人教版八年級數(shù)學(xué)上冊常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：將軍飲馬模型（原卷版）

專題12將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生

能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾

何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化

歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對

這類問題有比較清晰的認識。

模型1、將軍飲馬-兩定一動求線段和的最小值

【模型探究】A，B為定點，〃?為定直線，尸為直線加上的一個動點，求NP+BP的最小。

圖1圖2

(1)如圖1,點4、3在直線兩側(cè):

輔助線：連接交直線加于點尸，則4P+8尸的最小值為48.

(2)如圖2,點N、3在直線同側(cè):

輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A',連接A'B交直線加于點P,則AP+BP的最小值為4'B.

例1.(2022?福建?八年級期末)如圖，在R/a48c中，蜘CB=90。，/C=BC,點C在直線山上，西CN

=30。，點尸為跖V上一動點，連結(jié)/尸，BP.當(dāng)AP+AP的值最小時，回CAP的度數(shù)為.

MN

例2.(2022?江蘇?八年級專題練習(xí))如圖，等邊三角形A3c的邊5c上的高為6,AD是3C邊上的中線,

"是線段AD上的■一個動點，E是AC中點，則石M+CN的最小值為.

B

D

例3.（2022?河南濮陽?八年級期末）如圖，等邊三角形ABC的邊長為5,/、B、A三點在一條直線上，且

ABC^A^BQ.若。為線段BG上一動點，則AD+CD的最小值是

例4.（2023.浙江八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點,

E是AC邊上一點，若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時，則/ECF的度數(shù)為多少？

模型2、將軍飲馬-兩動一定求線段和的最小值

【模型探究】已知定點/位于定直線肛"的內(nèi)側(cè)，在直線機、〃分別上求點P、。點R+P0+以周長最短.

輔助線：過點/作關(guān)于定直線機、〃的對稱點/'、/"，連接交直線加、〃于點尸、。，則以+PQ+0N

的最小值為

例1.（2022,江蘇,無錫市八年級期末）如圖，已知命08的大小為a,尸是西。8內(nèi)部的一個定點，且。尸

=4,點￡、廠分別是04、上的動點，若即M周長的最小值等于4,貝|a=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.（2022?湖北十堰?八年級期末）如圖，在四邊形/5CD中，ZBAD=100°,ZB=ZD=90°.在2C,CD

上分別找一點M,N,使AAW周長最小，則N4AW+Z/W版的度數(shù)為.

c

例3.（2022?江蘇九年級一模）如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分別是AB,BC,AC邊

上的動點，貝必DEF的周長的最小值是（）

例4.（2023春?貴州畢節(jié)七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，ZAOB=30，點尸為/AO3內(nèi)一點，OP=8,點M,N

分別在OA,O2上，求APMN周長的最小值.

ONB

模型3、將軍飲馬-兩動兩定求線段和的最小值

【模型探究】A，B為定點，在定直線加、〃上分別找兩點尸、Q,使刃+PQ+Q2最小。

(1)如圖1,兩個點都在直線外側(cè)：

輔助線：連接交直線加、〃于點尸、Q,則為+PQ+Q8的最小值為/A

(2)如圖2,一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：

輔助線：過點8作關(guān)于定直線”的對稱點"，連接48'交直線加、"于點尸、Q,則為+PQ+Q8的最小值為

AB\

(3)如圖3,兩個點都在內(nèi)側(cè)：

輔助線：過點43作關(guān)于定直線“、"的對稱點/'、8,連接/方'交直線加、n于點尸、。，則PA+PQ+QA

的最小值為N'8'.

(4)如圖4,臺球兩次碰壁模型：

輔助線：同圖3輔助線作法。

A'

?m

B?~-----------------?n

?3

?---------------------------?nB1-----------------叢,5'

圖3圖4

例1.(2022?和平區(qū)?八年級期末)如圖，ZAOB=25°,點M,N分別是邊08上的定點，點P,Q分

別是邊08,上的動點，記N"PQ=e,NPQN=J3,當(dāng)MP+PQ+QN的值最小時，￡一。的大小=_.

A

M

OPB

例2.(2022,湖北武漢市?九年級期中)如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G(-3,0),B(-

2,0),HC與GB關(guān)于y軸對稱，NGAH=60。，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP+PQ+CQ的最小值

A.6B.7C.8D.9

例3.(2022?湖北青山?八年級期中)如圖，在RtAABC中,ZACB=90°,NABC=30。，AC=2,以BC為邊向

左作等邊ABCE,點。為AB中點，連接8,點P、Q分別為C￡、CD上的動點.

(1)求證：AADC為等邊三角形；(2)求PD+PQ+QE的最小值.

模型4、將軍飲馬-線段差的最大值

【模型探究】a2為定點，在定直線加上分別找兩點尸，使以與尸2的差最大。

(1)如圖1,點4、3在直線，〃同側(cè)：

輔助線：延長AB交直線m于點尸，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A-P'B<AB,而PA~PB=AB此時

最大，因此點尸為所求的點。

(2)如圖2,點N、5在直線，"異側(cè)：

輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點況連接48,交點直線m于P,此時PB=PB',PA-PB最大值為AB'

圖1圖2

例L（2022?福建福州?八年級期中）如圖，在等邊，ABC中，￡是AC邊的中點，P是，ABC的中線AD上

的動點，且AB=6,則fiP-PE的最大值是

例2.（2022?廣東?八年級專題練習(xí)）如圖，AB=AC=5,/區(qū)4c=110。，是皿C內(nèi)的一條射線，且

N54D=25。，P為/。上一動點，則|尸3—尸。的最大值是.

例3.（2022?湖北?武漢八年級期末）如圖，AB//DP,E為DP上一動點,AB=CB=CD,過A作4VLEC

交直線EC于N,過。作DMLEC交直線EC于點"，若NB=114。，當(dāng)AN-DM的值最大時，則NACE=

課后專項訓(xùn)練

1.（2022?河南七年級期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,ABC的面積為10,8。平分NABC,

若〃、N分別是3D、BC上的動點，則C0+MN的最小值為（）

A.4B.5C.4.5D.6

2.（2022?甘肅白銀?七年級期末）如圖，在“WC中，AB1AC,AB=3,BC=5,AC=4,垂直平分

8C,點P為直線M上的任意一點，則AWP周長的最小值是（）

A.7B.6C.12D.8

3.（2022?江西宜春?八年級期末）如圖，在ABC中，DE是邊AC的垂直平分線，交AC于點D,交于

點E,點P是直線￡>E上的一個動點，若AB=5,則尸3+PC的最小值為（）

A

A.5B.6C.7D.8

4（2022?綿陽八年級期末）如圖，在四邊形4BC。中，ZC=70°,N3=ND=90°,E、F分別是BC、DC

上的點，當(dāng)△/1￡下的周長最小時，NEAF的度數(shù)為（）

D

A.30°B.40°C.50°D.70°

5.（2022?江蘇?無錫八年級期末）如圖，已知的。8的大小為a,尸是的。8內(nèi)部的一個定點，且。P=4,

點E、尸分別是。4上的動點，若即即周長的最小值等于4,貝。a=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.（2023云南八年級期末）如圖，在等邊.ABC中，8c邊上的高AD=6,E是高AD上的一個動點，尸是

邊N3的中點，在點E運動的過程中，EB+EF存在最小值，則這個最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

7.（2022?河南安陽市?八年級期末）如圖，在，A3C中，AC=BC,AB=6,.A3C的面積為12,

CDLAB于點D,直線EF垂直平分BC交48于點E,交BC于點F,P是線段EF上的一個動點，則△依￡）

的周長的最小值是（）

DB

A.6B.7C.10D.12

8.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面積為8,B。平分/ABC.若M、N分

別是BD、BC上的動點，則C/W+MN的最小值是（）

9.（2022?河南?安陽市八年級期末）如圖，在一ABC中，AB=AC,邊AC的垂直平分線肱V分別交AB,AC

于點N,點。是邊BC的中點，點尸是上任意一點，連接PZ）,PC,若NA=（z,ZCPD=J3,PCD

周長最小時，夕之間的關(guān)系是（）

10.（2022?廣東廣州?八年級期末）如圖，點。是啊8內(nèi)的定點且4D=2,若點C、￡分別是射線NRAB

上異于點/的動點，且團CDE周長的最小值是2時，皿2的度數(shù)是（）

11.（2022?湖南雨花?初二期末）如圖，ZAOB=30°,點P是它內(nèi)部一點，OP=2,如果點Q、點R分別是。4

OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是.

0RB

12.（2022,福建?莆田二中八年級期末）如圖，在R/囿48c中，a4c8=90。，NC=3C,點C在直線MN上,

財CN=30。，點尸為上一動點，連結(jié)4P,BP.當(dāng)4P+8P的值最小時，回C8P的度數(shù)為.

MN

13.（2022?廣東?八年級專題練習(xí)）如圖，AB=AC=5,ZBAC=110°,4D是的4c內(nèi)的一條射線，且

N54D=25。，P為/。上一動點，則|尸3—尸。的最大值是.

14.（2022?福建福州?八年級期中）如圖，在等邊..ABC中，E是AC邊的中點，尸是:ABC的中線AD上的

動點，且AB=6,則BP-PE的最大值是.

15.（2022?河南八年級期末）如圖，在RtZXABC中，NACB=90。，AC=3,BC=4,AB=5,AD平分NG4B

交BC于點O,E,尸分別是AO,AC邊上的動點，則CE+EF的最小值為.

DB

16.（2022?四川成都?七年級期末）如圖，分別以線段的兩個端點為圓心，以大于長為半徑作弧,

兩弧交于點"和點N,在直線上取一點C,連接。，CB,點。是線段NC的延長線上一點，且CD=g

NC,點尸是直線MV上一動點，連接尸。，PB,若5c=4,則尸D+P8的最小值為一.

17.（2022?安徽蕪湖市?八年級期末）如圖，在Rt^ABC中.ACLBC,若AC=5,3c=12,AB=13,

將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD,點P為AD上一動點，則的周

長最小值為—.

18.（2022?湖北?八年級）如圖，AB//DP,E為DP上一動點,AB=CB=CD,過A作ANLE