【圓錐曲線】25定比點(diǎn)差法(含經(jīng)典題型+答案)

定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用秒殺秘籍：定比點(diǎn)差法原理定比分點(diǎn)：若則稱點(diǎn)為的入定比分點(diǎn)，若則若且,則稱調(diào)和分割,根據(jù)定義，那么也調(diào)和分割.定理：在橢圓或雙曲線中，設(shè)A,B為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)。若存在P,Q兩點(diǎn)，滿足，，一定有證明：若，，則則，有①—②得：即例1:已知橢圓，過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（可重合），求的取值范圍.解：設(shè)，則即①—②得：即注意：根據(jù)兩個(gè)調(diào)和定比分點(diǎn)的聯(lián)立，將坐標(biāo)求出與比值的關(guān)系式。兩個(gè)分點(diǎn)式子齊上場(chǎng)才能解決問(wèn)題，這是定比點(diǎn)差法的核心。例2：過(guò)異于原點(diǎn)的點(diǎn)作橢圓的割線在橢圓上一點(diǎn)，是異于的一點(diǎn)，且滿足,求證：點(diǎn)在直線上.解：設(shè)則則有由于在橢圓上，故①②①—②得：同除以得例3:（2008安徽）設(shè)橢圓，過(guò)點(diǎn),左焦點(diǎn)為求橢圓的方程.當(dāng)過(guò)點(diǎn)的有直線與橢圓相交于.在線段上取點(diǎn)滿足.證明：點(diǎn)在某定直線上.解：（1）.，故令；故，由于在橢圓上，故①—②得：即即秒殺秘籍：有心曲線角平分線定理三角形的內(nèi)角平分線定理：在中，若是的平分線，則有證明;作交于，交于，設(shè)邊上的高為，易知，定理：已知交橢圓長(zhǎng)軸（短軸）于點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于長(zhǎng)軸（短軸）對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線交長(zhǎng)軸（短軸）于，則。證明：連接，根據(jù)幾何性質(zhì)可得：為的角平分線，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可知,令,則，，則則，有①—②得：即例4：（2018全國(guó)一卷19）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.解：（1）由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為或.（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),根據(jù)幾何性質(zhì)可得：令為的角平分線，與軸交點(diǎn)為，下面通過(guò)證明與重合來(lái)證明，根據(jù)角平分線定理有：,令,則則,，如圖①—②得：即即與重合，所以.綜上，.例5：（2018北京文20壓軸）已知橢圓的離心率為，焦距為．斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)若，求的最大值；(3)設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，和點(diǎn)共線，求．解：(1)由題意得，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，，則，，則，易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．設(shè)，，，，設(shè)有①—②得：即，同理，故同時(shí)，由于過(guò)定點(diǎn),故結(jié)合⑤⑥可得，即．1．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且求直線的方程．1.（1）；（2）設(shè)，，,①—②得：即．2.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓、，是上一點(diǎn)，，且．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí)，線段上取點(diǎn)，且滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上，并求出該定直線的方程．2.（1）；（2），故令；故，由于在橢圓上，①—②得：即即，總在直線上．3．已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的面積為，橢圓的離心率為（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．（Ⅰ）．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，三點(diǎn)共線，；,設(shè)，，①—②得：，即，如圖，由于更加靠近橢圓邊界，故取其作為參照點(diǎn)，解得綜上，m的取值范圍為。4.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，、分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，且．（1）求橢圓方程；（2）對(duì)于軸上的某一點(diǎn)，過(guò)作不與坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若存在軸上的點(diǎn)，使得對(duì)符合條件的恒有成立，我們稱S為T(mén)的一個(gè)配對(duì)點(diǎn)，當(dāng)T為左焦點(diǎn)時(shí)，求T的配對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）條件下討論當(dāng)T在何處時(shí)，存在有配對(duì)點(diǎn)？（1）（2）（3）5.如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF1F2的周長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q（﹣4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求該定直線的方程．（Ⅰ）（Ⅱ）R在定直線x=﹣1上．6.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)M，N．（i）求證：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面積的最大值．（1）；（II）（i）參考例4題18年新課標(biāo)講解；（ii）設(shè)，根據(jù)焦長(zhǎng)公式可得，，，7．若橢圓E1：與橢圓E2：滿足，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m叫相似比．若橢圓M1與橢圓相似且過(guò)點(diǎn)．（I）求橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）作斜率不為零的直線l與橢圓M1交于不同兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為橢圓M1的右焦點(diǎn)，直線AF、BF分別交橢圓M1于點(diǎn)G、H，設(shè)，，求的取值范圍．7.（I）．（II）設(shè)，，，，設(shè)有①—②得：即，同理，故。8.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，并且滿足，（Ⅰ）求此橢圓的方程；（II）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、在之間，，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．（Ⅰ）；（II）λ的取值范圍是．9．已知雙曲線的左右兩個(gè)頂點(diǎn)是，曲線上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)，軌跡上的點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）；（2）．10．如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，且的周長(zhǎng)為14．（1）求橢圓的離心率；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，試判斷點(diǎn)是否在一條定直線上，并求實(shí)數(shù)的取值范