相似三角形的常見(jiàn)模型（10大題型）（原卷版）

專題22相似三角形的常見(jiàn)模型（10大題型）

旨【題型目錄】

題型一A字型相似

題型二8字型相似

題型三AX型相似

題型四母子型相似

題型五三角形內(nèi)接矩形相似

題型六射影定理相似

題型七旋轉(zhuǎn)相似

題型八k字型相似

題型九折疊相似

題型十動(dòng)態(tài)相似

J【經(jīng)典例題一A字型相似】

【模型解讀】

①如圖，在△NBC中，點(diǎn)。在48上，點(diǎn)E在NC上，DE//BC,則

ADAEDE

下一旅一瓦?

②模型拓展1：斜交N字型條件：NC=/ADE,圖2結(jié)論：“DE~AACB；

反4字型（不平行,

….工1=上皿ADACCD

③模型拓展2：如圖，ZACD=ZB^AADC^AACB^——=—=——

ACABBC

1.（2023秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在。8C中，NB/C=45。，BD、CE

分別是NC、4B邊上的高，連接DE,若8c=2,則。石的長(zhǎng)為（）

A.V5B.|C.V2D.y

22

2.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AD=2,48=4,/C為對(duì)角線，E、尸分別為邊

AB.CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EF1AC于點(diǎn)M,連接/足CE,求4F+CE的最小值是.

3.（2023秋?上海長(zhǎng)寧?九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在用A45C中，UCB=9Q°,

NR4c=60。，/C=6,AD平分4BAC,交邊BC于點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)。作C4的平行線，交邊48于點(diǎn)￡

（1）求線段?！甑拈L(zhǎng);

延長(zhǎng)線段3交邊"于點(diǎn)G,求器的值.

（2）取線段AD的中點(diǎn)/，連接交線段于點(diǎn)凡

4.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）A48c中，AC=BC,ZC=90°,。。_1/8于。，點(diǎn)石在線段3。上，點(diǎn)

尸在射線C/上，連接C￡,DF,滿足N4DF=NECB.

(1)如圖1,若DF=2M,/C=4,求好'的長(zhǎng);

(2)如圖2,若AF=BE,求證：BC=2DE-

(3)如圖3,將ACOE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<aW360°)得到△C'DE',連接CE',點(diǎn)尸為CE'的中點(diǎn)，連接

BP,若￡8=4百-4,ZDCE=30°.當(dāng)8尸最小時(shí)，直接寫(xiě)出ABCP的面積.

23【經(jīng)典例題二8字型相似】

【模型解讀】

?舊ABOAOB

①如圖1,AB//CD<^AAOB^/\COD<^——=——=——；

CDOCOD

ABJAJB

③模型拓展：如圖，N4=NC=AA/5s△《/1)=——=—=——,

CDJCJD

B

J

D

反8字型（不平行）

1.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形/5CZ）中，點(diǎn)E是4。上一點(diǎn)，AE=2ED,連接

交/C于點(diǎn)G,延長(zhǎng)的交。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則需的值為（）

2.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形/BCD邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E是“。上一點(diǎn)，且/￡=1,連接BE,

過(guò)C作CF_L8E,垂足為尸，CF交對(duì)角線5D于G,將ABCG沿CG翻折得到△〃CG,CH交對(duì)角線8。于

M,貝U

3.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）（1）某學(xué)校“學(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目

如圖，在A42C中，點(diǎn)。在線段3c上，540=30°,4OAC=75。,AO=6BO：CO=2：1,求48的

長(zhǎng)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)8作ADII/C,交/。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，通過(guò)構(gòu)造A48D就可以解決問(wèn)

題（如圖2）

AA

圖1D圖2

請(qǐng)回答：^ADB=0,4B=

（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：

如圖3在四邊形/BCD中對(duì)角線/C與加）相交于點(diǎn)O,ACLAD,A0=6,443C=zJCB=75。，BO：OD

=2：1,求DC的長(zhǎng)

4.（2023春?河南?九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問(wèn)題并解答.

問(wèn)題情境：在。43。中，點(diǎn)尸是邊/。上一點(diǎn).將△PDC沿直線尸C折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡.

“興趣小組'’提出的問(wèn)題是：如圖1,若點(diǎn)尸與點(diǎn)/重合，過(guò)點(diǎn)￡作E尸〃/O,與尸C交于點(diǎn)尸，連接。尸,

則四邊形/EFD是菱形.

DCD_CD

B

E

圖1圖2圖3

（1）數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問(wèn)題；

（2）拓展探究：“智慧小組”提出的問(wèn)題是：如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為/。的中點(diǎn)時(shí),延長(zhǎng)交于點(diǎn)R連接

試判斷P尸與尸C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

請(qǐng)你幫助他們解決此問(wèn)題.

⑶問(wèn)題解決“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下,提出的問(wèn)題是如圖3,當(dāng)點(diǎn)￡恰好落在邊上時(shí)，/尸=3,

PD=4,DC=10.則4E的長(zhǎng)為.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

【經(jīng)典例題三AX型相似】

【模型解讀】

A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過(guò)線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

1、（2022?河南新鄉(xiāng)?九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形/BCD中,N/8C的平分線交/C于點(diǎn)￡,交4力于

RP

點(diǎn)R交沖的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若iD,則拓的值為（)

3

D.一

。t4

2、（2022?河北石家莊?九年級(jí)期末）已知RMN8C中，ZACB=90°,/C/8=30。（如圖）.以線段48為邊

向外作等邊三角形NBD,點(diǎn)￡是線段N8的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線段ND于點(diǎn)尸.

（1）求證：四邊形8CKD為平行四邊形；

（2）連接C。，交AB于點(diǎn)、M.

①若48=6,求8M的長(zhǎng)；

②作〃N_L/C,垂足為N,求證：=——

BCADMN

3、（2022?河南?鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形23C。中，點(diǎn)E是N8的中點(diǎn)，在直線/￡）

/G

上截取4尸=2陽(yáng)，連接￡/，EF交AC于G,則方二

yiC/

4、（2022?湖南株洲?九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊A42C中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過(guò)。點(diǎn)的

直線BiGL4c于Ci交AB的延長(zhǎng)線于8/.

ACCDAC,C,D

⑴請(qǐng)你探究：益=而,芯=笳是否都成立?

ACCD

（2）請(qǐng)你繼續(xù)探先若為任意三角形,線段為其內(nèi)角角平分線,請(qǐng)問(wèn)方=而一定成立嗎？并

證明你的判斷.

(3)如圖(2)所示RtZUBC中，NACB=90°,AC=S,BC=逵,DE〃AC交AB于點(diǎn)、E,試求竺的

3FA

值.

【經(jīng)典例題四母子型相似】

【模型解讀】

如圖為斜A”字型基本圖形.當(dāng)44ED=/5時(shí)，△4BCs△/功，則有二二任二三.AE?AC二ADAB.

ABACBC

如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型.

ACADCD

當(dāng)CO=ZB時(shí)，LABCsAACD,則有——=——=—

ABACBC

a

Bc

1.（2021春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在用A4BC中，ABAC=90°,BA=CA=6M,。為5C邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)七是C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，把4CQE沿翻折，點(diǎn)。落在C處，EC與AB交于點(diǎn)、F,連接3C.當(dāng)

?FA=:4時(shí)，5c的長(zhǎng)為（）

EA3

6R

A.-45B.6V10C.y-D.6>/2

2.（2022秋?江西撫州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在。8C中，點(diǎn)。在48上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使

△ADCs^ACB,那么可添加的條件是.

3.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，/8C中，點(diǎn)。在邊48上，S.ZACD=ZABC,若/C=g,

4.（2023春?陜西榆林?九年級(jí)?？计谥校静僮靼l(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，A48c的頂點(diǎn)4B、C都在格點(diǎn)上，將“8C

繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到△/8G，點(diǎn)8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是⑸，G，連接CG，則

【問(wèn)題探究】

（2）如圖2,在Rt4/3C中，。為斜邊48上的一點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別在AC、8c上，AD=2,BD=\,且

四邊形OEC尸是正方形，求陰影部分的面積.

小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將ADB/繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DGE（如圖3所示）

請(qǐng)你利用小明的方法求陰影部分的面積；

【問(wèn)題解決】

（3）如圖4,有一個(gè)四邊形的試驗(yàn)田48CD,其中8c=40米，。=60米，AD=2AB,ZABCADC

互余.點(diǎn)E處是一個(gè)肥料池，點(diǎn)E是2C的中點(diǎn)，且點(diǎn)A到3c的距離等于4E之間的距離，為使灌溉方便,

現(xiàn)要沿8。修建一條水渠，請(qǐng)你幫助管理者計(jì)算出水渠8。的長(zhǎng)度.

二：.A?

J_B,\_

DHA

一31經(jīng)典例題五三角形內(nèi)接矩形相似】

【模型解讀】

由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。

EC

GFAH

結(jié)論：AHLGF,^AGF^/\ABC,—=——

BCAM

I.（2022秋?山東日照?九年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，“3C中，68=90。，點(diǎn)E在/C上,

EFL4B于點(diǎn)、F,EG1BC,已知的面積為a,VEGC的面積為b,則矩形3尸EG的面積為（）

C.Y2abD.2y[ab

2.（2022秋?安徽阜陽(yáng)?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在。8C中，ZC=90°,AC=4,SC=3.

（1）若四邊形。EFG為。8c的內(nèi)接正方形，則正方形。EFG的邊長(zhǎng)OE為；

（2）若四邊形。EFG為的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，則矩形OE/G的邊長(zhǎng)0E為.

3.（2022秋?湖北宜昌?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在“8c中，BC=2。,高40=10.矩形由0的一邊0P

在2c邊上，E、尸兩點(diǎn)分別在4B、AC±,4D交EF于點(diǎn)H.

（1）若矩形由。為正方形，求該正方形的邊長(zhǎng).

（2）設(shè)環(huán)=x,當(dāng)x為何值時(shí)，矩形瓦子。的面積最大？并求其最大值.

4.（2023春?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，/A4c=90。，/C=4,AB=8,

AD1BC,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線NO以每秒百個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作的垂線交于

點(diǎn)。，以為邊向上作矩形尸WN,點(diǎn)M在N3或48的延長(zhǎng)線上，PQ=2QM,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)點(diǎn)

P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，（秒）.

BB

⑴求8c的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)8C平分矩形尸的周長(zhǎng)時(shí)，求，的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)N在AABC的直角邊的垂直平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出，的值；

(4)如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸在/。的延長(zhǎng)線上時(shí)，MN、尸。分別交邊2c于點(diǎn)￡、F,當(dāng)APO與圖中某個(gè)三角形

全等時(shí)，求f的值.

1經(jīng)典例題六射影定理相似】

【模型解讀】

①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即常

見(jiàn)的結(jié)論有：CA2^ADAB,BO=BD-BA,CD2=DADB.

(1)在正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在氏/448￡和氏〃8。尸內(nèi)均有射影定理模

型.

(2)如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型.

1、（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形488中，AD//BC,NB=90。,E為48上一點(diǎn)，分別以

ED、EC為折痕將

兩個(gè)角（//、N2）向內(nèi)折起，點(diǎn)/、3恰好落在CD邊的點(diǎn)尸處，若/。=3,BC=5,則斯的長(zhǎng)是（）

A.715B.2715C，T17D.2717

2、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在A42C中，ZABC^90°,BDLAC,DE±BC,垂足分別為。、

￡兩點(diǎn)，則圖中與A48C相似的三角形有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

3、如圖，在RtA42c中，ZACB^9Q°,點(diǎn)、D在4B上,且一=——

ACAB

(1)求證AACDsAABC；

(2)若4D=3,BD=2,求CD的長(zhǎng).

4、（2022秋?汝州市校級(jí)月考）A/BC中，ZABC=90°,助，/C,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接NE并延長(zhǎng)交

8c于點(diǎn)R且有/尸=。尸，過(guò)尸點(diǎn)作切L/C于點(diǎn)”.

(1)求證："DES&CDB；

(2)求證：AE=2EF-

(3)若FH=6,求8c的長(zhǎng).

41經(jīng)典例題七旋轉(zhuǎn)相似】

【模型解讀】

①如圖，若AABCSAADE,則△ABZ>s

②如圖所示，ABDE和AABC都是等腰直角三角形，CE的延長(zhǎng)線與2。相交于點(diǎn)P,則

△ABDs^CBE,且相似比為1：后，/￡>與C￡的夾角為45°.

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)

及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似.

③如圖所示，RtAAOBsRtACOD,則△NOCSABOD,AC^BD,且N。？十+.

D

1.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，RM48c中，ZC=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)P,。分別在8C,

AC±,CP=3x,CQ=4x（0<x<3）.把△尸C0繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，得到△尸DE,點(diǎn)。落在線段尸。上.若點(diǎn)。

在/8/C的平分線上，則CP的長(zhǎng)為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

2.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/、點(diǎn)5在x軸上，OB=5,04=2,點(diǎn)C是

y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接NC,將NC繞點(diǎn)/順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到連接AD,則AD的最小值為（）

3.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，/8C中，點(diǎn)。在邊4B上，且Z^C￡>=/4SC,若/。=百,

AD=\,則。8的長(zhǎng)為

A

D

BC

4.(2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)。是等邊“3C邊48上的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)。繞點(diǎn)C

CF

引順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得點(diǎn)￡,所得的ACDE邊。E與交于點(diǎn)尸，則一的最小值

DE

為_(kāi)________________.

5.(2023?山西長(zhǎng)治?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

在“BC和尸中，AB=AC=DE=DF=屈,BC=EF=2.將血尸的頂點(diǎn)。放在AA8C底邊2c的

中點(diǎn)處，的頂點(diǎn)A與4)EF底邊E尸的中點(diǎn)重合.

猜想證明：

(1)如圖1,與。廠的交點(diǎn)記為M,NC與。E的交點(diǎn)記為N,試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明

理由；

問(wèn)題解決：

將“雙繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，ADEF邊DF與AC交于點(diǎn)、G.

(2)如圖2,在")EF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DC平分NEZ)廠時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)；

(3)如圖3,在AZ)EF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)。尸〃NB時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng).

6.(2023?河南周口?校聯(lián)考三模)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,NABC=a,將邊NC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到

線段CE,在射線8C上取點(diǎn)。，使得NCO￡=a.請(qǐng)求出線段2C與DE的數(shù)量關(guān)系；

(2)類比探究：如圖2,若c=90。，作//CE=90。，且其他條件不變，則線段2c與?！甑?/p>

數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)拓展延伸：如圖3,正方形23CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是邊ZD上一點(diǎn)，且NE=2,把線段CE逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段E7L連接3/，直接寫(xiě)出線段B尸的長(zhǎng).

圖I圖2

41經(jīng)典例題八k字型相似】

【模型解讀】

(1)“三垂直”模型：如圖1,ZB=ZD=ZACE=90°,則△ABCs^COE.

(2)“一線三等角”模型：如圖2,NB=NACE=ND,貝!]△/15cs△c〃E.

特別地，連接NE,若C為AD的中點(diǎn)，則△4CESA43CSACDE.

補(bǔ)充：其他常見(jiàn)的一線三等角圖形

1.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊“8C中，點(diǎn)。在邊NC上，且40=3,將含

30。角的直角三角板（N尸=30。）繞直角頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，DE、。廠分別交邊/8、BC于P、Q.連接尸。，當(dāng)

斯//尸。時(shí)，。。長(zhǎng)為（）

A.6B.V39C.10D.673

2.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，“8C為等邊三角形，點(diǎn)。，￡分別在邊AC±,BD=3,將

V4DE沿直線OE翻折得到VQE,當(dāng)點(diǎn)尸落在邊2c上，且8尸=4C/時(shí)，DE/尸的值為.

3.（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,N4BC=a,將邊/C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)々得到

線段CE,在射線8C上取點(diǎn)。，使得/CDE=a.請(qǐng)求出線段8C與。E的數(shù)量關(guān)系；

（2）類比探究：如圖2,若1=90。，作//CE=90。，且CE=g/C,其他條件不變，則線段8C與。E的

數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

（3）拓展延伸：如圖3,正方形/BCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是邊工。上一點(diǎn)，且NE=2,把線段CE逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段EF,連接3尸，直接寫(xiě)出線段5尸的長(zhǎng).

圖3

4.（2023春?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題

如圖1,在四邊形/BCD中，點(diǎn)P為22上一點(diǎn)，當(dāng)/。尸。=乙4=/8=90。時(shí)，求證:

ADBC=APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角（如圖2）,其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由.

（3）應(yīng)用

如圖3,在中，AB=242,48=45。，以點(diǎn)”為直角頂點(diǎn)作等腰Rt44D￡.點(diǎn)。在上，點(diǎn)￡在

/C上，點(diǎn)尸在8。上，且NEFD=45°,若CE=M,求的長(zhǎng).

二3【經(jīng)典例題九折疊相似】

1（2022?河北邯鄲?校考三模）如圖，在矩形23CD中，AB=4,BC=3.將矩形/BCD沿對(duì)角線/C折疊,

點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)為8',連接則。夕的長(zhǎng)是（）

A.1.5B.6C.1.4D.1

2.（2023秋?河南南陽(yáng)?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在RtZUBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)、E、F分

別在邊/C、2C上，連接EF,沿EF折疊該三角形，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在邊43上，若VAD廠是直角三

角形，則CF的長(zhǎng)為

3.（2023春?浙江杭州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形NBCD沿打1折疊，使點(diǎn)。落在3c邊的點(diǎn)E處,

過(guò)點(diǎn)E作EG〃CD交小于點(diǎn)G,連接。G.

（1）求證：四邊形EFDG是菱形.

(2)若G尸=2,AG=3,求EG的長(zhǎng).

4.2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）Q）如圖1,正方形4BCD中，點(diǎn)￡為邊上一點(diǎn)，連接8E,過(guò)點(diǎn)E作跖，8E

nr

交皿邊于點(diǎn)?’將沿直線班折疊后,點(diǎn)C落在點(diǎn)C,處’連接助，當(dāng)點(diǎn)C,恰好落在M上時(shí)，求而

的值;

（2）在（1）的條件下，如圖2,若把正方形/BCD改成菱形/BCD,且ND=60。，ZBEF=120°,其他條

DC

件不變，請(qǐng)求出F的值;

(圖1)

J［經(jīng)典例題十動(dòng)態(tài)相似】

1.（2023春?重慶渝中?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt2\48C中，ZACS=90°,NABC=60。,BC=2cm,D

為3c的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以：lcm/s的速度從/點(diǎn)出發(fā)，沿著/一8的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)￡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒

(0<f<4),連接。E,當(dāng)以2、D、E為頂點(diǎn)的三角形與“BC相似時(shí)，f的值為()

A.2B.2.5或3.5C.2或3.5D.2或2.5

2.(2023?陜西咸陽(yáng)??？家荒?如圖，在Y/8CD中，連接/C,NC恰好與2c垂直，BC=6,AC=3,

點(diǎn)。是對(duì)角線/C上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)/、C重合)，過(guò)點(diǎn)。作OE2/C,交CD于點(diǎn)￡,連接BE,點(diǎn)廠是8E

的中點(diǎn)，連接。尸，則。尸的最小值為.

3.(2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)已知點(diǎn)A

和點(diǎn)3的坐標(biāo)分別為(0,6),(8,0),動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A開(kāi)始在線段/。上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。移動(dòng),

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)3開(kāi)始在線段8/上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P,。移動(dòng)的時(shí)間為f

秒.

(1)求直線的解析式；

(2)當(dāng)，為何值時(shí)，△AP。與A/8。相似？

24

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，尸。的面積為彳個(gè)平方單位?

4.（2023春?山東青島?九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在Y4BC。中，NC=BC=10,4B=12.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)2

出發(fā)，沿線段A4以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作上B4交BC于點(diǎn)H；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。

從點(diǎn)/出發(fā)，沿射線4c以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒（0<1<5）.

（1）點(diǎn)C到邊的距離為；PH=（用含t的代數(shù)式表示）

（2）是否存在某一時(shí)刻f,使工田0：54^0=1：6存在，求f的值；不存在說(shuō)明理由；

（3）是否存在某一時(shí)刻f,使點(diǎn)P、0、D共線？存在，求f的值；不存在說(shuō)明理由.

一,/【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（2021?山東臨沂?三模）如圖，在A42C中，DEWBC,若AE=2,EC=3,則AIDE與的面積之比

為（）

B.2：3C.4：9D.2：5

2.Q021?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形NBC。的對(duì)角線/C、2。相交于點(diǎn)。，E是8C的中點(diǎn),

DE交AC于點(diǎn)、F,若DE=12,則。尸等于（）

C.6D.8

3.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊“8C中，點(diǎn)。在邊/C上，且40=3,將含

30。角的直角三角板（/尸=30。）繞直角頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，DE、D尸分別交邊48、BC于P、Q.連接尸0,當(dāng)

￡尸//尸。時(shí)，。。長(zhǎng)為（）

A.6B.V39C.10D.6拒

4.（2020?安徽?校聯(lián)考三模）如圖，。為A/BC的邊/C上一點(diǎn)，AB=BC=CD=4,ZD8C=244,則

的長(zhǎng)為（）

A.-2+275B.-2-2V5C.2+2V5D.V5-1

5.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)。在2c上,

BD=2CD=2,連接/〃，NADC=2NBAC=60°,則線段ND的長(zhǎng)為.

6.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，己知。是等邊。BC邊上的一點(diǎn)，現(xiàn)將“8C折

疊，使點(diǎn)C與。重合，折痕為￡尸，點(diǎn)E、尸分別在NC和8c上.如果/?。8=2:3,則CE:C尸的值

為.

7.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖在平行四邊形/BCD中，￡是CD的中點(diǎn)，尸是/￡的中

點(diǎn)，CF交BE于懸G,若BE=8,則G￡=

8.（2021秋?河北邢臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如