集合與常用邏輯用語-2025年高考數(shù)學(xué)易錯題專練（新高考專用）（解析版）

專題01集合與常用邏輯用語

目錄

題型一：集合

易錯點(diǎn)01忽視集合中元素的互異性

易錯點(diǎn)02未弄清集合的代表元素

易錯點(diǎn)03遺忘空集

題型二常用邏輯用語

易錯點(diǎn)04判斷充分性必要性位置顛倒

易錯點(diǎn)05由命題的真假求參數(shù)的取值范圍

題型一：集合

易錯點(diǎn)01：忽視集合中元素的互異性

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?云南?期中)已知集合A={1,3,1},3={1,4+2},若4口3=8,則ae()

A.{2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,1,2}

【答案】A

【分析】利用子集關(guān)系來求解參數(shù)，最后要檢驗(yàn)元素的互異性.

【詳解】因?yàn)?仆8=8,所以由4={1,3,/},3={1,0+2},

所以4+2=3或a+2=H,解得。=2或-1或1,

經(jīng)檢驗(yàn)集合中元素的互異性，把。=1或-1舍去，所以。6{2}.

故選：A.

【易錯剖析】

本題易忽略集合元素的互異性而錯選D.

【避錯攻略】

類型1集合與元素關(guān)系的判斷

⑴直接法：集合中的元素是直接給出的.

（2）推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可將集合中的元素化簡并一一列出，再與有限集內(nèi)的元素進(jìn)行逐個對照，確定

是否存在與其相等的元素，進(jìn)而判斷集合與元素的關(guān)系；若集合是無限集，可將元素變形，看能否化為集

合中元素的形式，也可以代入集合的約束條件，判斷是否滿足，若滿足則屬于該集合，否則不滿足.

類型2根據(jù)元素與集合以及集合間關(guān)系求參數(shù)

第一步：求解，根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值；

第二步：檢驗(yàn)，根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進(jìn)行檢驗(yàn)；

第三步：作答，此處所有符合題意的字母取值（范圍）.

易錯提醒：集合中元素的三個性質(zhì)，一定要理解透徹并掌握其基本作用：

（1）確定性：判斷對象能否構(gòu)成集合的依據(jù).

（2）互異性：常用于檢驗(yàn)解的合理性，如求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值

后，再根據(jù)其互異性檢驗(yàn).

（3）無序性：常用于判斷集合相等.

叁舉一反三

1.（24-25高三上?湖南長沙?期中）已知集合4={-1,0,4},3={-1,2,3}.若4。3={-1,0,2,3},則實(shí)數(shù)。的取

值集合為（）

A.{2,3}B.{0,2,3}

C.{-1,2,3}D.{0,-1,2,3}

【答案】A

【分析】利用集合的基本運(yùn)算及集合中元素的互異性可確定選項(xiàng).

【詳解】由AuB={T,0,2,3}及集合中元素的互異性可得。=2或。=3,故實(shí)數(shù)。的取值集合為{2,3}.

故選：A.

2.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知集合4={。,4},B={1,4},若leA,則AUB中所有元素之和為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由leA,求出。=1或a=-l,再分類討論由集合的互異性可求出AU3={-U,4},即可得出答案.

【詳解】由leA得。=1或/=1,解得：。=1或。=一1,

若。=1,則/=1,不符合題意；

若a=-l,A={-1,1},從而AU3={-U,4},

所以AU3中所有元素之和為4,

故選：C.

3.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.二模）已知集合4={1,@,B={2,a2},若AU3中恰有三個元素，則由。的取值

組成的集合為（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

【答案】D

【分析】AU3中恰有三個元素，則兩集合中有一個相同元素，分類討論列方程求解并檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)?UB中恰有三個元素，所以a=2或.=/或1=片，

結(jié)合集合中元素的互異性，解得a=2或。=0或。=1（舍去）或q=-l.

故選：D.

?易錯題通關(guān)

1.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知集合A={1,16,8a},B={1,/},則滿足=3的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)集合運(yùn)算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類討論求解即可.

【詳解】依題意，B^A,若/=16,解得。=-2（。=2時不滿足集合的互異性，舍去），

若，=8°,解得a=0（a=2時不滿足集合的互異性，舍去），

綜上所述，a=0或〃=一2.

故選：B

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知集合&={0,%療一3m+2},且2eA,則實(shí)數(shù)機(jī)為（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

【答案】B

【分析】由題意可得加=2或蘇一3機(jī)+2=2,分類討論，結(jié)合集合元素的互異性，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)锳={o,m,M-3;w+2}且2eA,

所以根=2或加之一3機(jī)+2=2,

①若根=2,此時蘇-3機(jī)+2=0,不滿足元素的互異性;

②若4-3切+2=2,解得m=0或3,

當(dāng)機(jī)=0時不滿足元素的互異性，當(dāng)機(jī)=3時，A={0,3,2}符合題意.

綜上所述，m=3.

故選：B

3.（2024.四川攀枝花?二模）已知集合4={1,"},8={1,4,。},若A=3,則實(shí)數(shù)。組成的集合為（）

A.{-2,-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,0,2）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意分“2=4和兩種情況運(yùn)算求解，注意集合的互異性.

a2=4a2=a

【詳解】AcB,則有或,解得〃=2或〃=一2或〃=。，

。w4〃w4

實(shí)數(shù)〃組成的集合為{-2,0,2}.

故選：D

4.（23-24高三上?全國?階段練習(xí)）已知加ER,集合A={m,-L2},B=^a2|tze,^C=A\JB,且。的

所有元素和為12,則根=（）

A.-3B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】先確定集合區(qū)中可能的元素，根據(jù)兩集合中元素的和求出加的值，再根據(jù)集合中元素的互異性取

值.

【詳解】集合3中的元素可能為：加2,1,4

因?yàn)镸。一1,m手2.

若加=1,則4={1,—1,2},B={1,4},則。={1,—1,2,4},元素和不為12；

若m=-2,則4={—2,—1,2},B={1,4},則。={-2,-1,2,4},元素和不為12；

當(dāng)相w±l,±2時，C=1m,-l,2,m2,l,4},因?yàn)镃中所有的元素和為12,

所以加2+加=6,解得機(jī)=-3或根=2（舍去）.

綜上：m=-3.

故選：A

5.已知aeR,b^R,若集合[a,Ll]={4,a-b,0},貝11/。19+62020的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件，利用集合的互異性即可求解.

【詳解】?集合卜，[，"={片,分母中0,

b=O,〃2=1,且々2。。一人=々，解得。=一1,

20l92020

Aa+b=-l.

故選：B.

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知集合4={1,。+2},3={詭1,3},若對TxeA,都有尤e2,則。為（

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】得到分0+2=/和a+2=3兩種情況，求出。，舍去不合要求的解，得到答案.

【詳解】由題意得4=3,

當(dāng)a+2="時，解得a=2或-1,

當(dāng)a=2時，3={4,1,3}滿足要求，

當(dāng)a=-l時，a+2=l,a2=1,A,8中元素均與互異性矛盾，舍去，

當(dāng)a+2=3時，a=l,此時/=1,8中元素與互異性矛盾，舍去，

綜上，。=2.

故選：C

7.已知x為實(shí)數(shù)，A=[2,x,x2},集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍，則實(shí)數(shù)x的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意分情況討論并判斷即可.

【詳解】由題意：

當(dāng)2=2%時，x=l,此時集合A={2,1/},不成立；

當(dāng)2=2/時，x=±l,x=l時不成立，x=-l時，集合A={2,-1,1},成立；

當(dāng)x=2x2=4時，集合A={2,4,16},成立；

當(dāng)x=2/時，x=0或x=；,x=0時集合A={2,0,0},不成立，尤=；時集合A=,成立；

當(dāng)％2=2x2時，x=±2,%=2時集合A={2,2,4},不成立，了=-2時集合A={2,-2,4},成立；

當(dāng)％2=2x時，x=0或％=2,%=0時集合A={2,0,0},不成立，％=2時不成立；

故工￡2,—1,萬，4,，

故選：B.

8.（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知集合A={4X?3,X￡N},3={2機(jī)一1,八療},C={3,m,3m-2},若3=C,

則Ac5的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】本題根據(jù)仄C兩集合相等，則元素相同，然后分類討論求出參數(shù)相，進(jìn)而求出兩個集合，再求集

合A、5的交集，然后可求子集的個數(shù).

【詳解】由題意得，A={0,l,2,3},又集合g=C,

若2機(jī)一1=3,則機(jī)=2,此時5={2,3,4},

則AI3={2,3},故Ac6子集個數(shù)為22=4;

若2機(jī)-1=W，則機(jī)=1,此時顯然民C集合不成立，舍去；

若2zn—1=3m—2,m=l,同理舍去.

綜上得：m=2時，Ac5子集個數(shù)為4個；

故選：B.

9.（多選）（24-25高三上?江西新余?階段練習(xí)）若集合A={/+2°,3a+2,8},則實(shí)數(shù)”的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

【答案】BD

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.

【詳解】集合A=忖+2a,3a+2,8},則a2+2aR8,3a+2*8,/+2aR3a+2,

解得々W-4,QW2MW—1,可知BD符合題意，

故選：BD.

10.（多選）（23-24高三上?福建寧德?期中）設(shè)集合"={3,9,3"，N=[3,x2},且N=則1的值可以為

（）

A.-3B.3C.0D.1

【答案】AC

【分析】由子集的概念解出x,并注意驗(yàn)證集合間元素是否滿足互異性.

【詳解】因?yàn)镹gM,所以1=9或尤2=3尤，解得x=±3或x=0.

當(dāng)x=3時，3x=9,集合M中的元素不滿足互異性，故舍去.

當(dāng)》=-3時，符合題意.

當(dāng)x=0時，也符合題意.

故選：AC.

11.（2024?安徽?三模）已知集合4={42,-1},8={引y=若AU8的所有元素之和為12,則實(shí)數(shù)

4=.

【答案】-3

【分析】分類討論力是否為L-2,進(jìn)而可得集合8,結(jié)合題意分析求解.

【詳解】由題意可知：1且丸。2,

當(dāng)x=A,貝!Jy=%；當(dāng)％=2,則y=4；當(dāng)％=—1,則y=1；

若幾=1,則3={1,4},此時AU5的所有元素之和為6,不符合題意，舍去；

若4=-2,則8={1,4},止匕時AUB的所有元素之和為4,不符合題意，舍去；

若且2。一2,則3={1,4,/??},故分+4+6=12,解得X=—3或4=2（舍去）；

綜上所述：2=—3.

故答案為：-3.

易錯點(diǎn)02：未弄清集合的代表元素

易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024.湖南衡陽.一■模）已知集合A={y|y=1g，—%—2）},B={x\y=y/x2—x+2}?則Ap]B=（）

3

A.（一1,2）B.[—,+oo）C.（0,+oo）D.R

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)求值域得4根據(jù)二次函數(shù)求得函數(shù)定義域得3,根據(jù)交集運(yùn)算得解.

【詳解】A={y\y=lg（x2一%-2）}為函數(shù)y=但（一一兀一2）的值域，

令，二%2一％一2>0=>%>2或x<-1,/￡（0,+8）=>y=lg，ny￡R,

B=｛x\y=yjx2—x+2｝為函數(shù)y=yjx2—x+2的定義域，

即y小一夕+：,因?yàn)?x-g)2+：N：,所以函數(shù)y="不工定義域?yàn)镽，

故A「3=R,

故選：D.

【易錯剖析】

本題易忽略集合的代表元素，沒有注意到集合A表示的是函數(shù)的值域，而集合B表示的是函數(shù)的定義域而

出錯.

【避錯攻略】

在進(jìn)行集合間運(yùn)算時，常用的方法為列舉法和賦值法：

方法1列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運(yùn)算的定義求解的方法。

【具體步驟】

第一步：定元素，確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍；

第二步：定運(yùn)算，利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運(yùn)算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項(xiàng)之間的明顯差

異,選擇一些特殊元素進(jìn)行檢驗(yàn)排除,從而得到正確選項(xiàng).

【具體步驟】

第一步：辨差異，分析各選項(xiàng),辨別各選項(xiàng)的差異；

第二步：定特殊，根據(jù)選項(xiàng)的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗(yàn)排除，將特殊的元素代入進(jìn)行驗(yàn)證，排除干擾項(xiàng)；

第四步：定結(jié)果，根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項(xiàng)。

易錯提醒：在進(jìn)行集合的運(yùn)算時，一定要先觀察集合的代表元素，因?yàn)榇碓貨Q定了集合的性質(zhì)，通過

集合的代表運(yùn)算可以確定集合是數(shù)集還是點(diǎn)集、代表元素是實(shí)數(shù)還是整數(shù)，另外在進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算時，一定

要注意全集的性質(zhì)，不要想當(dāng)然的認(rèn)為是R.

舉一反三

1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)已知集合"=｛引y=x2-2x-2],N=尤|y，則MAN=()

A.[-3,1)B.[-1,1)C.(1,3)D.[1,4]

【答案】A

【分析】先化簡集合M，N,再利用交集定義即可求得MCN.

[詳解】M={y\y=x2-2x-2]=[y\y=(x-1)2-3)={y|y>-3)

故McN={y|j>-31n|x|x<l|=[-3,l)

故選：A

2.(24-25高三上?江蘇鹽城?期中)已知集合4={一1,1},8={(x,y)|x€A,yeA},則AQ3=()

A.AB.BC.0D.R

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知集合B表示點(diǎn)集，而集合A表示數(shù)集，即可根據(jù)交集的定義求解.

【詳解】由8={(x,y)|xcA}可得3=1),(1,-1),(1』)},

故"18=0,

故選：C

3.(24-25高三上?山東?期中)集合A={1,2,3,4,5,6},8={xwN|2xeA},則()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

【答案】D

【分析】由補(bǔ)集定義可得答案.

【詳解】因?yàn)锳={1,2,3,4,5,6},B={xeN|2xGA),

所以3={1,2,3},^B={4,5,6}.

故選：D.

,易錯題通關(guān)

1.(2024?浙江溫州?模擬預(yù)測)設(shè)集合A={x￡Z|f—3x—4<0},B={x||x+l|<1},則Ap5=()

A.{-1,0}B.{—2,—1,01

C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【分析】解不等式化簡集合43,再利用交集的定義求解即可.

【詳解】依題意，A={xeZ|-1<x<4]={-1,0,1,2,3,4},B={x|-l<x+l<l)=(%|-2<x<0},

所以AC3={-1,0}.

故選：A

2.(24-25高三上?陜西漢中?期中)已知全集"=3彳-1<0},集合A={x|/+3尤-4<0},則gA=()

A.(-oo,-4)B.(-oo,-4]C.(-4,1)D.[T』)

【答案】B

【分析】先求解集合A,然后利用補(bǔ)集的定義即可求解

【詳解】根據(jù)題意，集合&=伸爐+3%-4<0}=卜|-4<%<1},

因?yàn)椤?(一?/)，所以64=(-8,-4].

故選：B

3.(2024.廣東肇慶?一模)已知集合4=卜?川(尤-l)(x-4)V0},B={x|0<x<3},則4口8=()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

【答案】A

【分析】解不等式可得A={1,2,3,4},再由交集運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】由不等式(x—l)(x-4)W0,Ml<x<4,所以A={1,2,3,4},

又3={引0<》<3},可得AcB={l,2}.

故選：A

4.(24-25高三上?浙江?階段練習(xí))已知集合M="x,y)y=l-]，，N=，(x,y)[+/=>,則McN的元

素個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的元素類型，列方程組求解集即可得元素個數(shù).

【詳解】因?yàn)榧螹=?y)y=i弓，N=(7)5+丁=1卜

1X

七

yx=0x=2

則聯(lián)立，解得，或

/

k+y2=i[y=iy=0

故McN={(0,l),(2,0)},集合中有2個元素.

5.(24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí))已知集合A=y=1鳴優(yōu)叫},集合2={y|y=3一'},則AQ8=()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+co)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，將集合48化簡，再結(jié)合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

2

【詳解】A={x|y=log3(x-1)}=卜Y-1>0}={x|x>1或x<-1},

8=卜3=3一］=}?>0},所以Ac5=(l,+a),

故選：C

6.(24-25高三上廣東東莞?階段練習(xí))設(shè)&={。,,)及=--x},B={(x,y)|y=x},則()

A.{(0,0),(2,2))B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0

【答案】A

【分析】聯(lián)立集合A與集合B的方程組，解方程組可得答案.

y=x2-x

【詳解】根據(jù)題意知聯(lián)立集合A與集合B方程組得

y=x

解之可得或所以Ac3={(0,0),(2,2)}.

故選：A

7.(24-25高三上?山東濟(jì)寧?期中)已知集合尸=卜卜=4^],e==則尸仆(4。)=()

A.0B.[1,+<?)C.(-oo,0)D.(-<?,-]]

【答案】D

【分析】首先根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)求出集合P，再求出集合。，最后根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】由y=V7=可得--120,解得XN1或xW-1,

所以尸=卜卜==(-8,-1]u[L+8)，

又/_120,則y=6一120,所以0=卜:=/尤2_1]=[。,+8),

所以0Q=(9,0),所以PA低2)=(一嗎一。

故選：D.

易錯點(diǎn)03：遺忘空集

，易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高一上?重慶萬州?期中)已知集合&=國x>5},B^[x\5a-l<x<a+l\},^A\jB=A,貝ija

的取值范圍為()

A.(-oo,-6]B.|>+c0]C.■1,3jD.[3,+co)

【答案】B

【分析】由并集的定義可知AU3=A得到B=討論集合B是否為空集，得到對應(yīng)的參數(shù)。的范圍，再

求并集得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳UB=A,所以3aA.

若3=0,貝U5a—即a23；

[a<36

若5W0,貝ij,八二解得『Wa<3.

[5(2-1>55

綜上所述，。的取值范圍是|，+8]

故選：B

【易錯剖析】

因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹鶕?jù)包含關(guān)系求參數(shù)時一定分析集合為空集的情況，本題易忽略對3=0的討

論而錯選C..

【避錯攻略】

1.當(dāng)已知A旦5,=0求參數(shù)時，一定要分析集合為空集的情況；

2.若集合為不等式的解集，往往借助于數(shù)軸進(jìn)行分析；

【具體步驟】

第一步：化簡，化簡所給集合；

第二步：畫圖，用數(shù)軸表示所給集合；

第三步：列示，根據(jù)集合端點(diǎn)間關(guān)系列出不等式（組）；

第四步：求解，解出不等式（組的解；

第五步：檢驗(yàn)，通過返回代入驗(yàn)證端點(diǎn)是否能夠取到.

3.若集合為正整數(shù)集或抽象集合，可借助于韋恩圖分析，若集合是點(diǎn)集，可借助于曲線的圖像分析.

易錯提醒：|已知集合關(guān)系求參數(shù)時，除去要分析空集的情況，還一定要分析端點(diǎn)值能否取得，可采用代入

檢驗(yàn)的方法加以區(qū)分，避免出錯.

舉一反三

1.集合4=卜2/-5X+2=0},3=上公一2=0},若3=4口2,則實(shí)數(shù)。的取值集合為（）

A.{-1,「4}B.10,—1,-41C.{1,4}D.{0,1,4}

【答案】D

【解析】首先求出集合A,依題意可得再分3=0、3={2}、B=三種情況討論

因?yàn)锳={x|2Y-5x+2=0}=12,31,B=AQB,所以BgA,又8=卜|辦-2=0}

當(dāng)3=0,則。=0,當(dāng)3={2},即2a—2=0,解得。=1,當(dāng)2=1}，即;"2=0,解得。=4,綜上可

得實(shí)數(shù)。的取值集合為{0,1,4},故選：D

2.設(shè)集合。=R,集合&={刊-2工彳45},3={旬加-64》<2〃7-1},若AcB=0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

（）

A.1B.（11,-H?）C.-g,ll]D.1U（ll，+°°）

【答案】D

【解析】結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求機(jī)的范圍

當(dāng)3=0時，=0,則%一622加一1,即機(jī)W—5

fm—6<2m—1[m—6<2m—\

當(dāng)3/0時，若Ac5=0,貝ij。?；蛞?/p>

[2m-1<—2—6>5

解得-5<niV-g或機(jī)>11,綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為1-鞏-gU（U，+⑹

故選：D

3.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）設(shè)集合尸={x[—2<x<3},Q={x|3a<xWa+l}.

（1）若尸no=0,求。的取值范圍.

(2)若？UQ=P,求。的取值范圍.

[答案](1)(_8，-3]°；什°°)

⑵_g,+°°]

【分析】(1)根據(jù)題意，分Q=0和QW0兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合pno=0,列出不等式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，分Q=0和Qw0兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合PUQ=。，列出不等式，即可求解；

【詳解】(1)解：由集合尸={1|—2<%<3},且Q={九[3々vx<a+l}

因?yàn)槭凇?0,可分Q=0和Q-0兩種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)Q=0時，可得3a之a(chǎn)+1,解得此時滿足尸0。=0;

一『3〃<a+l{3a<a+l

當(dāng)Qwo,因?yàn)椤??！?0,則滿足或，解得3,

[a+l<-2[3a>3

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-*-3]ug,+8).

(2)解：由集合尸={%|-2cx<3},且0={*|3々v%<a+l},

因?yàn)槭琔Q=P,可分Q=0和QwO兩種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)Q=0時，可得3aNa+l,解得,此時滿足尸UQ=。；

2

3〃<4+1

71

當(dāng)QW0,因?yàn)镻UQ=P,則滿足〃+1<3,解得—鼻<1<5，

3a>-2、'-

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為

易錯題通關(guān)A

1.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知集合4={知(尤<2},3={疝<x<a},若B=則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(2,+co)B.(1,2]C.(-oo,2]D.[2,+oo)

【答案】C

【分析】由集合的包含關(guān)系，對集合8是否是空集分類討論即可求解.

【詳解】集合A={x|l<x<2},B={x[l<x<。},若81A,

則若則3=0=4滿足題意;

若。>1,且3=A,貝

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-8,2].

故選：C

2.設(shè)集合A={x|2a+1WxW3a-5},B=1x|x2-21.X+80<0^,若Ap|8=A,貝！]（）

A.{a|2Wa<7}B.{a|64aV7}C.{a\a<7jD.{a|a<6}

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合B,再利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】顯然3=舊尤2—2卜+80V。}={尤|5WxV16},由4口3=4,得A=3,

當(dāng)A=0時，即2a+l>3a-5,解得a<6,滿足貝ija<6；

當(dāng)AW0時，則5W2a+lW3a-5W16,解得6<a<7；

所以aV7.

故選：C

3.（23-24高一上.廣東肇慶?階段練習(xí)）已知U=R,集合4=卜--彳-2=。},B={x\tnx+l=0},

31（街A）=0,則實(shí)數(shù)m=（）

A.一1或1B.一,或0C.1或0D.或1或0

222

【答案】D

【分析】求出集合A中方程的解確定A,即可求出即A,根據(jù)31（用A）=0,分兩種情況加=0和加H0討論

即可.

【詳解】由題可知，A={2,-1},則2A={x|無w-l或xw2},

因?yàn)?={x|〃a+1=0},

所以當(dāng)機(jī)=0時，5=0,則3144）=0,符合題意；

當(dāng):〃力0時，B={-},

m

由5I&A）=0知，一~?"=一1或——=2,即機(jī)=1或加=一工，

mm2

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)為?；?或-J,

故選：D.

4.（24-25高三上?遼寧沈陽?期中）集合P={x||x-l|<l},。={尤尤4a+l},且尸口。=。，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為（）

A.1或B.-l<a<3C.a>3D.a<-l

【答案】A

【分析】首先化解集合A,又QwO,即可得至U〃+1WO或a—122,解得即可.

【詳解】由上一l|vl,BP-1<X-1<1,解得0<x<2,

所以P={X||X-1|<1}={X|0<A:<2},

又0={%|4-1?%?々+1},顯然Qw0,

因?yàn)??？凇?0,所以〃+1?0或。一1之2,

解得1或

即實(shí)數(shù)〃的取值范圍為aW-l或3.

故選：A

5.（24-25高一上?四川達(dá)州?期中）已知集合A={%|-2<^<10},B={x\l-m<x<l^m]BC6RA=0,則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.m<3B.m<9C.機(jī)W3或mW9D.3<m<9

【答案】A

【分析】已知BI4A=0,這意味著3集合與A集合在R中的補(bǔ)集沒有交集，那么3集合是A集合的子集.

接下來通過分析3集合的邊界與A集合邊界的關(guān)系來確定機(jī)的取值范圍.

【詳解】々A={x|%<—2或%>10}.因?yàn)?1aA=0,所以

由于5={x|l-根《*￡1+加},要滿足

當(dāng)5=0,BP+解得機(jī)<0.

m>0

當(dāng)5w0,貝!J有v1—根2—2.解得：0<m<3.

l+m<10

綜上，加的取值范圍為機(jī)《3.

故選：A.

6.已知集合4={小2-1=0},B={x|a尤=1},若An8=B,則實(shí)數(shù)a取值集合為（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,11

【答案】D

【分析】由題意知分別討論3=0和8N0兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】由=知BgA,因?yàn)?={小2-1=0}={-1,1},B={x\ax=Vi,

若3=0,則方程依=1無解，所以。=0；

若3N0,awO,則3={x|or=1}=1x卜=，1,

因?yàn)?=所以'=±1,貝！|a=±l；

a

故實(shí)數(shù)。取值集合為{T。,1}.

故選：D.

7.（24-25高三上?江蘇南通?期中）已知集合4={-2,1,3,4},3={剜犬-2]<肛?zé)o€口},若4八"8=0,則實(shí)數(shù)

加取值范圍為（）

A.m>4B.m>4C.m<2D.m>2

【答案】A

【分析】根據(jù)集合8計(jì)算々8,利用An13=0求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】由An\B=0得，BK0,m>O.

由B={x||x—2|<m,xeR）得，B={x|2-m<x<2+m},

：.14={x[%<2-m^x>2+m},

f2-m<c-2

解得

12+m>4m>4.

故選：A.

8.（24-25高三上?上海青浦?階段練習(xí)）已知集合A=x—9B=m+l<x<3m,mGR},若

AU5=A,則根的取值范圍是.

4

【答案】m<|

【分析】解絕對值不等式可得集合A,由AU8=A得BqA,討論5為空集和不為空集情況，解相應(yīng)不等

式，即得答案.

5335353

【詳解】解即一彳即A=尤|無一不={x|l4x44},

乙乙乙乙乙I乙乙I

由AU3=A,得BqA;

當(dāng)5={%|m+14x（3八mER}=0時，即m+1>3九.,.加<：,符合題意；

m+l<3m

14

當(dāng)5W0時，需滿足加+121,解得5<加工§,

3m<4

4

綜合可得根

4

故答案為：

9.（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知集合人={%|/—2x—3W0},B={x\m-2<x<m+2],若人口5=0,

則m的取值范圍是.

【答案】{m|機(jī)<-3或機(jī)>5}

【分析】化簡集合A,由兩集合交集為空集，列出不等式即可求解.

【詳解】A={x\x2-2x-3<0}={x\-l<x<3]

因?yàn)?口5=0

所以根+2v—1或m—2>3

解得：機(jī)〈-3或小>5

故答案為：{%|〃7<-3或〃7>5}

10.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）己知集合4={削一1<》<2},3={刈^A\JB=B,則實(shí)數(shù)加的

取值范圍為.

【答案】[2,+8）

【分析】求出集合8,根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式組求解可得.

【詳解】因?yàn)锳UB=3,所以A=3,

當(dāng)機(jī)<0時，B=0,不滿足題意；

當(dāng)機(jī)20時，由|x-l區(qū)機(jī)解得3={尤|1一機(jī)WxVl+機(jī)},

依題意有1+加12，解得機(jī)，2,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[2,田）.

故答案為：[2,+co）

11.（2024?江蘇常州?三模）集合A=｛尤卜lWx+146｝,8=｛必“一1<尤<2根+1,meR｝,若A|J3=A,則實(shí)

數(shù)m的取值范圍為.

【答案】（-8,-2]u[T2]

【分析】結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求小的范圍.

【詳解】由Au3=A=>BqA,且A=｛%|-2<%45｝,

當(dāng)5=0時，BcA,則加一122徵+1,即mW—2,

m-l>-2

當(dāng)時，若B=A,貝卜加〉一2,解得—IV機(jī)42,

2m+1<5

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（-力,-2]0卜1,2].

故答案為：（-^,-2]u[-l,2].

題型二：常用邏輯用語

易錯點(diǎn)04：判斷充分性必要性位置顛倒

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例命題“依包1,2],/一°40，，為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a<4B.6?>4C.a<5D.a>5

【答案】D

【解析】求解命題“依可1,2],/—a4o，，為真命題時。24,即可根據(jù)真子集求解

命題”心引1,2],犬2_4<0，，為真命題,則說/對也41,2]恒成立，所以/（巧皿*,故所以命題

“Vx且1,2],好。，，為真命題的充分不必要條件需要滿足是｛a\a>4｝的真子集即可，由于｛*25｝是

｛謂"｝的真子集，故符合，故選：D

【易錯剖析】

本題易混淆A是B的充分條件和A的充分條件是B的區(qū)別而出錯.

【避錯攻略】

1掌握充分、必要條件的概念及類型

(1)如果pnq,則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

(2)如果p=>q,但q分p,則p是q的充分不必要條件；

(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

(4)如果q=>p,且p分q,則p是q的必要不充分條件；

(5)如果p#q,且q#p,則p是q的既不充分又不必要條件.

【解讀】

(l)p是q的充分條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論〃，但這并不意味著由條件p只能推出結(jié)論公一般

來說，給定條件p,由p可以推出的結(jié)論是不唯一的.

(2)“p是q的充分條件”與是p的必要條件”表述的是同一個邏輯關(guān)系，即p'q,只是說法不同.

(3)p是q的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則〃一定不成立"，要判斷p是否為q

的充要條件，需要進(jìn)行兩次判斷：一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.若p能推出q,q也能推出p,

就可以說P是4的充要條件，否則，就不能說p是4的充要條件.

2.靈活運(yùn)用判斷充分、必要條件的方法

(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷；

(2)圖示法：多個條件間關(guān)系的判斷時，可以用用“T，、“今”、“u”將條件彼此相連，然后再判斷它們之

間的關(guān)系.

(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件p和結(jié)論q都是集合,那么若則p是q的充分不必要

條件；若則p是q的必要不充分條件；若p=q，則p是q的充要條件，尤其對于數(shù)的集合，可以利用小范

圍的數(shù)一定在大范圍中，即小今大，會給我們的解答帶來意想不到的驚喜.

(4)舉反例：要說明p是q的不充分條件，只要找到尤｛.即｝,但｛.的｝即可.

易錯提醒：在判斷充分、必要條件時，一定要先對條件進(jìn)行等價化簡，然后再結(jié)合合適的方法進(jìn)行判斷，

為避免位置顛倒出錯，可先用推出符號標(biāo)注好判斷的方向再進(jìn)行分析.

舉一反三

1.已知命題P：Vxe[M,2],^x2-a>0,則P為真命題的一個充分不必要條件是()

A.a<-2B.a<QC.a<8D.a<16

【答案】A

【解析】先分離參數(shù)求出。的取值范圍，則。為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是(-8,0]的一個真子集，

由題設(shè)命題為真，即在xe[T,2]上恒成立，所以=0,則P為真命題的一個充分不必要

2"7min

條件應(yīng)該是的一個真子集，

故選：A

2.（24-25高三上?云南?期中）“二>0,（。-3）%-1=0”成立的充分必要條件是（）

A.a>lB.a<\C.a>3D.a<3

【答案】C

【分析】討論。-3是否為0,當(dāng)a-3=0時，顯然無解，故aw3,用，表示出方程的解，令結(jié)果大于0,求

得〃的取值范圍.

【詳解】當(dāng)a—3=0即Q=3時，Vx>0,（a—3卜一1=一1w0,所以〃。3；

當(dāng)a—3w0即aw3時，3x>0,（〃一3）x-l=0=%=--—>0=。>3.

a—3

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）若不等式|尤+1|<。成立的充分條件是0<x<4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.a<—lB.a<5C.a>—\D.a>5

【答案】D

【分析】先分情況求不等式|x+l|〈。的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)不等式|x+l|<。的解集為A,3=（0,4）,

因?yàn)椴坏仁匠闪⒌某浞謼l件是0<%<4,,所以3UA,

所以所以〃>0.

由|x+11<?！猘<x+1<a-a-1<x<6z-1,所^以A—（—a—1,ci—1）.

—1<0

由可得<=>a>5.

[a-l>4

故選：D

,易錯題通關(guān).

1.（24-25高三上?青海西寧?期中）已知。>0,b>0,則使。+人22成立的一個充分條件是（）

A.a2+b2=1B.a+b=ab

c.2a+2b=4D.a+b2=2

【答案】B

【分析】利用充分條件的定義，結(jié)合基本不等式、二次函數(shù)性質(zhì)判斷.

【詳解】對于A,取b=B,顯然有/+廿=1成立，但不成立，不符合題意.

22

對于B,由a+b=ab,^―+—=1,所以a+b=(a+b)(—+：]=2+2+/w4,可推出a+b22,符合題意.

ab\abJab

對于C,_20_1_2^>2^2^,2^=21+^-9可得a+b?2,不符合題意.

對于D,由々+廿=2,得a=2—〃，因?yàn)??！?,b>0,所以0<人<0,所以

a+b=-/+6+2=-[z?-g[血,：,不能推出a+/?22,不符合題意.

故選:B.

2.使“a<6”成立的一個充分不必要條件是()

A.VxG(0,1],a^b+xB.Vxe(0,1],a+x<b

C.BXG[0,1],a<b+xD.3xe[0,l],a+x^b

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A,若Vxe(O,l],a^b+x,當(dāng)々=/?時，a=Z?vb+x成立，

所以“VJV￡(0,1],aWb+x”N"a〈b\A不滿足條件；

對于B,Vxe(0,1],a+x<b,貝!Ja<a+xv>,即〃</?,

所以“V%￡(o,l],a+x〈b"="a〈b",

若a<b,則Vx￡(0,l],不妨取a=l,b=1.2,x=0.5,貝ija+尤〉b,

所以“Vx￡(0,l],a+x<b"Va<b”,

所以“VX￡(O,1],a+xv〃”是的充分不必要條件，B滿足條件；

對于C,若a<b,貝！JHX￡[0,1],使得avZ?<Z?+x,BPa<b+x,

即"〃<b"="3x￡[。/],a<b+x^,

所以Fxe[0,l],是""6”的充分條件，C不滿足條件;

對于D,若a+xWb,則+即當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立,

所以“去武0』，a+2ka〈b\D不滿足條件.

故選：B.

3.（24-25高三上?河北張家口?開學(xué)考試）已知Q,4C￡R,使，成立的一個充分不必要條件是（）

A.a+c>b+cB.ac>be

C.a2>b2D.ac2>be2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.

【詳解】對于A,a+ob+c^-a>b,A不是；

對于B,當(dāng)c<0時，由ac>bc,得a<b,B不是；

對于C,a2>b2,可能有。<6,如a=-2,6=1,C不是；

對于D,由ac?>灰??,得02>0，貝1Ja>〃；若a>b,c=O,貝!]℃2=仄？，D是.

故選：D

4.（2024?陜西咸陽模擬預(yù)測）直線無+>+匕=0與圓C:（x+iy