蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：圖形的旋轉(zhuǎn)（4個考點+4種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（解析版）

第03講圖形的旋轉(zhuǎn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解旋轉(zhuǎn)及相關(guān)概念，知道圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能利用性質(zhì)作圖；

2.經(jīng)歷對生活中旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的觀察、分析過程，通過具體實例認(rèn)識旋轉(zhuǎn).經(jīng)歷對具有旋轉(zhuǎn)特征圖形的觀察、

操作、畫圖等過程，體會旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；

3.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的問題，形成用數(shù)學(xué)的意識以及熱愛生活的情感.

思維導(dǎo)圖

r

旋

轉(zhuǎn)

現(xiàn)

象

)

知識清單

一.生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

（1）旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點O旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點。叫做旋

轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點尸經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP',那么這兩個點叫做對應(yīng)點.

（2）注意：

①旋轉(zhuǎn)是圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重

合，這時判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.

②旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向.

③旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點.

二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.

注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣.

三.旋轉(zhuǎn)對稱圖形

（1）旋轉(zhuǎn)對稱圖形

如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360。）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋

轉(zhuǎn)對稱圖形.

（2）常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

四.作圖-旋轉(zhuǎn)變換

（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊

上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，

位置就不同，但得到的圖形全等.

題型精講

--生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（共1小題）

1.（2023春?沐陽縣月考）下列運動屬于數(shù)學(xué)上的旋轉(zhuǎn)的有（）

A.鐘表上的時針運動

B.城市環(huán)路公共汽車

C.地球繞太陽轉(zhuǎn)動

D.將等腰三角形沿著底邊上的高對折

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某一個點。旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而

分別判斷得出答案.

【解答】解：A、鐘表上的時針運動，屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項正確；

5、城市環(huán)路公共汽車，不屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項錯誤；

C、地球繞太陽轉(zhuǎn)動，不屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項錯誤；

將等腰三角形沿著底邊上的高對折，不屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項錯誤；

故選：A.

【點評】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共13小題）

2.（2023春?惠山區(qū)期中）如圖，在AACB中，ZC=90°,ZB=60°,BC=1,AACB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，

得到AADE,點、B,E之間的距離為（）

A.2B.-J6C.20D.3

【分析】連接BE,根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)可得45=23。=2,根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到44E=90。,

AE=AB=2,利用勾股定理即可求出BE.

【解答】解：連接班，

-.BC=1,ZC=90°,ZB=60°,

:.AB=2BC^2,

由旋轉(zhuǎn)可知：NBAE=90。,AE=AB=2,

BE=>JAE2+AB2=2啦,

故選：c.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到

ZBAE=90°,AE^AB=2.

3.（2023春?興化市月考）如圖，將A4BC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到AADE.若點。在線段3c的延長線

上，則的大小為（）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得M=由等腰三角形性質(zhì)得NB=Z4DB,由旋轉(zhuǎn)角為120。得/54。=120。,

由三角形內(nèi)角和定理得ZB+N/4DB+ZBAD=180。，由此可求出NB的度數(shù).

【解答】解：?.?AADE是由AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到的，

:.AB^AD,440=120°,

:.ZB=ZADB,

???ZB+ZADB+ZBAD=180。，

ZB=ZADB=|x(180°-120°)=30°,

故選：A.

【點評】本題主要考查了旅轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春葉口江區(qū)期中)如圖，AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)68。后與△重合，連接2耳，則

ZABBI=()

A

A.56°B.58°C.62°D.68°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出N54月=68。，AB=ABt,進(jìn)而根據(jù)等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理即可求

解.

【解答】解：?.?AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)68。后與△A與G重合，

ZBABt=68°,AB=AB1,

ZAB[B=ZABB[=g(180°-ZBAB,)=56°,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5.(2023春?淮安區(qū)期中)如圖，在AABC中，ZC=65°,將AABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到

且點C，在3c上，則NB'C'B的度數(shù)為()

A.54°B.45°C.46°D.50°

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=AC,=NC=65。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ZACC=ZC=65°,然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義計算出N9C3的度數(shù).

【解答】解：?.?AABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到且點C在8C上，

AC=AC,SC'A=NC=65°,

ZACC=ZC=65°,

ZBCC=ZBCA+ZACC=130°,

/.ZBCB=180°-ABCC=180°-130°=50°.

故選：D.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

6.（2023春?江陰市月考）如圖，點P為定角NAC出的平分線上的一個定點，且NMPN與NAO3互補(bǔ)，若

NMPN在繞點尸旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與。4、06相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：

①=恒成立；②AOAW的周長不變；③OM+ON的值不變；④四邊形PMON的面積不變，其中正

確的為①③④（請?zhí)顚懻_結(jié)論前面的序號）.

【分析】作莊_LQ4于石，PF_LOB于F.只要證明APO石二APCE,APEM^APFN,即可---判斷.

【解答】解：如圖，作PE_LQ4于石，尸產(chǎn)_LO5于尸，

???ZPEO=Z.PFO=90°,

ZEPF+ZAOB=180°,

???ZMPN+ZAOB=180°,

:.ZEPF=ZMPN,

ZEPM=ZFPN,

???OF平分NAO3,PE上OA于E,PF上OB于F,

:.PE=PF,

在RtAPOE和RtAPOF中，

[OP=OP

[PE=PF'

/.RtAPOE工RtAPOF(HL),

:.OE=OF,

在APE以和A/W中，

ZMPE=ZNPF

<PE=PF,

ZPEM=ZPFN

APEM=APFN(ASA),

:.EM=NF,PM=PN,故①正確，

一=SA/WF，

=

…S四邊形PMONS四邊形PEOF=定值，故④正確，

■.■OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE,

.?.31+ON為定值，故③②正確，

在旋轉(zhuǎn)過程中，APMZV是頂角不變的等腰三角形,

?.?PM的長度是變化的，

.〔MN的長度是變化的，故錯誤，

故答案為：①③④.

FB

【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

7.(2023春?宜興市月考)如圖，在AABC中，ZfiAC=130°,將AABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADEC,

點A,3的對應(yīng)點分別為。，E,連接當(dāng)點A,D,E在同一條直線上時，則旋轉(zhuǎn)角NACD的度

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,ZBAC=ZCDE=130°,由等腰三角形的性質(zhì)可求

ZCDA=ZCAD=5Q°,即可求解.

【解答】解：：將AABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADEC,

:.AC=CD,ZBAC=NCDE=130°,

:.ZCDA=ZCAD=ZE+EDC=ZB+ZACB=50P,

ZBAD=180°-ZCDA-ACAD=180°-50°-50°=80°,

故答案為：80°.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?靖江市期末）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=7cm,BC=24cm.將AABC繞點C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得ADEC,直線距、EB相交于點尸.取8C的中點G,連接GF,則GF長的最

大值為16cm.

E

【分析】取至的中點"，連接"G,HF,利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知CE=CB,CD=CA,ZBCE=ZACD,

^ZBCE=ZACD=a,利用四邊形內(nèi)角和定理可證N3E4=90。，從而可得HF,HG的長，利用三角形

三邊關(guān)系可求出FG的最大值.

【解答】解：如圖，取他的中點H,連接〃G,HF,

E

NDEC是由AABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到的,

:.CE=CB,CD=CA,ZBCE=ZACD,

設(shè)N3CE=NACD=<z,

-.-ZACB=90°,

:.ZBCD=9Q°-a,

1QAO—a?

...ZCBE=ZCEB=ZCAD=ZCDA=----------=90?！?/p>

22

ry(V

ZCDF=ZCBF=a+90°——=90。+—,

22

在四邊形BCDF中,

cc

NBFA=360°-ZBCD-ZCDF-ZCBF=360°-(90°-?)-2(90°+—)=90°,

在AABC中，ZACB=9Q°,

AB=7AC2+BC2=A/72+242=25cm,

i25

在RtAABF中，HF=-AB=—cm,

22

???〃G為AABC的中位線，

17

二.HG=—AC=—cm>

22

257

HF+HG=——+-=16cm,

22

?：FG”HF+HG=16cm,

.?.當(dāng)F,H,G三點共線時，F(xiàn)G最大，最大值為HF+HG=16cm,

故答案為：16.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，構(gòu)建以尸G為邊的三角形，

根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出FG的長度范圍是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，在AABC中，ZABC=50°.將AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得AADE

（其中NC4E<180。），連接DB.當(dāng)AD/ABC時，求NBDE的度數(shù).

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=AD,ZADE=ZABC=50°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

ZDAB=ZABC=5O°,接著利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出NAD3=65。，然后計算

N4D6—N4DE即可.

【解答】解：?.?AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得AADE,

:.AB=AD,ZADE=ZABC=50°,

■.■ADIIBC,

ZDAB=ZABC=5Q°,

-.-AD^AB,

ZADB=ZABD=1（180°一ZZMB）=1x（180°-50°）=65°,

ZBDE=ZADB-ZADE=65°-50°=15°.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了平行線的性質(zhì).

10.（2023春?海陵區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到A/回,

將線段3C繞著點3順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段防，連接砂.若AC=1,BC=2,則的長是一回

【分析】延長八4,￡8交于點G,作陟于點"，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得的=3C=2,AABC=AAED,

可求45=AC=1,DE=CB=2,由已知“AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。“，”線段BC繞著點B順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段班1“，可知NC4D=90。，ZCBF=90°,易證四邊形ACBG和四邊形DEHG為矩形，則

AG=BC=2,BG=AC=1,EH=DG=AD+AG=l+2=3,GH=DE=2,進(jìn)而可求

GF=BG+BF=1+2=3,HF=GF-GH=3-2=1,在RtAEHF中，勾股定理可求EF的長.

【解答】解：如圖，延長ZM,EB交于點G,作田工BF于點H,

AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAED,

:.^AED=\ABC,ZC4D=90°,

.-.AD=AC=l,DE=CB=2,ZD=ZC=90°,NC4G=90°,

???將線段BC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF,

：.BF=BC=2,NCBF=90°,

:.ZCBG=9O°,

在四邊形ACBG中，ZC=90°,ZCAG=90°,ZCBG=90°,

：.四邊形ACBG是矩形，

：.AG=BC=2,BG=AC=\,ZG=90°,

在四邊形D團(tuán)G中，ZD=90°,ZG=90°,ZEHG=90°,

：.四邊形DEHG為矩形，

:.EH=DG=AD+AG=i+2=3,GH=DE=2,

GF=BG+BF=1+2=3,

HF=GF-GH=3-2=1,

在RtAEHF中，由勾股定理得，

EF=yjEH2+HF2=A/32+12=M.

故答案為：A/10.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?蘇州期中）如圖，在AABC中，=10,將AABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△Ag,

則陰影部分的面積為25.

AB

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,AlB=AB=10,所以△人血是等腰三角形，依據(jù)

ZABA=30°得到等腰三角形的面積，由圖形可以知道/影=鞏_曲+S'A」BC」-%BC=S，A」BA,最終得到陰

影部分的面積.

【解答】解：過A作于。，如圖:

在AABC中，AB=10,將AABC繞點3按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到△A^G,

.-.AABC=A,

：.AiB=AB=lQ,

△A^BA是等腰三角形，4418A=30。,

■：ADV\B,

:.AD=-AB=5,

2

S△/4I_1DR4f\=—x10x5=25,

=

又S陰影=S^A-IBA+—^AABC;且^AA_1BC_1^&ABC)

S陰影=S?A_18A=25,

故答案為：25.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.運用面積的和差關(guān)系解決不規(guī)則圖形的面積是解決此題的關(guān)鍵.

12.(2023春?姜堰區(qū)月考)閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖①等邊AABC內(nèi)有一點尸，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求/4P3的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到AACP處，此時AAW三AABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變

換，將三條線段E4、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出NAPB=_150?！?；

(2)基本運用

圖②圖③

請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，AABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、歹為BC上的點且NE4尸=45。，求證：EF2=BE2+FC2；

(3)能力提升

如圖③，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=1,ZABC=3Q°,點O為RtAABC內(nèi)一點，連接AO,BO,

CO,且NAOC=NCOS=々04=120。，求。4+03+OC的值.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等

邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答;

(2)把A鉆E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AACf,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AE,CE=BE,

Z.CAE=ZBAE,ZACE'=NB,ZEAE'=90°,再求出NEAF=45。，從而得到NE4F=N￡AF,然后利用

“邊角邊”證明AMF和△巴法全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得￡7^=￡F,再利用勾股定理列式即

可得證.

(3)將AAC?繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。至△ACTB處，連接OO,根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜

邊的一半求出筋=24C,即A3的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出ABOO是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三

條邊都相等可得30=0(7,等邊三角形三個角都是60。求出N3O0=N3(7O=6O。，然后求出C、。、A、

。四點共線，再利用勾股定理列式求出AC,從而得到。4+OB+OC=AC.

【解答】解：(1)■.■AACP=AABP,

，A/>=AP=3、CP=BP=4、ZAPC=ZAPB,

由題意知旋轉(zhuǎn)角NR4P=60。,

.?.A4PP為等邊三角形,

pp=AP=3,ZAPP=60°,

易證為直角三角形，且NPPC=90。,

ZAPB=ZAPC=ZAPP+ZPPC=60°+90P=150°；

故答案為：150。；

(2)如圖2,把AABE■繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AACF,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE=AE,CE'=BE,ZCAE=ZBAE,ZACEr=ZB,ZEAE1=90°,

■.■ZEAF=45°,

:.ZEAF=ZCAE+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°=45°,

:.ZEAF=ZEAF,

在AE4廠和△EA廠中,

AE=AEf

</EAF=NEAF

AF=AF

.\AEAF^/\E,AF(SAS),

:.EF=EF,

???NGW=90。，AB=AC,

.\ZB=ZACB=45°,

ZFCF=45。+45。=90。，

由勾股定理得，EF2=CE2+FC2,

^EF2=BE2+FC2.

(3)如圖3,將AAO5繞點5順時針旋轉(zhuǎn)60。至△AY73處，連接0(7,

:.AB=2,

：.BC=7AB2-Ac?二百,

?.?AAOB繞點3順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,

「.△AO缶如圖所示；

ZABC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

???NC=90。，AC=1,ZABC=30°,

.\AB=2AC=2,

??,AAO5繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AOrB,

,\A!B=AB=2,BO=BO,A(7=AO,

\BOO是等邊三角形，

:.B0=0O,ZBOO=ZBOO=(^°,

???ZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

Z.COB+ZBOO=ZBOA+ZBOO=120°+60°=180°,

;.C、O、A、。四點共線,

在無△ABC中，AC=^BC'+AB1=7（A/3）2+22=/j,

:.OA+OB+OC=A!O'+O（7+OC=A!C=-fi.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目

信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.(2023春?江陰市月考)圖1是一款平衡蕩板器材，其示意圖如圖2,A、。為支架頂點，支撐點3,

C,E,尸在水平地面同一直線上，G、H為蕩板上固定的點，GH//BF,測量得=,Q為

DP上一點且離地面1根，旋轉(zhuǎn)過程中，AG始終與DH保持平行.如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A,Q,"在同一直線

上時，連結(jié)G，。，測得G，Q=16〃，ZDQG'=90°,此時蕩板G月距離地面0.6〃z.

(1)DQ的長為1.6m.

【分析】(1)先根據(jù)判斷AG=GH=。/判斷4/'垂直平分DG',從而得G'Q=DQ=L6；

(2)ADMQ三AQNG'得出MQ=GN,再在△G'NQ中用勾股定理求出G'N,即可求得點。離地面的距離.

【解答】解：(1)如圖，過。作G'"'的垂線交GH'于N,交相)延長線于

由圖2得：AD=GH,

AG=GH=DH,

:.AD=AG',G'H'=DH',

.1AH'垂直平分￡>G',

?.?A,Q,"'在同一直線上,

:.G'Q=DQ=1.6,

故答案為：1.6；

(2)ZDQG'=90°,

ZG'QN+ZDQM=90°,

ZDQM+ZQDM=90°,

ZG'QN=ZQDM,

NDMQ=AQNG'(AAS),

:.MQ=GN,

■：Q為DF上一點且離地面Im,此時蕩板G'H'距離地面0.6m,

QN=1-0.6=0.4m,

i-----2/—

...GN=JGQ2一.=_^m,

/.MQ=y/15m,

故答案為：（［岳+l）m.

【點評】本題主要考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，讀懂題意證明出

AH垂直平分。G'是本題的關(guān)鍵.

14.（2023春?常州期中）如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。.若

固定AABC,將ADEC繞點C旋轉(zhuǎn).

（1）當(dāng)ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)到點。恰好落在回邊上時，如圖2.

①當(dāng)N3=NE=30。時，此時旋轉(zhuǎn)角的大小為_60。_；

②當(dāng)NB=NE=戊時，此時旋轉(zhuǎn)角的大小為—（用含a的式子表示）.

（2）當(dāng)ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小楊同學(xué)猜想：ABDC的面積與AAEC的面積相等，試

判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確，若正確，請你證明小楊同學(xué)的猜想.若不正確，請說明理由.

B

【分析】(1)①證明AADC是等邊三角形即可.

②如圖2中，作CH_LA。于〃.想辦法證明NACD=2NB即可解決問題.

(2)小揚同學(xué)猜想是正確的.過3作3N_LCD于N,過E作￡M_LAC于M,如圖3,想辦法證明

△CBN=ACEM(AAS)即可解決問題.

【解答】解：⑴①?.?々=30°,ZACB=90°,

ZCAD=90°-30°=60°,

-.CA=CD,

...AACD是等邊三角形，

:.ZACD=60°,

：.旋轉(zhuǎn)角為60。，

故答案為60。.

②如圖2中，作CH_LAD于".

圖2

■.■CA=CD,CHLAD,

ZACH=ZDCH,

-.■ZACH+ZCAB=90°,ZCAB+ZB=90°,

:.ZACH=ZB,

ZACD=2ZACH=2ZB=2a,

：.旋轉(zhuǎn)角為2e.

故答案為2a.

(2)小揚同學(xué)猜想是正確的，證明如下：

過B作5N_LCD于N,過石作石M_LAC于A/,如圖3,

\-ZACB=ZDCE=90°,

.?.Nl+N2=90。，Z3+Z2=90°,

/.Z1=Z3,

.?BN工CD于N,￡M_LAC于

.?.ZBNC=ZEMC=90°,

vAACB^ADCE,

:.BC=EC,

在ACBN和ACEM中，

ZBNC=ZEMC,Z1=Z3,BC=EC,

/.ACBN=ACEM(AAS),

:.BN=EM,

■■■S&BDC=--CDBN,SMCE=--AC-EM,

.-CD=AC,

-StsBDC=S1sAeE'

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

三.旋轉(zhuǎn)對稱圖形(共2小題)

15.(2023春?鼓樓區(qū)校級月考)將一個正十邊形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)36。就能和本身重合.

【分析】得出每個中心角的度數(shù)，即可得出答案.

【解答】解：?.?多邊形每個中心角為：絲=36。，

10

該圖形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)36。和本身重合.

故答案為：36.

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形以及正多邊形的性質(zhì)，正確掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.（2023春?灌云縣月考）把一個正方形繞著其對稱中點旋轉(zhuǎn)一定的角度，要使旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖

形重合，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是_90。_.

【分析】正方形可以被其對角線平分成4個全等的部分，則旋轉(zhuǎn)的角度即可確定.

【解答】解：正方形可以被其對角線平分成4個全等的部分，則旋轉(zhuǎn)至少360+4=90度，能夠與本身重合.

故答案為：90°.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.注意基礎(chǔ)概念的熟練掌

握.

四.作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共5小題）

17.（2023春?灌云縣期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（-2,-4）,8（0,-4）,C（l,-1）.

（1）畫出AABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形△AAG；

（2）將（1）中所得先向左平移4個單位再向上平移2個單位得到，畫出△d^G；

（3）若△45G可以看作AABC繞某點旋轉(zhuǎn)得來，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為_（-3,-1）

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點A、與、G即可;

（2）利用點平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫出點為、B2.G的坐標(biāo)，然后描點即可；

（3）作坊8和A4的垂直平分線，它們的交點為旋轉(zhuǎn)中心.

【解答】解：（1）如圖，△A4G為所作；

（2）如圖，△45G為所作；

（3）如圖，△&gC?可以看作AABC繞尸點旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為（-3,-1）.

故答案為（—3,—1）.

【點評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，

由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

18.（2023春?惠山區(qū)期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，AABC的頂

點均在格點上.

（1）畫出將MBC關(guān)于原點O的中心對稱圖形△A耳C；；

（2）將ADEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到畫出△?明；

（3）若ADEF由AABC繞著某點旋轉(zhuǎn)得到的，則這點的坐標(biāo)為

【分析】（1）根據(jù)成中心對稱圖形的性質(zhì)畫圖即可;

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向畫圖即可；

（3）線段BE、CF的中垂線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心.

【解答】解：（1）作圖如下：

(2)作圖如下:

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)中心到兩對應(yīng)點的距離相等；

故旋轉(zhuǎn)中心在線段BE、CF的中垂線上；

由圖象可知，該點的坐標(biāo)為(0,1).

【點評】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)變換；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.(2023春?天寧區(qū)校級期中)如圖，AABC的頂點坐標(biāo)分別為AQ1),8(3,3),C(l,3).

(1)畫出與AABC關(guān)于點O成中心對稱的圖形△A4G；

(2)①畫出AABC繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。的△人4。2；

②在①基礎(chǔ)上，若點M(a,6)為AABC邊上的任意一點，則旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標(biāo)為.

【分析】（1）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出4、用、G的坐標(biāo)，然后描點即可;

（2）①利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點4、約、G即可；

②利用所畫圖形寫出c2點的坐標(biāo).

【解答】解：（1）如圖，△A4G為所作；

y八

（2）①畫如圖，△45G為所作;

②A7（a,3繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為M的M點縱坐標(biāo)的負(fù)值，縱坐標(biāo)為

〃的橫坐標(biāo)，

旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-仇a），

故答案為：（-b,a）.

【點評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，

由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

20.（2023春?東臺市月考）AABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中每個小正方形的邊長為1個

單位長度.按要求作圖：

①畫出AABC關(guān)于原點O的中心對稱圖形4A4cl；

②畫出將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△452c.

【分析】①根據(jù)關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)特征，分別描出點A、B、C的對應(yīng)點從、與、C「即可得

到△ABC；

A、A與C

②利用網(wǎng)格特點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點3旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點&、B2,即可得到△.

【解答】解：①如圖，△△4cl為所作；

②如圖，△4星。為所作.

y小

【點評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，

由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

21.(2023春?宜興市月考)如圖的正方形格中，AABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求

畫圖和解答下列問題：

(1)將AABC沿x軸翻折后再沿x軸向右平移1個單位，在圖中畫出平移后的△AB|G.若AABC內(nèi)有一點

P(a,b),則經(jīng)過兩次變換后點P的坐標(biāo)變?yōu)開(4+1,-匕)_.

(2)作出AABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△兒與仁?

(3)若將AABC繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)90。后，其對應(yīng)點分別為4(2,1),B3(4,0),Q(3,-2),則旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)

為.

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于工軸對稱并向右平移1個單位后的對應(yīng)點人、用、G的

位置，然后順次連接即可，再根據(jù)軸對稱和平移的性質(zhì)的性質(zhì)寫出點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、8、C關(guān)于原點。成中心對稱的點兒、B?、C?的位置，然后順次連接即可；

(3)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點&、B3,C3的位置，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出旋轉(zhuǎn)中心并寫出坐標(biāo).

【解答】解：(1)4G如圖所示；

P(a+；

（2）△&用。2如圖所示;

（3）旋轉(zhuǎn)中心（0,2）.

【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是

解題的關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一.選擇題（共10小題）

1.（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將RtAABC繞直角邊

AC的中點〃旋轉(zhuǎn)，得到AE㈤，若AEFD的直角頂點。落在AABC的斜邊池上，砂與AC交于點G,則

線段AG的長度約為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【分析】連接CD,過點。作ZW_LAC于N,DJ工EF于J,過點。作￡>K//EF交AC于K,過點"作

HLLDK于L,利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到：AH=EH=CH=DH=-AC=-x4=2,ZA=ZE,再利用等腰三角

22

形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到NA+N〃CD=90。，進(jìn)而可得NADC=90。，運用面積法可得

_1_6x_1_2

ACBCADCD=&》=竺，再證得皿田二A￡G〃(A4S),得出

CD='-=^2=11=DJ,DN=

AB55AC425

48

—x

HK=HG,設(shè)HK=x,利用面積法可得DK=DN'HK='=J,然后利用勾股定理求解即可.

HL65

5

【解答】解：如圖，連接CD,過點。作DV_LAC于N,DJLEF于J,過點。作OK//EF交AC于K,

?.?RtAABC繞直角邊AC的中點H旋轉(zhuǎn)，得到AEED,

AH=EH=CH=DH=—AC=—x4=2,XA=ZE,

22

：.ZA=ZADH,ZHCD=AHDC,

Z.GHE=ACHD=ZA+ZADH=2ZA,

?/ZCHD+ZHCD+ZHDC=180°,即2ZA+2ZHCD=180。，

:.ZA+ZHCD=9Q0,

:.ZADC=90°,

在RtAABC中，AB=yjAC2+BC2=^42+32=5,

-,ABCD=ACBC,

ACBC4x3

:.CD=

AB"I"

16

在RtAACD中,

y

??ACDN=ADCD,

ADCD48

DN=

AC425

\-DK//EF,

:.ZDKH=ZEGH,

在ADKH和NEGH中,

ZDKH=ZEGH

<ZDHK=ZEHG,

DH=EH

ADKH=AEGH(AAS),

,\HK=HG,

25

設(shè)HK=x,

?.HLDK=DNHK,

48

——x

\DN.LAC,

ZDNH=ZDNK=90°,

?.HN=^DH2-DN2=

:.NK=HK-HN=x——

25

在RtADKN中，DN2+NK2=DK2,

解得：玉=-2（舍去），x2

AG=AH—HG=2-----=—?0.7,

3939

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，三角形面積，三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形

的判定和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

2.（2023春?江都區(qū)期中）如圖，在AABC中，ZfiL4C=108o,將AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到4

AB'C.若點日恰好落在邊上，且AB=C?,則NC的度數(shù)為（）

c

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NC=NC',AB=AB',由等腰三角形的性質(zhì)可得NC=NC4B',ZB=ZAB'B,

由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：=

.-.ZC=ZC4B,,

ZAB'B=ZC+ACAB'=2ZC,

?.?將AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到^AB'C,

.-.ZC=ZC,,AB=AB',

:.ZB=ZAB'B=2ZC,

ZB+ZC+ZCAB=180°,

.?.3ZC=180°-108°,

,-.ZC=24°,

ZC=ZC=24°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

3.(2023春?洪澤區(qū)校級期中)把如圖中的三角形A()可以得到三角形3.

A..先向右平移5格，再向上平移2格

B..先向右平移7格，再以直角頂點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。，然后向上平移1格

C..先以直角頂點為中心順時針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移5格

D..先向右平移5格，再以直角頂點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。

【分析】把直角頂點當(dāng)作關(guān)鍵點，可以借助直角頂點的移動位置判斷移動后是否重合.

【解答】解：先向右平移7格，再以直角頂點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。，然后向上平移1格，三角形4可以得

到三角形故選項3符合題意；

其他三個選項，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形3.

故選：B.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷移動和旋轉(zhuǎn)后的圖形是否能夠重合是解題關(guān)鍵.

4.（2023春?徐州月考）如圖，在6x4的方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)

中心是（）

A.點MB.點NC.點尸D.點。

【分析】先確定點A與點E為對應(yīng)點，點3和點F為對應(yīng)點，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平

分線上，也在所的垂直平分線上，所以作小的垂直平分線和所的垂直平分線，它們的交點即為旋轉(zhuǎn)中

心.

【解答】解：?.?AABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到A￡/Z>,

.?.點A與點E為對應(yīng)點，點B和點尸為對應(yīng)點，

旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，

作/石的垂直平分線和跳'的垂直平分線，它們的交點為N點，如圖，

即旋轉(zhuǎn)中心為N點.

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

5.（2023春?鼓樓區(qū)校級月考）對于題目：“如圖1,平面上，正方形內(nèi)有一長為12、寬為6的矩形，它可

以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長的最

小整數(shù)甲、乙作了自認(rèn)為邊長最小的正方形，先求出該邊長x,再取最小整數(shù)

甲：如圖2,思路是當(dāng)x為矩形對角線長時就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取九=13.

乙：如圖3,思路是當(dāng)X為矩形的長與寬之和的二倍時就可移轉(zhuǎn)過去：結(jié)果取77=13.

2

下列正確的是（）

X

X

6

圖1圖2圖3

A.甲的思路對，他的“值錯B.乙的思路錯，他的〃值對

C.甲和乙的思路都對D.甲和乙的〃值都對

【分析】據(jù)矩形長為12寬為6,可得矩形的對角線長為6番，由矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或

旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，可得該正方形的邊長不小于6石，進(jìn)而可得正方形邊長的最小整數(shù)

n的值.

【解答】解：???矩形長為12寬為6,

.?.矩形的對角線長為：762+122=6^/5,

?.?矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，

.?.該正方形的邊長不小于6君，

-.?13<6A/5<14,

，該正方形邊長的最小正數(shù)〃為14.

故甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，〃=14；

乙的思路與計算都錯誤，圖示情況不是最長；

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練運用矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?姑蘇區(qū)校級期末）如圖，已知AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將AABC繞著AC邊中

點O旋轉(zhuǎn)得到ADEF,EF、ED分別交至于點Af、N,若ABUDF,則MV=（）

【分析】設(shè)EF交AC于P點，如圖，先利用勾股定理計算出AB=5,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到所=9=5,

DF=AC=4,NA="，接著證明"=NP。尸得到,PO=PF，則Q4=MF=2,

所以EM=3,然后利用平行線分線段成比例定理可求出MN的長.

【解答】解：設(shè)￡F交AC于P點，如圖，

?.?NC=90。，AC=4,BC=3,

.?."=132+42=5,

???O點為AC的中點，

.?.04=2,

?.?AABC繞著AC邊中點O旋轉(zhuǎn)得到AD￡F,

,\EF=AB=5,DF=AC=4,ZA=ZFf

?：ABIIDF,

:.ZA=ZPOF,ZF=ZPMA,

:.ZA=ZPMA,NF=NPOF,

:.PA=PM,PO=PF,

:.PA+PO=PM+PF,

即OA=MF=2,

EM=EF-MF=5—2=3,

?；MN//DF,

MNEMMN3

---=----,即Bn----=一，

DFEF45

19

解得MV=—.

5

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了平行線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理.

7.（2023春?無錫期末）如圖，？在AABC中，AC=BC,以點5為旋轉(zhuǎn)中心把AABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)40。

得到△ABC,點片恰好落在AC上，連接CC,則NACC度數(shù)為（）

A

C.100'D.95°

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：BA^BA,BC=BC