人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）

第十八章平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列命題正確的是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形B.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C.順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形D.菱形的面積為兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半

【答案】D

【分析】此題主要考查特殊平行四邊形的判定以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知特殊平行四邊形的判定

方法；

利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的性質(zhì)定理及正方形的判定定理分別判斷后即可確定正確的

選項(xiàng).

【詳解】A、等腰梯形的對(duì)角線相等，但它不是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、菱形的面積為兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半，符合題意；

故選：D

2.如圖，菱形ABCD中，E、尸分別是AB、AC的中點(diǎn)，若即=3,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A.24B.18C.12D.9

【答案】A

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，由三角形的中位線定理可得BC=2EF=6,然后根

據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：從尸分別是AB、AC的中點(diǎn)，

：.BC=2EF=6,

:四邊形ABC。是菱形,

AB=BC=CD=AD=6,

???菱形ABC。的周長(zhǎng)=4x6=24,

故選：A.

3.如圖，在YABCD中，BD=CD,ZC=70°,AE,區(qū)□于點(diǎn)￡,則/54￡的度數(shù)為（）

B.30°C.40°D.50°

【答案】D

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)；根據(jù)等邊對(duì)

等角求出NC=ND5C=70。，得到NCD5=40。，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得到NAB￡=NCD5=40。，再

根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/B4石度數(shù).

【詳解】解：

???ZC=ZZ)BC=70°,

???ZCDB=180°-140°=40°,

u：CD//AB,

：.ZABE=ZCDB=40°f

：.AE±BD,

：.ZAEB=90°f

：.ZBAE=9Q°-4QO=5Q°.

故選：D.

4.如圖，ABC中，過(guò)點(diǎn)4作BE_LAC,取A3邊中點(diǎn)。，連結(jié)。及若DE=5,AE=8f則班長(zhǎng)為（）

B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】本題考查的是勾股定理及直角三角形的性質(zhì).先根據(jù)題意得出AB的長(zhǎng)，再由勾股定理求出跖的

長(zhǎng)即可.

【詳解】解：BE±AC,

ABE是直角三角形，

點(diǎn)。為A3邊的中點(diǎn)，DE=5,

:.AB=2DE=10,

AE=8,

BE=yjAB2-AE2=V102-82=6.

故選：C.

5.如圖，在YABCD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。.下列說(shuō)法不下定正確的是（）

<D

//

----—iv

A.若AC13D,則YABCD是菱形B.若AB=BC,則YABCD是正方形

C.若AC=BD,則YABCD是矩形D.若NABC=90。，則YA3CD是矩形

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可作答，解題的關(guān)鍵是明

確它們各自的判定方法.

【詳解】解：A、當(dāng)AC13D時(shí)，YABCD是菱形，該說(shuō)法正確，不合題意；

B、當(dāng)AB=3C時(shí)，YABCD不一定是正方形，該說(shuō)法不一定正確，符合題意；

C、當(dāng)AC=3D時(shí)，YABCD是矩形，該說(shuō)法正確，不合題意；

D、當(dāng)NABC=90。時(shí)，YABCD是矩形，該說(shuō)法正確，不合題意；

故選：B.

6.如圖，A3兩地被池塘隔開(kāi)，小明先在AB外選一點(diǎn)C,然后測(cè)出AC,BC的中點(diǎn)Af,N.若MN的長(zhǎng)為

18米，則A3間的距離是（）

A.9米B.B米C.27米D.36米

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形中位線的運(yùn)用，理解并掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)點(diǎn)M,N是

AB,3c的中點(diǎn)，可得=由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，是一的中位線，

：.MN=-AB,

2

：.AB=2MN=2x18=36（米），

故選：D.

7.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，AC=3,DB=4,則點(diǎn)A到8C的距離為（）

【答案】C

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與

13

方法，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.先由菱形的性質(zhì)求得QA=OC=：AC=W，

22

OB=OD=^BD=2,ZBOC=90°,再根據(jù)勾股定理求得BC=g,設(shè)點(diǎn)A到8C的距離是人，由

BCh=^ACBD=SMcD,得|/z=6,即可得到問(wèn)題的答案.

【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，AC=3,DB=4,

131

OA=OC=-AC=~,OB=OD=-BD=2,ZBOC=9Q°,

222

BC=yJOB2+OC2=-,

2

設(shè)點(diǎn)A到8C的距離是/i,

BC-h=^AC-BD=S^ABCD,

/.—h=6

2f

h7=12,

故選：C.

8.剪紙不僅是我國(guó)傳統(tǒng)藝術(shù)，還隱藏了不少數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小強(qiáng)將一張正方形紙片沿對(duì)角線對(duì)

折再對(duì)折，然后沿著圖中的虛線剪下，如圖所示，則剪下的三角形展開(kāi)后得到的平面圖形是（）

D.正方形

【答案】B

【分析】本題考查了矩形、菱形、正方形的判定方法、剪紙問(wèn)題；熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方

法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.由矩形、菱形、正方形的判定方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由剪法可知，所得四邊形的四條邊相等，對(duì)角線不一定相等，

???四邊相等的四邊形是菱形，

展開(kāi)后得到的平面圖形是菱形；

故選：B.

9.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作a1AC交AD于點(diǎn)E,交于點(diǎn)?已

知AB=4,ZWOE的面積為5,則。E的長(zhǎng)為（）

A.2B.75C.RD.3

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積問(wèn)題.連接CE,由

題意可得OE為對(duì)角線AC的垂直平分線，可得AE=CE,SAOE=SCOE=5,由三角形的面積則可求得AE的

長(zhǎng)，然后由勾股定理求得答案.

【詳解】解：連接CE,如圖所示：

由題意可得，OE為對(duì)角線AC的垂直平分線,

:?AE=CE,SBOEsCOE二5,

\SACE=2S?=10.

\-AE1CD10,

2

AB=4=CD,

/.AE=5,

.0.CE=5,

在RtZ\a組中，由勾股定理得DE=JCE"_CD2=J52_4?=3，

故選：D.

10.我們常常在建筑中看到四邊形的元素.如圖，墻面上砌出的菱形窗戶的邊長(zhǎng)為1米（邊框?qū)挾群雎圆?/p>

計(jì)），其中較小的內(nèi)角為60。，則該菱形窗戶的采光面積為（）平方米

A.4B.3C.1D.且

24

【答案】B

【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，以及菱形面積的計(jì)算方法，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.畫(huà)出

圖形，根據(jù)勾股定理求出對(duì)角線的值即可求出面積.

【詳解】解：，菱形A3CD,

:.AC±BD,AB=AD^DC=BCSLAO=-AC,BO=-BD,

-22

ZABC=60°,

：.ABC是等邊三角形，

：.AC^AB=1,

AO=-,

2

在RtAAOB中BO=ylAB2-AO2=—,

2

/.BD=,

該菱形窗戶的采光面積為L(zhǎng)AC8Z）,X1X6=3.

222

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，RtABC中，ZACB=90°,。是AB的中點(diǎn)，CD=5,則AB=

【答案】10

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握該性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：，在RfABC中，Z4CB=90°,。是AB的中點(diǎn)，

，線段以＞是斜邊A3上的中線；

又CD=5,

,-.AB=2CD=10.

故答案為：10.

12.如圖，口的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O.請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件,使其成為菱形.

【答案】AB=BC,AC±BD（答案不唯一）.

【詳解】根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可添加條件ACLBD；根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱

形，可添加條件A2=BC.

ACLBD（答案不唯一）

要判斷一個(gè)平行四邊形是菱形，可從鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直著手.

13.如圖，矩形4BCQ的對(duì)角線相交于點(diǎn)O.若AB=2,ZAOD=120°,則8c的長(zhǎng)為.

AD

【答案】

【分析】由矩形的性質(zhì)可得二A03為等邊三角形，則可求得AC的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得8C的長(zhǎng).

【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線互相平分且相等.解答此題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

14.如圖所示，點(diǎn)。是的對(duì)稱中心，AD>AB,E,尸是A2邊的三等分點(diǎn)；G,H是8C邊的三

等分點(diǎn).若由,反分別表示EOF^GO”的面積則加與邑之間的關(guān)系是

【答案】加=邑

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)三等分點(diǎn)可得訪=15VABO,邑=；SVBCO；再結(jié)合點(diǎn)O是DABCD

SS

的對(duì)稱中心可得SABO=VBCO=^YABCD<即可求解.

【詳解】解：連接AC、OB,則AC必過(guò)點(diǎn)。，如圖所示：

,:E,b是邊的二等分點(diǎn)，

??耳=§$VABO，

VG,H是3C邊的三等分點(diǎn)，

,?^2=~S^BCO，

??,點(diǎn)。是DABCD的對(duì)稱中心,

,,SABO=S^BCO=ZSYABCD

Sl=S2

故答案為：s（=S2

15.“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥，如圖，將邊

長(zhǎng)為3cm的正方形A8CD沿對(duì)角線8。方向平移1cm得到正方形A'3'C'D,形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)DB'

之間的距離為.

【答案】（3血-）cm

【分析】本題考查的是平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)平移的性質(zhì)求出瓦T是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理求出3D,根據(jù)平移的性質(zhì)求出38,計(jì)算即可.

【詳解】解：：四邊形A3CD為邊長(zhǎng)為3cm的正方形，

/.BD=732+32=3我（cm）,

由平移的性質(zhì)可知，8B=lcm,

（372-1）cm,

故答案為：（372-1）cm.

16.如圖，在邊長(zhǎng)為12的菱形A8CD中，4=60。，連接AC,尸為圖中任意線段上一點(diǎn)，若=

則族的長(zhǎng)為.

【答案】6或6指或

【分析】由題意知AP=6,如圖，分小鳥(niǎo)、鳥(niǎo)三種情況求解：當(dāng)人《=6時(shí)，期=6；AP2=6=^BC,則

2

ZBP2A=90°,由勾股定理得，BP2=^AB-AP^,計(jì)算求解即可；當(dāng)人心=6時(shí)，如圖，作于E,

由勾股定理得BP3=+BE?,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：??,AB=2AP,

AAP=6,如圖，分斗鳥(niǎo)、〃三種情況求解:

當(dāng)A[=6時(shí)，24=6；

:菱形ABCD中，ZB=60°,

，ABC是等邊三角形，

AP,=6=-AC,

2

/.ZBP2A=90°,

A

由勾股定理得，BP2=^AB--AP^=6/3；

當(dāng)A4=6時(shí)，如圖，作BE_LA。于E,

ZBAE=ZABC=60°,

：.ZABE=30。，

/.AE=-AB=6,EP,=12,

2

由勾股定理得BE=6后，

1

BP3=^EP^+BE=6不；

綜上所述，3尸的長(zhǎng)為6或6目或6g；

故答案為：6或或6夜.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形，勾股定理等知識(shí).熟練

掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

17.如圖，四邊形ABCD中，ABCD,尸為AB上一點(diǎn)，DF與AC交于點(diǎn)E,AE=CE.

DC

(1)求證：四邊形AWC。是平行四邊形；

(2)若BC=8,Nfi4c=60。，ZDCB^135°,求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)詳解

(2)AC的長(zhǎng)為還

3

【分析】(1)vEAEF^CED(ASA),得AF=CL>,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)。作〃，也于點(diǎn)M,證5cM是等腰直角三角形，—BC=4A/2,再由含30。角的直

2

角三角形的性質(zhì)得AC=2A〃，然后由勾股定理得AA/2=?亞=4夜,求出

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：QAB//CD,

NEAF=NECD,

在4AEF和MED中,

ZEAF=ZECD

<AE=CE,

NAEF=ZCED

.?..AEF會(huì)CED(ASA),

/.AF=CD,

又QAB〃CD,

???四邊形ARSD是平行四邊形；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作〃，4?于點(diǎn)則NCM4=NCMB=90。，

QAB//CD,

NB+NDC5=180。，

ZB=180°-135°=45°,

???500是等腰直角三角形,

.'.CM=—BC=—x8=4>/2,

22

ZBAC=60°,

：.ZACM=90°-ABAC=30°,

AC^2AM,

CM=yjAC2-AM2=^2.AM)2-AM2=6AM=4后，

3

AC=2AM=—,

3

即AC的長(zhǎng)為述.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理、平行線的性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定和全等三角形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。，3E〃AC交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：CD=CE.

⑵若NE=60。，求/OOC的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)ZDOC=60°

【分析】(1)證明四邊形ACEB為平行四邊形，則AB=CE,進(jìn)而可證CD=CE.

(2)由四邊形ACEB為平行四邊形，四邊形ABCZ)是矩形，可得防=4。=%>,BE//AC,證明△BDE

是等邊三角形，則ND3E=60。，根據(jù)=計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形ABC。為矩形，

:.AB=CD,AB//CE.

■:AC//BE,

，四邊形ACEB為平行四邊形，

/.AB=CE9

：.CD=CE.

(2)解：：四邊形ACEB為平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，

:.BE=AC=BD,BE//AC,

NE=60。，

/.ABDE是等邊三角形，NDBE=60°,

NDOC=NDBE=60°,

：.ZDOC=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì).熟

練掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在一ABC中，。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長(zhǎng)。E到點(diǎn)R使得EF=BE,連

接CF.

(1)求證：四邊形3CFE是菱形；

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形3CFE的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵8右

【分析】(1)由中位線可知DE〃3C且2DE=8C,由￡F=BC,EF//BC,證明四邊形3CFE是平行四邊

形，由BE=EF,證明四邊形3CEE是菱形；

(2)由ZBCF=120。，可得N￡BC=60。，貝l|EBC是等邊三角形，BE=BC=CE=4,過(guò)點(diǎn)￡作EG_L3c

22

于點(diǎn)G,則2G=g8E=2,由勾股定理得，EG=^BE-BG=273,根據(jù)S菱形BE=BCxEG,計(jì)算求解

即可.

【詳解】（1）證明：：。、E分別是A3、AC的中點(diǎn),

DE〃BC且2DE=BC,

又,：BE=2DE,EF=BE,

：.EF=BC,EF//BC,

...四邊形BCFE是平行四邊形,

又?:BE=EF,

四邊形BCFE是菱形；

（2）解：：四邊形3。正是菱形,

ABE//CF,BE=BC,

?/ZBCF=\20°,

：./EBC=60。,

EBC是等邊三角形，

/.BE=BC=CE=4,

如圖，過(guò)點(diǎn)￡作前，5。于點(diǎn)G,

由勾股定理得，EG=yjBE^BG2=2A/3>

S菱形BCFE=BCxEG=4義2上=8上.

菱形BCFE的面積為86?

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形,

勾股定理等知識(shí).熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)

43均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫(xiě)

畫(huà)法（所畫(huà)圖形不全等）.

圖①

⑴在圖①中，以線段AB為邊畫(huà)平行四邊形ABCD.

(2)在圖②中，以線段A2為邊畫(huà)菱形

⑶在圖③中，以線段為邊畫(huà)正方形ABG”.

【答案】⑴作圖見(jiàn)詳解

(2)作圖見(jiàn)詳解

(3)作圖見(jiàn)詳解

【分析】本題主要考查作圖：平行四邊形、菱形、正方形，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和

性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)即可求解，掌握幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)即可求解；

(3)根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)即可求解.

:.四邊形ABCD即為所求圖形;

(2)解：如圖所示,

四邊形ABE尸即為所求圖形;

(3)解：如圖所示,

A

，四邊形ABG”即為所求圖形.

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，ADJ.BD,點(diǎn)后是8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作EF〃BD,交8C于點(diǎn)?

⑴求證：四邊形OEFB是矩形；

（2）若A￡>=4,DC=6,求四邊形OEFB的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）275

【分析】（1）證E0是△BCD的中位線，得OE〃BC,則四邊形OEEB是平行四邊形，再證NCBD=90。，即

可得出結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)和中位線定理可得。E=；BC=；AD=2,AB=DC=6.利用勾股定理可知

BDAAB-AD。=4^^=2也,從而得到如，最后利用矩形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.BO=DO=2-BD,AD//BC,

又：點(diǎn)E是。的中點(diǎn)，

E。是△BCD的中位線，

/.OE=-2BC=-2AD,OE//BC.

VEF//BD,OE//BC,

.,?四邊形OEFB是平行四邊形.

VAD±BD,即/ABD=90°,AD//BC,

ZCBD=ZABD=90°,

???四邊形OEFB是矩形.

(2)\9OE=-BC=-AD,4)=4,

22

/.0E=-BC=-AD=2,

22

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，DC=6,

，AB=DC=6.

在RtA4B￡>中，AB=6,AD=4,ZADB=90°

BD=4AB1-AD1=A/62-42=2石，

Z.BO=-BD=45

2

，四邊形OEEB的面積是：OE.BD=2x亞=2非.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，

熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在一ABC中，。是BC的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF/3C,■與CE的延長(zhǎng)線相交于

點(diǎn)F,連接8尸.

(1)求證：四邊形AEBD是平行四邊形；

(2)填空：將下列命題填完整，并使命題成立(圖中不再添加其它的點(diǎn)和線)

①當(dāng)ABC滿足條件乙切。=90。時(shí)，四邊形AFBD是形；

②當(dāng)，1BC滿足條件時(shí)，四邊形AFBD是正方形.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵①菱；②/RK=90。，AB=AC

【分析】(1)由得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由E為中點(diǎn)，得至1J/場(chǎng)=。￡,利用AAS得到A4FE與

CDE全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=CD,再由BD=CD,等量代換得到AT=5D,利用一

組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；

(2)①由/ft4c=90。，為中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到=由鄰邊相等的平行

四邊為菱形，即可得證；

②添加條件為NBA。=90。，AB=AC,由NB4C=90。，根據(jù)①得到四邊形為菱形，再由AB=AC,

利用等腰三角形的三線合一得到AD1BC,根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形為正方形即可得證.

【詳解】(1)證明：???￡為的中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)、,

:.AE=DE,BD=CD,

?；AF〃BC,

：?ZAFE=NDCE,/FAE=/CDE,

在△加方和叢DCE中,

ZAFE=ZDCE

<ZFAE=ZCDEf

AE=DE

：.AF岸,DCE(AAS),

???AF=CD,

AF=BD,

AF//BD

???四邊形AFB。為平行四邊形；

(2)解：①當(dāng)..ABC滿足條件NB4C=90。時(shí)，四邊形AFBD是菱形，理由為：

???￡為的中點(diǎn)，。為3C中點(diǎn)，

:?AE=DE,BD=CD,

??,AF〃BC,

：?ZAFE=NDCE,NFAE=/CDE,

在ZWE1和叢DCE中，

ZAFE=ZDCE

<NFAE=NCDE,

AE=DE

??..AFE空。CE(AAS),

???AF=CD,

：.AF=BD,

'：AF//BD

???四邊形AFB。為平行四邊形；

?：ZBAC=9Q°,。是BC的中點(diǎn)，

AD=-BC=BD

2

:四邊形AFBD為平行四邊形，AD=BD-,

，四邊形AF3D為菱形；

②當(dāng)ABC滿足條件/WC=90。，A5=AC時(shí)，四邊形4曲是正方形，理由為：

由①知當(dāng)，ABC滿足條件/54C=90。時(shí)，四邊形AFBD是菱形，

,：AB^AC,。為3C中點(diǎn)，

/.AD為8C邊上的中線，

AADJ.BC,即NADB=90°,

:四邊形AFBD是菱形，ZADB=90°

四邊形AFBD為正方形；

【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等

三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

23.【感知】

(1)如圖1,在ABC中，￡>,后分別是邊4比4。的中點(diǎn).則DE和BC的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為

【應(yīng)用】

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，E,歹分別是邊A昆AD的中點(diǎn)，若BC=10,CD=8,EF=3,ZAFE=50°,

求—ADC的度數(shù).

【拓展】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AC與8。相交于點(diǎn)分別為/⑦,BC的中點(diǎn)，分別交AC,3￡(于

&F,G,EF=EG.求證：BD=AC.

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì),

(1)根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；

(2)連接80,根據(jù)三角形中位線定理得到跖BD,8。=2跖=6,根據(jù)勾股定理的逆定理得到

XBDC=90°,計(jì)算即可；

(3)取DC的中點(diǎn)“，連接MH、NH,則MH、NH分別是.ACD、_BCD的中位線，由中位線的性質(zhì)定理

可得9/〃AC且gAC,NHBD且NH=；BD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；

掌握三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1):點(diǎn)D,E分別是邊A5,AC的中點(diǎn)，

，/汨是ABC的中位線，

DEBC-DE=^BC-

故答案為：DEBC;DE=；BC.

(2)如圖1,連接3D.

瓦廠分別是邊45,4)的中點(diǎn)，

:.EFBD,BD=2EF=6,

:.ZADB=ZAFE=50°.

BC=10,CD=8,

BD2+CD2=100,BC2=100,

:.BD2+CD2=BC2,

:.ZBDC=90°,

ZADC=ZADB+NBDC=140°.

(3)證明：如圖2,取DC的中點(diǎn)H,連接MH,NH.

M,“分別是AD,DC的中點(diǎn)，

:.MH//AC^,MH=-AC,

2

同理可得NH〃BD且NH=—BD.

EF=EG,

;"EFG=/EGF,

MHAC,NHBD,

ZEFG=NHMN,ZEGF=4HNM,

4HMN=ZHNM,

：.MH=NH,

.0.AC—BD.

五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

24.如圖，矩形A3CD中，A3=6,AO=8,點(diǎn)p在邊BC上，且不與點(diǎn)3、C重合，直線AP與QC的延長(zhǎng)

圖1圖2

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)時(shí)，求證：AABP^AECP；

⑵將△APB沿戰(zhàn)線”折疊得到APB',點(diǎn)3'落在矩形ABC。的內(nèi)部，延長(zhǎng)P9交AD于點(diǎn)歹.

①如圖1,證明E4=FP,并求出在（1）條件下AF的值；

②如圖2,BE交AE于點(diǎn)//,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，當(dāng)NEAB'=2NAEB'時(shí)，試探究AB與用的數(shù)量關(guān)系，并

說(shuō)明理由.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析

13

（2）@AF=y；②AB=2HG,詳見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得=NB=NBCE,根據(jù)點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，得出BP=CP,即

可求證；

（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NAPB=NE4P,由折疊得/4PB=NAP尸，則NE4P=NAPn即可求證E4=￡P(guān),

FA=x,則尸尸=x,FB'=x-4r,在RtAAB'F中，得出A尸=笈尸+臺(tái)4,列出方程求解即可；②如圖，

由折疊可知N1=N6,AB'=AB,3B」AE,過(guò)點(diǎn)"作交AE于點(diǎn)根據(jù)等角對(duì)等邊的得出

B'M^EM=AB'^AB.由點(diǎn)G為AE中點(diǎn)，點(diǎn)”是AM中點(diǎn)，得出AG=[AE,A”=[AV.則

22

HG=AG-AH=~（AE-AM）^EM.即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是矩形，

/.AB//CD,

:?NBAP=NE,NB=NBCE,

:點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

BP=CP,

：.AABP^AECP（AAS）；

（2）解：①；四邊形A3CD是矩形，

AD//BC,

/.ZAPB=ZFAP,

由折疊得NAPS=NAPF,

/.ZFAP=ZAPF,

/.FA=FP,

矩形ABC。中，AB=6,AD=8,

：.BC=AD=8,

:點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，

BP=CP=4,

由折疊得AB'=AB=6,PB'=PB=4,NB=ZAB'P=ZAB'F=90°,

設(shè)E4=x,貝=尤，

FB'=x-4,

在RtAABT中，AF~=B'F2+B'A2，

x2=（x-4）2+62,