第二章 函數(shù) 單元檢測(cè)卷（含解析）-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版(2019)必修第一冊(cè)

第二章函數(shù)單元檢測(cè)卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且是減函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a，b的關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定2．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是A． B． C． D．3．函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是（

）A．(－∞，0) B．C．[0，＋∞) D．4．已知，則不滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A，最小值為B，則A-B等于（

）A． B． C．1 D．-16．．偶函數(shù)在上為增函數(shù),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．二、多選題7．若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a可能的值是（

）A． B． C．1 D．28．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D．若函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是三、填空題9．函數(shù)的定義域是.10．定義在R上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，給出下列幾個(gè)命題：①是周期函數(shù)；

②的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③在上是減函數(shù)；

④．其中正確命題的序號(hào)是（請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫出來(lái)）．11．函數(shù)的定義域?yàn)?12．已知函數(shù)，（是非零常數(shù)），若，則．四、解答題13．已知：奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）作出的圖象，觀察圖象，指出當(dāng)方程只有一解時(shí)，求a的取值范圍（不必寫過(guò)程）（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.14．已知函數(shù).(1)若，判斷并證明在上的單調(diào)性；(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖.

(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（直接寫出結(jié)果）；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.參考答案：題號(hào)12345678答案BABBABBCDBCD1．B【分析】先利用奇函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，再利用單調(diào)性得到a，b的不等關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù)，，故，而是定義在上減函數(shù)，故，即.故選：B.2．A【分析】由的范圍求得的范圍，此范圍即為中的范圍，從而可得所求定義域．【詳解】函數(shù)的定義域是，則，，有，則，則的定義域是.故選：A．3．B【解析】先去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)解析式y(tǒng)＝|x|(1－x)，再作出函數(shù)的示意圖，得到函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】y＝|x|(1－x)＝＝，作出函數(shù)的草圖如圖所示．由圖易知原函數(shù)在上單調(diào)遞增．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作函數(shù)的圖象，由圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.4．B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，依次將,,代入，化簡(jiǎn)后比較即可得到答案.【詳解】解：，，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)，主要涉及函數(shù)的解析式的意義和分式運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5．A【解析】利用的單調(diào)性將區(qū)間值代入可求得答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，所以時(shí)有最大值為1，即A=1，時(shí)有最小值，即B=，則,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎(chǔ)題.6．B【詳解】試題分析：根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增且在（-∞，0]上是單調(diào)減函，由此結(jié)合2+是正數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為|ax-1|＜2+x2恒成立，去絕對(duì)值再用一元二次不等式恒成立的方法進(jìn)行處理，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：∵f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性與的單調(diào)性相反,由此可得f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù),∴不等式f（ax-1）＜f（2+）恒成立，等價(jià)于|ax-1|＜2+x2恒成立,即不等式-2-＜ax-1＜2+恒成立，得+ax+1＞0,x2-ax+3＞0的解集為R,∴結(jié)合一元二次方程根的判別式，得：-4＜0且（-a）2-12＜0,解之得-2＜a＜2,故選B考點(diǎn)：偶函數(shù)的單調(diào)性點(diǎn)評(píng):本題給出偶函數(shù)的單調(diào)性，叫我們討論關(guān)于x的不等式恒成立的問(wèn)題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、一元二次不等式解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題7．BCD【分析】求出二次函數(shù)部分的對(duì)稱軸，再討論a與對(duì)稱軸的大小，求出a的的取值范圍即可得到答案【詳解】解：圖象的對(duì)稱軸方程為，①當(dāng)，時(shí)，有最大值，又，所以，所以此時(shí)有最大值1；②當(dāng)，時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，所以要有最大值，得，解得，與矛盾，舍去，綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值，故選：BCD．8．BCD【分析】利用函數(shù)的圖象結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，注意函數(shù)在大于0部分的周期性，從而進(jìn)行選項(xiàng)判斷，即可得到答案.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：對(duì)A，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖象可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；對(duì)C，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，由圖象可得，當(dāng)函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的圖象研究分段函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時(shí)畫出函數(shù)圖象是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.9．【分析】由題得，解不等式組即得解.【詳解】由題得,解之得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10．①②③④【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再逐一判斷各個(gè)命題作答.【詳解】依題意，，，取得：，，取，則有，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，由得：，因此函數(shù)以4為周期的周期函數(shù)，①正確；，因此的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，②正確；因在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)，于是得在上是減函數(shù)，③正確；由得：，④正確.故答案為：①②③④11．【分析】解不等式即可求出答案．【詳解】解：由題意，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題．12．；【分析】將和5分別代入函數(shù)表達(dá)式，兩式相減即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴①，②，①②得：，故，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（1）m=2

（2）或

（3）【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化求解即可．（2）利用函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，然后求解的取值范圍即可．（3）結(jié)合函數(shù)的圖象求的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)，則，，函數(shù)是奇函數(shù)，．．（2）函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)方程只有一解，的取值范圍：或，（3）由圖象可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得．故【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，是中檔題．14．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）計(jì)算，考慮，和，兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）變換得到，設(shè)，計(jì)算函數(shù)的最大值得到答案.【詳解】（1），則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.證明：，且，，，故，，當(dāng)，時(shí)，，所以，故，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，所以，故，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2），即，即，存在，使得成立.令，，.所以存在，成立.所以，.又，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即.15．（1）圖象見(jiàn)解析；（2）存在或滿足條件，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）將代入,去絕對(duì)值,然后做出函數(shù)圖象即可;（2）分,和三種情況,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)在上的最小值,令其等于8,可求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,圖象見(jiàn)下圖:（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上有最小值8,,.①當(dāng)時(shí),,函數(shù)的對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞增,,解得,符合題意;②當(dāng)時(shí),不可能有最小值8（舍去）;③當(dāng)時(shí),,是開(kāi)口向下的二次函數(shù),對(duì)稱軸為,只需比較和的大小,,若,,此時(shí)在時(shí)取得最小值,即,解得,不符合題意,舍去;若,,此時(shí)在時(shí)取得最小值,即,解得,符合題意.綜上,或.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查了學(xué)生的推理能力,屬于難題.16．(1)奇函數(shù)；證明見(jiàn)解析(2)單調(diào)遞增區(qū)間是：，，單調(diào)遞減區(qū)間是：，(3)最小值為，最大值為【分析】（1）利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)函