廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題

20242025學(xué)年度第一學(xué)期高二期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算得到，再結(jié)合條件，求得，即可求解.【詳解】設(shè)，則，又，得到，所以，，所以，或，，得到，所以，故選：B．2.已知平面上的兩個(gè)非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助向量數(shù)量積公式計(jì)算可得，再利用向量夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】由，故，則，又，故.故選：B.3.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】時(shí)，代入可知滿足題意；時(shí)，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸結(jié)合函數(shù)在右半部分單調(diào)遞減得出開口方向，列出不等式組，求解即可得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為直線，由在上單調(diào)遞減，知，解得．綜上，a的取值范圍為．故選：D4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及逆用兩角和的正弦公式求解.【詳解】.故選:D5.已知四棱錐底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，高為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，且該圓柱的體積為，則四棱錐的底面的邊長為（）A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】【分析】作出組合體的截面，確定圓柱的高，利用圓柱的體積求得圓柱底面的半徑，進(jìn)而得到底面正方形的邊長.【詳解】如圖四棱錐的底面四邊形為正方形，高，作截面（如下圖）點(diǎn)，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為是正方形的中心也是圓柱底面圓的圓心.依題意可知，所以所以，所以，所以.故選：A.6.已知向量，，且，則（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，利用模長公式求出參數(shù)，再求.【詳解】，，，∵，∴，，所以，故選：A．7.已知，且，則的最大值為（）A.9 B.12 C.36 D.48【答案】C【解析】【分析】設(shè)Ax1,y1與Bx2,y2，為的中點(diǎn)，可證明點(diǎn)在以【詳解】設(shè)Ax1,y1則，得，，即為等腰直角三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，得，即點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，故，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)D1,0的距離的最大值為，因此的最大值為36.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將原問題化為，根據(jù)兩點(diǎn)距離的幾何意義求解即可.8.已知圓D：與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓C：，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓與圓相外切，可得，再根據(jù)圓的對(duì)稱性不妨令，再分，和三種情況討論即可.【詳解】圓D：的圓心，半徑為，圓C：的圓心，半徑為，因?yàn)閳A與圓相外切，所以，所以，且圓與軸交于，不妨記，因?yàn)閳A關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上，由對(duì)稱性不妨令，當(dāng)時(shí)，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，則，解得，故，綜上所述，的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將表示的坐標(biāo)重新表示為線段長度從而方便正切公式的計(jì)算，是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正方體中，為的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部及邊界上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為C.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角D.將以邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，先證明平面，再利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B，確定點(diǎn)F在以H為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合弧長公式即可判斷；對(duì)于C，求出EF與平面所成角的最小值，即可判斷；對(duì)于D，判斷出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，連接，則,又平面平面，故,平面，故平面，平面，故，同理，平面，故平面，平面，故平面平面，A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為H，連接，則平面，平面，故，由于，故，即點(diǎn)F在以H為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題意知F軌跡為該圓在平面內(nèi)的圓弧，如圖圓弧，則，則，故F軌跡長度為，B正確；對(duì)于C，從正方體中分離出四棱錐，的中點(diǎn)為H，平面，則，，則EF與平面所成角的最小值為，,即，故平面內(nèi)不存在一條直線與直線成角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接交于N，取的中點(diǎn)為M，連接，則點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓，又正方體性質(zhì)知，由知，而平面，故平面，平面，故平面平面;又平面平面，故，結(jié)合，平面，故平面，平面，故，則，設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，當(dāng)點(diǎn)位于處時(shí)，到平面的距離分別取到最大值和最小值，最大值為，最大值為，故到平面的距離的取值范圍是，D正確故選：ABD.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要注意判斷出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.10.如圖，四邊形為正方形，平面平面，且為正三角形，為的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）A平面B.C.直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法證明線面平行，可判斷A，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得到選項(xiàng)B，根據(jù)向量法可得到兩直線所成角的余弦值，即可得到C，再根據(jù)空間中點(diǎn)面距離公式得到選項(xiàng)D.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，對(duì)于A，，由圖易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，故與平面不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對(duì)于C，，，，所以直線與所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，點(diǎn)到平面的距離，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11.點(diǎn)A，B為圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)，且AB為圓的直徑時(shí)，面積的最大值為3B.從點(diǎn)P向圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，的最小值為C.A，B為圓M上的任意兩點(diǎn)，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，確定，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，面積最大，即可判斷，對(duì)于B，設(shè)，求出，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷，對(duì)于C，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷出，即可判斷；對(duì)于D，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，判斷點(diǎn)D在以M為圓心，為半徑的圓上，結(jié)合的最大值為即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，且AB為圓的直徑時(shí)，此時(shí)，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，面積最大，不妨取，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)，設(shè)交于N，由圓的切線性質(zhì)知∽，則，故，當(dāng)最大時(shí)，AB最小，當(dāng)位于時(shí)，最大，此時(shí)，則，即AB的最小值為，B正確；對(duì)于C，由B的分析可知當(dāng)位于時(shí)，最大，此時(shí)，即，則，故直線l上不存在一點(diǎn)P，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，連接MD，則，則，故點(diǎn)D在以M為圓心，為半徑的圓上，結(jié)合，可得的最大值為,故的最大值為，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足則角_____.【答案】##【解析】【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求角.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，因?yàn)椋?故答案為：13.已知正四面體的邊長為2，點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取定空間的基底，利用空間向量的線性運(yùn)算表示向量，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.【詳解】在棱長為2的正四面體中，由點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，，令，則，所以，又，，，故，當(dāng)時(shí)，，所以線段EF長度的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：取定空間的一個(gè)基底，表示向量，再利用向量運(yùn)算求解.14.已知曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程可知直線恒過定點(diǎn)，曲線為半圓，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可得到的取值范圍．【詳解】直線恒過點(diǎn).由得，表示以為圓心，為半徑的半圓，該半圓在直線的上方.當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí)，直線方程可化為：，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得：，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，即可求得答案；（2）由三角形面積求出c，再利用余弦定理即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，即，由于，故，即，結(jié)合，則；【小問2詳解】，，的面積為，則，則，故，故.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)中位線定理和線面平行的判定定理進(jìn)行證明.（2）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及平面幾何的知識(shí)，證明得到是二面角的平面角，從而計(jì)算得到結(jié)果.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，由底面是正方形，可知為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】設(shè)，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點(diǎn)，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角為，.二面角的平面角的余弦值為.17.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；【答案】（1）0.030（2）84．【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出即得.（2）利用第75百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖列式計(jì)算即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1，得，所以.【小問2詳解】成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，則樣本成績的第75百分位數(shù)為，由，得，所以樣本成績的第75百分位數(shù)為84.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為的正三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到，，由線面垂直的判定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和，利用線面角的向量法，即可求解.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則有，令，則，所以，因?yàn)椋浿本€與平面所成角為，則