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文檔簡(jiǎn)介

第21講極值點(diǎn)偏移

知識(shí)梳理

1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念

所謂極值點(diǎn)偏移,是指對(duì)于單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同,使得函

數(shù)圖像沒有對(duì)稱性。若函數(shù)/(X)在x=x0處取得極值,且函數(shù)y=/(x)與直線y=b交于

/(石1),5。2,3兩點(diǎn),則AB的中點(diǎn)為M(三產(chǎn)㈤,而往往與w土產(chǎn)。如下圖所示。

圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)偏移的定義:對(duì)于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間僅))內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)飛,方程/(X)

的解分別為X]、x2,且a<$<*2<6,(1)若“1;%//,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(七,X2)上極值點(diǎn)X。偏移;(2)若為;〉2〉X。,則函數(shù)了=/(工)在區(qū)間(X],%2)上極值點(diǎn)

/左偏,簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)與左偏;(3)若/72<%,則函數(shù)y=/(》)在區(qū)間(西,*2)上極

值點(diǎn)X。右偏,簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)X。右偏。

2、對(duì)稱變換

主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點(diǎn)如下:(1)

定函數(shù)(極值點(diǎn)為X。),即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)

X0.

(2)構(gòu)造函數(shù),即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)R(x)=/(x)-/(2x0-x),若證X1/〉x:,

則令/x)=/(x)—/(%).

(3)判斷單調(diào)性,即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小,即判斷函數(shù)b(x)在某段區(qū)間上的正負(fù),并得出/(%)與/(2x0-x)的大

1

小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化,即利用函數(shù)/(x)的單調(diào)性,將/(x)與/(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與

2x0-x之間的關(guān)系,進(jìn)而得到所證或所求.

【注意】若要證明/[±的符號(hào)問題,還需進(jìn)一步討論土產(chǎn)與X0的大小,得

出土士邃所在的單調(diào)區(qū)間,從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

2

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,

它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無

關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難

為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧

和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解

題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路,

有著非凡的功效

3、應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式卮<廣三二<色至證明極值點(diǎn)偏移:

]nxi-lnx22

①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù);

②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到戶+-;

In芭-Inx2

③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑,然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)

的單調(diào)性證明題中的不等式即可.

必考題型全歸納

題型一:極值點(diǎn)偏移:加法型

例1.(2024?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)=aeR

⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間;

Itny+1

(2)若a=l,Ax?是方程〃x)=上^的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,證明:X,+X2>2.

e

2

例2.(2024?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/lnx-a(aeR).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

/、2

(2)若函數(shù)7'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)不、X?,證明1<七+%<不.

例3.(2024?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(x)=lnx.

⑴討論函數(shù)g(x)=〃x)-ax(aeR)的單調(diào)性;

⑵①證明函數(shù)"x)=/(x)-二(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn);

e-

②設(shè)①中函數(shù)尸(X)的零點(diǎn)為X。,記加(x)=min“f(x),/,(其中min{/b}表示a,b中的較小

值),若/(x)="(〃eR)在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根匹,%(王<%),證明:

再+'2>2%.

變式1.(2024?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)

/(x)=x-sin^x]-alnx,x=1為其極小值點(diǎn).

⑴求實(shí)數(shù)”的值;

⑵若存在網(wǎng)片馬,使得/(尤1)=/(々),求證:再+%>2.

3

變式2.(2024?湖北武漢?高二武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=/^lnx-|A

a為實(shí)數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若函數(shù)在X=e處取得極值,/(x)是函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù),且/'(再)=/'(%),再<々,

證明:2<xx+x2<e

變式3.(2024?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/a)=(x+D(:+lnx)

(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增,求。的最大值;

(2)若函數(shù)“X)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)X]和4,若》2>再,/I=e(e-2),求2不+々的最

小值.

變式4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=%+lnx-x(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)若函數(shù)/(x)恰有三個(gè)極值點(diǎn)為、芍、x3(xj<x2<x3),且退-再41,求尤1+X2+X3的最

大值.

4

變式5.(2024?廣西玉林?高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)

f(x)=lux-ax,

⑴討論函數(shù)40的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=l時(shí),若/(網(wǎng))=/(3)區(qū)<乙),求證:Xj+x2>2

變式6.(2024?安徽?高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/卜)=33_|/+喀耳a>0,an1).

(1)若/(x)為定義域上的增函數(shù),求。的取值范圍;

⑵令a=e,設(shè)函數(shù)g(x)=/(尤)-4lnx+9x,且g(xj+g(x2)=0,求證:%+x2>3+>/11.

變式7.(2024?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-a(x-2)(aeR).

⑴試討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性;

3

⑵若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)七,巧(玉<馬),求證:國(guó)+3x,>--“+2.

a

變式8.(2024?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ax2+(Q—2)x—hix(aER).

⑴討論“X)的單調(diào)性;

2

⑵若/(尤)有兩個(gè)零點(diǎn),證明:X1+X,>-.

a

5

變式9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x-l)J(x2).

⑴若/(x"0對(duì)Vxe[2,+⑹恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(2)已知方程上"~^=’有兩個(gè)不同的根4、*2,求證:X]+馬>6e+2,其中e=2.71828…

x-13e

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

變式10.(2024?江西宜春?高三??奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(無)=3“l(fā)nr-(a-3)x,aeR.

⑴當(dāng)。=1時(shí),求曲線g(無)=/0)-3瓶-$加在x=T處的切線方程;

⑵設(shè)A,x?是"(x)=/(x)-(3a-2)htv-3x的兩個(gè)不同零點(diǎn),證明:a(x1+x2)>4.

變式11.(2024?海南?海南華僑中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=lnx+x(x-3).

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

2X

(2)若存在占,馬,工3€(。,+8),M<X2<X3,使得/(%)=/'(工2)=)(工3),求證:1+X2>X}.

題型二:極值點(diǎn)偏移:減法型

6

例4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=(x-e-l)e,-gex2+e2x.

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/(占)=/匡)=/(三)(不<馬<三),求證:>2%<e-1.

例5.(2024,全國(guó),二專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=e'-2x-(a+1),

g(x)=x2+(a-l)x-(a+2)(其中e。2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

⑴試討論函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)當(dāng)a>l時(shí),設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為毛、巧且占<%,求證:

eX2-eX1<4a+2.

例6.(2024?四川成都?高二川大附中??计谥?已知函數(shù)〃x)=gx2-ax+lnx(aeR).

(1)若在定義域上不單調(diào),求。的取值范圍;

(2)設(shè)a<e+L%,〃分別是〃幻的極大值和極小值,S.S=m-n,求S的取值范圍.

題型三:極值點(diǎn)偏移:乘積型

例7.(2024?全國(guó)?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)

f(x)=xex+l,xe>0),g(x)=Z7x-^^-.

7

⑴當(dāng)6=1,“X)和g(x)有相同的最小值,求。的值;

XX

(2)若g(X)有兩個(gè)零點(diǎn)x1M2,求證:12>e.

例8.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx.

⑴證明:/(x+l)<x.

(2)若函數(shù)〃(x)=2^(x),若存在再使"㈤=〃&),證明:x1-x2<4-.

e

例9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=%—sinx—tanx+Mnx+b,XG|0,^

(1)求證:2x<sinx+tanx,xeI0,—

⑵若存在玉、x2efo,j\且當(dāng)x尸馬時(shí),使得/(再)=〃%)成立,求證:苧<1.

變式12.(2024?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ex-xlnx+x2-ax.

⑴證明:若aKe+1,則/(%)20;

(2)證明:若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)七,x2,則不々〈I.

8

變式13.(2024?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)已知函數(shù)〃%)=x(lnx-。),

(、/(x)

g(XJ-----------FQ-CIX.

(1)當(dāng)時(shí),無)》-lnx-2恒成立,求a的取值范圍.

2

⑵若g(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為X],*2,求證:XjX2>e.

變式14.(2024?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè))已知/(x)=2x-sinx-Olnx.

(1)當(dāng)a=l時(shí),討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);

⑵若存在X1,馬(0"<》2),使/(無1)=/。2),求證:gva.

變式15.(2024?北京通州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(》)="-巴-111武。>0)

⑴已知/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程為>=xT,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)已知/G)在定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

⑶已知8("="%)+?有兩個(gè)零點(diǎn)不,X],求實(shí)數(shù)。的取值范圍并證明為七%.

題型四:極值點(diǎn)偏移:商型

例10.(2024?浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)已知函數(shù)〃x)=(2e-x)lnx,其

9

中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)"X)的單調(diào)性;

c11cl

(2)若%i,%2£(°,1),且%2111再一%11nx2=2%X2(In3-ln%2),證明:2e<——I<2e+l

例11.(2024?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=x(l-Inx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)。,6為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blnq-Qlnb=a-b,證明:2<—+y<e.

ab

例12.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

⑴討論的單調(diào)性;

(2)設(shè)。,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blna-Qlnb=a-b,證明:2<—+^-.

ab

變式16.(2024?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)??既?已知函數(shù)/(x)=ax+(a-l)lnx+:,

Q£R.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=xe,-lnx+1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根玉、々,

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

10

、…e*儼2a

(ii)求證:——+—>-----.

X2尤]XjX2

題型五:極值點(diǎn)偏移:平方型

例13.(2024?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無)=lnx-a/.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性:

⑵若士,三是方程/(x)=0的兩不等實(shí)根,求證:x;+x;>2e;

例14.(2024?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(無)=二丁-6.

⑴若v-1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

12

⑵若/(%)有2個(gè)不同的零點(diǎn)不,9(再<%2),求證:2x,2+3x1>—.

例15.(2024?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=t叵,a>0.

(1)若〃x)Wl,求。的取值范圍;

(2)證明:若存在X],x2,使得/(再)=/(%),則%;+考>2.

11

1Iriy

變式17.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-----

ax

(1)討論外)的單調(diào)性;

⑵若(叫廣=(%)”,且西>0,x2>0,x^x2,證明:&+¥>亞.

變式18.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x-sinxcosx-alnx,asR.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程;

2

(2)若/(加)=/(〃),0〈m〈n,求證:m+H2>\a\.

題型六:極值點(diǎn)偏移:混合型

n-1—V

例16.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=——(x>0)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),

e

4£R).

⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若存在尤1片》2,滿足/'(七)=)(工2),求證:+%.

a+2

例17.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù).

12

(1)若/⑴=2,求a的值;

(2)若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)占,三,滿足/(網(wǎng))=/。2),證明:

①2<X]+X?<2。;

@—<a2+1

例18.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-1"x2-x+a(aeR),在其定義域

內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

(1)求。的取值范圍;

⑵記兩個(gè)極值點(diǎn)為為,巧,且再<馬,當(dāng)人當(dāng)時(shí),求證:不等式網(wǎng)?E>e”恒成立.

變式19.(2024?陜西寶雞???寄M預(yù)測(cè))已知/(x)=——g(x)=<x+l).

1-x

(1)求>=/(')的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a>0時(shí),若關(guān)于x的方程/W+g(x)=0存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根玉(再<%),證明:a>/

且xxx2<%1+x2.

變式20.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=一一”(不£三).

(1)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)若方程/a)+2〃2_3a+l=0有兩個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)如果芭。%2,且/(芭)=/(工2),求證:方(再+工2)>加2.

13

變式21.(2024?天津河西?統(tǒng)考二模)設(shè)左eR,函數(shù)/(x)=Inx-Ax.

(1)若1=2,求曲線T=/(x)在曲1,-2)處的切線方程;

(2)若/(x)無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)左的取值范圍;

(3)若/(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)為,工,求證:In^+lnxj>2.

變式22.(2024?四川成都?高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=x(l-aln尤),aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

⑵若x[o,;時(shí),都有/(力<1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)玉,均滿足=亍,證明:x<exx.

(3);+2l2

變式23.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(月=1-。/+/-1,其中a,6為常數(shù),e

為自然對(duì)數(shù)底數(shù),e=2.71828???.

(1)當(dāng)。=0時(shí),若函數(shù)〃切20,求實(shí)數(shù)6的取值范圍;

(2)當(dāng)6=2。時(shí),若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)毛,現(xiàn)有如下三個(gè)命題:

①7%1+她>28;②2G(再+%)>3%入2;③A/國(guó)-1+Jx2-1〉2;

請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明.

14

(注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分)

變式24.(2024?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)

f(x)=aln(x+2)-x(ae7?).

(1)討論/(X)的單調(diào)性和最值;

⑵若關(guān)于x的方程e'W2-上1ln/m=(加>0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根三,三,求證:爐+產(chǎn)>已2.

mmx+2m

變式25.(2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)??既?己知函數(shù)/7(x)=x-alnx(aeR).

⑴若"(x)有兩個(gè)零點(diǎn),。的取值范圍;

2

e

(2)若方程xe,-a(lnx+x)=0有兩個(gè)實(shí)根為、々,且玉片吃,證明:eX1+%2>-----.

變式26.(2024?廣東佛山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=xeX-"lnx-",其中a>0.

⑴若a=2e,求〃x)的極值:

X1X2

(2)令函數(shù)g(x)=/(x)-ax+a,若存在玉,x2使得g(%)=g(%),證明:^e+x2e>2a.

15

變式27.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x(l-Hnx),a20.

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若時(shí),都有求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)再"2滿足言吐=逸,求證:/+%2<叫%2.

1I1

題型七:拐點(diǎn)偏移問題

例19.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Zlnx+x?+x.

(1)求曲線>=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程.

(2)若正實(shí)數(shù)外,三滿足/(再)+/(>2)=4,求證:X1+X2>2.

例20.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx+x2+,(aeA),當(dāng)

時(shí),/(尤)20恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)若正實(shí)數(shù)不、電02)滿足/(再)+/(々)=。,證明:xl+x2>2.

例21.(2024?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)=-3x+21nx.

(1)求曲線了=/(%)在點(diǎn)(1J(D)處的切線方程;

16

⑵⑴若對(duì)于任意

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