三角形相似【考點(diǎn)鞏固】（解析版）

專(zhuān)題16三角形相似

（時(shí)間：60分鐘，滿(mǎn)分120分）

一、填空題（每題3分，共30分）

1.已知三個(gè)數(shù)2,叵,4如果再添加一個(gè)數(shù)，使這四個(gè)數(shù)成比例，則添加的數(shù)是（）.

A.2-\/2B.或C.2-\/2?4"\回或8A/^D.2-\/2>或4y

【答案】D

【分析】運(yùn)用比例基本性質(zhì)，將所添的數(shù)當(dāng)作比例式a：b=c：d中的任何一項(xiàng)，進(jìn)行計(jì)算即可，

【詳解】設(shè)添加的這個(gè)數(shù)是x

當(dāng)2:拒=4:x時(shí)，2x=40，解得x==2萬(wàn)

當(dāng)2:4=后：x時(shí)，2x=40，解得x==2萬(wàn)

后

當(dāng)2:4=x:行時(shí)，4x=20，解得x=----,

2

當(dāng)2:0=x:4時(shí)，0x=8，解得J二=4逝.

故選D.

AT)9

2.（2022?山東臨沂）如圖，在A(yíng)ABC中,DE//BC,—=-,若AC=6,則EC=()

DB3

B乙------------------ic

612一1824

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】C

An0Ain2

【分析】由OE〃3C,黑=：，可得gg=六=萬(wàn),再建立方程即可.

L）D3L）iDBCJ

Ar）7ADAE_2

【詳解】解：DE//BC,—=-，\~DB~~EC~^

DD3

CE

解得：CE=g.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故選C

3.如圖，點(diǎn)。是線(xiàn)段A3的黃金分割點(diǎn)（AC>3C）,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

__________?______?

CB

ACBC

B.BC-=AC'AB

ABAC

AC75-1

D.需0.618

AB-2

【答案】B

【解析】

【分析】把一條線(xiàn)段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線(xiàn)段為全線(xiàn)段與較短線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，這樣的線(xiàn)段分割叫

做黃金分割，他們的比值Y1二1叫做黃金比.

2

【詳解】解：VAOBC,

???AC是較長(zhǎng)的線(xiàn)段，

根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC,故A正確，不符合題意；

AC2=AB*BC,故B錯(cuò)誤，

任=避二故c正確，不符合題意；

AB2

0.618,故D正確，不符合題意.

AC

故選B.

4.（2022?重慶）如圖，△ABC與位似，點(diǎn)。為位似中心，相似比為2:3.若△回（7的周長(zhǎng)為4,則△￡>跖

的周長(zhǎng)是（）

C.9D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)周長(zhǎng)之比等于位似比計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)ADEF的周長(zhǎng)是X,

0AABC與ADEF位似，相似比為2:3,AABC的周長(zhǎng)為4,

04：x=2：3,解得：x=6,故選：B.

5.（2022?湖南湘潭）在A(yíng)ASC中（如圖），點(diǎn)、D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則：5丫叱=（）

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】D

【分析】證出OE是AABC的中位線(xiàn)，由三角形中位線(xiàn)定理得出DE〃8C,OE=；2C,證出AADE?AASC,

由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,點(diǎn)。、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，.是AABC的中位線(xiàn)，.?.DE〃BC,DE=^-BC,

2

.-.DADE-DABC,ASVAD￡:SVAflC=11I1.故選：D.

6.（2022?貴州貴陽(yáng)）如圖，在A(yíng)ABC中，。是AB邊上的點(diǎn)，ZB=ZACD,AC:AB=1:2,貝ijAA￡>C與△AGB

的周長(zhǎng)比是（）

A.1：72B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】B

【分析】先證明EACO團(tuán)EABC,即有黑=空=*=:，則可得M當(dāng)士*=:，問(wèn)題得解?

AJDACBC2AD+AC+JDC2

【詳解】fflB=[?L4CZ),SA=0A,

AC_ADCD

團(tuán)

~AB~AC~拓,

ACj_

回----

AB25

ACAD_CD_

團(tuán)

~AB~~AC~-BC~5'

回AC—AD—CD—_A_C__+_A__D__+__C_D——1

ABACBCAB+AC+BC2'

EEADC與0AC3的周長(zhǎng)比1:2,故選：B.

8.（2022?湖北十堰）如圖，某零件的外徑為10cm,用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和8。相等）可測(cè)量零

件的內(nèi)孔直徑AB.如果04OC=OB：OD=3,且量得CD=3cm,則零件的厚度x為（）

A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

【答案】B

【分析】求出AAOB和ACO。相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出AB,再

根據(jù)外徑的長(zhǎng)度解答.

【詳解】解：0<?A：OC=OB：00=3,^AOB=^COD,

00AOB00COD,0AB：CD=3,BAB：3=3,EIAB=9（cm）,

團(tuán)外徑為10cm,019+2.r=lO,Br=0.5（cm）.故選：B.

9.（2022?山東威海）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)。的直角三角形拼成如圖所示的圖形，ZAOB=ZBOC=ZCOD

ZLOM^30°.若SA4OB=1,則圖中與△A08位似的三角形的面積為（）

K

443

A.(-)3B.(-)7C.力6D.(-)6

334

【答案】c

【分析】根據(jù)題意得出4、。、G在同一直線(xiàn)上，B、。、〃在同一直線(xiàn)上，確定與她。2位似的三角形為團(tuán)GOH,

利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=再由相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：00AOB=0BOC=0CO￡>=...=ELC>M=3OO

回&40G=180°,050/7=180°,

0A、。、G在同一直線(xiàn)上，B、0、〃在同一直線(xiàn)上,

團(tuán)與0AOB位似的三角形為團(tuán)GO”,

OA2氐(26

設(shè)OA=x,貝!]OB=----=x

cos30°33

（』丫

OB4x，回。一8班x2

aoc=——=X----=x

cos30°33J

，團(tuán)院也

0OG=x,0q

QEAOB

團(tuán)S.403=1，回S.G(,故選：C.

10.（2022?四川眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將AEDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AHBC,點(diǎn)。，B,

H在同一直線(xiàn)上，HE■與A5交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)"E與8的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)/，HB=2,HG=3.以下結(jié)論:

6

①NEDC=135。；②EC?=CDCF；（3）HG=EF；（4）sinZCED=.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證

明AGBHs八EDC,得至=即EC=?；?G=￥，利用△及石。是等腰直角三角形，求出

HBHGHB2

HE=^a,再證明△HGBS/XHD/即可求出斯=3可知③正確；過(guò)點(diǎn)E作EM_LFD交FD于點(diǎn)/W,求出

2

sinZEFC=—=—,再證明4>EC=/EFC,即可知④正確.

EF3

【詳解】解：回△EDC旋轉(zhuǎn)得到△加C,

團(tuán)NEDC=/HBC,

團(tuán)ABC。為正方形，D,B,"在同一直線(xiàn)上，

團(tuán)ZHBC=180o-45°=135°,

0ZEDC=135°,故①正確；

團(tuán)AEDC旋轉(zhuǎn)得到AHBC,

田EC=HC,NEC"=90。，

0ZHEC=45°,

IEZFEC=180°-45°=135°,

團(tuán)/ECD=/ECF,

田公EFCs八DEC,

ECFC

團(tuán)---=---

DCEC9

^EC2=CDCF,故②正確；

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,

山/GHB+/BHC=45。,/GHB+/HGB=45。,

團(tuán)/BHC=/HGB=/DEC,

⑦NGBH=NEDC=135。，

出AGBHsLEDC,

CDHG3a

嗡二粽即2HBT

團(tuán)AHEC是等腰直角三角形,

團(tuán)HE=更生，

2

國(guó)/GHB=/FHD/GBH=ZHDF=135。，

國(guó)AHBGS八HDF,

國(guó)而二而‘即2+缶一小+即，解得:￡F=3,

國(guó)HG=3,

團(tuán)HG=EF,故③正確;

過(guò)點(diǎn)E作石M_LFD交FD于點(diǎn)M,

團(tuán)NEDM=45。,

用ED=HB=2,

⑦M(jìn)D=ME=C，

團(tuán)EF=3,

同./口“MEV2

團(tuán)sin/EFC=----=——，

EF3

⑦NDEC+NDCE=45。,/EFC+ZDCE=45°,

國(guó)NDEC=/EFC,

0sinZDEC=sinZEFC=—=^,故④正確

EF3

綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè),

故選：D

二、填空題（每題4分，共24分）

abcwa+b-c

11.右一————W0,則

234a-b+c

【答案】-

3

cihc

【分析】設(shè)一=—=—=左，可得4=24，b=3k,c=4k,再代入求值即可得到答案.

234

dhc

【詳解】設(shè)一=—=—=/,則。=2Ab=3k,c=4k,

234

.a+b—c2k+3k—4kk1

a—Z?+c2k—3k+4左3k3

故答案為：-

3

12.如圖，ZDAB=ZCAE,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：,?AABC^AADE.

【答案】/D=NB（答案不唯一）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理再補(bǔ)充一個(gè)相等的角即可.

【詳解】解：'：ZDAB=ZCAE

：.ZDAE=ZBAC

.?.當(dāng)ND=N2或NAEZANC或A。：AB=AE：ACAD-AC=AB>AEAABC^AADE.

故答案為：ZD=ZB（答案不唯一）.

AF1

13.（2022?北京）如圖，在矩形ABCD中，若A3=3,AC=5,—=—,則AE的長(zhǎng)為

FC4'

【答案】1

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC,以及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在矩形ABCD中：AD//BC,ZASC=90°,

AEAF1,--------I-~-

國(guó)百二薪=7，BC^y/AC-AB-=<5-3"=4'

nCrC4

Ari

El——=—>0AE=1,故答案為：1.

44

14.如圖，小華同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB,他調(diào)整自己的位置，使斜邊DF與地

面保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線(xiàn)上.已知紙板的兩條直角邊DE=30c〃z,EF=15cm,測(cè)得邊

DF離地面的高度AC=120cm,CD=600cm,則樹(shù)AB的高度為cm.

【答案】420

【分析】先判定△DEF和^DBC相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BC的長(zhǎng)，再加上AC

即可得解.

【詳解】解：在A(yíng)DEF和ADBC中,

ZD=ZD,

ZDEF=ZDCB,

ADEF^ADCB,

?30_15

"600"BC'

解得BC=300cm,

,?AC=120cm,

AB=AC+BC=120+300=420m,

即樹(shù)高420m.

故答案為：420.

15.（2022?四川宜賓）如圖，AABC中，點(diǎn)E、尸分別在邊A3、AC上，N1=N2.若3c=4,AF=2,CF=3,

貝UEF=.

o

【答案】I

ppA斤FFAF

【分析】易證AAE/迥AABC,得M=C二即——=---------即可求解.

BCACBCAF+CF

【詳解】解：001=02,EL4=a4,^AE^ABC,

EFAFEFAF

回---=----,BRPn----=----------

BCACBCAF+CF

EF284田心江8

0BC=4,AF=2,CF=3,0---=-----,0EF=—,故答案為：一.

42+355

16.（2022?湖北鄂州）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊0ABe中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，與BE相交

于點(diǎn)P,若BD=CE=2,則MB尸的周長(zhǎng)為

【答案】6+苧

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作Em42于尸，先解直角三角形求出AEEF,從而求出8F，利用勾股定理求

2BPPD

出3E的長(zhǎng)，證明團(tuán)43。的5CE得至峋氏4。二團(tuán)CBE,AD=BE,再證明團(tuán)3。用她。3,得到許即

可求出3尸，PD,從而求出A尸，由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作仍?1A3于尸,

加ABC是等邊三角形,

[?L4B=BC,^ABD=^\BAC=^BCE=60°,

⑦CE=BD=2,AB=AC=6,

[?L4E=4,

0AF=AE-cosZEAF=2,EF=AE-sinZEAF=2百，

0BF=4,

BE=4BF2+EF2=2A/7，

又EIBO=CE,

^ABD^BCE(SAS),

00BAD=ECB￡,AD=BE,

又EEB￡>P=E1AZ)B,

!30BDP13ia4￡)B,

BDBPDP

冏-_

ADABBD

2BPPD

0

2A/762，

6手

⑦BP=PD2

77

12J7

團(tuán)A尸二AD-AP=-^-

7

EBABP的周長(zhǎng)=43+8尸+AP=6+更互，

7

故答案為：6+苧.

A

三、簡(jiǎn)答題(共46分)

17.(7分)如圖，已知/BAC=NEA。，AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.

求證：△ABCS/XAED.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.可證明三角形相似.

【詳解】證明：VAB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40,

.AB_20A_.、AC_48_1.

AE17AD40

.ABAC

"AE~AD

又?.?N2AC=NEA￡),

18.(7分)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,

1)、5(1,2),C(-4,4).

(1)畫(huà)出AABC關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng)的AAIBCI；

(2)以原點(diǎn)。為位似中心，在x軸的下方畫(huà)出A/h&Cz,使△A2&C2與AABC位似，且位似比為2,并寫(xiě)

出人2,BT,。2的坐標(biāo).

-y

【答案】(1)△AiBiCi為所求作，畫(huà)圖見(jiàn)詳解；(2)A2(4,-2),B2(-2,-4),C2(8,-8),AAzB2c2

為所求作，畫(huà)圖見(jiàn)詳解.

【分析】(1)利用關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，分別寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于龍軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ai、5、Ci

的坐標(biāo)，然后分別描點(diǎn)，依次連接這三點(diǎn)即得符合要求的三角形；

(2)根據(jù)位似圖形在尤軸下方，結(jié)合位似比2,把A、B、C的橫縱坐標(biāo)分別乘-2,即得到4、&、C2的坐

標(biāo)，描點(diǎn)得到△42202.

【詳解】解(1)三個(gè)頂點(diǎn)分別為4-2,1)、8(1,2),C(-4,4).△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A181G,

：.A[-2,1)、B(l,2),C(-4,4)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)軸坐標(biāo)為4(-2,-1),Bi(1,-2),Ci(-4,-4),

在平面直角坐標(biāo)系中描出A(-2,-1),Bi(1,-2),Ci(-4,-4),

順次連結(jié)A1B1,BiCi,CiAi,

如下圖，AAiBiCi所求作；

(2)△A282c2與AABC位似,且位似比為2,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,1)、B(l,2),C(-4,4).

A(-2,1)、B(l,2),C(-4,4)的位似點(diǎn)坐標(biāo)為A2(-2x(-2),lx(-2))即(4,-2),

&(1X(-2),2x(-2))即(-2,-4),C2(-4X(-2),4x(-2))即(8,-8)

在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)4(4,-2),Bi(-2,-4),C2(8,-8),

順次連結(jié)A282,82c2,C2A2,

如下圖，282c2為所求作

19.(8分)35.(2022?江西)如圖，四邊形A5CD為菱形，點(diǎn)E在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，ZACD=ZABE.

(1)求證：AABCS.AEB；(2)當(dāng)AB=6,AC=4時(shí)，求AE的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)AE=9

【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出CD〃AB,AB=CB,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，結(jié)

ZACD=ZABE,得出NACE>=NABE=NCAB=NACB,即可證明結(jié)論；

ARAC

(2)根據(jù)AABCSAAE"得出三二去，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可得出4E的值.

AEAB

【詳解】(1)證明：回四邊形A8C。為菱形，

由CD〃AB,AB=CB,

:.ZACD=ZCABfZCAB=ZACBf

國(guó)NACD=NABE,

國(guó)NACD=NABE=NCAB=NACB,

SAABC^AAEB.

(2)0AABC(^AAEB,

ABACn64.

回瓶二花’即n標(biāo)瓦，解得7:AE=9.

20.（12分）（2022?浙江杭州）如圖，在A(yíng)ABC中，點(diǎn)。，E,F分別在邊A8,AC,BC上，連接。E,EF,

DE1

已知四邊形BFED是平行四邊形,

~BC~1

(1)若AB=8,求線(xiàn)段A。的長(zhǎng).

(2)若的面積為1,求平行四邊形BFE。的面積.

【答案】（1）2（2）6

,口丁IDEAD___,

【分析】（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行證明得到鏟=不■ar即t可r求lx出;

nCAD

（2）利用平行條件證明AADESAEFC,分別求出AADE與AEFC、△ADE與△ABC的相似比，通過(guò)相似三角形的

面積比等于相似比的平方分別求出&EFC、邑ABC，最后通過(guò)S°BQS&ABC-S/FC~SME求出.

【詳解】⑴回四邊形8FED是平行四邊形,

^\DE//BC,0—=—

BCAB

嚼4嘮4,團(tuán)AD=*=58=2；

（2）0四邊形BFED是平行四邊形,

SDE//BC,EF//AB,DE=BF,

0ZAED=ZECF,ZEAD=ZCEF,

S2

AADEDE

~FC

AEFC

DE1

團(tuán)——=-,DE=BF,⑦FC=BC—DE=4DE—DE=3DE,

BC4

DE=JDE=1黑些1

口FC3DE3'°S.C9，

21

^AADE^ABC,,=回

=16)

ADE=1，回1EFC=9,5AAec=16，

團(tuán)=S4Age—SAE尸c—SAME=16—9—1=6?

21.（12分）38.（2022?湖北武漢）問(wèn)題提出：如圖（1）,△ABC中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)

一AF

BC至點(diǎn)、E,使DE=DB,延長(zhǎng)瓦>交AB于點(diǎn)尸，探究——的值.

AB

(1)先將問(wèn)題特殊化.如圖(2),當(dāng)ZBAC=60。時(shí)，直接寫(xiě)出一的值；

AB

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

1

問(wèn)題拓展：如圖(3),在A(yíng)ABC中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，G是邊3c上一點(diǎn)，—=-(n<2),延

BCn

AF

長(zhǎng)5c至點(diǎn)E,使DE=DG,延長(zhǎng)ED交A3于點(diǎn)尸.直接寫(xiě)出f的值(用含〃的式子表示).

AB

【答案】(1)［問(wèn)題提出］(1)7；(2)見(jiàn)解析

4

⑵［問(wèn)題拓展］一2—n

4

【分析】［問(wèn)題探究］(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，求得NADF=/AD3=30。，ZAFD=90°,

根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得AF=［A￡>,AD=:AC=1A8,即可求解；

222

(2)取BC的中點(diǎn)連接QH.證明△￡>3Hg△DEC,可得BH=EC,根據(jù)證明

FRFR3AF1

AEDH^AEFB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得益===；,進(jìn)而可得蕓=

DHEH