廣東省廣州市五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1、開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，則，故在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，顯然直線的傾斜角最大.故選：C3.集合，，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】∵，，，∴.故選：D.4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】C【解析】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，則極差為，故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，數(shù)據(jù)共6個(gè)，故中位數(shù)為，解得，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)6，故選：C.5.函數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】由，解得，故的定義域?yàn)?設(shè)，則，其中，，∵，則，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，即函數(shù)最大值是.故選：B.6.將的圖像向左平移個(gè)單位后，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖像.已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，向左平移個(gè)單位后，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，則，由在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，即，即.故選：A.7.廣州塔昵稱“小蠻腰”，位于廣州城市新中軸線與珠江景觀軸交匯處，是中國(guó)第一高塔、國(guó)家級(jí)旅游景區(qū)、廣州的地標(biāo)性景點(diǎn).廣州塔的塔身是由傾斜扭轉(zhuǎn)的24根直鋼柱包圍而成的一個(gè)單葉雙曲面（即由雙曲線一支繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面）.如圖，已知廣州塔的主塔體（不含天線桅桿）高米，塔身最細(xì)處（直鋼柱和中心軸線距離最近的位置）離地面高度米、直徑為30米，每根直鋼柱與地平面所成角的正切值為，則塔底直徑為（）A.40米 B.50米 C.60米 D.70米【答案】C【解析】由題意設(shè)直鋼柱中在底面圓上的投影線段為，連接，，所以在中，，得，由題意可得四邊形為矩形，又因?yàn)辄c(diǎn)是圓的切點(diǎn)，所以，且到，設(shè)圓的半徑為，所以在中，，得，所以圓的直徑為.故C正確.故選：C.8.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)滿足，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓定義可知，由，故，，點(diǎn)滿足，即，則，又，，即，又，故，則，即，即平分，又，故，則，則，，，由，故，即，即，又，故.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（）A. B.C.若A與B相互獨(dú)立，則 D.一定有【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，且，則，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則，則，故C正確；對(duì)于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為4”，則滿足，，但不成立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若非零空間向量，，滿足，，則有B.若非零向量與平行，則A，B，C，D四點(diǎn)共線C.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D.若，則是P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件【答案】AB【解析】對(duì)于A，當(dāng)非零空間向量滿足，時(shí)，與不一定平行，也可能垂直，錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)非零向量與平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共線或直線與直線平行，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若不能構(gòu)成空間的一組基底，則共面，故存在，使得，即，由于是一組基底向量，所以無(wú)解，故能構(gòu)成空間的一組基底，正確；對(duì)于D，，若，則，化簡(jiǎn)得，因此P，A，B，C四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面，反之，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，所以，所以，又，所以，故，所以是P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件，正確.故選：AB11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C：焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，直線交C于另一點(diǎn)N，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.直線的斜率為定值【答案】AD【解析】由拋物線C：，則，有，且，則，則，即，則，故A正確；設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去），故，即，則，，即，故B錯(cuò)誤；則，，故，故C錯(cuò)誤；設(shè)，由，故，化簡(jiǎn)得，即，即或（舍去），故，即，又，則，故D正確.故選：AD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，動(dòng)點(diǎn)P在截面內(nèi)（含邊界），且滿足.下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.與平面所成角的余弦值為C.存點(diǎn)P使得D.與平面所成角的正切值的取值范圍是【答案】BCD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，三棱錐為正三棱錐，過(guò)作面于，則為正的中心，又，∵，∴，，由，得，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即正的內(nèi)切圓，∴點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)與平面所成角為，∵到平面距離為，∴，∵，∴，即與平面所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)為該內(nèi)切圓與的切點(diǎn)，即為與的交點(diǎn)時(shí)，，證明如下：連接,則，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴，故C正確；對(duì)于D，如圖，該內(nèi)切圓與的交點(diǎn)為E，取的中點(diǎn)，作于，，面,∵,∴,,,,,當(dāng)與重合時(shí)，取最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取最小值.∴，∵為的中點(diǎn)，∴到平面距離與到平面距離相等，即，設(shè)與平面所成角為，則，∵，∴，，∴，即，即與平面所成角的正切值的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.13.若為奇函數(shù)，則_______.【答案】【解析】由題得函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.所以，所以.故答案為：14.已知橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，則m的值為____________.【答案】7【解析】由題意，焦點(diǎn)軸，所以，解得.故答案為：715.已知直線過(guò)點(diǎn)且與x軸、y軸分別交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】直線與與x軸、y軸分別交于，可設(shè)直線的截距式，直線過(guò)點(diǎn)，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故答案為：.16.已知直線：與圓：、圓：相交于從左到右依次排列的四個(gè)不同點(diǎn)A，B，C，D，且滿足，則線段的長(zhǎng)為____________.【答案】【解析】由：，故圓心，半徑，則到直線的距離，則圓被直線所截弦長(zhǎng)為，，故該圓圓心為且半徑，則到直線的距離，圓被直線所截弦長(zhǎng)為，由，故，故圓與直線交點(diǎn)在軸右側(cè)，由點(diǎn)在直線上，且該點(diǎn)在圓內(nèi)部，故在上，若A，B在圓上，C，D在圓上，則兩圓被直線所截弦長(zhǎng)相等，若A，C在圓上，B，D在圓上，則、，有，即兩圓被直線所截弦長(zhǎng)相等，若A，D在圓上，B，C在圓上，則兩圓圓心在同一點(diǎn)，不符故舍去，綜上所述，兩圓被直線所截弦長(zhǎng)恒相等，即，即，即，故或（舍去），故圓：，將代入，可得，即或，由最左邊，故在最上面，即，，將代入，可得，即或，同理可得，在最下面，故，則，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.已知函數(shù)，其中.（1）若，求的最小正周期和其圖像的對(duì)稱中心；（2）若，求的值.解：（1）當(dāng)，，所以最小正周期，令，則，所以圖像的對(duì)稱中心為；（2）若，即，所以，又因?yàn)?，則，而，所以，則，.18.網(wǎng)絡(luò)流行詞“新四大發(fā)明”是指移動(dòng)支付、高鐵、網(wǎng)購(gòu)與共享單車.某中學(xué)為了解本校學(xué)生中“新四大發(fā)明”的普及情況，從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中使用過(guò)移動(dòng)支付的有60人，使用過(guò)共享單車的有43人，其中兩種都使用過(guò)的有8人.（1）利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生中，移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生人數(shù)；（2）經(jīng)過(guò)進(jìn)一步調(diào)查，樣本中移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生里，有3人坐過(guò)高鐵.現(xiàn)從樣本中兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生里隨機(jī)選出2名學(xué)生，求這2名學(xué)生都坐過(guò)高鐵的概率.解：（1）樣本中使用過(guò)移動(dòng)支付的人組成集合，使用共享單車的人組成集合，表示集合中的元素，由題意，，，所以，所以樣本中移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生人數(shù)為，從而估計(jì)該校學(xué)生中，移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生人數(shù)為；（2）由（1）知樣本中移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生有人，記為A，B，C，D，E，其中有3人坐過(guò)高鐵的學(xué)生記為A，B，C.則從5人中抽取2人的所有抽取情況有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10種，其中2名學(xué)生都坐過(guò)高鐵的有AB，AC，BC，共3種，故所求概率為.所以這2名學(xué)生都坐過(guò)高鐵的概率為.19.已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大?。海?）若，，D為中點(diǎn)，點(diǎn)E在上且滿足，求的長(zhǎng).解：（1），故，由正弦定理可得，即，即，又，故，因?yàn)?，所以；?）由余弦定理可得，即，則，由D為中點(diǎn)，則，又，則，即，則在中，由余弦定理可得：，即.20.已知拋物線：過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的射線交拋物線于另一點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求的最大值.解：（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，有，即，故拋物線的方程為；（2）由拋物線的方程為，故準(zhǔn)線為，由題意可得，直線的斜率存在且斜率大于零，設(shè)，，令，則，聯(lián)立，消去可得，有，故，則，由，故，則，由且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.21.五面體的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，，，，二面角的大小為.（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)P為棱上一點(diǎn)，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.解：（1）∵底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4正方形，∴,∵，∴,∴為二面角的平面角，∴∵，，∴,在中，，∴，從而，∴，∴.（2）∵,,,平面,∴平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，過(guò)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，若與重合，平面即為平面，其法向量為，∴，不合題意；當(dāng)與不重合時(shí)，設(shè)，∴，∴，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，，整理得，即，解得或，∴或.22.