運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃靈敏度分析教學(xué)案例

靈敏度分析的概念和內(nèi)容資源數(shù)量變化的分析目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù)變化的分析影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用第二章線性規(guī)劃靈敏度分析

LP問題的系數(shù)有aij、bi、cj，這些系數(shù)往往是估計(jì)值或預(yù)測值。

市場條件變化，

cj值就會(huì)變化；工藝條件和技術(shù)水平改變，aij就變化；bi是根據(jù)資源投入后的經(jīng)濟(jì)效果決定的一種選擇，市場供應(yīng)條件發(fā)生變化時(shí)，亦會(huì)改變。靈敏度分析的概念提出問題:當(dāng)LP問題的系數(shù)有一個(gè)或幾個(gè)發(fā)生變化時(shí)，已求得的最優(yōu)解會(huì)有什么變化；這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，LP問題的最優(yōu)解不會(huì)變化。所謂靈敏度分析就是研究最優(yōu)解對(duì)數(shù)據(jù)變化、變量或約束個(gè)數(shù)變化的反應(yīng)程度。靈敏度分析的內(nèi)容再看線性規(guī)劃模型：MaxZ=300x1+500x2

x1

≤4

2x2≤12

3x1+2x2≤18x1,x2≥0s.t.（車間1）（車間2）（車間3）（非負(fù)）已經(jīng)求得最優(yōu)解：x*1=2,x*2=6。此時(shí)總利潤最大，最優(yōu)目標(biāo)值為：z*=3600（元）目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù)cj

的變化分析先考慮只有一個(gè)系數(shù)

cj

改變：門的單位利潤由原來的300元提升到500元，最優(yōu)解會(huì)不會(huì)變化呢？改變參數(shù)總利潤增加(500–300)×2=400最優(yōu)解未變目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù)cj

的變化分析再，門的單位利潤由原來的300元提升到800元，最優(yōu)解會(huì)不會(huì)變化呢？再改變參數(shù)最優(yōu)解變了那么，保持最優(yōu)解不變的價(jià)值系數(shù)允許變化范圍？改變最優(yōu)解的臨界值是什么呢？敏感性報(bào)告在“規(guī)劃求解結(jié)果”中選定“敏感性報(bào)告”。得到一個(gè)工作表：敏感性報(bào)告最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)“遞減成本”---表示目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)必須改變多少，才能使決策變量有正數(shù)解?！霸试S的增量”和“允許的減量”---給出最優(yōu)解不變的范圍。如門的系數(shù)范圍：0≤c1≤750；窗的系數(shù)范圍：c2≥200可行域最優(yōu)解(2,6)圖解法此時(shí)有無窮組解此時(shí)有無窮組解最優(yōu)解不變資源數(shù)量變化的分析考慮只有一個(gè)右段值

bi

改變：2車間可用工時(shí)由原來的12小時(shí)增加到13小時(shí)，最優(yōu)解如何變化呢？再變化呢？修改了參數(shù)總利潤增加了3750–3600=150(元)最優(yōu)解也變了資源數(shù)量變化的分析修改了參數(shù)最優(yōu)解不再變了敏感性報(bào)告約束左端值約束右端值“影子價(jià)格”---表示約束右端值每改變1個(gè)單位，目標(biāo)函數(shù)值相應(yīng)的變化?！霸试S的增量”和“允許的減量”---給出在影子價(jià)格不變條件下約束右端允許變化的范圍。如車間1在2≤b1增加1個(gè)可用工時(shí)總利潤不變；車間2在6≤b2≤18內(nèi)，增加1個(gè)可用工時(shí)總利潤總利潤增加150；車間3在12≤b3≤24內(nèi)，增加1個(gè)可用工時(shí)總利潤總利潤增加100?？尚杏蜃顑?yōu)解(2,6)（利潤）（利潤）（利潤）

右端值變化，也改變了可行域。在一定范圍內(nèi)，車間的約束右端值增加1，交點(diǎn)（最優(yōu)點(diǎn)）上移，利潤增長。最優(yōu)解不變“ReducedCost”（遞減成本）它的絕對(duì)值表示目標(biāo)函數(shù)中決策變量的系數(shù)必須改進(jìn)多少，才能得到該決策變量的正數(shù)解。在最大化問題中，“改進(jìn)”指增加，最小化問題中指減少。“DUALPRICE”（對(duì)偶價(jià)格，即影子價(jià)格）輸出結(jié)果中對(duì)應(yīng)于每一個(gè)約束有一個(gè)對(duì)偶價(jià)格。表示對(duì)應(yīng)約束中不等式右端項(xiàng)若增加1個(gè)單位，目標(biāo)值將增加的數(shù)量（max型問題）。如：車間2：12→13，總利潤變化量=影子價(jià)格=150元；車間3：18→17，總利潤變化量=-影子價(jià)格=-100元目標(biāo)函數(shù)中

x1

變量原來的費(fèi)用系數(shù)為300，允許增加（AllowableIncrease）=450、允許減少（AllowableDecrease）=300，說明當(dāng)它在[0,750]范圍變化時(shí)，最優(yōu)基保持不變，可以類似解釋x2變量。由于此時(shí)約束沒有變化（只是目標(biāo)函數(shù)中某個(gè)費(fèi)用系數(shù)發(fā)生變化），所以最優(yōu)基保持不變的意思也就是最優(yōu)解不變（當(dāng)然，由于目標(biāo)函數(shù)中費(fèi)用系數(shù)發(fā)生了變化，所以最優(yōu)值會(huì)變化）。

第2行約束中右端項(xiàng)（RightHandSide，簡寫為RHS）原來為4，當(dāng)它在[2，∞]范圍變化時(shí)，最優(yōu)基保持不變。第3、4行可以類似解釋。不過由于此時(shí)約束發(fā)生變化，最優(yōu)基即使不變，最優(yōu)解、最優(yōu)值也會(huì)發(fā)生變化。多個(gè)費(fèi)用系數(shù)同時(shí)變動(dòng)分析例如，門的單位利潤漲到450元，窗的利潤降到400元，是否會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化呢？最優(yōu)解沒有發(fā)生變化，總利潤由于產(chǎn)品單位利潤的變化相應(yīng)改變

(450-300)×2+(400–500)×6=-300百分之百法則如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算出每一系數(shù)變動(dòng)量的百分比，然后將各系數(shù)的變動(dòng)百分比相加，如果所得的和不超過100%，則最優(yōu)解不會(huì)改變；反之，則不能確定。前面的例子。c1:300→450占允許增加量的百分比=c2:500→400占允許增加量的百分比=總和=66.67%<100%，故最優(yōu)解(2,6)沒有改變。百分之百法則如果

c1:300→600，

c2:500→300，不能保證最優(yōu)解不變了。百分之百法則如果

c1:300→525，

c2:500→350，最優(yōu)解還是不變?？尚杏蜃顑?yōu)解在整個(gè)線段上百分之百法則c1:300→150，

c2:500→250，總和>100%，最優(yōu)解也未變。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)150x1+250x2

與原目標(biāo)函數(shù)300x1+500x2

斜率未變，因此最優(yōu)解也未變。多個(gè)資源系數(shù)同時(shí)變動(dòng)分析例如，將1個(gè)小時(shí)的用工時(shí)間從3車間移到2車間，對(duì)總利潤產(chǎn)生什么影響？總利潤增加3650-3600=50元，而目標(biāo)系數(shù)未變，所以最優(yōu)解肯定發(fā)生變化，百分之百法則如果約束右端值同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算出每一變動(dòng)占允許變動(dòng)量的的百分比，如果所有的百分比之和不超過100%，那么，影子價(jià)格依然有效；否則，就無法確定。前面的例子。b2:12→13占允許增加量的百分比=b3:18→17占允許增加量的百分比=總和=33.33%<100%，故影子價(jià)格

沒有改變。若b2:12→15，

b3:18→15，總和=100%，仍未變。

在影子價(jià)格有效的范圍里，總利潤的變化量可以直接用影子價(jià)格來計(jì)算。影子價(jià)格資源的影子價(jià)格實(shí)際上是一種機(jī)會(huì)成本。在純市場經(jīng)濟(jì)條件下 市場價(jià)格<影子價(jià)格，買進(jìn)該資源 市場價(jià)格>影子價(jià)格，賣出該資源 影子價(jià)格隨之改變，逐漸趨向市場價(jià)格。影子價(jià)格=0，該資源未充分利用影子價(jià)格≠0，該資源已消耗殆盡。產(chǎn)品的隱含成本=∑單位資源消耗量×影子價(jià)格 產(chǎn)品產(chǎn)值>隱含成本，生產(chǎn)該產(chǎn)品有利 產(chǎn)品產(chǎn)值<隱含成本，生產(chǎn)該產(chǎn)品不利，應(yīng)該轉(zhuǎn)產(chǎn)影子價(jià)格的應(yīng)用。某文教用品廠利用白坯紙生產(chǎn)稿紙、日記本和練習(xí)本。該廠有工人100人，每天白坯紙的供應(yīng)量為30000千克。每個(gè)工人每天可單獨(dú)生產(chǎn)稿紙30捆或日記本30打或練習(xí)本30箱。三種產(chǎn)品消耗白坯紙：每捆稿紙需10/3千克，每打日記本需40/3千克，每箱練習(xí)本需80/3千克。分別盈利為1元、2元和3元。試討論在現(xiàn)有條件下，使該廠盈利最大的方案？如白坯紙供應(yīng)量不變，而工人數(shù)量不足時(shí)，可從市場上招收臨時(shí)工，臨時(shí)工費(fèi)用為每人每天15元，該廠是否招臨時(shí)工及招多少人為宜？解：設(shè)決策變量為該廠每天生產(chǎn)量： 稿紙x1

捆，日記本x2

打，練習(xí)本x3

箱。數(shù)學(xué)模型為總利潤最大每天白坯紙供應(yīng)約束工人數(shù)非負(fù)求解結(jié)果：每天生產(chǎn)稿紙1000捆，日記本2000打，練習(xí)本0箱最大利潤5000元。靈敏度報(bào)告：第二個(gè)約束的影子價(jià)格為20元，大于臨時(shí)工每天費(fèi)用15元，所以每招一名臨時(shí)工，工廠多盈利5元，允許增量200人。練習(xí)二

1.某工廠利用原材料甲、乙、丙生產(chǎn)產(chǎn)品A，B，C。問：（1）怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤最大？（2）若增加1公斤原材料甲，總利潤增加多少？（3）設(shè)原材料乙的市場價(jià)格為1.2元/公斤，若要轉(zhuǎn)賣原材料乙，工廠應(yīng)至少叫價(jià)多少？為什么？（4）單位產(chǎn)品利潤分別在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，原生產(chǎn)計(jì)劃不變？（5）由于市場變化，產(chǎn)品B、C的單位利潤變?yōu)?、4元，這時(shí)應(yīng)如何調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃？ABC每月可供原材料甲211200（公斤）乙123500（公斤）丙221600（公斤）單位利潤（元）413

2.某工廠計(jì)劃生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，各需要在A,B,C設(shè)備上加工：（1）如何充分發(fā)揮設(shè)備能力，使工廠盈利最大？（2）為了增加產(chǎn)量，可借用其它工廠的設(shè)備B，若每月可借60臺(tái)，租金1.8萬元，問是否合算？（3）若有新產(chǎn)品Ⅳ，需用設(shè)備A12臺(tái)，B5臺(tái)，C10臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利2.1千元，新產(chǎn)品Ⅴ，需用設(shè)備A4臺(tái)，B4臺(tái)，C12臺(tái)時(shí)，單位產(chǎn)品盈利1.87千元。投產(chǎn)這兩種新產(chǎn)品是否合算？（4）改進(jìn)工藝后生產(chǎn)每件產(chǎn)品Ⅰ，需9臺(tái)設(shè)備A，12臺(tái)設(shè)備B，4臺(tái)設(shè)備C，單位產(chǎn)品盈利4.5千元，問對(duì)原計(jì)劃有何影響？ⅠⅡⅢ設(shè)備有效臺(tái)時(shí)（月）A8210300B1058400C21310420單位利潤（千元）322.9

3.某公司目前生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為每天30個(gè)和120個(gè)。問：（1）假設(shè)產(chǎn)品銷路不成問題，請(qǐng)確定最優(yōu)產(chǎn)品組合（產(chǎn)量）？（2）在最優(yōu)產(chǎn)品組合中，哪些車間還有剩余產(chǎn)能，剩余多少？（3）四個(gè)車間能力的影子價(jià)格各為多少？（4）當(dāng)產(chǎn)品Ⅰ單位利潤不變，產(chǎn)品Ⅱ的單位利潤在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解不變不變？當(dāng)Ⅱ單位利潤不變，Ⅰ的變化范圍呢？（5）當(dāng)產(chǎn)品Ⅰ單位利潤從500元降為450元，產(chǎn)品Ⅱ的單位利潤增加到430元，原來的最優(yōu)產(chǎn)品組合是否保持，或如何改變？車間ⅠⅡ設(shè)備有效臺(tái)時(shí)（月）12030020354032244041.21.5300單位利潤（元）500400

4.前進(jìn)電器廠生產(chǎn)A、B