湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略：平方差公式與完全平方公式 壓軸題八種模型（解析版）

專題06平方差公式與完全平方公式壓軸題八種模型全攻略

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點一判斷是否可用平方差公式運算】.....................................................1

【考點二運用平方差公式進行運算】........................................................3

【考點三運用完全平方公式進行運算】.......................................................4

【考點四利用平方差公式與完全平方公式進行簡便運算】......................................6

【考點五通過對完全平方公式變形求值】.....................................................7

【考點六求完全平方式中的字母系數(shù)】.......................................................9

【考點七平方差公式與幾何圖形】..........................................................10

【考點八完全平方公式與幾何圖形】.......................................................14

——S1【過關(guān)檢測】.........................................................................18

【典型例題】

【考點一判斷是否可用平方差公式運算】

例題：(2024上?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末)下列各式中不能用平方差公式進行計算的是()

A.(a-l)(a+l)B.(6+a)(a-。)C.(a+26)(A-2a)D.^a+mi-i)^a-nm)

【答案】C

【分析】本題主要考查平方差公式，a2-^2=(a+&)(?-^),公式表示兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于

這兩個數(shù)的平方差.

根據(jù)平方差公式的運算法則對各個選項進行計算判斷即可.

【詳解】A.(。-1)(。+1)=片一1,能用平方差公式進行計算，故本選項不符合題意；

2

B.(b+a)(a-b)=a-b\能用平方差公式進行計算，故本選項不符合題意;

C.(a+26)e-2“)，不能用平方差公式進行計算，故本選項符合題意；

D.(a+mn)(a-nm)=a2-m2n2,能用平方差公式進行計算，故本選項不符合題意.

故選C

【變式訓(xùn)練】

1.(2024上?湖南衡陽?八年級統(tǒng)考期末)下列各式中，不能用平方差公式計算的是()

A.(2x-y)(2x+y)B.(-x+y)(x-y)

C.(b-a)(b+a)D.(x-^)(-y-x)

【答案】B

【分析】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵：平方差公式為

(a+—b)=a—一及.

【詳解】A、(2x-y)(2x+y),能用平方差公式進行計算，不符合題意；

B、(f+y)—)(x-y),不能用平方差公式進行計算，符合題意;

C、｛b-a)[b+a),能用平方差公式進行計算，不符合題意；

D、(x-y)(-y-x)=-(x-y)(x+y),能用平方差公式進行計算,不符合題意；

故選：B.

2.(2024上?陜西延安?八年級統(tǒng)考期末)在下列計算中，不能用平方差公式計算的是()

A.(m-n)(m+n)B.(x3-y3)(x3+/)

C.(-a-b)(a+b)D.(2x+y)(y-2x)

【答案】C

【分析】本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式(a+b)(a-人戶片-加.

【詳解】解：(m+n)[m-ri)=nr-rr,此選項正確，故不符合題意；

5、(V-(V-=(V)-(/)=/_此選項正確，故不符合題意；

C+匕)=-(a+b)(a+8)，此選項錯誤，故符合題意；

D、(2x+y)(y-2x)=(y+2x)(y-2x)=/_(2xJ=y2-4/,此選項正確，故不符合題意,

故選：c.

【考點二運用平方差公式進行運算】

例題：(2023?上海?七年級假期作業(yè))計算：

⑴(3犬+5乂3了一5)；⑵；(3)(2x+j)(2x-y).

【答案】⑴9爐—25

(2)-x2--

49

(3)4-2

【分析】直接利用平方差公式進行計算.

【詳解】(1)(3x+5)(3x-5)=(3%)2-52=9x2-25；

(2)

(3)(2x+y)(2x-y)=(2x)2-y2=4x2-y1.

【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2024下?全國?七年級假期作業(yè))計算：

(3)(0.1-x)(0.1+x)；(4)(x+y)(-y+x).

【答案】⑴/一；

⑵療-及2

⑶

(4)x2-/

【分析】本題考查了平方差公式的運算，

(1)根據(jù)平方差公式直接計算即可；

(2)根據(jù)平方差公式直接計算即可；

(3)根據(jù)平方差公式直接計算即可；

(4)根據(jù)平方差公式直接計算即可.

(2)n)=m2—n2；

(3)(0.1—%)(0.1+x)=0.01-x2；

(4)(x+y)(-y+x)=x2_y2.

2.(2023上?八年級課時練習(xí))計算：

(1)(5m-3n)(5m+3M)；⑵(一2〃+5Z?)(-2〃-5力)；

⑶+y]；(4)(-3^-4x)(3y-4x).

【答案】⑴25毋-9/

(2)4a4-25Z?2

(3)y2--x2

16

(4)16x2-9y2

【分析】(1)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；

(2)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；

(3)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；

(4)原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；.

【詳解】(1)(5m-3n)(5m+3n)=(5zn)2-(3n)2=25zn2-9n2;

(2)(-2儲+5b)(-2〃-5b)=(—2〃)-(5bJ=4/_25/

(4)(-3y-4x)(3y-4尤)=(-4x+3y)(-4x-3y)=(TX)2-(3J；)2=16X2-9y2.

【點睛】此題考查了運用平方差公式進行計算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

【考點三運用完全平方公式進行運算】

例題：(2023上?八年級課時練習(xí))計算：

⑴(2a-36)2；(2)QX-2J；

⑶(To—36)2；⑷(x—1)2—X2.

【答案】⑴44-12"+9/

(2)；x?-2xy+4y2

(3)16/+24而+9必

(4)-2x+l

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式展開即可；

(2)根據(jù)完全平方公式展開即可；

(3)根據(jù)完全平方公式展開即可；

(4)根據(jù)完全平方公式展開，再進行加減計算即可.

【詳解】(1)解：(2a-3b)2=(2af-2-2a-3b+(3b)2=4o2-12ab+9b2;

2

(2)12y3|2y+(2yJ=-2xy+4y2；

(3)(^a-3b)2=(^a)2-2-(^a)-3b+(36)2=16a2+24ab+9b2;

(4)(x—1)—x2=x2-2,x+l-x2=-2.x+1.

22

【點睛】本題考查完全平方公式，(。+6)2=/+2。6+/，(a-b>)=a-2ab+b,熟記公式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?八年級課時練習(xí))計算：

⑴陽-6)2；(2)(-x2-y)2；⑶-

【答案】⑴9/一6"+〃

(2)x4+2x2y+y2

(3)-；。2+2ab—9b2

【分析】根據(jù)完全平方公式進行求解各個小題.

【詳解】(1)解：=(3tz)2-2x3axb+b2=9a2-6ab+b2；

(2)解：=x4+2x2y+y2；

(3)角星：原式=_(2〃_3。］(2〃一3。］=一］；〃一3。］=-^a2+3ab-9b2.

【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

2.(2023上?天津和平?八年級天津市第二南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試)運用乘法公式計算：

(1)(尤+y+l)(x+y—1)(2)(<7+2Z?-I)2

【答案】⑴Y+2孫+/一1

(2)a2+4ab+4b2-2a-4Z>+1

【分析】(1)本題考查整式的乘法公式,把(x+y)看成一個整體,然后根據(jù)乘法公式：片一〃=(a+b)(a-b),

即可；

(2)本題考查整式的乘法公式，把(。+處)看成一個整體，然后根據(jù)乘法公式：(G±Z7)2^cr+lab+b1,即

可.

【詳解】(1)(x+y+l)(A：+j-l)=(jc+_y)2-l2=x2+2xy+y2-l；

(2)(a+2b-I)。=[(q+2b)-1]=(a+26)~-2(a+26)+F=/+44?+4>2-2a-48+1.

【考點四利用平方差公式與完全平方公式進行簡便運算】

例題：(2023下?陜西西安?七年級?？茧A段練習(xí))求值：

(1)20202-2019x2021(2)20182+182-36x2018.

【答案】⑴1

(2)4000000

【分析】(1)利用平方差公式計算即可；

(2)利用完全平方公式計算即可.

【詳解]⑴解：20202-2019x2021=20202-(2020-1)(2020+1)=20202-(20202-1)=20202-20202+1=1；

(2)解：20182+182-36x2018=20182-2xl8x2018+182=(2018-18)2=20002=4000000.

【點睛】本題考查完全平方公式和平方差公式，熟記公式，會利用乘法公式進行簡便運算是解答的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?江西贛州?七年級?？茧A段練習(xí))利用乘法公式進行簡便計算.

(1)1372-138X136(2)972

【答案】⑴1

(2)9409

【分析】(1)運用平方差公式簡便計算即可；

(2)根據(jù)完全平方公式簡便計算即可.

【詳解】(1)解：1372-138x136=1372-(137+1)(137-1)=1372-(1372-1)=1372-1372+1=1；

(2)解：972=(100-3)2=1002-6x100+9=10000-600+9=9409.

【點睛】本題考查的是乘法公式，掌握完全平方公式及平方差公式是關(guān)鍵.

【考點五通過對完全平方公式變形求值】

例題：(2023上?河南南陽?八年級校聯(lián)考階段練習(xí))已知x+y=5,孫=4,求下列各式的值.

⑴(x+才

⑵八/

【答案］⑴25

⑵17

【分析】(1)直接求出x+y的平方；

(2)用(1)式減去2孫求解；

【詳解】⑴解：(x+y)2=52=25；

(2)f+y=(x+y)2-2孫=25-2x4=17；

【點睛】本題考查了完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，以及公式的轉(zhuǎn)換.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?甘肅平?jīng)?八年級統(tǒng)考期末)閱讀理解：

已知。+6=5,ab=3,求的值.

解：Sa+b=5,

圓(a+b)2=25,即々2+2必+〃=25,

團ab=3,

團+//=(〃+/?)2—2ab=19,

參考上述過程解答：

⑴若冗一＞=-3,xy=-2,

@x2+y2=；

②求(％+y)2的值;

（2）已知無+y=7,x2+y2=25,求（x-yj的值.

【答案】⑴①5；②1

（2）1

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟記公式的形式，掌握整體思想是解題關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)（x-y）2=/—2孫+/即可求解；②根據(jù)（彳+〉）2=必+9+2孫即可求解；

（2）根據(jù)xy'x+y）一卜一+y2）求出孫即可求解.

-2

【詳解】（1）解：①團

團=9,gpx2-2xy+y2=9,

回盯=一2,

團12+y2=5

故答案為：5

②（x+yj=x2+y2+2xy=1

（2）解：回x+y=7,x2+y2=25,

回十（"+八（入門=12

2

2

回（彳一））~=尤2+y-2xy=1

2.（2024上?甘肅定西?八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足（8-力（工-6）=-3,求由-療+（*-6）2的值.

解：設(shè)8-x=a,x-6=b,則（8-x）（x-6）=H=-3,a+b=8—x+x—6=2

所以（8_x）2+（x-6）2=儲+6=g+與2_2仍=22_2*（-3）=10

請仿照上例解決下面的問題：

⑴問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3-x）（x-2）=-10,求：（3一域+（彳-2）2的值.

⑵若（6-尤了+（無一H=8,求：（6—x）（x-4）的值.

【答案】⑴21

⑵-2

【分析】本題考查了利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵.

(1)設(shè)3-%=.,%-2=b,貝口。6=-10,a+〃=l,再利用完全平方公式變形求值即可得；

(2)設(shè)6-x=機,％-4=〃，貝！J根2+〃2=8,機+〃=2,再利用完全平方公式變形求值即可得.

【詳解】(1)解：設(shè)3—％=々,%—2=人，貝IJab=-10,a+〃=l,

所以(3-*2+(%_2)2=〃2+人2

=(a+b)-2ab

=12-2X(-10)

=21.

(2)解：設(shè)6-x=m,x-4=〃，則"/+/=8,"?+〃=2,

所以(6-x)(x-4)=

(7〃+〃)2-(療+/)22-8

='2=F="2>

【考點六求完全平方式中的字母系數(shù)】

例題：(2023上?寧夏吳忠?八年級?？计谀?如果V+fcc+25是一個完全平方式，那么上的值是.

【答案】±10

【分析】本題考查完全平方公式，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式.注

意積的2倍的符號，避免漏解.這里首末兩項是x和5這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去尤和5

的積的2倍，故左=i2x5=±10.

【詳解】解：V(x±5)2=x2±10x+25=x2+kx+25,

0A:=±1O.

故答案為：±10.

【變式訓(xùn)練】

1.(2024上?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考期末)若無2-6x+k是X的完全平方式，貝心=

【答案】9

【分析】本題考查了完全平方式，先根據(jù)已知平方項和乘積二倍項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式

求解即可，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：Six2—6x+k=x2—2-x-3+k,

回4=3°=9,

故答案為：9.

2.（2023上?全國?八年級期末）若多項式"+1+M的結(jié)果是一個多項式的平方，則單項式〃=.

【答案】±2?；?/

【分析】本題考查完全平方公式；分當(dāng)M為中間項時，當(dāng)/為中間項時，兩種情況根據(jù)完全平方式的特點

進行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)M為中間項時，貝1J/+1+〃=。2±2“乂1+12="±2。+1,

=±2a；

當(dāng)4為中間項時，貝|〃+1+河=（工4]+2*1〃*1+12=工/+/+1,

\2）24

4

綜上所述，Af=±2a或Af='。4,

4

故答案為：±2a或

4

【考點七平方差公式與幾何圖形】

例題：（2023上?吉林?八年級統(tǒng)考期末）探究活動:

（1）如圖1是邊長分別為人b的正方形，可以求出陰影部分的面積是_.（寫成兩數(shù)平方差的形式）

（2）如圖2,若將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是寫成多項式乘積的形式）

（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：

知識應(yīng)用：

①計算：（尤+3y）（尤一3y）（f+9/）；

②計算998x1002

22224

【答案】探究活動：(1)a-b;(2)(a+b)(a-b)；(3)(a+b)(a-b)=a-b；知識應(yīng)用：?x-81/;

②999996

【分析】本題主要考查了平方差公式的幾何背景以及靈活應(yīng)用，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵.

(1)大正方形的面積與小正方形的面積的差就是陰影部分的面積；

(2)利用矩形的面積公式即可求解；

(3)根據(jù)(1)(2)表示的陰影部分面積相等即可解答；

知識應(yīng)用：

①利用平方差公式即可求解；

②把998x1002化為(1000-2)(1000+2),再利用公式即可求解.

【詳解】解：探究活動：

(1)a2-b2

(2)(a+b)(^a-b)

(3)(a+b){a-b)=cr-b1(等號左右順序可互換)；

知識應(yīng)用：

Q(x+3y)(x-3y)(x2+9y2)=(%2-9y2)(x2+9y2)=X4-81/；

(2)998x1002=(1000-2)(1000+2)=10002-22=1000000-4=999996；

【變式訓(xùn)練】

1.(2022上?湖南衡陽?八年級衡陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))實踐與探索：如圖1,在邊長為。的大正方

形里挖去一個邊長為6的小正方形，再把圖1中的剩余部分(陰影部分)拼成一個長方形(如圖2所示).

圖1圖2

⑴上述操作能驗證的等式是：(請選擇正確的一個)

A.CT_62=(q+/j)(q_b)

B.a?—2ab+=(a—b)

C.a2+ab=a^a+b）

⑵請應(yīng)用這個等式完成下列各題：

①已知4a2—〃=24,2。+6=6,貝！|2。-6=.

②計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）.

【答案】⑴4

⑵①4②2s4-1

【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算.

（1）觀察圖形，利用拼接前后的面積關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）①利用平方差公式解答即可；②將1看成（2-1）,利用平方差公式解答即可.

【詳解】（1）圖1的面積為°2一凡圖2的面積為：（a+b^a-b）,

由于拼接前后的面積相等，

回/—6-=（。+b）（a—b）,

團上述操作能驗證的等式是A,

故答案為：A;

（2）①04。2-b2=（2?+/?）（2a-/?）,4a2-b2=24,2a+b=6,

回6（2。-6）=24,

回2。-6=4,

故答案為：4；

@01=2-1,

0（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2|6+1）（232+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）032+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）

=（216-1）（216+1）（232+1）

=(232-1)(232+1)

2.（2023上?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過"數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微;

數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休".請你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問題.

從邊長為a的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）.

圖1圖2

⑴通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證的一個等式是

⑵若9/_16y2=30,3無+4y=6,求3x-4y的值.

【答案】⑴/-〃=（4+刀（〃-6）

⑵5

（3）121

200

【分析】本題考查平方差公式與圖形面積.

（1）利用兩種方法求出圖形面積即可；

（2）利用（1）中結(jié)論進行求解即可；

（3）利用（1）中結(jié)論，裂項相乘即可.

解題的關(guān)鍵是得到一萬=3+6）（。-6）.

【詳解】（1）解：由圖1,陰影部分的面積為/-從，由圖2,長方形的面積為（。+6）（。-6）；

回a?_廳=(q+Z?)(a_b)；

故答案為：a2-b2=(a+b)(a-b).

(2)El9x2-16y2=30,3x+4y=6,J.9^2-16y2=(3^+4y)(3x-4y),

回3元一4y=5.

⑶原式十邪+"撲撲力"

1324359810099101

=—x—X—X——X—X—X…XX--------X---------X---------

2233449999100100

101

-200

【考點八完全平方公式與幾何圖形】

例題：現(xiàn)有長與寬分別為。、匕的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相

同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題:

⑴根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關(guān)于b的關(guān)系式：（用b的代數(shù)式表示出來）;

圖1表不：；圖2表不：；

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

⑵若x+y=8,八六皿，貝.xy=；

（3）如圖3,點C是線段AB上的一點，以AC,3C為邊向兩邊作正方形，設(shè)筋=7,兩正方形的面積和

^+$2=16,求圖中陰影部分面積.

【詳解】（1）解：圖1中，由圖可知S大正方形=（4+6）2,

S組成大正方形的四部分的面積之和=",

由題意得，S大正方形=s組成大正方形的四部分的面積之和，

即（〃+Z?）2=<22+Z?2+2ab,

故答案為：（1+32=/+/+2〃6.

圖2中，由圖可知S大正方形=（。+5），S小正方形=（〃—，），S四個長方形=4ab,

由題圖可知，s大正方形=s小正方形+S四個長方形，

即(a+Z?)2=(a-Z?)2+4ab,

故答案為：(a+Z?)2=(a-Z?)2+4ab.

(2)解：?.?(x+y)2=爐+,2+2沖，

二孫=g[(x+y)2-(/+y2)]

?.?x+y=8,x2+y2=40,

.-.^=1(82-40)=12,

團(x-y)2=d+>2-2xy=40-2x12=16.

故答案為：16；12.

(3)解：由題意得AB=AC+CB,

-：AB=1,

:.AC+CB=1,

,/S1+S2=16,

:.AC2+CB2=16,

(AC+BC)2=AC2+CB2+2ACCB,

/.ACCB=1[(AC+CB)2-(AC2+CB2)]

_33

-T,

33

團s陰影=。。@=40.。8二萬.

即圖中陰影部分的面積為3三3.

【變式訓(xùn)練】

1.將完全平方公式（?！懒?=/±2"+〃進行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題，例如：若a+b=3,

ab=\,求〃2十力2的值.

解：因為a+b=3,所以（。+力）2=9,即+2成+）2=9.

又因為劭=1,所以"+加=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題:

⑴若x+y=8,f+y2=40,則孫=_；

(2)若無一y=6,孫=5,求f+y2的值;

⑶兩個正方形MCZXA￡FG如圖擺放，面積和為34,BG=8,則圖中陰影部分面積和為

(x+y)2=64,即X。+2xy+y2=64,

又,,,x2+y2=40,

2xy=64-40,

/.xy=12,

故答案為：12；

(2)角軍：回x—y=6,盯=5,

/.X2+y2=(x-j)2+2xy=36+2x5=46；

(3)解：設(shè)正方形ABC。的邊長為相、⑷印G的邊長為小

.?.m2+〃2=34,m+〃=8,

m2+n2=(m+n)2—2mn,即34=64—,

.\mn=15,

,/(m—n)2=m2+n2—2mn=34-30=4,

:.m—n=2,

m+n=8,:.m—n=2,

解得：m=5,n=3,

S陰影=gx(機一九)xzn=；x2x5=5.

故答案為：5.

2.如圖①，正方形ABCD是由兩個長為人寬為6的長方形和兩個邊長分別為。、6的正方形拼成的.

圖①

⑴利用正方形ABCD面積的不同表示方法,直接寫出（。+切2、/+/、油之間的關(guān)系式,這個關(guān)系式是

（2）若〃z滿足（2024-〃2）?+（加一2023）2=4047,請利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求（20242023）的值；

⑶若將正方形跳65的邊尸G、GH分別與圖①中的尸G、MG重疊，如圖②所示，已知P尸=8,NH=32,

求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）.

【詳解】（1）Q+6）2=/+/+2°。

（2）設(shè)2024—根=a,“2-2023=6,

貝!］（2024-wz）（a-2023）=ob,a+b=l,

由已知得：cr+b1=4047

（a+6）=片+6~+2。/?,

012=4047+2而,

0a/?=-2023,

0（2024-m）（m-2023）=-2023

（3）設(shè)正方形EFGH的邊長為無，貝|PG=x—8,NG=32-尤，

回S陰=S正方形APG"+2S長為彩pBNG+S正為非CQGN

回5陰=（x—8）2+2（無一8）（32—尤）+（32—尤y

回（。+6）=crb'+2ab

EIS陰=「（無一8）+（32-x）［2=24。=576

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023下?遼寧朝陽?七年級?？计谥校┫铝懈魇街?，不能用平方差公式計算的是（）

A.（Tx+3y）（4x+3y）B.（4x-3y）（3y-4x）

C.（Tx+3y）（-4x-3y）D.（4x+3y）（4x-3y）

【答案】B

【分析】根據(jù)平方差公式對各選項進行分析即可.

【詳解】解：A、（Tx+3y）（4x+3y）=（3y-4x）（3y+4x）,能用平方差公式進行計算，故此選項不符合題意；

B、（4x-3y）（3y-4x）=-（4x-3?,不能用平方差公式進行計算，故此選項符合題意；

C、（T尤+3y）（Tx-3y）=[（-4x）-3y][（Tx）+3y],能用平方差公式進行計算，故此選項不符合題意；

。、（4x+3村（4x-3y）,能用平方差公式進行計算，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查的是平方差公式，熟知兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差是解題

的關(guān)鍵.

2.（2023下?河北唐山?七年級統(tǒng)考期末）如果（3x+y）（）=9上-：/,則括號內(nèi)的多項式為（）

A.3x+yB.3x-vC.-3x-yD.-3尤+y

【答案】B

【分析】根據(jù)平方差公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：（3x+y）（3x-y）=9x2-/;

故選&

【點睛】本題考查平方差公式.熟練掌握（。+切（4-6）=/-片，是解題的關(guān)鍵.

3.（2024上?湖北襄陽?八年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式/-6a+“=（4-3）2+1,則〃=（）

A.-10B.9C.10D.-9

【答案】C

【分析】本題考查配方法，根據(jù)完全平方公式的特點，進行配方，即可解題.

【詳解】va2-6a+n=[a-3f+1,

??a2—6。+9—9+〃=（?！?）+1,

即（a-3）2-9+〃=（。-3）2+1,

—9+n=1,解得”=10,

故選：C.

4.（2023上廣東汕頭?九年級汕頭市澄海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若〃=2尤2-12天+15,N=x2-8x+U,則M

與N的大小關(guān)系為（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【分析】利用求差法判定兩式的大小，將加與N代入M-N中，去括號合并得到最簡結(jié)果，根據(jù)結(jié)果的正

負即可做出判斷.

【詳解】解:M-?/=2X2-12X+15-（X2-8X+11）

=x2—4x+4

=（x-2）2>0,

^\M>N,

故選A

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用和非負數(shù)的性質(zhì).解題時要注意配方的步驟.注意在變形的過程

中不要改變式子的值.

5.（2023上?四川宜賓?八年級四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）誠誠同學(xué)在課外實踐活動中，利用大

小不等的兩個正方形紙板A,B進行拼接（重組）探究，已知紙板A與8的面積之和為52,如圖所示，現(xiàn)

將紙板B按甲方式放在紙板A的內(nèi)部，陰影部分的面積為9,若將紙板A,2按乙方式并列放置后，構(gòu)造新

的正方形，則陰影部分的面積為（）

B

A

B

甲乙

A.40B.43C.44D.45

【答案】B

【分析】設(shè)A的邊長a,B的邊長是b,利用a,b表示出大正方形的面積，再減去紙板A與8的面積之和,

即可得解.

【詳解】解：設(shè)A的邊長a,2的邊長是b,則4+k=52,

根據(jù)題意得：(a-"=9,

0a2+Z?2—lab=9,即52—2a6=9,

0lab=43,

回乙圖陰影部分的面積=(a+0)2-a2-b2=2ab=43,

故選：B.

【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景.正確的識圖，用字母表示出面積是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.(山西省大同市2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)計算：(2a+3b\2a-3b)=.

【答案】4a2-9b2/-9b2+4a2

【分析】本題主要考查了平方差公式，熟知(a+b)(a-6)=°2一〃是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平方差公式求解即可.

【詳解】解：(2fl+3Z7)(2a-3/7)=4a2-9&2,

故答案為：4a2-9b2.

7.(2023上?河南商丘?八年級?？茧A段練習(xí))若￡+(m-1卜+1可以用完全平方公因式分解，則〃z=.

【答案】3或-1

【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用.根據(jù)(a±6)2=/±2"+〃再結(jié)合題干即可得到本題答案.

【詳解】解：0(a±^)2=a2±2ab+b2,

0X2+(〃z—1)%+1=尤2±2.x.l+l,

[?](m—l)x=±2x,

即：m-l=zt2,角軍得：m=3或機=一1,

故答案為：3或-1.

8.（2024上?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）已知/一/；2=14,a+b=2,貝.

【答案】7

【分析】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

【詳角星】解：^\a2—b2=（a+&）（?—Z?）,a2—b2=14a+b—2,

714r

團〃一Z?=—=7,

2

故答案為：7.

ab23

9.（2021上,河南鄭州?七年級?？计谥校┪覀兌x=ad-bc,例如/=2x5-3x4=10-12=-2.如

cd45

果X、y均為有理數(shù)，并且滿足“一：3一：=（）,那么x+y的值為_____.

y-5x-1

【答案】4

【分析】本題主要考查新定義運算和整式的混合運算，根據(jù)已知得出。-1）2-（，-3）（3-＞）=0,即

（%-l）2+（y-3）2=0,據(jù)此知x=l,y=3,代入計算即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義得出（X-1）2+（y-3）2=0.

x-13-y

【詳解】解：???=0,

y-3x-1

.?.(x-l)2-(>-3)(3-y)=0,

(x—I)2+(y-3)~=0,

.ix—1=0,y—3=0,

:.x=\,y=3,

則x+y=4,

故答案為：4.

10.（2024上?北京豐臺?八年級統(tǒng)考期末）如圖，有邊長分別為。，N4＞為的A型和8型正方形紙片，長為

。、寬為6的C型長方形紙片若干張、1張A型紙片、1張B型紙片和2張C型紙片可以無縫隙、不重疊地

拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為（用含。，6的式子表示）.

A型B型C型

【答案】a+b/b+a

【分析】該題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是掌握完全平方公式；

根據(jù)題意以及完全平方公式解答即可；

【詳解】解：根據(jù)題意，1張A型紙片、1張B型紙片和2張C型紙片無縫隙、不重疊地拼成一個正方形,

則正方形面積為：a1+b2+2ab-^a+b'y,

故這個正方形的邊長為a+6,

故答案為：a+b.

三、解答題

11.(2024上?湖北恩施?八年級統(tǒng)考期末)計算：

(1)a3-fl4.a+(叫4+(-2a，y

(2)(x+2y)(x-y)-(x+y)2

【答案】⑴6a8

⑵F-3y2

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，整式的乘法運算和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運算法

則.

(1)首先計算同底數(shù)累相乘，塞的乘方和積的乘方，然后合并即可.

(2)首先計算多項式乘多項式和完全平方公式，然后合并即可.

【詳解】⑴解:原式=4+4+4/

二;

(2)解：原式=(九2—孫+2孫-2y—+29+/)

=x2+xy-2y2-x2-2xy-y2

=-xy-3y2.

12.(2024上?遼寧?八年級統(tǒng)考期末)(1)(2。2一1)(。—4)；

(2)(2x+3y)2—(2x+y)(2x—y).

【答案】(1)2/一8/一。+4；(2)Uxy+lOy2

【分析】本題考查了多項式乘多項式以及乘法公式：平方差公式，完全平方公式等，

(1)運用多項式乘多項式的法則進行去括號化簡，即可作答.

(2)運用平方差公式，完全平方公式展開，再合并同類項，即可作答.

【詳解】解：(1)原式=2/一8。2-4+4；

(2)原式=4d+12芍+9/-(4/-力=12沖+10/

13.(2023下?江蘇?七年級專題練習(xí))先化簡，再求值：(x+y)(x-y)—(x-y)Jy(x—2y),其中工=-卷，

2020

y=.

2021

【分析】本題考查的是整式的化簡求值，根據(jù)平方差公式、完全平方公式、單項式乘多項式的運算法則余

角合并同類項法則把原式化簡，把X、y的值代入計算即可.

【詳解】解：(x+y)(x-y)-(x-y)2-y(x-2y)

=x2—y2—2xy+y2^—^xy—2y2

=x2-y2-x2+2xy-y2-xy+2y2

=孫；

w20212020_202120201010

當(dāng)無=-----,y=-------時，原式=------x-------=---------.

20222021202220211011

14.(2023下?山東青島,七年級?？计谀?計算：

⑴利用整式乘法公式計算：103x97；

⑵先化簡，再求值：2Z?2+(a+Z?)(a—&)—(?—Z?)2,其中。=—3,

【答案】⑴9991

(2)2ab,-3

【分析】本題主要考查整式的運算：

(1)原式先變形，再根據(jù)平方差公式進行計算，最后求出答案即可；

(2)原式先根據(jù)平方差公式和完全平方公式將括號展開，合并后把。，6的值代入計算即可.

【詳解】(1)103x97

=(100+3)(100-3)

=1002-32

=10000-9

=9991；

(2)2Z^+(a+b)(a—b)—(a—b)~

=2b2+a2-b2-(a2-2ab+b2)

=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2

=2ab；

當(dāng)a=—3,b=5時，原式=2x(—3)x—=—3.

15.(2023上?云南昆明?八年級?？计谥?(1)簡便計算：2024x2022-20232

(2)先化簡再求值：(x-3j)2+(3x+^)(3j;-y)-5(2x2-xy),其中x=T,j=|.

【答案】(1)-1

(2)8/-孫；24

【分析】(1)利用平方差公式，進行計算即可解答；

(2)先算利用完全平方公式與平方差公式及乘法的分配律將原整式進行展開、合并，然后把x、y的值代入

化簡后的式子，進行計算即可解答.

本題考查了整式的混合運算與化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)2024x2022-2023"

=(2023+1)(2023-1)-20232

=20232-1-20232

=一1

(2)(x-3y)2+(3x+y)(3x-y)-5(2x2-Ay)

=x2-6xy+9y之+9x2-y2-10x2+5xy

=8y2-xy

3

將X=-4,y代入上式得:

原式=8x]￡|-(-4)x|=24

16.(2023上?全國?八年級課堂例題)利用乘法公式簡化運算:

⑴(a+26+c)2；

⑵(x-2y+3z)(x+2y-3z).

【答案】(1)〃2+4〃人+462+2〃0+4/?°+02

(2)x2-4y2+12yz-9z2

【分析】此題考查了乘法公式，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵.完全平方公式是(。土與2=。2±2。匕+〃；

平方差公式是(。+8)(。-勿="一〃.

(1)把原式變形為[(Q+2A)+C]2,把其中的。+2〃作為一個整體看成完全平方公式中的〃。〃，把。看成完全

平方公式中的”〃，這樣本小題就轉(zhuǎn)化為。+25與。這兩項的和的平方的形式了.

(2)包含相同項：元.符號相反的項：-2y與2y；3z與-3z.把x-2y+3z轉(zhuǎn)化為x-(2y-3z),即可轉(zhuǎn)化

為x與2y-3z這兩項的差乘這兩項的和的形式.

【詳解】(1)(a+2b+c)2

二[(Q+20)+c]2

—(a+2b丫+2(a+2b)c+c?

=a2+4ab+4Z?2+2ac+4bc+c2?

(2)(x-2y+3z)(x+2y—3z)

=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]

=/_(2y_3z)2

—X1—(4}/—12yz+9z?)=尤2—4y2+12yz—9z2.

17.(2024上?陜西漢中,八年級統(tǒng)考期末)如圖是一塊長(2a+3b)米，寬(2。+26)米的長方形地塊，市發(fā)改

委計劃在陰影部分鋪設(shè)塑膠跑道，中間修建一個邊長為(2。+))米的正方形足球場地.

f北+3善門

⑴塑膠跑道的面積是多少平方米？(用含。，b的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)a=40,6=20時，求塑膠跑道的面積.

【答案】⑴塑膠跑道的面積是(6必+5斤)平方米

⑵塑膠跑道的面積是6800平方米

【分析】本題考查了多項式乘多項式，以及整式的混合運算-化簡求值：

(1)跑道的面積=矩形面積-正方形面積，利用多項式乘多項式法則，及完全平方公式化簡，去括號合并得

到最簡結(jié)果；

(2)將。與6的值代入計算即可求出值.

【詳解】(1)解:依題意得，(2a+26)(2a+36)-(2a+6)~

=4〃+6。力+4a6+66~-(4c/+

=4〃+6ab+4ab+6/——A-ctb—

=(6必+56)平方米；

(2)解：當(dāng)。=40,6=20時，635〃=6x40x20+5x2()2=4800+2000=6800(平方米)

所以，塑膠跑道的面積是6800平方米.

18.(2023上?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末)下面是小明同學(xué)化簡求值的過程，請你認真閱讀并完成相應(yīng)的任

務(wù).