安徽省鼎尖教育聯(lián)盟2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省鼎尖教育聯(lián)盟2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，，即故選：.2.復數(shù)滿足，則A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以，故選D.3.已知曲線，在點處的切線與直線垂直，則a的值為（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】，則，則，曲線在點處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：C4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，又，則，，即，所以，因為，所以，，由，可得，即，符合題意，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調遞減，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在0,+∞上單調遞減，所以，解得，即，所以則a的取值范圍為，故選：.6.在銳角中，內角的對邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】由題意可知，，，，，，，.故選：B.7.在四棱錐中，底面為正方形，，，平面平面，則下列說法錯誤的是（）A.B.當平面平面時，C.、分別為、的中點，則平面D.四棱錐外接球半徑的最小值為【答案】B【解析】對于A選項，因為在四棱錐中，底面為正方形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，所以，，則，A對；對于B選項，若平面平面，則平面與平面所成二面角為，設平面平面，因為，平面，平面，所以，平面，因為平面，平面平面，所以，，因為平面，所以，平面，因為、平面，所以，，，所以，平面與平面所成二面角的平面角為，因為，，則，所以，，B錯；對于C選項，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則，因為平面，平面，則平面，因為且，、分別為、的中點，所以，，，即四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，C對；對于D選項，設四棱錐的外接球球心為，則在平面、平面的射影分別為、，易知四邊形為矩形，為外接球半徑，所以，所以，僅當、重合時取等號，此時，，D對．故選：B．8.函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項積為，數(shù)列的前項和為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，，則，可得，又因為為遞增數(shù)列，且，所以當，可得.故選：A.即可得結果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，故A正確；，故B錯誤；因，，且，，故C錯誤；，，令，，時，取得最小值8，所以，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，，恒成立，則（）A.是偶函數(shù)B.在上單調遞增C.可以取D.當時，的取值范圍是【答案】ABC【解析】對于A，可知為偶函數(shù)，故A正確；對于B，又對有，，故，∴fx在0,+∞上單調遞增，故對于C，故，令，化為，，故，解得，故，故C正確；對于D，時，，由圖可知，，故D錯誤；故選：ABC.11.（多選）如圖，三棱臺中，是上一點，，平面，，，則（）A.過點有四條直線與、所成角均為B.平面C.棱上存在點，使平面平面D.若點在側面上運動，且與平面所成角的正切值為，且長度的最小值為【答案】ACD【解析】選項A，由異面直線所成角的定義考察過點的直線，如圖，直線是的平分線，即，在過直線且與平面垂直的平面內．把直線繞點旋轉，旋轉過程中始終保持該直線與的夾角相等，旋轉到與平面垂直位置時，直線與的夾角為，因此中間必有一個位置，使得夾角為，以旋轉中心，點向上移有一個位置，向下移也有一個位置，同樣點（如圖，點在的反向延長線上）向上移有一個位置，向下移也有一個位置，共四個位置得四條直線，由于夾角為，這四條直線不重合，再過作這四條直線的平行線，滿足題意，故A正確，選項B，因為平面，平面，所以，因此是直角梯形，，則，但，因此與不垂直，從而與平面不垂直，B錯；選項C，如下圖，由，得，又，即得，所以，又平面，平面，所以平面，過作交于點，是平行四邊形，，點在線段上），同理可得平面，又是平面內兩相交直線，所以平面//平面，C正確；選項D，因為平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，而平面，所以平面平面，過作，垂足為，由面面垂直的性質定理得平面，在直角梯形中，，所以在直角中，，，與平面所成角的正切值為，即，所以，因此點軌跡是以為圓心，為半徑的圓在側面內圓弧，的最小值為，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則______.【答案】－7【解析】因為，，所以，.故答案為：13.表示不超過的最大整數(shù)，比如，，...，已知等差數(shù)列的通項公式，其前項和為，則使成立的最大整數(shù)為________.【答案】63【解析】，，，，即，，時，；時，.故的最大值為63.故答案為：63.14.某同學在同一坐標系中分別畫出曲線，曲線，曲線，作出直線，.直線交曲線、于、兩點，且在的上方，測得；直線交曲線、于、兩點，且在上方，測得.則______.【答案】【解析】，.則由，得，令，，則，又∵，∴，∴，同理，，又∵，∴，則.∴.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.解：（1），故或，當時，不合題意，故；（2），即，，，，故，，故.16.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（2）已知點，點是函數(shù)在區(qū)間上的圖象上的點，求的最小值.解：（1）由題可知在上，，而，所以，即在上，；（2）設，，當且僅當時，取得等號，解得，故最小值為.17.如圖，三棱錐中，底面ABC，且，，D為PC的中點，G在線段PB上，且．（1）證明：；（2）若BG的中點為H，求平面ADG與平面ADH夾角的余弦值．（1）證明：由于平面ABC，并且平面ABC，因此，由于，且，平面PAC，并且，因此平面PAC，又由于平面PAC，因此，由于，且D為PC的中點，因此，又由于，且，平面PBC，因此平面PBC，由于平面PBC，因此．（2）解：根據(jù)題意可知，以點A為原點，以過點A且平行于BC的直線為x軸，AC，AP所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，，，A0,0,0，，所以，由于G在線段PB上，令，且，那么，由于，所以，解得，因此，，所以，，，設平面ADH法向量為，那么，令，則，，所以，設平面ADG的法向量為，那么，令，則，，因此，設平面ADG與平面ADH的夾角為，所以，故平面ADG與平面ADH夾角的余弦值為．18已知函數(shù)有兩個零點，，函數(shù).（1）解不等式；（2）求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：（1）解：，故為0,+∞上的增函數(shù)，由題可知，gx>0，即的解集為1,+∞.（2）解：，當時，f'x<0，為減函數(shù)，不符合題意；時，若，f'x<0，函數(shù)f若，f'x>0，函數(shù)又時，；時，.有兩個零點，故，所以；（3）證明：由（2）知：，且，，由（1）知時，，，，故，，化為①，同理：，，可化為②，