山東省濰坊市昌邑市2024-2025學年高二年級上冊11月期中數(shù)學試題（含解析）

2024-2025學年上學期期中質(zhì)量監(jiān)測

局一數(shù)學

2024.11

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,直線/過點'(□")、8(-1，0),則/的傾斜角為()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線/的斜率即可得其傾斜角.

V3-0

【詳解】依題意，直線/的斜率比=

-4-(-1)3

所以直線/的傾斜角為150°.

故選：D

2.與向量Q=(1,3,-2)平行的一個向量的坐標是()

113

A.(§」,一1)B.(--,--,1)

13

C.(--,—,-1)D.(V2,-3,-2A/2)

【答案】B

【解析】

【分析】利用共線向量的坐標表示，逐項判斷即可.

【詳解】對于A,3_1-1，A不是；

———w—

13-2

」-1

對于B,~2~2..1>B是；

1

對于c,一5-5-1,c不是；

13-2

對于D,=二2,D不是.

1-23

故選：B

3.已知直線4：ax+j+6=0,/2：3x+（a-2）y+2。=0,若〃/乙，則a的值為（）

1一

A.-B.3C.-1D.3或一1

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線平行得到方程，解出最后驗證即可.

【詳解】因為“〃2,貝ija（"2）=3,解得。=3或a=—1,

當。=3時，4：3x+v+6=0,/2：3x+y+6=0,兩直線重合，故舍去，

當a=—1時，/1：-x+y+6=0,/2：3x-3j-2=0,兩直線平行，符合題意，

綜上所述，a=-l.

故選：C.

4.已知P（l,2）是直線/上一點，且1=（3,4）是直線/的一個法向量，則/的方程為（）

A.3x+-11=0B.4x-3y+2=0

C.3x+4j+5=0D,4x+3j-10=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求出結(jié)果.

【詳解】由3=（3,4）是直線/的一個法向量，得直線/的一個方向向量為其斜率為-4'

3

所以直線/的方程為歹―2=—^（工―1），即3x+4y—11=0.

故選：A

5.直線ax+（a—l）y+a=O（aeR）與圓x?+/=4的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D」與a的取值有關(guān)

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)直線經(jīng)過圓內(nèi)一點判斷出結(jié)果.

【詳解】由（―1+0+1）。—0=0知直線（x+.v+l）?！獃=0過（―1,0）,而點（―1,0）在圓/+r=4內(nèi)，所

以直線與圓相交.

故選：A.

_________（______>.ULimL1LIUIUULULlUUl

6.A,B,C,。是空間不共面的四點，且滿足4g./C=0，AC-AD=0，AB-AD=0>Af為8C的中點,

則AZMD是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D,不確定

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的運算律計算可得戒.通=0,即可判斷得出結(jié)論.

uuur1ZUUTuuurx

【詳解】因為M為8C的中點，所以=+

可得而.茄■（萬+/）?方=|■方.方■工.茄=0,

所以萬7_1而，即ZMJ.4D，

可得AZMD是直角三角形.

故選：C

7.已知片，鳥分別為橢圓E：=+}=l（a〉b〉0）的兩個焦點，P是橢圓E上的點，PFJPF2,且

ab

sinD尸R片=3sinD尸片與，則橢圓石的離心率為（）

,VioVio

V.---DR.-----------

244

【答案】B

【解析】

【分析】由題意得歸片|=3歸居|,利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.

【詳解】由題意及正弦定理得：歸身|=3歸引，

令歸耳|=3盧聞=3〃，則3〃+〃=2a,9M2+n2=4c2，可得■1/=4°2,

所以橢圓的離心率為：c麗.

e一1歸一丁

故選：B

8.三棱錐S—48C中，SA=SB=SC=AB=BC=2,ZC=2正，直線ZC與平面5SC所成角的正

弦值為（）

A&R瓜,6nV6

6633

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體棱長建立空間直角坐標系，由線面角的向量求法計算即可得結(jié)果.

【詳解】取ZC的中點為E,連接B￡,S￡,如下圖所示:

因為S/=S3=SC==3C=2,所以可得BEVAC,SEVAC,

又/C=2百，所以ZC2=ZB2+8C2即/。2=452+5。2即/5,5。,

故BE=SE=4i，滿足B￡2+s￡2=/。2,所以5￡，S￡；

所以兩兩垂直，

以E為坐標原點，5￡,/C,SE所在直線分別為x/,z軸建立空間直角坐標系，

則/（0,-五,o）,c（o,收,o）,s（o,o,五）,8（石0,0）,

即%=（0,2"0）反=（—倉倉0）,麗=（―豆0,逝）；

設(shè)平面的一個法向量為n=（x,y,z）,

BC-n=-42x+y/2y=0

則《令x=l,可得y=l,z=l；

BS-n=-y/2x+42z=0

可得萬=(1,1,1),

設(shè)直線AC與平面5SC所成的角為。，

AC-ii\272V3

則sin。=|COST4C,H|=

2A/2XV3-3

所以直線ZC與平面SBC所成角的正弦值為X二.

3

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

22

9.設(shè)橢圓C：二+乙=1的左、右焦點分別為片、F,,P是C上的動點，則（）

259

A.附|+|明=8

B.〔PF/的最大值為9

C.鳥的面積的最大值為12

D.存在點尸，使得尸片1PF2

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出橢圓的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義及性質(zhì)逐項判斷.

22

【詳解】橢圓C：L+匕=1的長半軸長4=5,短半軸長6=3,半焦距c=及2_/=4,

259

對于A,忸制+|尸鳥|=2a=10,A錯誤；

對于B,|P7*j|max=a+c=9,B正確；

對于C,設(shè)的頂點尸（x。/。），貝力為區(qū)3,S/F心=g|片工||為|="九區(qū)4x3=12,C正確；

對于D,由c>6知，以線段片鳥為直徑的圓與橢圓。有4個交點，當點尸此交點之一時，PFJPF2,D

正確.

故選：BCD

10.將正方形4BCD沿對角線8。折成直二面角4-8。-C,下列結(jié)論中正確的是（)

A.AC1BD

B.AB=AC

C.48與平面BCD所成的角為60°

D.48與CD所成的角為60°

【答案】ABD

【解析】

【分析】以8。的中點。為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量逐項計算判斷.

【詳解】令正方形Z8CD對角線8。的中點為。，則

由二面角為直二面角，OA1OC,以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

令勖=2,則^(0,0,1),S(0,-l,0),C(l,0,0),D(0,l,0),

AB=(0,-1,-1),麗=(0,2,0),AC=(1,0,-1),CD=(-1,1,0)，

對于A,%.而=0，即就_L而，則ZC1BD，A正確；

對于B,|48]==|/C],B正確；

____I~AB-nI1J2

對于C,平面BCD的一個法向量〃=(0,0,1),|cos(AB,n)|=~—=—1=—=-----，

\AB^n\V2xl2

因此48與平面所成的角為45°,C錯誤；

對于D,|cos〈Ag,CD〉|J一一、LL=—,因此48與CD所成的角為60。，D正確.

\AB\\CD\V2-V22

故選：ABD

11.己知圓G：12+/=2和圓G：(x—3『+(y—3『=2,點。是圓。2上的動點，貝1J()

A.與圓G、圓都相切的直線有四條

B.若圓G上到直線X+V+加=0的距離為亭的點有4個，則冽的取值范圍是—7（加〈—5

C.過點。作圓G的兩條切線，切點分別為M和N,則—Vsin/MQNV2上

82

D.已知P1孚，亞，年"0),若點3為圓G上一動點，則附|+J叫的最小值為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系即可判斷A的正誤；當圓心C?到直線的距離小于上即可；可先求出

sin/MQG的范圍，再確定sin/M0N的范圍即可；在圓C；內(nèi)找到點同(手,0),使以田仁萬恒同，可將

\PB\+^AB\的最值問題轉(zhuǎn)化為|/科+|4同的最值問題，再應用三角形不等式即可求解.

【詳解】解：對于A項：因為圓G：必+/=2和圓。2：(x—3『+(y—3)2=2,

所以|GG|=J(O-3『+(0-3『=30>2逝=/+弓，所以兩圓外離，

所以與圓G、圓。2都相切的直線有四條，故A正確；

對于B項：因為圓Cz：(X-3)2+(J-3)2=2,所以々=J5,

|3+3+〃“亞

所以當。2到x+y+加=0的距離d=

2

即—7〈加<—5時，圓。2上到直線x+V+掰=。的距離為學的點有4個，故B錯誤;

\MC.\V2

對于C項:因為sinNMQG=M

乂因為|CC卜后<|GQ|<|+后，SIJ2V2<\CAQ\<4后,

所以:〈sin/MQGV；，所以NMQG<t，

又因為sinZMQN=sin2ZMQC{=2sinZMQClcosAMQCX,

所以半,系’所以C正確;

對于D項：設(shè)8(%,%),

則以點B為圓心，為半徑的圓的方程為(x—x0)2+(y—%)2=；［(%—2忘了+方］,

因為X；+%2=2,所以（￥_%）2+（（）_為）2=；［（/_2拒）2+為2］恒成立,

1萬

所以以點3為圓心，-\AB\為半徑的圓恒過點4（芋,0）,

所以|4同=；|48|,

所以附+小M=\PB\+|4M>|P4|=j（孚_*）2+（4-0）2=2,

所以|/科+；|48］的最小值為2,故D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

———2?！?/p>

12.已知|a|=2,向量"為單位向量，〈a,e〉=3-,則向量）在向量￡方向上投影的數(shù)量為

【答案】—1##一0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影的數(shù)量的意義計算即得.

————2兀1

【詳解】依題意，向量）在向量￡方向上投影的數(shù)量為|e|cos〈a,e〉=lxcos3-=-3.

故答案為：—

2

13.已知圓心在直線2x—7y+8=0上，且/（6,0）,8（1,5）都是圓上的點，則圓的標準方程為一

【答案】（X—3）2+3—2）2=13

【解析】

【分析】求出線段48的中垂線方程，再求出圓心坐標及半徑即可.

【詳解】依題意，線段A8的中點（工,9）,直線A8的斜率早=—1,

221-6

57

則線段48的中垂線方程為^一5=k（》一5）,即x—y—1=0,

x-y-l=0Ix=3i--------------.-

由c,ro八，解得c，因此所求圓的圓心為(3,2),半徑r=j32+(—2)2=而,

2%-7歹+8=0[V=2v

所以所求圓的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=13.

故答案為：(x—3)2+3—2>=13

14.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和4,母線長為6.若該圓臺內(nèi)部有一個球，則球的半徑的最大值為

；若該圓臺內(nèi)部有一個正方體4BCD-4民G。r且底面4BCD在圓臺的下底面內(nèi)，當正方體的棱

長最大時，以A為球心，半徑為2的球與正方體表面交線的長度為.

【答案】①.迪##。百②.371

33

【解析】

【分析】求出圓臺的高，再利用軸截面圖形求出球半徑最大值；把圓臺還原成圓錐，利用軸截面求出正方

體的最大棱長，再確定球與正方體的交線即可得解.

【詳解】依題意，圓臺的軸截面是上下底邊長分別為2,8,母線長為6的等腰梯形EEG/f,

圓臺的高，即等腰梯形EEG/f的高％=^62—(4—Ip=36,

由sin/E/G='=J，得NEEG=60°，

62

圓臺內(nèi)的最大球球心。在圓臺上下底面圓心Q,所連線段上，最大球。的截面大圓在等腰梯形ENG笈內(nèi),

圓心。在線段QQ上，當該圓與等腰梯形ENG/f的腰相切時，OO,=OXFtanZOFOl=|OXO2-

以。2°1為直徑的圓同梯形EEG/f的腰相交，所以球的半徑的最大值為勺5；

把圓臺還原成圓錐，則圓臺軸截面等腰梯形ENG8兩腰延長即得圓錐的軸截面等腰尸,

正方體ABCD-481G3上底面的外接圓為圓臺平行于底面的截面圓,

又圓臺的高大于其上底面圓直徑，因此正方體4BCD-4四4。1的棱長小于3道,

其對角面ACCXAX為等腰戶的內(nèi)接矩形，如圖，設(shè)=。，則40=41a,

MOX=FOXtan60°=473,MO,交4G于點N,

5

則JW=40—a,￡N=-a，

12

5

由4百—a=Jatan60°，解得。=12百—〉2，

2

因此正方體ABCD-最大棱長為1272-873，

此時以A為球心，半徑為2的球與正方體表面交線是該正方體共點A的3個正方形面與球

的大圓構(gòu)成的以直角為加以圓心角，半徑為2的3段圓弧組合而成，交線長為3義工義4兀=3兀.

4

故答案為：—；3兀

3

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面

幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知/(1,2,1),5(-1,3,4)，C(l,l,l).

（1）求方與，e夾角的余弦值;

（2）若方=2而，求正的模.

【答案】（1）--

14

⑵顯

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)空間向量坐標化的夾角余弦值公式計算即可;

(2)設(shè)P(x),z),根據(jù)向量的坐標運算得到方程組，解出再利用向量模的坐標表示即可.

【小問1詳解】

方=(—2,1,3),*=(0,—1,0),則在.衣=—1，

222

畫=A/(-2)+1+3=/|就卜1，

所以cos〈方,AC)==-3.

【小問2詳解】

由方=2而，得萬=3麗，

設(shè)P(x,y,z),貝iJP8=(—1—x,3—y,4—z),

-i-x=-2

3

解得。一；,|,3,貝灰=?

所以《3—y=—

3

4—2=1

所以反=嚴科=?

16.如圖，在直三棱柱48。一451G中，AB=2^/2?4^=3,AC1BC,ZC=BC,。，￡分別是48,

44的中點.

(1)證明：平面4。。//平面BEG；

(2)求二面角5—用的余弦值?

【答案】(1)證明見解析;

⑵叵

11

【解析】

【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)幾何體性質(zhì)以及邊長建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法計算可得結(jié)果.

【小問1詳解】

由直三棱柱48C—481G性質(zhì)，以及。，E分別是AB,44的中點，

所以DB=AE,DB//A[E,即四邊形ABE4為平行四邊形，

可得D4J/BE,

又Z>4a平面BEG，8Eu平面8EG，所以。4〃平面8EG；

又易知DE=CC、,DEIICC、,即四邊形DEG。為平行四邊形，

可得DC//EQ,

又。C<Z平面8EG，EGu平面BEG，所以。C//平面BEG；

顯然。Cc￡>4u平面4。。，

所以平面4。。//平面BEG；

【小問2詳解】

因為48C—451G是直三棱柱，所以CG，/C,CG1BC,

又4CLBC,所以ZC,8C,CG兩兩垂直，

以c為坐標原點，zc,8C,cq所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示:

由/5=2&，M=3,AC1BC,AC=BC,可得:

5(0,2,0),￡(1,1,3),q(0,0,3),s,(0,2,3),

BP5E=(1,-1,3),^C；=；

設(shè)平面BEG的一個法向量為為=(x/,z),

ii=x-y+3z=0

,令x=—3,可得y=3,z=2；

-n=-x-y=0

可得E為=(—3,3,2),

易知平面EG耳的一個法向量為應=(0,0,1),

口，一一比?方2V22

則cosm,n=er=—j=-=――,

\m\\n\V22xl11

結(jié)合圖形可知二面角B-EQ-耳為銳角，

所以二面角5—EG—4的余弦值為答.

17.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，/Q,0),5(4,0),滿足條件1=2的點尸的軌跡為C.

PA

(1)求C的軌跡方程；

(2)點M為直線/：3》+4^+25=0上的動點，過河作。的兩條切線，切點分別為￡,尸，當四邊形OEA瘴

的面積最小時，求直線所的方程.

【答案】(1)x2+y2=4

(2)3x+4j+4=0

【解析】

【分析】(1)設(shè)尸(X"),根據(jù)題意得到方程，化解即可；

(2)轉(zhuǎn)化為求三角形的面積最小，作出相關(guān)輔助線，利用兩圓方程作差即可.

【小問1詳解】

設(shè)軌跡上任意一點P(xj),由題意

君=2,所以J(x—4)2+y2=2"(x—l)2+y2,化簡得/+/=4.

I尸A|

【小問2詳解】

25u0

由題意可知:直線I到圓心的距離為下『=5>2,

A/32+42

則直線/與圓相離，若四邊形OEMR的面積最小，

即三角形OEM的面積最小，因為?！?2,

則EM最小，即OM最小.

所以由。向直線/作垂線，垂足為朋,

所以直線(W:4x—3y=0,所以M(—3,—4),

由題意可得四邊形?！?質(zhì)的外接圓方程為x(x+3)+y(y+4)=0

即x?+/+3x+4y=0.

所求的直線EE即為兩圓的相交弦所在的直線，

將/+/+3工+4>=0與/+/=4兩圓方程作差得3x+4y+4=0,

則直線EF的方程為:3x+4v+4=0.

18.如圖，在以/,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形48CD與四邊形4DEF均為等腰梯形,

BC!/AD,EF//AD,/。=4,AB=BC=EF=2,ED=A，F(xiàn)5=26，”為AD的中點，設(shè)

平面ECD與平面EBM的交線為I.

(1)證明：///平面48CD；

(2)證明：平面平面4BCD；

(3)設(shè)〃為/上的動點，當5笈與平面所成角的正弦值最大時，求8笈的長.

【答案】（1）證明見解析;

（2）證明見解析;

【解析】

【分析】（1）由平行四邊形的判定性質(zhì)可得8M//CD,再利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得證.

（2）作8。，2。交2。于0,由已知結(jié)合勾股定理，利用線面垂直、面面垂直的判定推理得證.

（3）以。為原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解即可.

【小問1詳解】

由BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,M為1AD的中點，

得BCI/MD,BC=MD,則四邊形5cM。為平行四邊形，BMHCD,

而平面CDE,CQu平面CDE,則9//平面CDE,又Wu平面

平面ECDPI平面=/,因此///W,而即/u平面45cD,平面48cD,

所以/〃平面48CD.

【小問2詳解】

作交/。于。，連接。尸，

由四邊形N8CZ）為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,得CD=2,

由（1）知，BM=CD=2,又AM=2,則加為等邊三角形，0B=M，。為ZM中點,

又四邊形4DEF為等腰梯形，M為2。中點，馳EF=MD,EFIIMD,

四邊形EFW為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF,于是44?■為等腰三角形，OFVAM,

OF=JAF2-AO2=3>有OB?+0F?=12=BF?，因此0EL08，

08Pl2/=0,08,/Mu平面48cD,則OFJ_平面48c,而。廠u平面/DE1尸，

所以平面ADEF1平面ABCD.

【小問3詳解】

由(2)知直線08,。。,。尸兩兩垂直，以。為原點，直線08,0。,。尸分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標系。一孫z,則F(0,0,3),B(V3,0,0),M(0,l,0),E(0,2,3)，

BM=(-V3,l,0),BF=(-V3,0,3),BE=(-73,2,3)，

n-BM=-也x+v=0_l

設(shè)平面BFM的法向量為n=(x,y,z)>則<—.r"，令z=l,得〃=(百,3,1),

n-BF=-y/3x+3z=0

設(shè)由=2嬴=(—麗=屜+屈=(—百―四,2+43)，

設(shè)38與平面REM所成角為。,

—?-IBH-nI________6_________________6

⑴sin。=|cos(BH,ri)\=1—.」

+102+16?而V13^4(2+|)2+^

當2=-*時，sin。取得最大值述，此時8?=叵.

4132

19.球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角、邊、面積等問題，其

在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心

的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點N,B,C,過任意兩點的大圓上

的劣弧前，前,B所組成的圖形稱為球面V4BC，記其面積為S球面△相-易知：球的任意兩個大圓均

可交于一對對徑點，如圖1的/和H；若球面上/,B,C,的對徑點分別為4,B',C,則球面AZ'8'C'

與球面V4BC全等.如圖2,已知球。的半徑為凡圓弧令和北所在平面交成的銳二面角5-4。-。的

大小為a,圓弧點和前所在平面、圓弧B和無所在平面交成的銳二面角的大小分別為萬，九記

TT

(2)⑴當a=/?=/=萬時，球面V45c的面積為.(只寫結(jié)果).

(ii)用[3,Y,R表示S球面△/Be;

(3)若將圖一中四面體O45C截出得到圖二，若平面三角形4