1=_厚3)=-5,線段47中點坐標(biāo)為當(dāng)，

所以線段AC的中垂線為y+義=+搟)，即y=慕，

(%—y+1=0(X—y—3=0

所以聯(lián)立1或1

(y=5％y=5》

所以點尸的坐標(biāo)為:(W)或管,a

19.【答案】(1)證明：易知｛心｝各項均為正，對斯+1=曲兩邊同時取倒數(shù)得，即/一一4=4(《一4)，

002十乙"n+1乙乙'-U/72乙/

因為高—所以數(shù)歹”今―S是以稱為首項，;為公比的等比數(shù)列；

111

(2)解：由(1)知嬴=2+#，

所以f(n)=+271=2幾+1一加'

。2。3

顯然/5)單調(diào)遞增,

且1f(4046)=2024-^416<2024/(4047)=2024.5-^417>2024>

所以的最大值為4046.

13

【解析】【分析】（1）對冊+1=U招兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可;

（2）由分組求和以及等比數(shù)列求和公式得前n項和，結(jié)合其單調(diào)性求解即可.

（1）易知｛斯｝各項均為正，對時+1=曲兩邊同時取倒數(shù)得，

a九十乙

即萬專r+TGT），

因為

所以數(shù)歹!]｛今-鐘是以稱為首項，④為公比的等比數(shù)列.

111

（2）由（1）知^-=2+^2^，

顯然外冗）單調(diào)遞增，

且f（4046）=2024-瀛^<2024/（4047）=2024.5-藏y>2024,

所以九的最大值為4046.

20.【答案】（1）解：分別取2B,C￡>中點。尸，連接PO,OF,

由已知底面ABC。是直角梯形，BC||AD,AB1BC,PA=PB,

易得。F12B,P014B,

因為平面PAB，平面ABCD,平面PABCI平面ABCD=AB,POu面PAB,

所以P。1平面4BC。，

又因為OFu平面4BCD,所以PO，。凡

以。為中心，以O(shè)BQFQP所在直線分別為居y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

貝IP(0,0,73)4(-1,O,O),F(1,O,O),C(1,1,O),D(-1,3,0)尸(0,2,0),

因為方=入而(0＜入＜1),

所以彘=麗+即=(-1-A,3A-1,V3-V3A),

顯然赤=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量，

若CEI呼面P4B,則加赤=2(3入—1)=03入巖，即入=%

14

(2)解：若入=/，則P(0,0,V5),4(—1,0,0),B(1,O,O),C(L1,O),。(一1,3,0)/(0,2,0),

由(1)演=9+方=(一1—入,3入一1,8—百人)=(—第一,,竽)，所以七「黯，孚》

所以荏=(2,0,0),荏=仔孥)屈=(1,1,-V3),PO=(-1,3,-V3),

設(shè)方=(a,瓦c),元=O,y,z)分別為平面ABE與平面PCD的一個法向量，

CCH,(m-AB-2a-0?|n-PC=x+y-43z-0

所以-333萬或--

\m-AE=4a+-^b+—c=0\n-PD-x+3y—V3z=0

令c=—l,x=1,解得a=0,b=V3,y=l,z=

則布=(0,V3,—l),n=(1,1,當(dāng)3，

設(shè)平面ABE與平面PCD的夾角為a,

.―>一［F5_2nA/3I——

故cosa-|cos(m,H)|-曾北=,一~13=————2—0

叫網(wǎng)用口x口Z博2X牌

即平面ABE與平面PCD的夾角的余弦值為例.

【解析】【分析】(1)以。為中心，以O(shè)B,OF,OP所在直線分別為久,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由向量的線性

運算得凝=而+而=(一1—人,3人一1,V3-V3X),進(jìn)一步得正=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量，由此列出

方程次-OF=0求解即可.

(2)由(1)的結(jié)論，求出兩平面的法向量，利用空間向量，利用夾角余弦公式求解即可.

分別取AB,CD中點0,F,連接PO.OF,

由已知底面4BCD是直角梯形，BC||AD,AB1BC,PA=PB,

易得OF1AB,PO1AB,

?.?平面P4B1平面2BC0,PABCioffiABCD=AB,POc?PAB,

：.P0_L平面ABC。，

又因為OFu平面ABCD,

所以PO1OF,

以0為中心，以O(shè)BQFQP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

貝11P(0,0,73)^(-l,0,0),B(l,0,0),C(l,l,0),D(-1,3,0)/(0,2,0),

15

VPE=APD(O<A<1),

：.CE=CP+PE(-1-入,3人-1,V3-V3X),

顯然赤=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量，

若CE||平面P2B,則瓦?赤=2(3入—1)=03入=]即入=全

(2)若入=",則P(0,0,V3)4(-l,0,0),B(l,0,0),C(l,l,0),￡)(-l,3,0),F(0,2,0),

由⑴而+即=(-1—入,3入-1,8一遍入)=(_*,_/,孥)，

所以力若,苧)，

所以荏=(2,0,0),族=修孥)國=(1,1,-V3),PD=(—1,3,—V3),

設(shè)訪=(a,b,c),元=(x,y,z)分別為平面ABE與平面PCD的一個法向量，

2a=0x+y—V3z=0

所以3,3,3>/3

4h+—c=n0—%+3y—V3z=0

令c=—l,x=1,解得a=0,b=y/3,y=l,z=~^-9

設(shè)平面ABE與平面PCD的夾角為a,

故cosa=|cos〈苑元)|=潦儒=_逗

j3+lxJ1+1+4=而，

即平面ABE與平面PCD的夾角的余弦值為理.

21.【答案】(1)解：函數(shù)/(%)=上久+今/+(a+1)%.定義域為(0,+8),

求導(dǎo)可得/?'(%)q+a久+a+1=。久2+(及1)什1=(久+1)產(chǎn)+1),(久>。),

①當(dāng)a20時，/'(%)>0,f(￡)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)"0時，當(dāng)xe(o,-時,/'(%)〉0,/(%)在(0,—由上單調(diào)遞增,

當(dāng)x€(—、,+8)時,f'(%)<0,/(%)在(-：,+8)上單調(diào)遞減,

綜上，①當(dāng)a\0時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

16

②當(dāng)"0時，/(久)在(0,-占上單調(diào)遞增，在(—今+8)上單調(diào)遞減；

(2)證明：由(1)可得，當(dāng)Cl<0時,/'(x)niax=/(—1)=In一會—1

要證/(尤)〈一言一2,只需證/GOmax言_2，

即證In(-^)+^+1<0恒成立.

令t=_工貝|JInt-t+1W0恒成立，

a

設(shè)g(t)=lnt-t+l(t>0),則，(t)=>1=?,

當(dāng)te(0,1)時，g'(t)〉O,g(t)單調(diào)遞增，

當(dāng)te(l,+8)時，g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減，

所以g(t)的最大值為g(l)=0,

所以g(t)<g(l)=0,

所以In(—―^+—+1<0怛成立，

\Cl/CL

則原命題得證，即：當(dāng)a<0時，/(%)W-2一2.

【解析】【分析】(1)先求函數(shù)/(久)的定義域，求導(dǎo)，分a^O和a<0判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性,

從而求其單調(diào)區(qū)間即可；

(2)要證明原不等式，只需/(乃死以W-2,而由(1)再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，并求其

最值，即可證明.

(1)定義域為(0,+8),

則f'Q)=^+ax+a+l=。久2+(%l)x+l=(久+1)產(chǎn)+1),(無>。)，

①當(dāng)a20時，/(%)>0,/(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<0時,當(dāng)久?0,一占時,/(%)>0,/(x)在上單調(diào)遞增,

當(dāng)工?—1,+8)時，/'(%)<0,/(久)在(-：,+8)上單調(diào)遞減,

綜上，①當(dāng)a20時，代工)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

②當(dāng)"0時，/(久)在(0,—占上單調(diào)遞增，在(—1+8)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可得，當(dāng)a<0時，

要證/(%)2,只需證八%)加。%-~2a~2,

即證In(-占+/140恒成立.

17

令T，則］n—+1W°恒成立,

設(shè)g(t)=lnt-t+l(t>0),則g'(t)=>1=?,

當(dāng)te(0,1)時，g'(t)〉0,g(t)單調(diào)遞增，

當(dāng)te(l,+8)時，g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減,

的最大值為g(l)=0,

所以g(t)<g(l)=0,

所以ln(O+］+lW。恒成立,

原命題得證即:當(dāng)a<0時,f(x)<-^--2.

八，La

22.【答案】⑴解：因為橢圓E：鳥+春=19>5〉0)過點40,2),離心率為卓

［今=1

所以(c=V5，解得爐=442=9,

a~~3

lb2=a2—c2

則橢圓E的方程為氏礙+^=1；

94

(2)解:顯然直線Z斜率存在，設(shè)方程為y—2=依％+3)(2V0),B(%nyi),C(x2,y2),

y—2=k(x+3)

222

聯(lián)立方程久2y2_f#(9/c+4)x+18fc(3/c+2)x+9(3/c+2)-36=0,

百+4=1

18/c(3/c+2)9(3/C+2)2-36

x

+2=-9fc2+49H+4，

由直線AB方程為)/=學(xué)久+2,直線AC方程為丫=學(xué)久+2,

X1x2

2打2%?

=n~~>XN=n-j

2-yfN2-y2