安徽省合肥市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘；滿分：150分）命題學(xué)校：合肥七中命題人：審題人：一、單選題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖,以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.若向量的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.直線的斜率為（）A. B. C. D.3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則（）A.63 B.48 C.31 D.154.下列條件中,一定能使點(diǎn)與點(diǎn),,共面的是（）A. B.C. D.5.圓與圓的公共弦的弦長為（）A. B. C. D.6.如圖,四面體的所有棱長均為2,點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),則（）A.2 B.1 C.-1 D.-27.數(shù)列滿足：,若,則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為（）A. B. C. D.8.人教A版必修第一冊第92頁“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)”,函數(shù)的圖象實(shí)際上是雙曲線.則函數(shù)的圖象對應(yīng)的雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.9.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,則（）A. B. C. D.10.點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),則（）A.拋物線的準(zhǔn)線為 B.C. D.面積的最小值為11.如圖,在正方體中,點(diǎn)為線段上的動點(diǎn),下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.異面直線與所成角的取值范圍是C.平面與平面所成夾角的余弦值的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12.雙曲線的焦距為______.13.過動點(diǎn)作圓的切線,點(diǎn)為切點(diǎn),若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則的最小值是______.14.如圖,曲線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)（構(gòu)成一系列正三角形：,,…,.設(shè)正三角形的邊長為,點(diǎn).則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）圓內(nèi)有一點(diǎn),為過點(diǎn)且傾斜角為的弦.（1）當(dāng)時,求弦的長；（2）當(dāng)弦的長最小時,求直線的方程.16.（本小題15分）已知平面上兩點(diǎn),,動點(diǎn)滿足.（1）求動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時,求點(diǎn)的縱坐標(biāo).17.（本小題15分）已知三棱柱中,,,.（1）求證：平面；（2）若,求平面與平面所成二面角的余弦值.18.（本小題17分）在數(shù)列中,已知,.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記,且數(shù)列的前項(xiàng)和為,若為數(shù)列中的最小項(xiàng),求的取值范圍.19.（本小題17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn),定義：.（1）當(dāng)時,求；（2）證明：存在常數(shù),使得；（3）若,,為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn),且,判斷與的大小關(guān)系.

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】A解：的坐標(biāo)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),,,,,的坐標(biāo)為.故選A.2.【答案】B【詳解】由題意得：直線的斜截式方程為,所以直線的斜率為.故選：B3.【答案】C【詳解】令等比數(shù)列的公比為,則,,解得,,所以.故選：C4.【答案】B【詳解】對于A,,由于,所以不能得出,,,共面.故A不符合題意；對于B,由于,則,,為共面向量,所以,,,共面.故B符合題意；對于C,,由于,所以不能得出,,,共面.故C不符合題意；對于D,由得,而,所以不能得出,,,共面.故D不符合題意；故選：B5.【答案】C解：,①,②,②-①并整理得,為公共弦所在直線的方程,易知圓的圓心為原點(diǎn),半徑為2,原點(diǎn)到公共弦所在直線的距離為,故公共弦長的一半為,公共弦長為,故選C.6.【答案】D【詳解】四面體的所有棱長均為2,則向量,,不共面,兩兩夾角都為,則,因點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),則,,,所以.故選：D7.【答案】C解：因?yàn)?所以,兩式相減可得,即,所以,所以.故選C.8.【答案】A解：雙曲線的兩條漸近線的夾角記為,漸近線的斜率,所以,,離心率滿足：,所以,故選A.二、多選題：本題共3小題,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.9.【答案】AC解：設(shè)首項(xiàng)為,公差為,由,可得,,解得,所以,,故選AC.10.【答案】BC【解析】解：拋物線,可得準(zhǔn)線方程為,所以A不正確；設(shè)過點(diǎn)的直線,又交拋物線與,兩點(diǎn),可得：,即,所以.所以B正確.消去可得：,,可得,所以,所以C正確；顯然直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為.聯(lián)立,消去,得,所以,,原點(diǎn)到直線的距離為,,,當(dāng)直線與軸垂直時,,,此時,所以.故D錯誤.故選：BC.11.【答案】ABD解：對于A,,平面,平面,平面,點(diǎn)在線段上運(yùn)動,點(diǎn)到平面的距離為定值,又的面積為定值,故三棱錐的體積為定值,故A正確；對于B,,異面直線與所成的角即為與所成的角,當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時,與所成的角為,當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時,平面,,,此時,與所成的角為,異面直線與所成角的取值范圍是,即,故B正確；對于C,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,,,則,,設(shè)平面的法向量,平面的法向量,,,則,即,令,則,,則得,面與平面所成夾角為,所以,因?yàn)?,所以,,所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是,故C錯誤；對于D,則,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,即,令,則,,得,所以直線與平面所成角的正弦值為：,當(dāng)時,直線與平面所成角的正弦值取得最大值,最大值為,故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12.【答案】8因?yàn)殡p曲線所以,所以焦距為8.故答案為：8.13.【答案】解：根據(jù)題意,設(shè)的坐標(biāo)為,圓的圓心為,則.為圓的切線,則有,又由,則有,即,變形可得：,即在直線上,則的最小值即點(diǎn)到直線的距離,且；即的最小值是；故答案為：.14.【答案】解：由條件可得為正三角形,且邊長為,,在曲線上,代入中,得,,,根據(jù)題意得點(diǎn),代入曲線并整理,得.當(dāng),時,,即.,,當(dāng)時,,或（舍）,故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,.故答案為：.四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）【答案】解：（1）當(dāng)時,,直線為,故,由圓的圓心為原點(diǎn)且半徑為,則圓心到距離為,所以.（2）當(dāng)直線與垂直時,弦的長最小.由于直線的斜率為,所以,直線的斜率為；所以,直線的方程為：16.（本小題15分）【答案】解：（1）由,,動點(diǎn)滿足,可得動點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,且,,,即有軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)動點(diǎn)滿足時,可得在以為直徑的圓上,設(shè),可得,又,解得,,則的縱坐標(biāo)為.17.（本小題15分）【答案】解：（1）在三角形中,,得,由,所以,,又,,,又、平面,故平面；（2）由（1）,,又在中,可得,以為原點(diǎn),以,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,由,取,得,設(shè)平面的法向量為,由,取,得,由,故平面與平面所成二面角的余弦值為.圓內(nèi)有一點(diǎn),為過點(diǎn)且傾斜角為的弦.18.（本小題17分）【答案】解：（1）由,,累加得：,；（2）,前項(xiàng)和為,若為數(shù)列中的最小項(xiàng),則對有恒成立,即對恒成立,當(dāng)時,得；當(dāng)時,得；當(dāng)時,恒成立,對恒成立.令,則,當(dāng)時,,,,,當(dāng)時,也成立,當(dāng)