人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)練：最短路徑的三種考法（原卷版）

專(zhuān)題05最短路徑的三種考法

類(lèi)型一、坐標(biāo)系的最值問(wèn)題(和最小，差最大問(wèn)題)

(1)若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC,在直線AC上方以AC為一邊作等邊AACD.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD,求證：AB0BD；

②若AABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動(dòng)點(diǎn)，且OM+NM

的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

【變式訓(xùn)練1】如圖所示，點(diǎn)4。,0),8(0,6),且°,6滿足(a-1)2+|26-21=0.若P為x

軸上異于原點(diǎn)。和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸8,以線段尸3為邊構(gòu)造等腰直角(尸為頂

(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O,A之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則A3、AE之間的位置關(guān)系為「并加以證

明；

⑶如圖3所示，點(diǎn)尸在無(wú)軸上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若AE所在直線與y軸交于點(diǎn)R請(qǐng)直接寫(xiě)出F

點(diǎn)的坐標(biāo)為」當(dāng)OE+3E的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系_.

【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2,20)，以0B為一邊作等邊AOAB(點(diǎn)A在X軸

正半軸上).

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD,求證：AB0BD；

②若AABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若FB是0A邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是0B一動(dòng)點(diǎn)，且OM+NM

的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.

類(lèi)型二、幾何圖形中的最短路徑問(wèn)題

例1.如圖，已知NAOB=24。，平分OP=1,C在。4上，。在。8上，E在0P

上.當(dāng)CP+CD+DE取最小值時(shí)，此時(shí)NPCD的度數(shù)為()

A.36°B.48°C.60°D.72°

例2.如圖，在三角形工ABC中，ZBAC=50°,AB^AC,3DLAC于。，M,N分別是線

段3D,BC上的動(dòng)點(diǎn)，BM=CN,當(dāng)AM+AN最小時(shí)，ZMAD=.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在等腰ABC中，AB=AC=20,BC=32,△ABD是等邊三角形,

P是NBAC的平分線上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸C,PD,則PC+PD的最小值為.

【變式訓(xùn)練2】如圖，等腰三角形ABC的底邊8C的長(zhǎng)為4,面積為24,腰AC的垂直平分

線所分別交邊AC,AB于點(diǎn)E,F,若。為BC邊的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則

CM+MD的最小值為（）

【變式訓(xùn)練3】如圖，在等邊0ABe中，8尸是AC邊上的中線，點(diǎn)〃在8E上，連接AD在

A。的右側(cè)作等邊HADE,連接ER當(dāng)0AEP周長(zhǎng)最小時(shí)，回CEE的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式訓(xùn)練4】如圖，在RtSABC中,0ACB=9O°,0ABC=6O°,AB=4,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),

以BD為邊在BC的右側(cè)作等邊回BDE,F是DE的中點(diǎn)，連結(jié)AF.CF,則AF+CF的最小值是一

類(lèi)型三、最短路徑問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用

例1.如圖1,直線4,6表示一條河的兩岸，且?！?現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長(zhǎng)度

等于河寬度且橋與河岸垂直.使村莊A經(jīng)橋過(guò)河到村莊8現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2

設(shè)計(jì)兩種：

小明：作交a，b于點(diǎn)D,點(diǎn)C.在處建橋.路徑是A—C—。一3.

小紅：作ADLa,交于點(diǎn)。，點(diǎn)C；把CD平移至BE,連AE,交6于G,作

于尸.在FG處建橋.路徑是A—G-尸

B

a

b

A?

圖1

(1)在圖2中，問(wèn)：小明、小紅誰(shuí)設(shè)計(jì)的路徑長(zhǎng)較短？再用平移等知識(shí)說(shuō)明理由.

(2)假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在FG處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船

從舊橋下到新橋下，到達(dá)后立即返回，在兩橋之間不停地來(lái)回行駛，船的航行方向和水流方

向與橋保持垂直船在靜水每小時(shí)14千米，水流每小時(shí)2千米，第二天早上6點(diǎn)時(shí)小明發(fā)現(xiàn)

船在兩橋之間(未到兩橋)且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離.

例2.如圖m圓柱的底面半徑為4cm,圓柱高A3為2cm,8C是底面直徑，求一只螞蟻從

點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：

路線1：高線A8+底面直徑BC,如圖。所示，設(shè)長(zhǎng)度為乙.

路線2：側(cè)面展開(kāi)圖中的線段AC,如圖b所示，設(shè)長(zhǎng)度為4.

BG______沿4&剪B_______________________

C---------開(kāi)平鋪,

xU___________>-------------------------------------------

圖a圖6

(1)你認(rèn)為小明設(shè)計(jì)的哪條路線較短？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為2cm,高AB為4cm"

繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.(結(jié)果保留萬(wàn))

①此時(shí)，路線1的長(zhǎng)度4=_,路線2的長(zhǎng)度4=_；

②所以選擇哪條路線較短？試說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練】閱讀下列材料，解決提出的問(wèn)題：

最短路徑問(wèn)題:如圖（1）,點(diǎn)A,B分別是直線/異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線/上找到一個(gè)點(diǎn)

C,使得點(diǎn)C到點(diǎn)4點(diǎn)8的距離和最短？我們只需連接A2,與直線/相交于一點(diǎn)，可知這

個(gè)交點(diǎn)即為所求.

如圖（2）,如果點(diǎn)A,8分別是直線/同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在/上找到一個(gè)點(diǎn)C,使得這個(gè)

點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)8的距離和最短？我們可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)8關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)8,這

時(shí)對(duì)于直線/上的任一點(diǎn)C,都保持CB=C8,從而把問(wèn)題（2）變?yōu)閱?wèn)題（1）.因此，線段

AB與直線/的交點(diǎn)C的位置即為所求.

為了說(shuō)明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C,連接AC,BC,B'C'.因

為ABMAU+CE,^AC+CB<AC+CB,即AC+BC最小.

任務(wù)：

數(shù)學(xué)思考

（1）材料中劃線部分的依據(jù)是.

（2）材料中解決圖（2）所示問(wèn)題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是.（填字母代號(hào)即可）

A.轉(zhuǎn)化思想B.分類(lèi)討論思想C.整體思想

遷移應(yīng)用

（3）如圖，在RfflABC中，0C=9O°,回BAC=15。，點(diǎn)尸為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為48邊

上的動(dòng)點(diǎn)，若則BP+DP的最小值為cm.

B

圖⑴圖⑵圖（3）

課后訓(xùn)練

1.如圖，4。為等邊0ABC的高，E、尸分別為線段A。、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CR當(dāng)BF

+CE取得最小值時(shí)，媯尸2=。.

2.如圖，在」16。中，ZABC=90°,BC=8,AC=10,點(diǎn)尸、。分別是邊3C、AC上的動(dòng)

點(diǎn)，則AP+尸。的最小值等于（）

2448

A.4B.—C.5D.—

55

3.如圖，在五邊形43CDE中，ZBA￡=120°,ZB=Z￡=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、

DE上分別找到一點(diǎn)M、N,使得，AMN的周長(zhǎng)最小，則N/M+NAW的度數(shù)為（）

4.如圖，_ACD中，A3垂直CD于點(diǎn)8,且AB=CD,在直線8上方有一動(dòng)點(diǎn)〃滿足

則點(diǎn)M到C、。兩點(diǎn)距離之和最小時(shí)，ZMDB=度.

2

5.如圖，在銳角AABC中，AC=8cm,SMBC=18cm,AD平分N5AC,M,N分別是AD

和48上的動(dòng)點(diǎn)，則破+ACV的最小值是cm.

6.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊a48c中，。為8C的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，則BE+OE的最

小值為.

7.如圖1,已知直線/的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B,在直線/上找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A、8兩點(diǎn)

的距離之和最短的問(wèn)題，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)

稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線/的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)，通過(guò)這種方法可以求解很多問(wèn)題.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),