立體幾何中的截面問題（學生版）-2025高考數學一輪復習講義

第51講立體幾何中的截面問題

知識梳理

解決立體幾何截面問題的解題策略.

1、坐標法

所謂坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將幾何問題轉化為坐標運算問題，為解

決立體幾何問題增添了一種代數計算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標系，而是利用平面向量及空間向量基本定理

作為依托，其理論依據是：若四點E、F、G、〃共面，P為空間任意點，則有：

結論1：若函與由不共線，那么訪=2旃+〃而；

結論2：麗=4萬+〃用+〃麗(丸+〃+〃=1).

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質與判定

定理以及平面幾何相關定理、結論，通過論證，精準找到該截面與相關線、面的交點位

置、依次連接這些點，從而得到過三點的完整截面，再依據題意完成所求解答或證明.

必考題型全歸納

題型一：截面作圖

例1.(2024?全國?高一專題練習)如圖，正方體/3。0-4片。1〃的棱長為6,河是4片的

中點，點N在棱CQ上，且GV=2NCr作出過點M,N的平面截正方體/BCD-4月

所得的截面，寫出作法;

1

例2.（2024?江蘇?高一專題練習）如圖，棱長為2的正方體中，E,尸分別

是棱44/,CG的中點，過￡作平面使得a//平面

⑴作出a截正方體/2CD-/,aD/所得的截面，寫出作圖過程并說明理由;

（2）求平面?與平面BDF的距離.

例3.（2024?全國?高一專題練習）（1）如圖，棱長為2的正方體48co中，M,

N是棱44，4。的中點，在圖中畫出過底面48co中的心。且與平面4WN平行的平面在

正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長為：

（2）作出平面PQ?與四棱錐/BC0E的截面，截面多邊形的邊數為.

2

變式1.（2024?全國?高一專題練習）如圖①，正方體/BCD-4片GA的棱長為2,尸為線

段8C的中點，。為線段CG上的動點，過點A、P、。的平面截該正方體所得的截面記為S.

（1）若1<CQ<2,請在圖①中作出截面S（保留尺規(guī)作圖痕跡）；

（2）若CQ=1（如圖②），試求截面S將正方體分割所成的上半部分的體積匕與下半部分的

體積%之比.

變式2.（2024?全國?高一專題練習）如圖，已知正方體48co-44G2，點E為棱CG的

中點.

3

⑴證明：/q〃平面BDE.

（2）證明：ACtlBD.

（3）在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形（如需用到其它點，需用字母標記并說明位

置），并說明理由.

變式3.（2024?江蘇?高一專題練習）已知正方體N3CO-4耳G2是棱長為1的正方體，M

是棱陷的中點，過C、4、M三點作正方體的截面，作出這個截面圖并求出截面的面積.

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

例4.（2024?全國?高三專題練習）如圖，正方體/BCD-451GA的棱長為1,P為3c的中

點，0為線段CG上的動點，過點4,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為￡則下列命

題中正確命題的個數為（）

4

G

①當0<CQ〈g時，S為四邊形；

②當C0=g時，S為等腰梯形；

③當。。二:時，s與GA的交點片滿足Ga=；；

3

④當<CQ<1時，S為六邊形；

4

A.1B.2C.3D.4

例5.（2024?四川成都?高二雙流中學?？计谥校┮阎襟wN3CD-44GA的棱長為

1,M,N為線段8C,CG上的動點，過點4,的平面截該正方體的截面記為S,則下列命

題正確的個數是（）

①當3M=0且0<CN<l時，S為等腰梯形；

②當M,N分別為BC,cq的中點時，幾何體4-D\MN的體積為，；

31

③當〃■為中點且CN=：時，S與￡2的交點為&,滿足GR=：；

46

④當M為3c中點且0VCNV1時，S為五邊形.

A.1B.2C.3D.4

例6.（2024?全國?高一專題練習）如圖正方體MCD-451GA，棱長為1,尸為8c中點，

。為線段CG上的動點，過Z、P、。的平面截該正方體所得的截面記為。.若&,則

下列結論錯誤的是（）

5

Cl

A.當時，O為四邊形B.當時，O為等腰梯形

C.當2時，。為六邊形D.當4=1時，。的面積為暫

變式4.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?高二揚中市第二高級中學校考開學考試）如圖，在棱長為0的正

方體48co-HB'C'O中，點E、F、G分別是棱4的、BC\C。的中點，則由點E、F、

G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于.

變式5.（2024?河南信陽?高二信陽高中?？茧A段練習）在一次通用技術實踐課上，木工小組

需要將正方體木塊截去一角，要求截面經過面對角線/C上的點P（如圖），且與平面片C，

平行，已知/4=10cm,ZP=6cm,則截面面積等于cm2.

6

變式6.（2024?江蘇泰州?高一泰州中學?？茧A段練習）正方體48co-44GR的棱長是。，

其中E是CD中點，尸是中點，則過點及尸，片的截面面積是.

變式7.（2024?全國?高三專題練習）已知直三棱柱4BC-481cl的側棱長為2,AB1BC,

AB=BC=2,過N3,3片的中點￡,尸作平面0與平面44。。垂直，則所得截面周長

為.

變式8.（2024?全國?高三專題練習）棱長為1的正方體A8CD-44GA中，點E為棱8C的

中點，則過g,E,D三點的平面截正方體的截面周長為.

變式9.（2024?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學校聯考模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體

ABCD-AMR,中，點￡為⑦的中點，則過點C且與巴E垂直的平面c被正方體

ABCD-44qA截得的截面周長為.

題型三：截面切割幾何體的體積問題

例7.（2024?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末）在棱長為°的正方體48co-4片中，E,尸分別

為梭BC,CG的中點，過點/,E,尸作一個截面，該截面將正方體分成兩個多面體，則體

積較小的多面體的體積為.

例8.（2024?遼寧錦州??？家荒＃┰谡睦忮F6-/3CD中，M為SC的中點，過W作截面

將該四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕，匕，則?的最大值

是.

例9.（2024?浙江?高二競賽）在正四棱錐S-4BC。中，"在棱SC上且滿足SM=2MC.過

7

作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為匕，匕,則方的

最大值為.

變式10.（2024?上海?高二專題練習）如圖，正方體N5CD-4片G。，中，￡、產分別是棱

/反3c的中點，過點A、￡、尸的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為

匕匕，記匕＜匕，則匕：匕=.

變式11.（2024?全國?高一專題練習）如圖所示，在長方體48co-HB'C'D中，用截面截下

一個三棱錐C-4。。，則三棱錐C-4。。的體積與剩余部分的體積之比為.

變式12.（2024?貴州貴陽?貴陽六中校考一模）在三棱柱/3C-44C中，底面N8C,

/8=3C=C4=；N4,點尸是棱上的點，/尸=2尸4,若截面8PG分這個棱柱為兩部

分，則這兩部分的體積比為.

變式13.（2024?廣東揭陽?高一普寧市華僑中學校考階段練習）如圖，正方體

中，￡、尸分別是棱的中點，則正方體被截面3EFC分成兩部分的體積之比

8

題型四：球與截面問題

例10.（2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習）如圖，在棱長為1的正方體

/5CD-4片中，分別為棱42,0,的中點，過兒W作該正方體外接球的截面,

所得截面的面積的最小值為（）

例11.（2024?福建福州?福建省福州第一中學?？寄M預測）在矩形/BCD中，/8=3,/。=4,

將△MD沿對角線8。翻折至A/'B。的位置，使得平面/'3。_L平面5cD,則在三棱錐

H-3CD的外接球中，以4c為直徑的截面到球心的距離為（）

AV435口6枝「A/239?7113

1051010

32兀

例12.（2024?海南?高三校聯考期末）已知某球的體積為亍，該球的某截面圓的面積為3兀，

則球面上的點到該截面圓圓心的最大距離為（）

A.1B.3C.2+V3D.|

變式14.（2024?江西南昌?江西師大附中?？既＃┘褐襟w故CD-44G。的棱長為2,

E為棱CG上的一點，且滿足平面平面43。，則平面48。截四面體/8CE的外接

球所得截面的面積為（）

9

13「25c2

A.—nB.~znC.一兀D.一71

61233

變式15.（2024?四川內江?四川省內江市第六中學?？寄M預測）已知球。是正三棱錐

/-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=6,AB=也，

點E是線段2C的中點，過點￡作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

3兀c2無?7T一無

A.—B.—C.-D.一

4324

變式16.（2024?福建廈門?廈門外國語學校?？寄M預測）已知半徑為4的球O,被兩個平

面截得圓。卜記兩圓的公共弦為N8,且QQ=2,若二面角的大小為:兀，

則四面體48。02的體積的最大值為（）

A.8拒B.—V2C.—y[2D.—V3

999

變式17.（2024?全國?高三專題練習）已知球。和正四面體/-BCD,點8、C、D在球面上，

底面BCD過球心O,棱分別交球面于耳、G、A，若球的半徑R=6,則所得多面

體用CQ-BCD的體積為（）

A972n9V2?2372c13V2

84126

變式18.（2024?天津紅橋?統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為兀，

則球的體積為（）

46R4V2

33

「86n8V2

33

題型五：截面圖形的個數問題

例13.（2024?全國?高三專題練習）過正四面體尸-N3C的頂點尸作平面a,若a與直線上4,

PB,尸C所成角都相等，則這樣的平面的個數為（）個

A.3B.4C.5D.6

例14.（2024?陜西榆林?陜西省榆林中學校考三模）過正方體/BCD-43cl。的頂點A作平

面使得正方體的各棱與平面。所成的角都相等，則滿足條件的平面u的個數為（）

A.1B.3C.4D.6

例15.（2024?全國?高三專題練習）設四棱錐尸-N8CD的底面不是平行四邊形,用平面。去

10

截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面a

A.有無數多個B.恰有4個C.只有1個D.不存在

變式19.（2024?浙江?模擬預測）過正四面體/BCD的頂點/作一個形狀為等腰三角形的截

面，且使截面與底面BCD所成的角為75。，這樣的截面有（）

A.6個B.12個C.16個D.18個

變式20.（2024?上海楊浦?高二上海市控江中學校考期中）空間給定不共面的4,B,C,D

四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質的平面夕：A,B,C,。中有

三個點到的距離相同，另一個點到a的距離是前三個點到a的距離的2倍，這樣的平面。的

個數是個

題型六：平面截圓錐問題

例16.（多選題）（2024?廣東?高二統(tǒng)考期末）圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因為它可以

從圓錐中截取獲得.我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與

圓錐側面的交線）是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角6

不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、

橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與夕和圓錐軸截面半頂角。有如下關

系；當0>a時，截口曲線為橢圓；當6=a時，截口曲線為拋物線：當0<c

現有一定線段N8與平面?夾角0（如上右圖），2為斜足，尸上一動點P滿足尸=人

設P點在〃的運動軌跡是:T,則（）

A.當夕=（，7」時，「是橢圓B.當夕=97」時，「是雙曲線

C.當夕=￡,7=1時，「是拋物線D.當夕=￡,7=￡時，「是橢圓

4434

例17.（2024?遼寧阜新??？寄M預測）比利時數學家丹德林（GerminalDandelin）發(fā)現：在圓

11

錐內放兩個大小不同且不相切的球使得它們與圓錐的側面相切，用與兩球都相切的平面截圓

錐的側面得到的截線是橢圓.這個結論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個高為20,底面

半徑為4的圓柱體內放兩個球，球與圓柱底面及側面均相切.若一個平面與兩個球均相切,

則此平面截圓柱側面所得的截線為一個橢圓，則該橢圓的短軸長為（）

B.4C.24D.8

例18.（2024?安徽安慶?安徽省桐城中學校考一模）.如圖是數學家GerminalDandelin用來證

明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內放兩個

大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，設圖中球。一球a的半徑分別

為4和1,球心距|qa|=6,截面分別與球。一球d切于點E，F,（E,尸是截口橢圓

的焦點），則此橢圓的離心率等于（）

變式21.（2024?上海?高二專題練習）如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.

許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinaldandelin

（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分

12

別與圓錐的側面、截面相切，兩個球分別與截面相切于及尸，在截口曲線上任取一點A,過A

作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C,2,由球和圓的幾何性質，可以知道，AE=AC,

AF=AB,于是/E+/尸=4B+/C=JBC.由瓦C的產生方法可知，它們之間的距離8C是

定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以瓦尸為焦點的橢圓.

橢圓，已知44是橢圓的長軸，尸4垂直于桌面且與球相切，尸4=5,則橢圓的焦距為（）

A.4B.6C.8D.12

變式22.（2024?全國?高三對口高考）如圖，定點/和2都在平面c內，定點

。是&內異于/和3的動點，且尸CLZC.那么，動點C在平面。內的軌跡是（）

A.一條線段，但要去掉兩個點B.一個圓，但要去掉兩個點

C.一個橢圓，但要去掉兩個點D.半圓，但要去掉兩個點

變式23.（2024?全國?學軍中學校聯考模擬預測）已知空間中兩條直線4、4異面且垂直，平

面a〃/1且4ua,若點P到入4距離相等，則點P在平面夕內的軌跡為（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

變式24.（2024?寧夏銀川?校聯考二模）已知線段N3垂直于定圓所在的平面，B,C是圓上

的兩點，H是點8在4c上的射影，當C運動，點H運動的軌跡（）

13

A

c

A.是圓B.是橢圓C.是拋物線D.不是平面圖形

變式25.（2024?四川廣安?高二廣安二中校考期中）美學四大構件是：史詩、音樂、造型（繪

畫、建筑等）和數學.素描是學習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結構素描，而學習幾

何體結構素描是學習索描的重要一步.某同學在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面

去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱

為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短

母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是一個底角為60。的直角梯形，設圓柱半徑

廠=1,則該橢圓的焦距為（）

變式26.（2024?全國?高三專題練習）如圖，正方體4G，尸為平面內一動點，設二面

角4-82-尸的大小為a,直線4P與平面43。所成角的大小為尸.若cos￡=sine,則點

14

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

變式27.（2024?四川廣安?高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐尸-4BCD,4D_L平面以2,8。1平

面底面/BCD是梯形，AB^AD=2,BC=4,NAPD=NCPB,滿足上述條件的四

棱錐的頂點P的軌跡是（）

A.橢圓B.橢圓的一部分C.圓D.不完整的圓

變式28.（2024?全國?校聯考模擬預測）用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與

圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.我們

通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面

C與該圓錐的底而所成的銳二面角為9,則平面C截該圓錐所得橢圓的離心率

為.

題型七：截面圖形有關面積、長度及周長范圍與最值問題

例19.（2024?西藏林芝?統(tǒng)考二模）在三棱錐力-BCD中，AB=AC=BD=CD=BC=4,

平面a經過/C的中點￡,并且與3c垂直，當a截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三

棱錐/-BCD的外接球的表面積為（）

.8073?70小〃「80

A.-------7iB.——C.20兀D.—兀

333

例20.（2024?貴州?高二校聯考階段練習）已知圓錐的母線長為2,其側面展開圖的中心角

為6兀，則過圓錐頂點的截面面積最大值為（）

A.1B.V3C.2D.273

例21.（2024?全國?高一專題練習）若球。是正三棱錐/-BCD的外接球，BC=3,AB=243,

點E在線段以上，BA=3BE,過點E作球。的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面

積為（）

15

A.—B.2無C.—D.Ji

33

變式29.（2024?高一課時練習）在三棱錐Z-8CD中，

AB=BC=CD=DA=272,ZADC=ZABC=90°,平面NBC1平面/CD,三棱錐”—BCD

的所有頂點都在球。的球面上，耳尸分別在線段。及CD上運動（端點除外），BE=4iCF.

當三棱錐E-/C尸的體積最大時，過點尸作球。的截面，則截面面積的最小值為（）

3

A.兀B.■兀C.—KD.2兀

變式30.（2024?江西?高一寧岡中學校考期末）棱長為1的正方體的8個頂

點都在球。的表面上，E,尸分別為棱4。的中點，則經過E，尸球的截面面積的最小

值為（）

3-無一57

A.—兀B.-C.—兀D.一兀

8288

變式31.（2024?全國?高三對口高考）如圖，正方體4GA的棱長為26,動點尸

在對角線上，過點P作垂直于3。的平面&,記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的

周長為夕，設BP=x,則當xe[l,5]時，函數了=/（x）的值域為（）

A.B.[指,2幾]C.（0,&]D.（0,3&]

變式32.（2024?全國?高一專題練習）如圖所示，在長方體力3CD-44G。中，點E是棱CG

上的一個動點，若平面瓦?2與棱河交于點尸，給出下列命題：

16

①四棱錐用-BE。尸的體積恒為定值;

②四邊形尸是平行四邊形;

③當截面四邊形瓦弦＞尸的周長取得最小值時，滿足條件的點￡至少有兩個;

④直線QE與直線DC交于點尸，直線。尸與直線?！苯挥邳c。，則尸、B、。三點共線.

其中真命題是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

變式33.（2024?高一課時練習）正方體48CD-4耳G2中作一截面與AC；垂直，且和正方

體所有面相交，如圖所示.記截面多邊形面積為S,周長為C,則（）

A.S為定值，C不為定值B.S不為定值，C為定值

c.s和c均為定值D.S和C均不為定值

變式34.（2024?四川內江?高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在長方體/BCD-481GA中，BB^BXDX,

點E是棱CG上的一個動點，平面交棱”4于點尸，下列命題錯誤的是（）

17

A.四棱錐用-BE。/的體積恒為定值

B.存在點E,使得為0,平面BjE

C.存在唯一的點E