圓的綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）-2021年中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)（解析版）

專題32圓的綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）

選擇題

1.如圖，OO的半徑為1,弦/8=1,點(diǎn)P為優(yōu)弧疝上一動(dòng)點(diǎn)，交直線收于點(diǎn)C,則的最

【分析】連接。/、OB,如圖1,由。/=。8=/8=1可判斷△0/8為等邊三角形，則乙4。3=60°,

1

根據(jù)圓周角定理得//必=萬(wàn)//。8=30°,由于所以NC=60°,因?yàn)?8=1,則要使△4BC

的面積最大，點(diǎn)C到42的距離要最大；由NZC8=60°,可根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)。在O。上，且/

ADB=12O°,如圖2,于是當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧N8的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到N8的距離最大，此時(shí)△43C為等邊三

角形，從而得到△48C的最大面積.

VCM=05=1,48=1,

：.AOAB為等邊三角形，

/.ZA0B=60°,

1

ZAPB=~ZAOB=30°,

'JACLAP,

AZC=60°,

'：AB=\,要使△/8C的面積最大，則點(diǎn)C到的距離最大,

VZACB=60°，點(diǎn)。在o。上,

AZADB=120°，

當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。到的距離最大，此時(shí)△/BC為等邊三角形，且面積為—52=

4

V3

AABC的最大面積為

4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的

面積公式.

2.如圖，△48C中，CA=CB,AB=6,CD=4,E是高線CD的中點(diǎn)，以CE為半徑OC.G是OC上一動(dòng)

點(diǎn)，尸是NG中點(diǎn)，則。尸的最大值為（）

C.2V3

1

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)。是的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理可得。P=/G,然

后利用兩點(diǎn)之間線段最短就可解決問(wèn)題.

【解答】解：連接8G,如圖.

'JCA^CB,CDLAB,48=6,

1

:.AD=BD=]4B=3.

又：CD=4,

：.BC=5.

是高線CD的中點(diǎn)，

1

：.CE^~CD=2,

：.CG=CE=2.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：3GWCG+C8=2+5=7.

當(dāng)B、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，8G取最大值為7.

?.?尸是NG中點(diǎn)，。是42的中點(diǎn)，

1

：.PD^~BG,

7

:.DP最大值為5.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、兩點(diǎn)

之間線段最短等知識(shí)，利用三角形中位線定理將DP轉(zhuǎn)化為BG是解決本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在△48C中，NC=90°,4C=BC=4,。是48的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)C、。兩點(diǎn)的圓交/C、3c于點(diǎn)

【分析】連接C。、DE、DF,如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得N/=45°,CDLAB,CD=AD=

BD,/DCB=45：易證得△/￡>￡T四△C。尸，則DE=DF,再判斷△￡1/）尸為等腰直角

三角形，得到。￡=苧斯，由于=所以當(dāng)所越小，S^DEF越小，力口上S.CEKS4

1

EDF=Sm=4,4BC，則當(dāng)即越小，越小，而SACEF越大，此時(shí)點(diǎn)。到砂的距離越大，即所

最小時(shí)，點(diǎn)C到斯的距離最大，設(shè)點(diǎn)。到斯的最大距離為〃，根據(jù)圓周角定理，由NECF=90°得

EE為。0的直徑，所以當(dāng)。。的直徑等于CD時(shí)，OO的直徑最小，即EF最小,此時(shí)可判斷四邊形CEDF

為正方形，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)易得h=V2.

【解答】解：連接C。、DE、DF,如圖，

VZC=90°,AC=BC=4,

AABC為等腰直角三角形，

/.ZA=45°,

:D是AB的中點(diǎn)，

：.CD±AB,CD=AD=BD,ZDCB=45°,

在中，

'AE=CF

乙4=Z.DCF,

AD=CD

：.AADE^ACDF(S/S),

:./ADE=/CDF,DE=DF,

■：ZADF+ZCDE=9Q°,

：.ZCDF+ZCDE=90°,即/尸=90°,

△成甲為等腰直角三角形，

：.DE=^EF,

1、1°

S^DEF=5,DE?=-EF-,

Z4

當(dāng)￡尸越小，S.DEF越小，

..1

,：SACEF+SAEDF=SACDdSACDF=SACED+SAADE=SAADC=5s△/BC=4，

...當(dāng)￡尸越小，鼠加尸越小，而S.CE尸越大，此時(shí)點(diǎn)。到￡尸的距離越大，

即EF最小時(shí)，點(diǎn)C到EF的距離最大，設(shè)點(diǎn)C到EF的最大距離為h,

■：ZECF=90a,

；.￡尸為。。的直徑，

當(dāng)O。的直徑等于CD時(shí)，。。的直徑最小，即EF最小,此時(shí)/。￡。=/。尸。=90°,則四邊形CEDF

11111ll

為正方形，h=-CD==->—*472=V2,

乙乙乙乙乙

即點(diǎn)C到線段EF的最大距離為方.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等解

決線段相等的問(wèn)題；記住三角形的面積公式.

4.如圖，點(diǎn)尸為正方形的邊CD上一點(diǎn)，BP的垂直平分線即分別交BC、AD于E、尸兩點(diǎn)，GP

尸交/。于點(diǎn)G,連接8G交￡尸于點(diǎn)”，下列結(jié)論：?BP=EF；@ZFHG=45°；③以A4為半

徑02與GP相切；④若G為40的中點(diǎn)，則DP=2CP.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③④B.只有①②③C.只有①②④D.只有①③④

【分析】先作MU8c于N,根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)證明△BCPg△■年就可以得出2P

=￡/，作3M_LPG于MGPLEP,通過(guò)證明兩次三角形全等就可以得出/尸5G=45°,從而求出/尸”G

=45°,由切線的判定定理就可以求出以R4為半徑05與GP相切，當(dāng)G為4D的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)/G=G。

=x,CP=y,則GM=x,PM=y,PD=2x-y,運(yùn)用勾股定理就可以求出。P與CP的關(guān)系.

【解答】解：作NF上BC于N,

:.NFNE=90°.

;四邊形48co是正方形,

ZABC=ZBCD=ZADC=ZBAD=90°,AB=BC=CD=DA.

:.NF=AB,

：.NF=CB.

尸垂直平分AP,

.\Z2=Z3,Z2+ZNEF=90°.

?：/\+/NEF=90°,

AZ1=Z2,

在?和△MVF中，

(Z2=Z1

\BC=FN,

[z.C=Z.FNE

：.ABCP^AFNE(ASA),

:?BP=EF；故①正確；

作5M_LPG于M,GPLEP,

：.BM//EP,ZBMP=ZBMG=90°

???N3=N5,ZBMP=ZC.

AZ2=Z5

在ABPC和△5PM中

NC=ZBMP

z_2=z5,

BP=BP

:?△BPC"ABPM(AAS),

；?BC=AB=BM,

???以R4為半徑。8與G尸相切.故③正確；

在RtAWG和RtA^G中，

[BG=BG

IBM=ABf

：.(也)，

：.Z6=Z7.

VZ2+Z5+Z6+Z7=90°,

???2N5+2N6=90°,

???N5+N6=45°

即NPBG=45°.

AZ8=45O.

AZFHG=45°故②正確；

當(dāng)G為/。的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)4G=GD=x,CP=y,則GM=x,PM=y,PD=2x-y,

在Rt△尸GO中由勾股定理，得

(x-Fj)2=x2+C2x-y)2,

2

2

即=F

24

:?PD=2x—pr=F，

??.Z)P=2C尸故④正確.

???正確的有：①②③④.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性

質(zhì)的而運(yùn)用、圓的切線的判定方法的運(yùn)用、勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用等知識(shí)，在解答中運(yùn)用作輔助線制造

全等三角形是關(guān)鍵.

5.如圖，45是半圓。的直徑，射線4M、3N為半圓的切線.在4M上取一點(diǎn)C,連接交半圓于點(diǎn)

連接過(guò)。點(diǎn)作5c的垂線QN,與5N相交于點(diǎn)N.過(guò)。點(diǎn)作半圓的切線CE,切點(diǎn)為與5N相

BF

交于點(diǎn)凡當(dāng)。在⑷/上移動(dòng)時(shí)（4點(diǎn)除外），設(shè)右7二九，則〃的值為（）

D1M

1

C."<H<1D.無(wú)法確定

【分析】作于〃，如圖，設(shè)BN=3則%半圓的半徑為小根據(jù)切線的性質(zhì)得NA^B=N

NBA=90°,易得四邊形45切為矩形，所以RF=2r,AH=BF=n,再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CE=C4,

FE=FB=n,設(shè)C/=3貝1JCH=t-AH=t-n,在RtZkCHF中利用勾股定理得（L〃）2+（2r）

廠21

2=（什幾）2,解得，=一,接著證明RtZ\5ONsRtZ\/C5,然后利用相似比得可計(jì)算出〃=不

n2

【解答】解：作于，，如圖，設(shè)8N=1,則8尸=〃，半圓的半徑為r,

,JAM,3N為半圓的切線，

AZMAB=ZNBA=90a,

四邊形/以陽(yáng)為矩形，

：.HF=2r,AH=BF=n,

尸切半圓于K點(diǎn)，

：.CE=CA,FE=FB=n,

設(shè)C4=/,貝UCE=f,CH—t-AH—t-n,

在RtZkC〃F中，:C*Flf=CF2,

丁2

/.(t-n)2+(2r)2=(/+幾)2,解得Z=一,

n

,?Z8是半圓。的直徑，

/.ZADB=90°,

?：ONLBD,

C.AD//ON,

：./BON=/BAD,

VZBAD+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,

JZBAD=ZACD,

：.ZBON=ZACB,

:?△BONsRAACB,

OBBN二1

???就=7P即日

1

/.九=萬(wàn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理；會(huì)運(yùn)用相似比和勾

股定理計(jì)算線段的長(zhǎng).

6.如圖，NMAN=45°，B、C為4V上的兩點(diǎn)，且/8=8C=2,。為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)8、C、

。三點(diǎn)作。。，貝ijsin/ADC的最大值為（）

【分析】當(dāng)O。與/初相切于。時(shí)，O。與有唯一的公共點(diǎn)，則N2DC最大，此時(shí)sin/ADC的最

大，如圖，作3〃，/。于，，可判斷為等腰直角三角形，貝Ij//Z）B=45°,/〃=爭(zhēng)8=應(yīng)，

再根據(jù)切割線定理得/r>2=/g./c=8,計(jì)算出“。=2應(yīng)，于是可判斷88為△/CD的中位線，貝lj3H〃

CD,所以CD_L4M,得到N8DC=45°,于是有sin/ADC=孝.

【解答】解：當(dāng)。。與相切于。時(shí)，NBDC最大,此時(shí)sin/ADC的最大，如圖，

作BHLAD于H,

?；//=45°,

...△48〃為等腰直角三角形，

V2r-

408=45°,AH=^AB=y[2,

為O。的切線，

：.ADZ=AB*AC=2(2+2)=8,

:.AD=2也

：.DH=AH=y[2,

；.BH為AACD的中位線,

J.BH//CD,

J.CDLAM,

：.ZADC=90°,

：.ZBDC=45°,

smABDC=^―.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用

勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng).

7.如圖，AD為O。的直徑，點(diǎn)/是弧2c的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn)、,。尸是。。的切線與2C的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)尸，AE=2,ED=4,下列結(jié)論：?AABE^^XABD；②48=2禽；③tan//DB=字；@^DEF

是正三角形；⑤弧的長(zhǎng)=字1.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

【分析】①由于/是弧2c的中點(diǎn)，故再加上公共角即可證得所求的三角形相

似.

②根據(jù)△4BESA4D&可知其對(duì)應(yīng)邊成比例，再由NE=2,研）=4即可求出答案.

③由（1）的相似三角形所得比例線段，可求得N8的長(zhǎng)，進(jìn)而可在RtZX/m中，求得N/8D的正切

值.

④連接CD,由的邊可得/ND8=30°,再由點(diǎn)/是弧8C的中點(diǎn)，可得N4DB=NEDC=

30°,從而得出/CED=60°；再利用。尸是O。的切線，得出NED尸=60°,即可得出是正三

角形.

⑤由RTA84D的邊角關(guān)系，可得出8。=4禽，從而得出圓的半徑，由N5O/=60°,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即

可求解.

【解答】證明：①：點(diǎn)/是弧8C的中點(diǎn)，

ZABC=ZADB,

又：/BAE=/BAE,

:.AABEsAADB.故①正確,

@VLABEsLADB,

.ABAE

??布

:,AB2=AD?AE=(4E+ED)?AE=(2+4)X2=12,

：.AB=2y/3,故②正確,

③?：AB=2g

AB歲=等.故③正確

在RtAADB中，tan/4DB=~r^

63

④如圖，連接CD,貝IJN2C0=9O°；

由NB=2禽，AD=6,ZBAD=90°,得N4DB=30°,

.點(diǎn)/是弧3c的中點(diǎn),

ZADB=ZEDC=30°,

；.NC磯＞=60°；

產(chǎn)是OO的切線,

；.NEDF=60°,

ZEFD=60°,

...△OEF是正三角形；故④正確，

@'：AB=2y/3,AD=6,NBAD=90°,

:.BD=4用,

**?F—2V^?

■:NBO4=60°,

.,607TX2V32A/3

??/=--------------=------故⑤錯(cuò)誤.

1803

正確的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的綜合題,涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、圓心角、弧的關(guān)系、

等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度適中.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xS中，直線NB經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-4,0)、B(0,4),。。的半徑為1(O為坐標(biāo)

原點(diǎn))，點(diǎn)P在直線48上，過(guò)點(diǎn)尸作。O的一條切線尸0，。為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)尸。的最小值為()

A.V6B.V7C.2V2D.3

【分析】連接OP根據(jù)勾股定理知尸2-。02,當(dāng)時(shí)，線段。尸最短，即線段尸0最

短.

【解答】解：連接。尸、OQ.

是。。的切線，

：.OQLPQ；

根據(jù)勾股定理知尸尸2-。02,

?.,當(dāng)時(shí)，線段尸0最短；

又?.[(-4,0)、B(0,4),

：.OA=OB=4,

：.AB=4y/2

1廠

：.OP=-AB=2y/2,

：.PQ=yJPO2-OQ2=V7；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)

進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.

9.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是N2上的一點(diǎn)，將△2CE沿CE折疊至△FCE,若C凡CE恰

好與以正方形/BCD的中心為圓心的O。相切，則。。的半徑為()

Dc

A.1B.V2-1C.V3-1D.—^―

【分析】連接NC交于點(diǎn)。，設(shè)EC與。。相切于點(diǎn)N,連接。N,由。為正方形的中心，得到/DCO=N

BCO,又CF與CE為圓。的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到C。平分/ECF,可得出NDC尸=4BCE,由折

疊可得/BCE=NFCE,再由正方形的內(nèi)角為直角，可得出NEC8為30°,在直角三角形CON中，求

出CO的長(zhǎng)，再利用sin/OCN=sinl5°=Jlzf"迎,即可得到川。的長(zhǎng).

【解答】解：連接NC交于點(diǎn)。，設(shè)EC與OO相切于點(diǎn)N,連接ON,

,?O為正方形ABCD的中心，

ZDCO=ZBCO,

又：C尸與C￡都為圓。的切線，

：.CO平分NECR即/FCO=ZECO,

：.ZDCO-ZFCO=ZBCO-ZECO,即ZDCF=ZBCE,

又；ABCE沿著CE折疊至△網(wǎng)?￡,

NBCE=ZECF,

1

/.ZBCE=ZECF=ZDCF=~ZBCD=3Q°,

；./OCN=\5°,

\'BC=AB=4,

1「

：.CO=-AC—2y/2,

..■/CCNT一■1Il—cos30°V2—V3

?sinZOCTV—sinl5=--------------=-----------,

N22

.竺

"co~——，

即=2魚=—2舊=J(V3-1)2=V3-b

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握

定理及性質(zhì)由半角公式求出半徑是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，△/8C的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，AD.2E是△Z8C的高，交于點(diǎn)H,3E的延長(zhǎng)線交于尸，

下列結(jié)論：

①/BAO=NCAD；②AO=AH；③EH=EF；?DH=DC,

其中正確的有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

1

【分析】作OGL48于G,連接。2、AF,如圖，0GL48,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

1

Zl+Z5=90°,BG=AG,再根據(jù)圓周角定理得/。=5乙4。8,則N5=NC,由于N2+NC=90°,則

Nl=/2,則可對(duì)①進(jìn)行判斷；

1

要證明而/1=/2,則要證明RtZ\/GOgRtzX/EH,所以要證明/G=N￡,即證明/￡=,

1_

AG,而N/8E不能確定為30°,所以不能證明于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用等角的余角相等

得/2=/4,再利用圓周角定理得到/4=/3,則/2=/3,加上根據(jù)等腰三角形的判定方

法得到△/"F為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷;要證明DH=Z）C,由于N2=/

4,則要證明RtAAD&RSDH,

所以呀哦證明30=40,由于不能確定/4BD=45°,不能確定2。=40,于是可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【解答】解：作。G_L/8于G,連接。8、AF,如圖，

OGLAB,

1

：.Z5=~ZAOB9Zl+Z5=90°,BG=AG,

1

*：ZC=~ZAOB,

：.Z5=ZCf

U：ADLBC,

：.Z2+ZC=90°,

???N1=N2,所以①正確；

*：BE.LAC,

而N45E不能確定為30°,

：?AB￥2AE,

而45=24G,

:.AGrAE,

而N1=N2,

???不能判斷RtZXZGO和RtLAEH全等,

???不能確定所以②錯(cuò)誤；

VZ2+ZC=90°,Z4+ZC=90°,

???N2=N4,

而N4=N3,

???N2=N3,

■:AELHF,

為等腰三角形，

；.HE=EF,所以③正確；

由于不能確定N45D=45°,

???不能確定3。=/。

VZ2=Z4,

???不能判斷RtA^DC和RtdBDH全等,

???不能確定QH=C。，所以④錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)；靈活運(yùn)

用三角形全等的判定與性質(zhì)；合理作輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，△NBC內(nèi)接于O。，于P,交。。于。，E為NC的中點(diǎn)，EP交BD于F,的直徑

為d.下列結(jié)論：

1

①EFLBD；②NC2+AQ2的值為定值；@OE=-BD；④4B?CD=2S四邊形也明

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】先利用PE為Rt^/PC的斜邊上的中線得到PE=CE,則/ECP=/EPC,再根據(jù)對(duì)頂角相等得

ZEPC=ZDPF,根據(jù)圓周角相等得于是有NDPF+NPDF=N4CP+/C4P=90°,則

可對(duì)①進(jìn)行判斷；

作尸于“，連接CM、OC、OB、OD,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可得N/OE=/

ABC,ZDOH=ZBCD,由于N/5C+/8CD=90°,則N/OE+NDO8=90°,然后根據(jù)等角的余角相

等得到/胡0=/。0〃，于是可根據(jù)“44S”證明得至再根據(jù)垂徑定理由

1

OH上BD得到BH=DH,所以0月=萬(wàn)5。，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；

11

在RtZXOZE中，利用勾股定理得45+0￡2=042,加上/月二/。，OE=-BD,則402+502=4042,于

是可對(duì)②進(jìn)行判斷；

利用S四邊形△/和三角形面積公式可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【解答】解：???CQUB,

AZAPC=90°,

???￡為4C的中點(diǎn)，即尸E為RtA4PC的斜邊上的中線,

：.PE=CE,

：.ZECP=ZEPC,

而/EPC=/DPF,NCAP=/CDB,

：.ZDPF+ZPDF=ZACP+ZCAP=90°,

；?EF_LBD,所以①正確；

作PH_LBD于H,連接CM、OC、OB、OD,如圖,

???￡為4C的中點(diǎn)，

：.OELAC,

11

AAAOE=~AAOC,ZDOH=-ZBODf

11

VZABC=-ZAOC,ZBCD=~ZBODf

：.ZAOE=AABC,ZDOH=ZBCD,

而N45C+N5CD=90°,

AZAOE+ZDOH=90°,

而N4QE+NK4O=90°,

???NEAO=/DOH,

在△40月和△OQH中，

(ZAEO=ZOHD

\^EAO=/-HOD,

[OA=DO

：./\AOE^^ODH(AAS)f

OE=DH,

9：OHLBD,

：.BH=DH,

1

：.OE=-BD,所以③正確；

在RtZXCUE中，\9AE2+OE2=OA2,

11

而=OE=—BD,

：.AC2+BD2=4OA2,

而04為圓的半徑，為定值，

.?./。2+342的值為定值，所以②正確;

?；S四邊形

11

=-AB-CP+~AB*DP

1

=~AB(PC+DP),

1

=-AB-CD,

'-AB*CD—2SADBC,所以④)正確?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；會(huì)

運(yùn)用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算；能運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等的問(wèn)題.

12.如圖，己知/、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4,0）、（0,2）,OC的圓心坐標(biāo)為（0,-2）,半徑為2.若

。是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)￡,當(dāng)△48E的面積最大值時(shí)，△0/）￡的面積為（）

【分析】當(dāng)射線與OC相切時(shí)，△4BE面積的最大.設(shè)即=x,由切割線定理表示出OE,可證明△

CAEs△ZOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得x,然后求得面積.

【解答】解：當(dāng)射線40與OC相切時(shí)，△4BE面積的最大.

如圖，連接4C

點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0）,OC的圓心坐標(biāo)為（0,-2）,半徑為2.

：.AO=4,OC=2,即OC為OC的半徑，則/。與OC相切.

,?ZO、4。是。。的兩條切線,

：.AD=AO=4.

連接C。，設(shè)跖=x,

:?DE2=EF?0E,

?：CF=2,

:?DE=Jx(4+%).

CDCE22+x

易證ACDESAAOE,則而=有，即L4+所由,

4

解得x=§或x=0(不合題意，舍去)，

1148

:.S&CDE=-DE'CD=~x-x4=-.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了圓的綜合題，解題時(shí)，涉及到了切線的性質(zhì)和三角形面積的計(jì)算,

解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)射線AD與OC相切時(shí)，A4BE面積的最大.

二.填空題

13.已知：如圖，AB=BC,ZABC=90°,以為直徑的OO交。。于點(diǎn)。，的延長(zhǎng)線交3C于點(diǎn)E,

過(guò)。作。。的切線交8c于點(diǎn)尸.下列結(jié)論：①CD2=CE,CB：②4EF2=ED-EA；（3）ZOCB=ZEAB；

【分析】先連接8。，利用相似三角形的判定以及切線的性質(zhì)定理得出。尸=EB,進(jìn)而分別得出△CD￡s

叢CBD以及叢CDFs叢CBO,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別分析即可得出答案.

【解答】解：①連接班），

??,/B為直徑，

AZADB=90°,

AZDBE+Z3=90°,

VZABC=90°,

：.Z\+ZDBE=90°,

AZ1=Z3,

又?：DO=BO,

AZ1=Z2,

???N2=N3,

:?/CDB=/CED,

*.*/DCB=/ECD,

:?叢CDEs叢CBD,

:?CI^=CE*CB,故①C￡>2=c￡?C5正確；

②,?,過(guò)。作。。的切線交BC于點(diǎn)F,

???/加是。。的切線，

VZABC=90°,

???C5是。。的切線，

：?FB=DF,

：./FDB=/FBD,

Z1=ZFDE,

：.ZFDE=Z3,

:?DF=EF,

:?EF=FB,

：.EB=2EF,

???在RtZ\Z5E中，BDLAE,

；?EB2=ED*EA,

：?4EF2=ED?EA,故②4￡尸=瓦>區(qū)4正確；

③?：AO=DO,

：?/OAD=/ADO,

假設(shè)③N0C5=AEAB成立，

1

則NOCB,NCg

：.ZOCB=30°,

BOBO1V3

而GT7=73=5，與tan3O°=二-矛盾，

LJC?D乙J

故③NOCB=N￡45不成立，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

??：/CDF=/CBO=90°,

/DCF=/OCB,

:.△CDFs^CBO,

.DFCD

??茄=而’

.DFBO

**CD=cF>

?；AB=BC,

.DFBO1

**CD=CB=2?

11

：.DF=-CD；故④二58正確.

綜上正確的有①、②、④.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的切線性質(zhì)與判定、圓周角定理性質(zhì)及三角形相似的判定等知識(shí)，熟練根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14.如圖，45為半圓直徑，ACLAB,BFLAB,BF=2,AB=3,C4=4,連接力/交半圓于。，連接CZ),

1

作DELCD交直徑AB于E,貝ljtanN/CE=_77_

BD2

【分析】首先利用圓周角定理得出/4D8=90°,進(jìn)而得出△/￡>5s△/AF,求出,=茄=不再利用

71JD

BDBE2

已知得出N1=N2,即可得出△/CZ)sg切，進(jìn)而求出：有=/3=孑，得出5E的長(zhǎng)，即可求出/￡的長(zhǎng),

jADZ1Co

得出tanZACE的值即可.

【解答】解：連接8。，

?,48為半圓直徑，

*.ZADB=90°,

JBFLAB,

\ZABF=90°,

ZBAF=ZDAB,

\dADBsAABF,

.BFBD

?布=布’

:BF=2,AB=3,

.BFBD2

tAB='AD=3,

?Z5為半圓直徑，ACLAB,

\Z4+ZFAB=90°,

：Z3+ZDAB=90°,

,?N3=N4,

：Z\+ZADE=90°,Z2+ZADE=90°,

??N1=N2,

*.AACDSBED,

.BDBE2

?茄=前=§'

：AC=4f

8

:,BE=5,

81

???"『亍E'

1

/.tanZACE=-.

1

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，在綜合題中經(jīng)常利

用相似性解決有關(guān)圓的問(wèn)題，同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)嘗試應(yīng)用.

15.在四邊形45CD中，NBAD=/BCD=90°,N45C=45°,點(diǎn)E為對(duì)角線5。的中點(diǎn)，連接并延

長(zhǎng)交線段8c于點(diǎn)尸，AE=2或,BF=3,則ND的長(zhǎng)為2版.

【分析】由于/340=/2。。=90°,點(diǎn)E為對(duì)角線2。的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理的推論得點(diǎn)/和點(diǎn)C

在以點(diǎn)E為圓心，AD為直徑的圓上，如圖，所以2D=2/E=4瓶，連接EC、AC,作于X,

再根據(jù)圓周角定理得到44EC=2N/8C=90°,可判斷△口（7為等腰直角三角形，所以NC=Vl4E=2

V10,NE4c=45°,然后證明△C/FS^CB/,利用相似比得2回：（3+CF）=CF：2V10,可求得CF

=5,則5。=。尸+時(shí)=8；在RtZi4DC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD=4,接著根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

得NCDH=NABC=45°,則△CD"為等腰直角三角形，則CH=DH=曰CD=2近,于是可在RtZU"C

中，利用勾股定理計(jì)算出/8=4魚，所以AD=AH-DH=2鈍.

【解答】解：,.?/24D=/2Cr>=90°，點(diǎn)E為對(duì)角線的中點(diǎn)，

.,.點(diǎn)/和點(diǎn)C在以點(diǎn)片為圓心，2。為直徑的圓上，如圖，則2。=2/石=4痣,

連接EC、AC,作CHLAD于H,

,：ZAEC^2ZABC^90°,

...△E4c為等腰直角三角形，

:.AC=&AE=82m=2回,ZEAC=45°,

：.ZCAF=ZCBA,

而N/CF=ZBCA,

：./\CAF^/\CBA,

：.CA：CB=CF：CA,即2VIU：(3+CF)=CF：2V10,

整理得CF2+3CF-40=0,解得CF=5或CF=-8(舍去)，

:.BC=CF+BF=8,

在RtZUDC中，CD=y/BD2-BC2=J(4V5)2-82=4,

'：ZCDH=ZABC=45°,

；.△CDH為等腰直角三角形，

CH=DH=號(hào)CD=孝x4=2V2,

在RtZ\//fC中，AH=yjAC2-CH2=J(2V10)2-(2V2)2=4V2,

：.AD=AH-DH=4y/2-2近=2夜

故答案為2&.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì);

會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算.

16.如圖，在等腰RtZ\/5C中，NA4c=90°,AB=AC,BC=4VL點(diǎn)。是/C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接5D,

以4D為直徑的圓交于點(diǎn)E,則線段CE長(zhǎng)度的最小值為2痣一2.

A

【分析】連接如圖1,先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/5=/C=4,再根據(jù)圓周角定理，由

為直徑得到/4ED=90°,接著由N/E8=90°得到點(diǎn)K在以為直徑的。。上，于是當(dāng)點(diǎn)。、E、C

共線時(shí)，CE最小，如圖2,在Rt&40C中利用勾股定理計(jì)算出0C=2逐，從而得到CE的最小值為2痣

一2.

【解答】解：連接如圖1,

VZBAC^9Q°,AB=AC,BC=4也

：.AB=AC=4,

'：AD為直徑，

AZAED=90°,

AZAEB=90°,

...點(diǎn)E在以N8為直徑的。O上，

：O。的半徑為2,

當(dāng)點(diǎn)。、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2,

在Rt/X/OC中，\'OA=2,AC=4,

：.OC=70A2+4C2=2V5,

：.CE=OC-OE=2y[5-2,

即線段CE長(zhǎng)度的最小值為2乖—2.

故答案為2近一2.

D

E

-------------------------

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算

線段的長(zhǎng).解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離

問(wèn)題.

17.如圖，已知直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于4、3兩點(diǎn)，OC的圓心坐標(biāo)為（2,0）,半徑為2,若。

是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E,則△A8E面積的最小值和最大值分別是8-26和8+2

V2_.

【分析】求出6M、08值，根據(jù)已知求出的最大值和最小值即可，過(guò)/作OC的兩條切線，連接

OE'

OD',OD,求出/C,根據(jù)切線性質(zhì)設(shè)夕O=E'D'=x,根據(jù)sin/C4。'=—,代入求出x,即

AE

可求出BE的最大值和最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

【解答】解：y=x+4,

,當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)y=0時(shí)，x=-4,

：.OA=4,08=4,

AABE的邊上的高是。4,

AABE的邊BE上的高是4,

要使△N8E的面積最大或最小，只要8E取最大值或最小值即可，

過(guò)工作OC的兩條切線，如圖，

當(dāng)在。點(diǎn)時(shí)，BE最小,即△/BE面積最??；

當(dāng)在。'點(diǎn)時(shí)，BE最大,即△/8E面積最大；

?.”軸，夕軸，0c為半徑，

:.EE，是OC切線,

'：AD'是OC切線,

：.OE'=E'D'，

設(shè)E，O=E'D'=x,

?；/C=4+2=6,CD'=2,AD'是切線,

ZAD'C=90°,由勾股定理得：AD'=4企,

D'COE'

1

J.smZCADAC—肅，

2_

64V2—x)

解得：x=V2,

：.BE'=4+V2,BE=4-V2,

L

.?.△/BE的最小值是5x(4-V2)X4=8-2近,

ILL

最大值是：-X(4+V2)X4=8+2位，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵

是找出符合條件的。的位置，題目比較好，有一定的難度.

18.如圖，點(diǎn)C在以48為直徑的半圓上，AB=8,/CA4=30°,點(diǎn)。在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)

于NC對(duì)稱，DFLDE于點(diǎn)、D,并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.下列結(jié)論：

①CE=CF；

②線段EF的最小值為2g；

③當(dāng)/。=2時(shí)，與半圓相切；

④若點(diǎn)尸恰好落在弧2C上，則AD=2^；

⑤當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，線段￡尸掃過(guò)的面積是16V3.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是①⑶⑤.

【分析】（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于/C對(duì)稱可得CE=CD,再根據(jù)DFLOE即可證到CE=C/.

（2）根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CDL/5時(shí)CO最小，由于防=2CD,求出。的最小

值就可求出斯的最小值.

（3）連接OC,易證△49C是等邊三角形，AD=OD,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出/NCD,

進(jìn)而可求出NECO=90°,從而得到斯與半圓相切.

（4）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△D8歹是等邊三角形，只需求出8尸就可求出。8,進(jìn)而求出

長(zhǎng).

（5）首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段即掃過(guò)的圖形,然后探究出該圖形與△/BC的關(guān)系，就可求出線段所

掃過(guò)的面積.

【解答】解：①連接CD,如圖1所示.

.點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于/C對(duì)稱，

：.CE=CD,

：./E=/CDE,

'：DFLDE,

:.NEDF=90°,

AZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°,

：.ZF=ZCDF,

:.CD=CF,

：.CE=CD=CF,

結(jié)論“CE=CF"正確;

②當(dāng)CDL48時(shí)，如圖2所示;

ZACB^9Q°,

：/3=8,ZCBA=30°,

：.ZCAB=60°,AC=4,8c=4禽.

'JCDLAB,NCBA=30°,

1「

：.CD^~BC=2y/3；

根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：

點(diǎn)D在線段48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為2g,

"：CE=CD=CF,

:.EF=2CD,

線段所的最小值為4V3,

結(jié)論“線段斯的最小值為2遍”錯(cuò)誤.

...△O/C是等邊三角形,

：.CA=CO,ZACO=60°,

?.?/O=4,4)=2,

：.DO=2,

：.AD=DO,

：.ZACD=ZOCD=30°,

???點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于4C對(duì)稱，

???NECA=/DCA,

：.ZECA=30°,

AZECO=9