2018年數(shù)學(xué)（北師大版選修1-2）練習(xí)34活頁作業(yè)11反證法

活頁作業(yè)(十一)反證法1．對反證法的理解，下列說法錯(cuò)誤的是()A．命題條件不變，先假定結(jié)論錯(cuò)誤，再推出矛盾B．要證“若p則q”，只需假設(shè)?q為真，再推出矛盾C．要證“若p則q”，只需證“若?q則?p”D．要證一個(gè)命題為真，只需證其否命題為假解析：選項(xiàng)A，B，C均正確，用反證法證明命題時(shí)，是證明其否定為假，而D為證其否命題為假，故錯(cuò)誤．答案：D2．用反證法證明命題“若a，b，c為不全相等的實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝0，則a，b，c至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”，假設(shè)原命題不成立的內(nèi)容是()A．a(chǎn)，b，c都大于0 B．a(chǎn)，b，c都是非負(fù)數(shù)C．a(chǎn)，b，c至多兩個(gè)負(fù)數(shù) D．a(chǎn)，b，c至多一個(gè)負(fù)數(shù)解析：“a，b，c中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”的否定為“a，b，c都是非負(fù)數(shù)”，由用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法可得，應(yīng)假設(shè)“a，b，c都是非負(fù)數(shù)”．答案：B3．用反證法證明“凸四邊形的四個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于90°”時(shí)，首先要作出的假設(shè)是()A．四個(gè)內(nèi)角都大于90° B．四個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)大于90°C．四個(gè)內(nèi)角都小于90° D．四個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)小于90°解析：用反證法證明“凸四邊形的四個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于90°”時(shí)，首先要作出的假設(shè)是“凸四邊形的四個(gè)內(nèi)角中沒有一個(gè)不小于90°”，即為“凸四邊形的四個(gè)內(nèi)角都小于90°”．答案：C4．設(shè)a，b，c為正數(shù)，p＝a＋eq\f(1,b)，q＝b＋eq\f(1,c)，r＝c＋eq\f(1,a)，則下列說法正確的是()A．p，q，r都不大于2 B．p，q，r都不小于2C．p，q，r至少有一個(gè)不小于2 D．p，q，r至少有一個(gè)不大于2解析：(反證法)假設(shè)p，q，r三個(gè)數(shù)均小于2，即p＜2，q＜2，r＜2.則p＋q＋r＜6.①又p＋q＋r＝a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6，即p＋q＋r≥6，②∴①②矛盾，故假設(shè)不成立．∴p，q，r三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.答案：C5．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序?yàn)開_______.解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為③①②.答案：③①②6．用反證法證明“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的假設(shè)為________________________________________________.解析：反設(shè)的內(nèi)容是假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)．答案：a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，用反證法證明直線BM與直線A1N是兩條異面直線證明：假設(shè)直線BM與A1N共面．則A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方體特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN.又A1D1∥BC，所以BN∥BC．這與BN∩BC＝B矛盾，故假設(shè)不成立．所以直線BM與直線A1N是兩條異面直線．8．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．證明：(1)因?yàn)閍＋b≥0，所以a≥－b.由于函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以f(a)≥f(－b)．同理，f(b)≥f(－a)．兩式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命題為若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.用反證法證明如下．假設(shè)a＋b＜0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＜0?a＜－b?fa＜f－b，,a＋b＜0?b＜－a?fb＜f－a.))所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．這與f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾．故只有a＋b≥0，逆命題得證．1．要證明不等式eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可選擇的方法有()A．分析法 B．綜合法C．反證法 D．以上三種方法均可解析：用分析法證明如下．要證明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，需證(eq\r(3)＋eq\r(7))2＜(2eq\r(5))2，即證10＋2eq\r(21)＜20，即證eq\r(21)＜5，即證21＜25，顯然成立，故原結(jié)論成立．綜合法：∵(eq\r(3)＋eq\r(7))2－(2eq\r(5))2＝10＋2eq\r(21)－20＝2(eq\r(21)－5)＜0，∴eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5).反證法：假設(shè)eq\r(3)＋eq\r(7)≥2eq\r(5)，通過兩端平方后導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論．從以上證法中，可知三種方法均可．答案：D2．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且當(dāng)f(k)≥2k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，總有f(k－1)≥2k－1成立，則下列命題為真命題的是()A．若f(1)≥2，則f(n)≥2nB．若f(4)＜16，則f(n)＜2nC．若f(4)≥16，則當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)≥2nD．若f(1)＜2，則f(n)＜2n解析：若f(1)＜2，假設(shè)f(n)＜2n不成立，則f(n)≥2n，根據(jù)遞推條件得f(n－1)≥2n－1成立，f(2)≥22，f(1)≥2成立，與f(1)＜2矛盾，故假設(shè)不成立．故若f(1)＜2，則f(n)＜2n成立，即D是真命題．答案：D3．編號(hào)分別為1至6的六名歌手參加大賽，組委會(huì)只設(shè)一名特等獎(jiǎng)，觀眾甲、乙、丙、丁四人對特等獎(jiǎng)獲得者進(jìn)行預(yù)測，甲：不是1號(hào)就是2號(hào)；乙：不可能是3號(hào)；丙：不可能是4,5,6號(hào)；?。菏?,5,6號(hào)中的一個(gè)．若四人中只有一人預(yù)測正確，則獲特等獎(jiǎng)的是________.解析：丙對，獲特等獎(jiǎng)的是3號(hào)．原因如下：若甲對，則甲、乙、丙三人都預(yù)測正確，與題意只有一人預(yù)測正確相矛盾，故甲錯(cuò)誤；若乙對，則甲、丙、丁三人都可能預(yù)測正確，與題意只有一人預(yù)測正確相矛盾，故乙錯(cuò)誤；因?yàn)橹挥幸粋€(gè)人猜對，而丙和丁互相否定，所以丙和丁中有一人猜對．假設(shè)丁對，則推出乙也對，與題設(shè)矛盾，所以丁猜錯(cuò)了．所以猜對者一定是丙，于是乙猜錯(cuò)了，所以獲特等獎(jiǎng)的是3號(hào)．故1,2,4,5,6不能獲得特等獎(jiǎng)，因此只有3獲得特等獎(jiǎng)．答案：3號(hào)4．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a＋10b＋c等于________解析：(1)若①正確，則②③不正確，由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確．(2)若②正確，則①③不正確，由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確．(3)若③正確，則①②不正確，由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1，此時(shí)100a＋10b＋c＝100×2＋10×答案：2015．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0.(1)若a1＝1，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：1，eq\r(3)，2不可能是等差數(shù)列{an}中的三項(xiàng)．(1)解：∵數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是等差數(shù)列，∴2×eq\f(S2,a2)＝eq\f(S1,a1)＋eq\f(S3,a3).∴eq\f(22＋d,1＋d)＝1＋eq\f(3＋3d,1＋2d)，化為d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝1.∴an＝1＋(n－1)＝n.(2)證明：假設(shè)1，eq\r(3)，2分別為等差數(shù)列{an}中第m，n，r項(xiàng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a1＋m－1d，,\r(3)＝a1＋n－1d，,2＝a1＋r－1d，))解得eq\r(3)－1＝eq\f(n－m,r－m).∵m，n，r為正整數(shù)，∴上式左端為無理數(shù)，右端為有理數(shù)，故等式不能成立．因此，假設(shè)不成立，因此1，eq\r(3)，2不可能為等差數(shù)列{an}中的三項(xiàng)．6．對于直線l：y＝kx＋1，是否存在實(shí)數(shù)k，使直線l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．解：不存在．理由如下：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝ax對稱．設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝－1，①,y1＋y2＝kx1＋