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文檔簡介
專題01集合與常用邏輯用語
目錄
題型一:集合
易錯點(diǎn)01忽視集合中元素的互異性
易錯點(diǎn)02未弄清集合的代表元素
易錯點(diǎn)03遺忘空集
題型二常用邏輯用語
易錯點(diǎn)04判斷充分性必要性位置顛倒
易錯點(diǎn)05由命題的真假求參數(shù)的取值范圍
題型一:集合
易錯點(diǎn)01:忽視集合中元素的互異性
易錯陷阱與避錯攻略
典例(24-25高三上?云南?期中)已知集合A={1,3,1},3={1,4+2},若4口3=8,則ae()
A.{2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,1,2}
【答案】A
【分析】利用子集關(guān)系來求解參數(shù),最后要檢驗(yàn)元素的互異性.
【詳解】因?yàn)?仆8=8,所以由4={1,3,/},3={1,0+2},
所以4+2=3或a+2=H,解得。=2或-1或1,
經(jīng)檢驗(yàn)集合中元素的互異性,把。=1或-1舍去,所以。6{2}.
故選:A.
【易錯剖析】
本題易忽略集合元素的互異性而錯選D.
【避錯攻略】
類型1集合與元素關(guān)系的判斷
⑴直接法:集合中的元素是直接給出的.
(2)推理法:對于某些不便直接表示的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.
【提醒】若集合是有限集,可將集合中的元素化簡并一一列出,再與有限集內(nèi)的元素進(jìn)行逐個對照,確定
是否存在與其相等的元素,進(jìn)而判斷集合與元素的關(guān)系;若集合是無限集,可將元素變形,看能否化為集
合中元素的形式,也可以代入集合的約束條件,判斷是否滿足,若滿足則屬于該集合,否則不滿足.
類型2根據(jù)元素與集合以及集合間關(guān)系求參數(shù)
第一步:求解,根據(jù)集合中元素的確定性,解出字母的所有取值;
第二步:檢驗(yàn),根據(jù)集合中元素的互異性,對解出的值進(jìn)行檢驗(yàn);
第三步:作答,此處所有符合題意的字母取值(范圍).
易錯提醒:集合中元素的三個性質(zhì),一定要理解透徹并掌握其基本作用:
(1)確定性:判斷對象能否構(gòu)成集合的依據(jù).
(2)互異性:常用于檢驗(yàn)解的合理性,如求解集合中元素含有參數(shù)的問題,先根據(jù)其確定性列方程,求出值
后,再根據(jù)其互異性檢驗(yàn).
(3)無序性:常用于判斷集合相等.
叁舉一反三
1.(24-25高三上?湖南長沙?期中)已知集合4={-1,0,4},3={-1,2,3}.若4。3={-1,0,2,3},則實(shí)數(shù)。的取
值集合為()
A.{2,3}B.{0,2,3}
C.{-1,2,3}D.{0,-1,2,3}
【答案】A
【分析】利用集合的基本運(yùn)算及集合中元素的互異性可確定選項(xiàng).
【詳解】由AuB={T,0,2,3}及集合中元素的互異性可得。=2或。=3,故實(shí)數(shù)。的取值集合為{2,3}.
故選:A.
2.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知集合4={。,4},B={1,4},若leA,則AUB中所有元素之和為()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【分析】由leA,求出。=1或a=-l,再分類討論由集合的互異性可求出AU3={-U,4},即可得出答案.
【詳解】由leA得。=1或/=1,解得:。=1或。=一1,
若。=1,則/=1,不符合題意;
若a=-l,A={-1,1},從而AU3={-U,4},
所以AU3中所有元素之和為4,
故選:C.
3.(2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.二模)已知集合4={1,@,B={2,a2},若AU3中恰有三個元素,則由。的取值
組成的集合為()
A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}
【答案】D
【分析】AU3中恰有三個元素,則兩集合中有一個相同元素,分類討論列方程求解并檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)?UB中恰有三個元素,所以a=2或.=/或1=片,
結(jié)合集合中元素的互異性,解得a=2或。=0或。=1(舍去)或q=-l.
故選:D.
?易錯題通關(guān)
1.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知集合A={1,16,8a},B={1,/},則滿足=3的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】根據(jù)集合運(yùn)算得集合關(guān)系,結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類討論求解即可.
【詳解】依題意,B^A,若/=16,解得。=-2(。=2時不滿足集合的互異性,舍去),
若,=8°,解得a=0(a=2時不滿足集合的互異性,舍去),
綜上所述,a=0或〃=一2.
故選:B
2.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知集合&={0,%療一3m+2},且2eA,則實(shí)數(shù)機(jī)為()
A.2B.3C.0或3D.0,2,3
【答案】B
【分析】由題意可得加=2或蘇一3機(jī)+2=2,分類討論,結(jié)合集合元素的互異性,即可求得答案.
【詳解】因?yàn)锳={o,m,M-3;w+2}且2eA,
所以根=2或加之一3機(jī)+2=2,
①若根=2,此時蘇-3機(jī)+2=0,不滿足元素的互異性;
②若4-3切+2=2,解得m=0或3,
當(dāng)機(jī)=0時不滿足元素的互異性,當(dāng)機(jī)=3時,A={0,3,2}符合題意.
綜上所述,m=3.
故選:B
3.(2024.四川攀枝花?二模)已知集合4={1,"},8={1,4,。},若A=3,則實(shí)數(shù)。組成的集合為()
A.{-2,-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,0,2)
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分“2=4和兩種情況運(yùn)算求解,注意集合的互異性.
a2=4a2=a
【詳解】AcB,則有或,解得〃=2或〃=一2或〃=。,
。w4〃w4
實(shí)數(shù)〃組成的集合為{-2,0,2}.
故選:D
4.(23-24高三上?全國?階段練習(xí))已知加ER,集合A={m,-L2},B=^a2|tze,^C=A\JB,且。的
所有元素和為12,則根=()
A.-3B.0C.1D.2
【答案】A
【分析】先確定集合區(qū)中可能的元素,根據(jù)兩集合中元素的和求出加的值,再根據(jù)集合中元素的互異性取
值.
【詳解】集合3中的元素可能為:加2,1,4
因?yàn)镸。一1,m手2.
若加=1,則4={1,—1,2},B={1,4},則。={1,—1,2,4},元素和不為12;
若m=-2,則4={—2,—1,2},B={1,4},則。={-2,-1,2,4},元素和不為12;
當(dāng)相w±l,±2時,C=1m,-l,2,m2,l,4},因?yàn)镃中所有的元素和為12,
所以加2+加=6,解得機(jī)=-3或根=2(舍去).
綜上:m=-3.
故選:A
5.已知aeR,b^R,若集合[a,Ll]={4,a-b,0},貝11/。19+62020的值為()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】B
【分析】結(jié)合已知條件,利用集合的互異性即可求解.
【詳解】?集合卜,[,"={片,分母中0,
b=O,〃2=1,且々2。。一人=々,解得。=一1,
20l92020
Aa+b=-l.
故選:B.
6.(24-25高三上?四川成都?期中)已知集合4={1,。+2},3={詭1,3},若對TxeA,都有尤e2,則。為(
A.1B.-1C.2D.1或2
【答案】C
【分析】得到分0+2=/和a+2=3兩種情況,求出。,舍去不合要求的解,得到答案.
【詳解】由題意得4=3,
當(dāng)a+2="時,解得a=2或-1,
當(dāng)a=2時,3={4,1,3}滿足要求,
當(dāng)a=-l時,a+2=l,a2=1,A,8中元素均與互異性矛盾,舍去,
當(dāng)a+2=3時,a=l,此時/=1,8中元素與互異性矛盾,舍去,
綜上,。=2.
故選:C
7.已知x為實(shí)數(shù),A=[2,x,x2},集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍,則實(shí)數(shù)x的個數(shù)為()
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【分析】由題意分情況討論并判斷即可.
【詳解】由題意:
當(dāng)2=2%時,x=l,此時集合A={2,1/},不成立;
當(dāng)2=2/時,x=±l,x=l時不成立,x=-l時,集合A={2,-1,1},成立;
當(dāng)x=2x2=4時,集合A={2,4,16},成立;
當(dāng)x=2/時,x=0或x=;,x=0時集合A={2,0,0},不成立,尤=;時集合A=,成立;
當(dāng)%2=2x2時,x=±2,%=2時集合A={2,2,4},不成立,了=-2時集合A={2,-2,4},成立;
當(dāng)%2=2x時,x=0或%=2,%=0時集合A={2,0,0},不成立,%=2時不成立;
故工£2,—1,萬,4,,
故選:B.
8.(2024?貴州?模擬預(yù)測)已知集合A={4X?3,X£N},3={2機(jī)一1,八療},C={3,m,3m-2},若3=C,
則Ac5的子集個數(shù)為()
A.2B.4C.7D.8
【答案】B
【分析】本題根據(jù)仄C兩集合相等,則元素相同,然后分類討論求出參數(shù)相,進(jìn)而求出兩個集合,再求集
合A、5的交集,然后可求子集的個數(shù).
【詳解】由題意得,A={0,l,2,3},又集合g=C,
若2機(jī)一1=3,則機(jī)=2,此時5={2,3,4},
則AI3={2,3},故Ac6子集個數(shù)為22=4;
若2機(jī)-1=W,則機(jī)=1,此時顯然民C集合不成立,舍去;
若2zn—1=3m—2,m=l,同理舍去.
綜上得:m=2時,Ac5子集個數(shù)為4個;
故選:B.
9.(多選)(24-25高三上?江西新余?階段練習(xí))若集合A={/+2°,3a+2,8},則實(shí)數(shù)”的取值可以是()
A.2B.3C.-4D.5
【答案】BD
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.
【詳解】集合A=忖+2a,3a+2,8},則a2+2aR8,3a+2*8,/+2aR3a+2,
解得々W-4,QW2MW—1,可知BD符合題意,
故選:BD.
10.(多選)(23-24高三上?福建寧德?期中)設(shè)集合"={3,9,3",N=[3,x2},且N=則1的值可以為
()
A.-3B.3C.0D.1
【答案】AC
【分析】由子集的概念解出x,并注意驗(yàn)證集合間元素是否滿足互異性.
【詳解】因?yàn)镹gM,所以1=9或尤2=3尤,解得x=±3或x=0.
當(dāng)x=3時,3x=9,集合M中的元素不滿足互異性,故舍去.
當(dāng)》=-3時,符合題意.
當(dāng)x=0時,也符合題意.
故選:AC.
11.(2024?安徽?三模)已知集合4={42,-1},8={引y=若AU8的所有元素之和為12,則實(shí)數(shù)
4=.
【答案】-3
【分析】分類討論力是否為L-2,進(jìn)而可得集合8,結(jié)合題意分析求解.
【詳解】由題意可知:1且丸。2,
當(dāng)x=A,貝!Jy=%;當(dāng)%=2,則y=4;當(dāng)%=—1,則y=1;
若幾=1,則3={1,4},此時AU5的所有元素之和為6,不符合題意,舍去;
若4=-2,則8={1,4},止匕時AUB的所有元素之和為4,不符合題意,舍去;
若且2。一2,則3={1,4,/??},故分+4+6=12,解得X=—3或4=2(舍去);
綜上所述:2=—3.
故答案為:-3.
易錯點(diǎn)02:未弄清集合的代表元素
易錯陷阱與避錯攻略
典例(2024.湖南衡陽.一■模)已知集合A={y|y=1g,—%—2)},B={x\y=y/x2—x+2}?則Ap]B=()
3
A.(一1,2)B.[—,+oo)C.(0,+oo)D.R
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)求值域得4根據(jù)二次函數(shù)求得函數(shù)定義域得3,根據(jù)交集運(yùn)算得解.
【詳解】A={y\y=lg(x2一%-2)}為函數(shù)y=但(一一兀一2)的值域,
令,二%2一%一2>0=>%>2或x<-1,/£(0,+8)=>y=lg,ny£R,
B={x\y=yjx2—x+2}為函數(shù)y=yjx2—x+2的定義域,
即y小一夕+:,因?yàn)?x-g)2+:N:,所以函數(shù)y="不工定義域?yàn)镽,
故A「3=R,
故選:D.
【易錯剖析】
本題易忽略集合的代表元素,沒有注意到集合A表示的是函數(shù)的值域,而集合B表示的是函數(shù)的定義域而
出錯.
【避錯攻略】
在進(jìn)行集合間運(yùn)算時,常用的方法為列舉法和賦值法:
方法1列舉法
列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素,然后根據(jù)集合基本運(yùn)算的定義求解的方法。
【具體步驟】
第一步:定元素,確定已知集合中的所有元素,利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍;
第二步:定運(yùn)算,利用常見不等式或等式解未知集合;
第三步:定結(jié)果。
方法二:賦值法
高考對集合的基本運(yùn)算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項(xiàng)之間的明顯差
異,選擇一些特殊元素進(jìn)行檢驗(yàn)排除,從而得到正確選項(xiàng).
【具體步驟】
第一步:辨差異,分析各選項(xiàng),辨別各選項(xiàng)的差異;
第二步:定特殊,根據(jù)選項(xiàng)的差異,選定一些特殊的元素;
第三步:驗(yàn)排除,將特殊的元素代入進(jìn)行驗(yàn)證,排除干擾項(xiàng);
第四步:定結(jié)果,根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項(xiàng)。
易錯提醒:在進(jìn)行集合的運(yùn)算時,一定要先觀察集合的代表元素,因?yàn)榇碓貨Q定了集合的性質(zhì),通過
集合的代表運(yùn)算可以確定集合是數(shù)集還是點(diǎn)集、代表元素是實(shí)數(shù)還是整數(shù),另外在進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算時,一定
要注意全集的性質(zhì),不要想當(dāng)然的認(rèn)為是R.
舉一反三
1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)已知集合"={引y=x2-2x-2],N=尤|y,則MAN=()
A.[-3,1)B.[-1,1)C.(1,3)D.[1,4]
【答案】A
【分析】先化簡集合M,N,再利用交集定義即可求得MCN.
[詳解】M={y\y=x2-2x-2]=[y\y=(x-1)2-3)={y|y>-3)
故McN={y|j>-31n|x|x<l|=[-3,l)
故選:A
2.(24-25高三上?江蘇鹽城?期中)已知集合4={一1,1},8={(x,y)|x€A,yeA},則AQ3=()
A.AB.BC.0D.R
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知集合B表示點(diǎn)集,而集合A表示數(shù)集,即可根據(jù)交集的定義求解.
【詳解】由8={(x,y)|xcA}可得3=1),(1,-1),(1』)},
故"18=0,
故選:C
3.(24-25高三上?山東?期中)集合A={1,2,3,4,5,6},8={xwN|2xeA},則()
A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}
【答案】D
【分析】由補(bǔ)集定義可得答案.
【詳解】因?yàn)锳={1,2,3,4,5,6},B={xeN|2xGA),
所以3={1,2,3},^B={4,5,6}.
故選:D.
,易錯題通關(guān)
1.(2024?浙江溫州?模擬預(yù)測)設(shè)集合A={x£Z|f—3x—4<0},B={x||x+l|<1},則Ap5=()
A.{-1,0}B.{—2,—1,01
C.{0,1,2}D.{0,1}
【答案】A
【分析】解不等式化簡集合43,再利用交集的定義求解即可.
【詳解】依題意,A={xeZ|-1<x<4]={-1,0,1,2,3,4},B={x|-l<x+l<l)=(%|-2<x<0},
所以AC3={-1,0}.
故選:A
2.(24-25高三上?陜西漢中?期中)已知全集"=3彳-1<0},集合A={x|/+3尤-4<0},則gA=()
A.(-oo,-4)B.(-oo,-4]C.(-4,1)D.[T』)
【答案】B
【分析】先求解集合A,然后利用補(bǔ)集的定義即可求解
【詳解】根據(jù)題意,集合&=伸爐+3%-4<0}=卜|-4<%<1},
因?yàn)椤?(一?/),所以64=(-8,-4].
故選:B
3.(2024.廣東肇慶?一模)已知集合4=卜?川(尤-l)(x-4)V0},B={x|0<x<3},則4口8=()
A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)
【答案】A
【分析】解不等式可得A={1,2,3,4},再由交集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】由不等式(x—l)(x-4)W0,Ml<x<4,所以A={1,2,3,4},
又3={引0<》<3},可得AcB={l,2}.
故選:A
4.(24-25高三上?浙江?階段練習(xí))已知集合M="x,y)y=l-],,N=,(x,y)[+/=>,則McN的元
素個數(shù)為()
A.0B.1C.2D.無數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的元素類型,列方程組求解集即可得元素個數(shù).
【詳解】因?yàn)榧螹=?y)y=i弓,N=(7)5+丁=1卜
1X
七
yx=0x=2
則聯(lián)立,解得,或
/
k+y2=i[y=iy=0
故McN={(0,l),(2,0)},集合中有2個元素.
5.(24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí))已知集合A=y=1鳴優(yōu)叫},集合2={y|y=3一'},則AQ8=()
A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+co)D.(2,+oo)
【答案】C
【分析】根據(jù)題意,將集合48化簡,再結(jié)合交集的運(yùn)算,即可得到結(jié)果.
2
【詳解】A={x|y=log3(x-1)}=卜Y-1>0}={x|x>1或x<-1},
8=卜3=3一]=}?>0},所以Ac5=(l,+a),
故選:C
6.(24-25高三上廣東東莞?階段練習(xí))設(shè)&={。,,)及=--x},B={(x,y)|y=x},則()
A.{(0,0),(2,2))B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0
【答案】A
【分析】聯(lián)立集合A與集合B的方程組,解方程組可得答案.
y=x2-x
【詳解】根據(jù)題意知聯(lián)立集合A與集合B方程組得
y=x
解之可得或所以Ac3={(0,0),(2,2)}.
故選:A
7.(24-25高三上?山東濟(jì)寧?期中)已知集合尸=卜卜=4^],e==則尸仆(4。)=()
A.0B.[1,+<?)C.(-oo,0)D.(-<?,-]]
【答案】D
【分析】首先根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)求出集合P,再求出集合。,最后根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】由y=V7=可得--120,解得XN1或xW-1,
所以尸=卜卜==(-8,-1]u[L+8),
又/_120,則y=6一120,所以0=卜:=/尤2_1]=[。,+8),
所以0Q=(9,0),所以PA低2)=(一嗎一。
故選:D.
易錯點(diǎn)03:遺忘空集
,易錯陷阱與避錯攻略
典例(24-25高一上?重慶萬州?期中)已知集合&=國x>5},B^[x\5a-l<x<a+l\},^A\jB=A,貝ija
的取值范圍為()
A.(-oo,-6]B.|>+c0]C.■1,3jD.[3,+co)
【答案】B
【分析】由并集的定義可知AU3=A得到B=討論集合B是否為空集,得到對應(yīng)的參數(shù)。的范圍,再
求并集得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)锳UB=A,所以3aA.
若3=0,貝U5a—即a23;
[a<36
若5W0,貝ij,八二解得『Wa<3.
[5(2-1>55
綜上所述,。的取值范圍是|,+8]
故選:B
【易錯剖析】
因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹鶕?jù)包含關(guān)系求參數(shù)時一定分析集合為空集的情況,本題易忽略對3=0的討
論而錯選C..
【避錯攻略】
1.當(dāng)已知A旦5,=0求參數(shù)時,一定要分析集合為空集的情況;
2.若集合為不等式的解集,往往借助于數(shù)軸進(jìn)行分析;
【具體步驟】
第一步:化簡,化簡所給集合;
第二步:畫圖,用數(shù)軸表示所給集合;
第三步:列示,根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式(組);
第四步:求解,解出不等式(組的解;
第五步:檢驗(yàn),通過返回代入驗(yàn)證端點(diǎn)是否能夠取到.
3.若集合為正整數(shù)集或抽象集合,可借助于韋恩圖分析,若集合是點(diǎn)集,可借助于曲線的圖像分析.
易錯提醒:|已知集合關(guān)系求參數(shù)時,除去要分析空集的情況,還一定要分析端點(diǎn)值能否取得,可采用代入
檢驗(yàn)的方法加以區(qū)分,避免出錯.
舉一反三
1.集合4=卜2/-5X+2=0},3=上公一2=0},若3=4口2,則實(shí)數(shù)。的取值集合為()
A.{-1,「4}B.10,—1,-41C.{1,4}D.{0,1,4}
【答案】D
【解析】首先求出集合A,依題意可得再分3=0、3={2}、B=三種情況討論
因?yàn)锳={x|2Y-5x+2=0}=12,31,B=AQB,所以BgA,又8=卜|辦-2=0}
當(dāng)3=0,則。=0,當(dāng)3={2},即2a—2=0,解得。=1,當(dāng)2=1},即;"2=0,解得。=4,綜上可
得實(shí)數(shù)。的取值集合為{0,1,4},故選:D
2.設(shè)集合。=R,集合&={刊-2工彳45},3={旬加-64》<2〃7-1},若AcB=0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為
()
A.1B.(11,-H?)C.-g,ll]D.1U(ll,+°°)
【答案】D
【解析】結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求機(jī)的范圍
當(dāng)3=0時,=0,則%一622加一1,即機(jī)W—5
fm—6<2m—1[m—6<2m—\
當(dāng)3/0時,若Ac5=0,貝ij。?;蛞?/p>
[2m-1<—2—6>5
解得-5<niV-g或機(jī)>11,綜上,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為1-鞏-gU(U,+⑹
故選:D
3.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))設(shè)集合尸={x[—2<x<3},Q={x|3a<xWa+l}.
(1)若尸no=0,求。的取值范圍.
(2)若?UQ=P,求。的取值范圍.
[答案](1)(_8,-3]°;什°°)
⑵_g,+°°]
【分析】(1)根據(jù)題意,分Q=0和QW0兩種情況進(jìn)行討論,結(jié)合pno=0,列出不等式,即可求解;
(2)根據(jù)題意,分Q=0和Qw0兩種情況進(jìn)行討論,結(jié)合PUQ=。,列出不等式,即可求解;
【詳解】(1)解:由集合尸={1|—2<%<3},且Q={九[3々vx<a+l}
因?yàn)槭凇?0,可分Q=0和Q-0兩種情況進(jìn)行討論:
當(dāng)Q=0時,可得3a之a(chǎn)+1,解得此時滿足尸0。=0;
一『3〃<a+l{3a<a+l
當(dāng)Qwo,因?yàn)椤??!?0,則滿足或,解得3,
[a+l<-2[3a>3
綜上可得,實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-*-3]ug,+8).
(2)解:由集合尸={%|-2cx<3},且0={*|3々v%<a+l},
因?yàn)槭琔Q=P,可分Q=0和QwO兩種情況進(jìn)行討論:
當(dāng)Q=0時,可得3aNa+l,解得,此時滿足尸UQ=。;
2
3〃<4+1
71
當(dāng)QW0,因?yàn)镻UQ=P,則滿足〃+1<3,解得—鼻<1<5,
3a>-2、'-
綜上可得,實(shí)數(shù)。的取值范圍為
易錯題通關(guān)A
1.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知集合4={知(尤<2},3={疝<x<a},若B=則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
A.(2,+co)B.(1,2]C.(-oo,2]D.[2,+oo)
【答案】C
【分析】由集合的包含關(guān)系,對集合8是否是空集分類討論即可求解.
【詳解】集合A={x|l<x<2},B={x[l<x<。},若81A,
則若則3=0=4滿足題意;
若。>1,且3=A,貝
綜上所述,實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,2].
故選:C
2.設(shè)集合A={x|2a+1WxW3a-5},B=1x|x2-21.X+80<0^,若Ap|8=A,貝!]()
A.{a|2Wa<7}B.{a|64aV7}C.{a\a<7jD.{a|a<6}
【答案】C
【分析】解不等式化簡集合B,再利用集合的包含關(guān)系求解即得.
【詳解】顯然3=舊尤2—2卜+80V。}={尤|5WxV16},由4口3=4,得A=3,
當(dāng)A=0時,即2a+l>3a-5,解得a<6,滿足貝ija<6;
當(dāng)AW0時,則5W2a+lW3a-5W16,解得6<a<7;
所以aV7.
故選:C
3.(23-24高一上.廣東肇慶?階段練習(xí))已知U=R,集合4=卜--彳-2=。},B={x\tnx+l=0},
31(街A)=0,則實(shí)數(shù)m=()
A.一1或1B.一,或0C.1或0D.或1或0
222
【答案】D
【分析】求出集合A中方程的解確定A,即可求出即A,根據(jù)31(用A)=0,分兩種情況加=0和加H0討論
即可.
【詳解】由題可知,A={2,-1},則2A={x|無w-l或xw2},
因?yàn)?={x|〃a+1=0},
所以當(dāng)機(jī)=0時,5=0,則3144)=0,符合題意;
當(dāng):〃力0時,B={-},
m
由5I&A)=0知,一~?"=一1或——=2,即機(jī)=1或加=一工,
mm2
綜上所述,實(shí)數(shù)機(jī)為?;?或-J,
故選:D.
4.(24-25高三上?遼寧沈陽?期中)集合P={x||x-l|<l},。={尤尤4a+l},且尸口。=。,則實(shí)數(shù)。的
取值范圍為()
A.1或B.-l<a<3C.a>3D.a<-l
【答案】A
【分析】首先化解集合A,又QwO,即可得至U〃+1WO或a—122,解得即可.
【詳解】由上一l|vl,BP-1<X-1<1,解得0<x<2,
所以P={X||X-1|<1}={X|0<A:<2},
又0={%|4-1?%?々+1},顯然Qw0,
因?yàn)???凇?0,所以〃+1?0或。一1之2,
解得1或
即實(shí)數(shù)〃的取值范圍為aW-l或3.
故選:A
5.(24-25高一上?四川達(dá)州?期中)已知集合A={%|-2<^<10},B={x\l-m<x<l^m]BC6RA=0,則
實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()
A.m<3B.m<9C.機(jī)W3或mW9D.3<m<9
【答案】A
【分析】已知BI4A=0,這意味著3集合與A集合在R中的補(bǔ)集沒有交集,那么3集合是A集合的子集.
接下來通過分析3集合的邊界與A集合邊界的關(guān)系來確定機(jī)的取值范圍.
【詳解】々A={x|%<—2或%>10}.因?yàn)?1aA=0,所以
由于5={x|l-根《*£1+加},要滿足
當(dāng)5=0,BP+解得機(jī)<0.
m>0
當(dāng)5w0,貝!J有v1—根2—2.解得:0<m<3.
l+m<10
綜上,加的取值范圍為機(jī)《3.
故選:A.
6.已知集合4={小2-1=0},B={x|a尤=1},若An8=B,則實(shí)數(shù)a取值集合為()
A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,11
【答案】D
【分析】由題意知分別討論3=0和8N0兩種情況,即可得出結(jié)果.
【詳解】由=知BgA,因?yàn)?={小2-1=0}={-1,1},B={x\ax=Vi,
若3=0,則方程依=1無解,所以。=0;
若3N0,awO,則3={x|or=1}=1x卜=,1,
因?yàn)?=所以'=±1,貝!|a=±l;
a
故實(shí)數(shù)。取值集合為{T。,1}.
故選:D.
7.(24-25高三上?江蘇南通?期中)已知集合4={-2,1,3,4},3={剜犬-2]<肛?zé)o€口},若4八"8=0,則實(shí)數(shù)
加取值范圍為()
A.m>4B.m>4C.m<2D.m>2
【答案】A
【分析】根據(jù)集合8計(jì)算々8,利用An13=0求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由An\B=0得,BK0,m>O.
由B={x||x—2|<m,xeR)得,B={x|2-m<x<2+m},
:.14={x[%<2-m^x>2+m},
f2-m<c-2
解得
12+m>4m>4.
故選:A.
8.(24-25高三上?上海青浦?階段練習(xí))已知集合A=x—9B=m+l<x<3m,mGR},若
AU5=A,則根的取值范圍是.
4
【答案】m<|
【分析】解絕對值不等式可得集合A,由AU8=A得BqA,討論5為空集和不為空集情況,解相應(yīng)不等
式,即得答案.
5335353
【詳解】解即一彳即A=尤|無一不={x|l4x44},
乙乙乙乙乙I乙乙I
由AU3=A,得BqA;
當(dāng)5={%|m+14x(3八mER}=0時,即m+1>3九.,.加<:,符合題意;
m+l<3m
14
當(dāng)5W0時,需滿足加+121,解得5<加工§,
3m<4
4
綜合可得根
4
故答案為:
9.(24-25高三上?河北?階段練習(xí))已知集合人={%|/—2x—3W0},B={x\m-2<x<m+2],若人口5=0,
則m的取值范圍是.
【答案】{m|機(jī)<-3或機(jī)>5}
【分析】化簡集合A,由兩集合交集為空集,列出不等式即可求解.
【詳解】A={x\x2-2x-3<0}={x\-l<x<3]
因?yàn)?口5=0
所以根+2v—1或m—2>3
解得:機(jī)〈-3或小>5
故答案為:{%|〃7<-3或〃7>5}
10.(24-25高三上?河南?開學(xué)考試)己知集合4={削一1<》<2},3={刈^A\JB=B,則實(shí)數(shù)加的
取值范圍為.
【答案】[2,+8)
【分析】求出集合8,根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式組求解可得.
【詳解】因?yàn)锳UB=3,所以A=3,
當(dāng)機(jī)<0時,B=0,不滿足題意;
當(dāng)機(jī)20時,由|x-l區(qū)機(jī)解得3={尤|1一機(jī)WxVl+機(jī)},
依題意有1+加12,解得機(jī),2,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[2,田).
故答案為:[2,+co)
11.(2024?江蘇常州?三模)集合A={尤卜lWx+146},8={必“一1<尤<2根+1,meR},若A|J3=A,則實(shí)
數(shù)m的取值范圍為.
【答案】(-8,-2]u[T2]
【分析】結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求小的范圍.
【詳解】由Au3=A=>BqA,且A={%|-2<%45},
當(dāng)5=0時,BcA,則加一122徵+1,即mW—2,
m-l>-2
當(dāng)時,若B=A,貝卜加〉一2,解得—IV機(jī)42,
2m+1<5
綜上,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-力,-2]0卜1,2].
故答案為:(-^,-2]u[-l,2].
題型二:常用邏輯用語
易錯點(diǎn)04:判斷充分性必要性位置顛倒
叁易錯陷阱與避錯攻略
典例命題“依包1,2],/一°40,,為真命題的一個充分不必要條件是()
A.a<4B.6?>4C.a<5D.a>5
【答案】D
【解析】求解命題“依可1,2],/—a4o,,為真命題時。24,即可根據(jù)真子集求解
命題”心引1,2],犬2_4<0,,為真命題,則說/對也41,2]恒成立,所以/(巧皿*,故所以命題
“Vx且1,2],好。,,為真命題的充分不必要條件需要滿足是{a\a>4}的真子集即可,由于{*25}是
{謂"}的真子集,故符合,故選:D
【易錯剖析】
本題易混淆A是B的充分條件和A的充分條件是B的區(qū)別而出錯.
【避錯攻略】
1掌握充分、必要條件的概念及類型
(1)如果pnq,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件;
(2)如果p=>q,但q分p,則p是q的充分不必要條件;
(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件;
(4)如果q=>p,且p分q,則p是q的必要不充分條件;
(5)如果p#q,且q#p,則p是q的既不充分又不必要條件.
【解讀】
(l)p是q的充分條件,是指以p為條件可以推出結(jié)論〃,但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論公一般
來說,給定條件p,由p可以推出的結(jié)論是不唯一的.
(2)“p是q的充分條件”與是p的必要條件”表述的是同一個邏輯關(guān)系,即p'q,只是說法不同.
(3)p是q的充要條件意味著“p成立,則q一定成立;p不成立,則〃一定不成立",要判斷p是否為q
的充要條件,需要進(jìn)行兩次判斷:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.若p能推出q,q也能推出p,
就可以說P是4的充要條件,否則,就不能說p是4的充要條件.
2.靈活運(yùn)用判斷充分、必要條件的方法
(1)定義法:直接利用定義進(jìn)行判斷;
(2)圖示法:多個條件間關(guān)系的判斷時,可以用用“T,、“今”、“u”將條件彼此相連,然后再判斷它們之
間的關(guān)系.
(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷:如果條件p和結(jié)論q都是集合,那么若則p是q的充分不必要
條件;若則p是q的必要不充分條件;若p=q,則p是q的充要條件,尤其對于數(shù)的集合,可以利用小范
圍的數(shù)一定在大范圍中,即小今大,會給我們的解答帶來意想不到的驚喜.
(4)舉反例:要說明p是q的不充分條件,只要找到尤{.即},但{.的}即可.
易錯提醒:在判斷充分、必要條件時,一定要先對條件進(jìn)行等價化簡,然后再結(jié)合合適的方法進(jìn)行判斷,
為避免位置顛倒出錯,可先用推出符號標(biāo)注好判斷的方向再進(jìn)行分析.
舉一反三
1.已知命題P:Vxe[M,2],^x2-a>0,則P為真命題的一個充分不必要條件是()
A.a<-2B.a<QC.a<8D.a<16
【答案】A
【解析】先分離參數(shù)求出。的取值范圍,則。為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是(-8,0]的一個真子集,
由題設(shè)命題為真,即在xe[T,2]上恒成立,所以=0,則P為真命題的一個充分不必要
2"7min
條件應(yīng)該是的一個真子集,
故選:A
2.(24-25高三上?云南?期中)“二>0,(。-3)%-1=0”成立的充分必要條件是()
A.a>lB.a<\C.a>3D.a<3
【答案】C
【分析】討論。-3是否為0,當(dāng)a-3=0時,顯然無解,故aw3,用,表示出方程的解,令結(jié)果大于0,求
得〃的取值范圍.
【詳解】當(dāng)a—3=0即Q=3時,Vx>0,(a—3卜一1=一1w0,所以〃。3;
當(dāng)a—3w0即aw3時,3x>0,(〃一3)x-l=0=%=--—>0=。>3.
a—3
故選:C.
3.(24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試)若不等式|尤+1|<。成立的充分條件是0<x<4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍
是()
A.a<—lB.a<5C.a>—\D.a>5
【答案】D
【分析】先分情況求不等式|x+l|〈。的解集,再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)。的取值范圍.
【詳解】設(shè)不等式|x+l|<。的解集為A,3=(0,4),
因?yàn)椴坏仁匠闪⒌某浞謼l件是0<%<4,,所以3UA,
所以所以〃>0.
由|x+11<?!猘<x+1<a-a-1<x<6z-1,所^以A—(—a—1,ci—1).
—1<0
由可得<=>a>5.
[a-l>4
故選:D
,易錯題通關(guān).
1.(24-25高三上?青海西寧?期中)已知。>0,b>0,則使。+人22成立的一個充分條件是()
A.a2+b2=1B.a+b=ab
c.2a+2b=4D.a+b2=2
【答案】B
【分析】利用充分條件的定義,結(jié)合基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)判斷.
【詳解】對于A,取b=B,顯然有/+廿=1成立,但不成立,不符合題意.
22
對于B,由a+b=ab,^―+—=1,所以a+b=(a+b)(—+:]=2+2+/w4,可推出a+b22,符合題意.
ab\abJab
對于C,_20_1_2^>2^2^,2^=21+^-9可得a+b?2,不符合題意.
對于D,由々+廿=2,得a=2—〃,因?yàn)??!?,b>0,所以0<人<0,所以
a+b=-/+6+2=-[z?-g[血,:,不能推出a+/?22,不符合題意.
故選:B.
2.使“a<6”成立的一個充分不必要條件是()
A.VxG(0,1],a^b+xB.Vxe(0,1],a+x<b
C.BXG[0,1],a<b+xD.3xe[0,l],a+x^b
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對于A,若Vxe(O,l],a^b+x,當(dāng)々=/?時,a=Z?vb+x成立,
所以“VJV£(0,1],aWb+x”N"a〈b\A不滿足條件;
對于B,Vxe(0,1],a+x<b,貝!Ja<a+xv>,即〃</?,
所以“V%£(o,l],a+x〈b"="a〈b",
若a<b,則Vx£(0,l],不妨取a=l,b=1.2,x=0.5,貝ija+尤〉b,
所以“Vx£(0,l],a+x<b"Va<b”,
所以“VX£(O,1],a+xv〃”是的充分不必要條件,B滿足條件;
對于C,若a<b,貝!JHX£[0,1],使得avZ?<Z?+x,BPa<b+x,
即"〃<b"="3x£[。/],a<b+x^,
所以Fxe[0,l],是""6”的充分條件,C不滿足條件;
對于D,若a+xWb,則+即當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立,
所以“去武0』,a+2ka〈b\D不滿足條件.
故選:B.
3.(24-25高三上?河北張家口?開學(xué)考試)已知Q,4C£R,使,成立的一個充分不必要條件是()
A.a+c>b+cB.ac>be
C.a2>b2D.ac2>be2
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件,利用充分條件、必要條件的定義,結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.
【詳解】對于A,a+ob+c^-a>b,A不是;
對于B,當(dāng)c<0時,由ac>bc,得a<b,B不是;
對于C,a2>b2,可能有。<6,如a=-2,6=1,C不是;
對于D,由ac?>灰??,得02>0,貝1Ja>〃;若a>b,c=O,貝!]℃2=仄?,D是.
故選:D
4.(2024?陜西咸陽模擬預(yù)測)直線無+>+匕=0與圓C:(x+iy
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