廣東省河源市五校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省河源市五校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題，，，，則（）A.p和q都是真命題B.p和都是真命題C.和q都是真命題D.和都真命題【答案】B【解析】當(dāng)x=1時(shí)，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；當(dāng)x=0時(shí)，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.故選：B.2.已知集合，，若且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榍?，所以，解?故選：A．3.已知點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意可知，解得，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．4.已知，為單位向量，，，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以，即，所以與的夾角為，故選：A．5.記為非零數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在非零數(shù)列中，，由，，得數(shù)列是等比數(shù)列，，因此，所以.故選：C6.已知過作與圓相切的兩條直線，，切點(diǎn)分別為，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】圓化為，則圓心，半徑，由題意，知，解得（負(fù)值舍去），在中，且，所以，解得，故選：D7.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個(gè)圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：則由題可得，設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，當(dāng)EF在底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由為奇函數(shù)，知的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，由，得．由的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個(gè)周期，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則的最小值為3D.若且，則，均為純虛數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A，由得，又，，所以，A正確；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，均不為純虛數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：AC10.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，的公差為，且，則（）A.B.C.D.滿足的的最大值為【答案】ABC【解析】由，得，即①，則，又，所以，又，若，則，，不合題意，所以，則，，A正確；結(jié)合①知，，所以，則，又，所以，B正確；由，得，所以，由，所以，由，所以，所以，C正確；由，得，所以，由C知，，所以的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號(hào)，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)，上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之積為16，則點(diǎn)在上C.若，點(diǎn)在上，則D.當(dāng)時(shí)，上第一象限內(nèi)點(diǎn)滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】已知原點(diǎn)在上，則，設(shè)為上任意一點(diǎn)，則有，整理得．若，則的方程為，故A正確；若，則，代入方程得，顯然點(diǎn)不在此曲線上，故B錯(cuò)誤；若，點(diǎn)在上，有，整理得，所以，故C正確；因，，可得，所以點(diǎn)是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中7人的比賽成績(jī)分別為：70，97，85，90，98，73，95，則這7人成績(jī)的上四分位數(shù)與極差之和是________．【答案】125【解析】將7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為70，73，85，90，95，97，98，因?yàn)?，所以這7人成績(jī)的上四分位數(shù)是97，極差為，故上四分位數(shù)與極差之和是．故答案為：12513.在函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)與原點(diǎn)組成三角形，這些三角形的面積的最小值為，則________．【答案】【解析】原點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)交點(diǎn)，，且，由，即，點(diǎn)，相鄰，且在的一條對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，，此時(shí)，，，兩式相減，得，所以．故答案為：14.已知函數(shù)的最小值為0，則________．【答案】【解析】依題意，對(duì)于恒成立，且能取得等號(hào)，即對(duì)于恒成立，且能取得等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式為，則，即，因此在上恒成立，且能取得等號(hào)，設(shè)，于是是函數(shù)在上的最小值，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，則.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．當(dāng)，，時(shí)，可構(gòu)成三角形，此時(shí)的面積為；當(dāng)，，時(shí)，可構(gòu)成三角形，此時(shí)的面積為．16.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．(1)證明：因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．過作，垂足為，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，，，，所以，則，由得，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面．因平面，所以．又，平面，所以平面．?）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點(diǎn)，且，的面積為3．（1）求E的方程；（2）若E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的直線l與E的右支交于M，N兩點(diǎn)，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．解：（1）設(shè)雙曲線的半焦距為()，，由題可知，，即，又，故E的方程為.（2）如圖，由題可知，且直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，將方程和聯(lián)立，得，，，，,直線與右支有交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.18.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別，（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，求導(dǎo)得，則，所以曲線在處的切線方程為.（2）（i），依題意，是方程的兩根，即，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，則，而當(dāng)時(shí)，，且，方程有兩根，即直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（ii）由（i）不妨設(shè)，由圖像知，當(dāng)時(shí)，直線恒在曲線的下方．下面證明：令，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，φ'x<0，當(dāng)x∈函數(shù)φx在上遞減，在-1,1上遞增，當(dāng)時(shí)，，且，因此在上恒成立，則函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，，于是，設(shè)在切線上，則，，又，則，即，要證，需證，即證，由（i）知，則，又，因此，所以．19.拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這些士兵不能站在自己原來的位置上．（1）如果只有3個(gè)士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個(gè)呢？（2）假設(shè)原來有個(gè)士兵，解散以后不能站在自己原來位置上的站法為種，寫出和，之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）假設(shè)讓站好的一排個(gè)士兵解散后立即隨機(jī)站成一排，記這些士兵都沒有站到原位的概率為，證明：當(dāng)無窮大時(shí)，趨近于．（參考公式：……）（1）解：當(dāng)有3個(gè)士兵時(shí)，重新站成一排有2種站法；當(dāng)有4個(gè)士兵時(shí)，假設(shè)先安排甲，有3種站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3種站法，剩下的兩個(gè)人都只有1種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種站法．（2）證明：易知，．如果有個(gè)人，解散后都不站原來的位置可以分兩個(gè)步驟：第一步：先讓其中一個(gè)士兵甲去選位置，有種選法；第二