三角形與多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)【考點(diǎn)講義】（解析版）

專題13三角形與多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)

尊知識導(dǎo)航

Q知識整理

一、三角形有關(guān)概念及性質(zhì)

1.三角形的分類

（1）三角形按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

（2）三角形按邊分類：

①一般三角形：三邊都不等的三角形；

②等腰三角形：兩邊相等的三角形；

③等邊三角形：三邊都相等的三角形

2.三角形的邊的關(guān)系

（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊.

（2）三角形任意兩邊之差小于第三邊

3.二角形的角的關(guān)系

（1）三角形三個內(nèi)角的和等于180。；特別地，當(dāng)有一個內(nèi)角是90°時，其余的兩個內(nèi)角互余.

（2）三角形的外角和等于360。.

（3）三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的任意一個外角大于任意一個和它不

相鄰的內(nèi)角

4.三角形的中線

（1）在三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段，叫做這個三角形的中線.

（2）一個三角形有三條中線，都在三角形的內(nèi)部，三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心.

（3）三角形的一條中線把原三角形分成面積相等的兩部分

5.三角形的高

（1）從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高.

（2）一個三角形有三條高，可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形上，還可能在三角形的外部

6.三角形的角平分線

（1）在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平

分線.它區(qū)別于一個角的平分線在于它是線段，而一個角的平分線是射線.

（2）三角形的內(nèi)心：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.這個點(diǎn)也是這個三角形

內(nèi)切圓的圓心.三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等

7.三角形的中位線

（1）連接二角形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做二角形的中位線.

（2）一個三角形有3條中位線，都在三角形的內(nèi)部.

（3）三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

二、多邊形

1.多邊形的內(nèi)角和、外角和“邊形的內(nèi)角和為（小2）」80。，外角和為360。.

2.正多邊形：在平面內(nèi)，各內(nèi)角都相等，各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形.

3.多邊形的對角線：在多邊形中，連接互不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段.

Q考點(diǎn)講解

【考點(diǎn)1］三角形的相關(guān)概念與計算

【例1】（三角形的特性）（2022?湖南永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）

【答案】D

【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案.

【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性,

故選D.

【例2】（三角形三邊關(guān)系）（2022?四川涼山）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.5,5,10

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理（任意兩邊之和大于第三邊）逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、3+4=7<8,不能組成三角形，此項不符題意；

B、5+6=11,不能組成三角形，此項不符題意；

C、5+6=11>10,能組成三角形，此項符合題意；

D、5+5=10,不能組成三角形，此項不符題意；

故選：C.

【例3】（三角形內(nèi)角和）在△A8C中，如果/A：/B：ZC=1：1：2；那么AABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由條件可分別設(shè)/A、NB、NC的度數(shù)分別為x。、x。、2r。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得x,可

求得三角形三個內(nèi)角，可得出答案.

【詳解】解：ZB：NC=1：1：2,

.?.設(shè)NA、NB、NC的度數(shù)分別為x。、x。、2x0,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得x+x+2x=180,解得x=45,

AZA=ZB=45°,ZC=90°,

AABC為等腰直角三角形，

故選：D.

三角形三邊關(guān)系“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的應(yīng)用

（1）在實(shí)際應(yīng)用中，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.

（2）在實(shí)際應(yīng)用中，已知兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差〈第三邊〈兩邊之和.

（3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形.

1.下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）

A.梯形B.長方形C.直角三角形D.平行四邊形

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進(jìn)行判斷即可得答案.

【詳解】直角三角形具有穩(wěn)定性，梯形、長方形、平行四邊形都不具有穩(wěn)定性.

故選：C

2.有下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.5cm,6cm,11cm

C.5cm,6cm,10cmD.3cm,8cm,12cm

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.

【詳解】A、3+4<8,不能組成三角形；

B、5+6=11,不能組成三角形；

C、5+6>10,能組成三角形；

D、3+8<12,不能組成三角形；

故選C.

3.（2021?湖南婁底市）2,5,7%是某三角形三邊的長，則J（2_3）2+?m-T）2等于（）

A.2m-10B.10-2mC.10D.4

【答案】D

【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出機(jī)的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論.

【詳解】

解：2,3,根是三角形的三邊，

5—2Vmv5+2,

解得：3<x<7?

3）2+——m—3+'7—m—4>

故選：D.

4.一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：5,這個三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：5,利用三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180。，可

求出三個內(nèi)角分別是36。，54°,90°.則這個三角形一定是直角三角形.

【詳解】設(shè)三角分別為2x,3x,5x,

依題意得2x+3x+5元=180°,

解得x=18°.

故三個角分別為:36°,54°,90°.

所以這個三角形一定是直角三角形,

故選B.

【考點(diǎn)2】三角形的角平分線，中線，高，內(nèi)心，外心

【例4】（二角形的高）（2022?廣西玉林）請你量一量如圖ABC中8c邊上的高的長度，下列最接近的是

()

【答案】D

【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AOLBC,

用刻度尺直接量得A。更接近2cm,故選：D.

【例5】（中線）如圖，已知點(diǎn)。是AABC中AC邊上的中線，若AA5C的面積是4,則AHCD的面積是

（）

C.2D.不確定

【答案】C

【分析】三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.

【詳解】解：：點(diǎn)。是AABC中AC邊上的中線，

SABCD=SAABD=SAABC-2,

故選C.

軟固頤II睡圖

1.如圖，AABC中，Z1=Z2,G為AO中點(diǎn)，延長BG交AC于E,E為A8上一點(diǎn)，且CF_LA。于H,

下列判斷，其中正確的個數(shù)是（）

①BG是△48。中邊A。上的中線；②既是△A8C中/BAC的角平分線，也是，

線；

③CH既是△ACD中AD邊上的高線，也是△ACH中A8邊上的高線.

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)三角形的高，中線，角平分線的定義可知.

【解析】解：①G為中點(diǎn)，所以BG是△A3。邊上的中線，故正確；

②因?yàn)?1=/2,所以是△ABC中/8AC的角平分線，AG是△ABE中/BAE的角平分線，故錯誤；

③因?yàn)镃fUAD于"所以C8既是AACD中A￡＞邊上的高線，也是△ACW中邊上的高線，故正確.

故選：C.

2.下列四個圖形中，線段BE是AABC的高的是（）

【答案】D

【詳解】三角形的高線的定義可得，D選項中線段BE是△ABC的高.

故選:D

3.如圖，在△ABC中，是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（）

B.ZC+ZCAD=90°

C.ZBAF=ZCAFD.SAABC=2SAABF

【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷.

【解析】解：；4尸是AABC的中線，

：.BF=CF,A說法正確，不符合題意；

?'AD是iWj,

ZADC=90°,

.,.ZC+ZC4￡）=90°,8說法正確，不符合題意;

是角平分線，

；.NBAE=NCAE,C說法錯誤，符合題意;

,:BF=CF,

SAABC=2SAABF,￡）說法正確，不符合題意;

故選：C.

4.（2022.河北）如圖，將AABC折疊，使AC邊落在A8邊上，展開后得到折痕/,貝心是AABC的（）

A.中線B.中位線C.高線D.角平分線

【答案】D

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得=作出選擇即可.

【詳解】解：如圖,

:由折疊的性質(zhì)可知/C4D=/54D,

.?.A。是Zfl4c的角平分線，故選：D.

5.（2022.黑龍江哈爾濱）在，ABC中，AD為邊BC上的高，ZABC=3O°,ZCAD=20°,則ZBAC是

___________度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根據(jù)題意，由于一ABC類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角

形外部討論求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：

①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：

「在中，AD為邊BC上的高，ZABC=30°,

:"BAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=2Q°,

Z.BAC=ZBAD+ZCAD=600+20°=80°；

②高在三角形邊上，如圖所示：

C(￡?)

可知ZCAD=0°,

ZCAD=20°,

故此種情況不存在，舍棄；

③高在三角形外部，如圖所示:

「在AABD中，AD為邊2C上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ABAC=ABAD-ACAD=60°-20°=40°；

綜上所述：4c=80°或40。，

故答案為：40或80.

【考點(diǎn)3】三角形的中位線定理

【例6】（中位線）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,AC=18,BC=14,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),

連接。E,BE,點(diǎn)M在CB的延長線上，連接DM,若則四邊形的周長為（）

A.16B.24C.32D.40

【答案】C

【分析】由中點(diǎn)的定義可得AE=CE,AD=BD,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得。E//BC,DE=^BC,根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得/ADE=/ABC=90。，利用ASA可證明△可得MD=AE,DE=MB,即可證明

四邊形OM2E是平行四邊形，可得進(jìn)而可得四邊形的周長為2DE+2ATO=BC+AC,即可得

答案.

【詳解】:D,E分別是AB,4c的中點(diǎn)，：.AE=CE,AD=BD,OE為△ABC的中位線，J.DEIIBC,DE=^

BC,

ZABC=90°,ZADE=ZABC=90°,

ZMDB=ZA

在△MB。和△EDA中，＜BD=AD,：.AMBD^AEDA,：.MD=AE,DE=MB,

NMBD=NADE=9Q。

'：DE//MB,.,.四邊形。M8E是平行四邊形，：.MD=BE,

VAC=18,BC=14,DMBE^J^=2DE+2MD=BC+AC^18+14=32.故選：C.

三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半

1.(2020吶江)如圖，在△ABC中，D、E分別是和AC的中點(diǎn)，S四邊形BCED=15,貝|SAABC=()

A.30B.25C.22.5D.20

【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，證得：DE//BC,DE=%C,進(jìn)而得出△AOES^ABC,又由相似三

角形面積的比等于相似比的平方即可求得答案.

【解析】?:D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，

1

J.DE//BC,DE=^BC,

：.AADE^AABC,

.S“DE_（竺、2_1

^AABCBC4

SAADE:S四邊形BCED=1:3,

即SzkADE：15=1：3,

??SAADE=5J

SAABC=5+15=20.

故選：D.

2.如圖，在AABC中，。是AB上一點(diǎn)，入。=人。,在_1。于點(diǎn)后，點(diǎn)R是BC的中點(diǎn)，若6￡>=10,

則所的長為（）

【答案】C

【分析】首先根據(jù)45=AC可得AACD為等腰三角形，再由LCD結(jié)合“三線合一”性質(zhì)可得E為

CD的中點(diǎn)，從而得到EF為ACBD的中位線，最終根據(jù)中位線定理求解即可.

【解析】=???△ACD為等腰三角形，

?；AE，CD,；.E為CD的中點(diǎn)，（三線合一）

又：點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，，EF為ACBD的中位線，歷=l3。=5,故選：C.

2

3.如圖，在口ABC。中，對角線AC,相交于點(diǎn)。，在。C的延長線上取一點(diǎn)￡,使CE=LC。，連接

2

0E交BC于點(diǎn)、F,若BC=4,則CP=.

【答案】1

【分析】作OG〃BC交DC于G點(diǎn)，則根據(jù)可得G為DC的中點(diǎn)，同理在AOGE中，運(yùn)用中位線定理可得

CF的長度.

【解析】如圖，作0G〃:BC交DC于G點(diǎn)，

為BD的中點(diǎn)，；.G為DC的中點(diǎn)，即0G是ABDC的中位線，，OG=LBC=2,

2

又,：CE=^CD,：.CE=CG,即C為EG的中點(diǎn)，

2

VCF/70G,；.CF為AOGE的中位線，CB=LOG=1,故答案為：1.

2

4.如圖，在J.A3C中，CD是A6邊的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交5C于點(diǎn)夕.求證:

BF=2CF.

【答案】見解析

【分析】取AR的中點(diǎn)M，連接DM,則DM是△ABF的中位線，利用中位線定理結(jié)合全等三角形的判

定即可證得.

【解析】證明：取AF的中點(diǎn)M，連接DM，

????！辏臼?8邊的中線，，。是45邊的中點(diǎn)，；.5尸=2￡)“，DM//BC.

:?/MDE=/FCE,/DVE=NCEE.：E是CD的中點(diǎn)，OE=CE,

ZMDE=ZFCE

在AMDE和AFCE中，IZDME=ZCFE：.^MDE^ZxFCE.:.DM=CF,/.BF=2CF.

DE=CE

【考點(diǎn)4】多邊形的內(nèi)角和與外角和

【例7】（求內(nèi)角和）一個n邊形的每個外角都是45。，則這個w邊形的內(nèi)角和是（）

A.1080°B.540°C.2700°D.2160°

【答案】A

【分析】根據(jù)多邊形外角和及內(nèi)角和可直接進(jìn)行求解.

360°

【詳解】解：由一個n邊形的每個外角都是45。，可得：n=——=8,

45°

,這個多邊形的內(nèi)角和為：（8—2）x180°=1080°,故選A.

【例8】（判定多邊形的形狀）（1）過某個多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成5個三角形,

則這個多邊形是邊形.

【答案】七

【分析】根據(jù)〃邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（"-3）條對角線，可組成”-2個三角形，依此可得”的值，再

由多邊形的內(nèi)角和為：（小2）xl80°,可求出其內(nèi)角和.

【詳解】解：由題意得，力-2=5,解得：n=7,故答案為：七.

（2）若一個多邊形的每一個外角都等于40。，則這個多邊形的邊數(shù)是.

【答案】9

【詳解】解：360-40=9,即這個多邊形邊數(shù)是9.

故答案為：9.

（1）多邊形的內(nèi)角和：”邊形的內(nèi)角和等于（n-2）-180°;

（2）多邊形的外角和：360°.

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1.已知一個“邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與其相鄰的一個外角的度數(shù)之比是7