滬科版九年級數(shù)學?？級狠S題：反比例函數(shù)的六大實際問題（含答案及解析）

專題10反比例函數(shù)的六大實際問題

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、幾何類..................................................................2

類型二、表格類..................................................................4

類型三、圖形類..................................................................7

類型四、探究類..................................................................9

類型五、利潤類.................................................................12

類型六、新定義問題.............................................................13

壓軸能力測評...................................................................16

“解題知識必備??

1幾何類

反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點

坐標的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。

2表格類

解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題.

3圖形類

反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量

之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

4探究類

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.還能利用圖

像直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法.

5利潤類

反比例函數(shù)的利潤問題，往往和二次函數(shù)或者一次函數(shù)結(jié)合，單價、總價、數(shù)量的關(guān)系，以及函數(shù)解析式

的求法，要熟練掌握；同時，一次函數(shù)解析式，分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，

綜合性較強，熟練掌握各函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵；表格類問題的利潤一般合理從表格中獲取關(guān)鍵信息列式是

解題的關(guān)鍵.

6新定義問題

弄懂新定義的概念和性質(zhì)是關(guān)鍵。

X壓軸題型講練”

類型一、幾何類

反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點

坐標的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。

例.如圖，一次函數(shù)＞=h+2（左/0）的圖象與反比例函數(shù)y='尤＞0）的圖象交于點A（2,〃），

與＞軸交于點8,與x軸交于點c（-4,o）.

（1）求左與機的值；

3

（2）P（a,0）為x軸上的一動點，連接3P,若A即的面積為..CBO面積的1，求。的值.

【變式訓練11如圖，一次函數(shù)%=依+6的圖象與反比例函數(shù)%=:的圖象交于點A0，6）和點3（”,-2）.

⑴求一次函數(shù)的表達式以及m的值；

⑵根據(jù)圖象直接寫出當x>2時，必的取值范圍;

⑶連接0B,求VAQB的面積？

7k

【變式訓練21.如圖，直線％=f+4,%==無都與雙曲線y=*交于點41，機)，這兩條直線分別與無軸

4x

(1)求為和雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；

⑵直接寫出當x>0時，不等式-無+4>8的解集；

X

⑶若點尸在無軸上，連接AP把VABC的面積分成1:3兩部分，求此時點P的坐標.

【變式訓練3].如圖，直線y=x+6與雙曲線好勺尤>0)的交點為A(l,a),與x軸的交點為8(-1,0),點C

為雙曲線y=：(x>0)上的一點.

圖1圖2

⑴求。的值及反比例函數(shù)的表達式；

(2)如圖1,當點C的橫坐標為4時，判斷△AOC的形狀，并說明理由;

⑶如圖2,當NAOC=45。時，求點C的坐標.

類型二、表格類

解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題.

Y—3

例.小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)尸17T的圖象與性質(zhì)進行了探究，請補充完整:

⑵結(jié)合函數(shù)的圖象，說出兩條不同類型的性質(zhì)；

①二一

_X—34

②y的圖象是由＞的圖象如何平移得到？

⑶當函數(shù)值二＞-1時，X的取值范圍是一.

【變式訓練11為了探索函數(shù)y=x+』（x＞o）的圖像與性質(zhì)，我們參照學習函數(shù)的過程與方法.

X

列表：

X12345

432

17105_￡101726

y2

TT22TTy

描點：在平面直角坐標系中，以自變量X的取值為橫坐標，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標，描出相應(yīng)的點，如

圖1所示：

⑴如圖1,觀察所描出點的分布，用一條光滑曲線將點順次連接起來，作出函數(shù)圖像；

（2）已知點（占,兀），（4，無）在函數(shù)圖像上，結(jié)合表格和函數(shù)圖像，回答下列問題：

若。＜下＜工241,貝!若1＜為＜%,則％

若X7?尤2=1,則%“2（填""或

⑶某農(nóng)戶要建造一個圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為1平方米，深為1米.已知底面造價為1

千元/平方米，側(cè)面造價為0.5千元/平方米.設(shè)水池底面一邊的長為x米，水池總造價為y千元.

圖2

①請寫出了與x的函數(shù)關(guān)系式；

②若該農(nóng)戶預算不超過5.25千元，則水池底面一邊的長x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

【變式訓練2】.如圖，如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=3,點尸從點8出發(fā)，沿折線

3

C-A運動，當它到達點A時停止，設(shè)點尸運動的路程為心點。是射線C4上一點，CQ=~,連接8Q

x

設(shè)M=SACBQ,必—.

yjk

8

7

6

5

4

3

2

1

012345678

（i）求出％,力與尤的函數(shù)關(guān)系式，并注明尤的取值范圍;

（2）補全表格中％的值;

以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標，在直角坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點，并在x的取值范圍內(nèi)畫出％的函數(shù)圖象;

⑶在直角坐標系內(nèi)直接畫出力函數(shù)圖象，結(jié)合％和力的函數(shù)圖象，求出當％<為時，尤的取值范圍.

【變式訓練31數(shù)學興趣小組了解到一款如圖1所示的電子托盤秤，它是通過所稱重物調(diào)節(jié)可變電阻R的

大小，從而改變電路中的電流/,最終通過顯示器顯示物體質(zhì)量.已知可變電阻R（單位回kQ）與物體質(zhì)量加（單

位回kg）之間的關(guān)系如圖2所示，電流/（單位團mA）與可變電阻R之間關(guān)系為Z=-^-（7?>0）.

+3

A7/mA

2.25——

1.75—十十亍十+十十十T

L50--41一：」

1.25—!--1—：--!—

1.oo—:--”丁一;—:

0.75——!--r-1--

0.50一…

ol123456789,R/kQ

ffil圖2圖3

⑴該小組先探究函數(shù)/=3（R20）的圖像與性質(zhì)，并根據(jù)/與R之間關(guān)系得到如下表格:

R+3

7?(kQ)01234567

/(mA)21.51.2P0.750.6

①表格中的p=_;

②請在圖3中畫出/=￡（7?20）對應(yīng)的函數(shù)圖像；

（2）該小組綜合圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，/隨著他的增大而「（填"增大"或"減小"）

⑶若將該款電子秤中的電路電流范圍設(shè)定為0.2</W0.4（單位：mA）,判斷該電子托盤秤能否稱出質(zhì)量為

2kg的物體的質(zhì)量？請說明理由.

類型三、圖形類

反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量

之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

例.某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15~20℃（包含15℃和20。。）的新品

種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時間x（h）變化的函數(shù)圖像，其中

段是恒溫階段，8C段是雙曲線y=%x>0）的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）求y與尤之間的函數(shù)表達式；

⑵當x=18時，大棚內(nèi)的溫度是否適宜該品種蔬菜的生長？

⑶恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)該品種蔬菜適宜生長溫度的時間為多少？

【變式訓練11某醫(yī)藥企業(yè)幾年前研制并上市一種新的特效藥，銷售部門根據(jù)該藥品過去幾年的銷售數(shù)據(jù)、

同類特效藥的銷售數(shù)據(jù)以及對市場的分析、預估，繪制了該藥品年銷售量丫（單位：萬盒）隨價格》（單位：

元/盒）變化的大致圖象（圖象由部分雙曲線AB與線段BC組成），如圖所示.該藥品2021年價格為60元/

盒，經(jīng)國家醫(yī)保局與該醫(yī)藥企業(yè)談判，將該藥納入醫(yī)保，2022年價格下調(diào)至30元/盒.但在制藥成本不變

的情況下，當年銷售該藥品的利潤還是與2021年相同，根據(jù)已知信息解決下列問題：

750

100

O

⑴求2022年該藥品的年銷售量；

⑵該企業(yè)2023年將使用新研發(fā)的制藥技術(shù)，使制藥成本降低40%.為惠及更多患者，該企業(yè)計劃在2023

年繼續(xù)下調(diào)該藥品的價格，并希望當年銷售該藥品的利潤比2022年至少增加2500萬元用于制藥技術(shù)的研

發(fā)，請你為該企業(yè)設(shè)定該藥品價格的范圍，并說明理由.

【變式訓練2】.實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時,

學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學生注意力指標y隨時間x(分

鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示，其中當204x445時，圖象是反比例函數(shù)的一部分.

(1)求點C,。所在反比例函數(shù)的表達式和直線4B的表達式;

(2)張老師想在數(shù)學課上講解一道數(shù)學綜合題，希望學生注意力指標不低于36,那么她最多可以講分

鐘.

【變式訓練3】.某疫苗生產(chǎn)企業(yè)于2021年1月份開始技術(shù)改造，其月生產(chǎn)數(shù)量y(萬支)與月份x之間的

變化如圖所示，技術(shù)改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術(shù)改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，

請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解答下列問題：

⑴該企業(yè)4月份的生產(chǎn)數(shù)量為多少萬支？

（2）該企業(yè)有幾個月的月生產(chǎn)數(shù)量不超過90萬支?

類型四、探究類

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.還能利用圖

像直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法.

例.心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上

課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意

力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、

2C分別為線段，為雙曲線的一部分）：

⑴求出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系；

⑵開始上課后第5分鐘時與第30分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？

⑶一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36,那么經(jīng)過適當

安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？說明理由.

【變式訓練模具廠計劃生產(chǎn)面積為4,周長為機的矩形模具，對于根的取值范圍，小亮已經(jīng)能用"代數(shù)”

的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從"圖形"的角度進行探究，過程如下：

⑴建立函數(shù)模型：

設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為無，兒由矩形的面積為4,得盯=4,即、=:；由周長為〃J得2（x+y）=根,

即y=-x+￡.滿足要求的（x,y）應(yīng)是兩個函數(shù)圖像在第象限內(nèi)的交點的坐標.

⑵畫出函數(shù)圖像：

4H7

函數(shù)y=—5>0）的圖像如圖所示，而函數(shù)^=-工+式的圖像可由直線^=-x平移得到.請在同一直角坐標

系中直接畫出直線丫=-％.

⑶平移直線y=f,觀察函數(shù)圖像：

當直線平移到與函數(shù)y=3（尤>o）的圖像有唯一交點（2,2）時，寫出周長小的值__________；

X

⑷得出結(jié)論：

若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，求出周長機的取值范圍.（直接寫出結(jié)論）

【變式訓練2].函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)

圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程請結(jié)合已有的學習經(jīng)驗，畫出函數(shù)的圖象，

x+4

并探究其性質(zhì).

⑴列表，并在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；

y

⑵觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題:

①當-2WxV2時，函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②當x=2時，函數(shù)有最小值最小值為一2；

③時，函數(shù)y的值隨尤的增大而減小

其中正確的是(請寫出所有正確命題的序號)

⑶結(jié)合圖象，請直接寫出不等式色>尤的解集

X+4

【變式訓練3].如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)>=履(%>0)與反比例函數(shù)y=:的圖象分別交于

A、C兩點，已知點8與點。關(guān)于坐標原點。成中心對稱，且點B的坐標為(加，0).其中m>0.

⑴四邊形ABC。是.(填寫四邊形ABCD的形狀)

(2)當點A的坐標為(〃,3)時，四邊形ABCD是矩形，求冽〃的值.

⑶試探究：隨著左與，”的變化，四邊形ABC。能不能成為菱形？若能，請直接寫出左的值；若不能，請說

明理由.

類型五、利潤類

反比例函數(shù)的利潤問題，往往和二次函數(shù)或者一次函數(shù)結(jié)合，單價、總價、數(shù)量的關(guān)系，以及函數(shù)解析式

的求法，要熟練掌握；同時，一次函數(shù)解析式，分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，

綜合性較強，熟練掌握各函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵；表格類問題的利潤一般合理從表格中獲取關(guān)鍵信息列式是

解題的關(guān)鍵.

例.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店

采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平

均每天可多售出2件.

⑴若銷售單價降低5元，那么平均每天銷售數(shù)量為多少件？

⑵若該商店每天銷售利潤為1200元，問每件商品可降價多少元？

⑶當每件商品降價多少元時，商店可獲得最大利潤？最大利潤為多少元？

【變式訓練某商場銷售一批襯衫，平均每天可銷售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售盈利，商場

決定采取適當?shù)慕祪r措施，但要求每件盈利不少于20元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn).若每件襯衫每降價1元，則商場每天

可多銷售2件.

⑴若每件襯衫降價4元，則每天可盈利多少元？

（2）若商場平均每天盈利1200元.則每件襯衫應(yīng)降價多少元？

（3）降價多少元時，平均每天盈利最大？

【變式訓練2】.某商場購進某種商品時的單價是40元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是60元

時，銷售量是300件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件.

（1）設(shè)該種商品的銷售單價為了元（尤＞40）,請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具

獲得利潤卬元，并把結(jié)果填寫在表格中：

銷售單價（元）X

銷售量y（件）—

銷售服裝獲得利澗獷（元）

—

（2）在（1）的條件下，若商場獲得了4000元銷售利潤，求該商品銷售單價x應(yīng)定為多少元?

（3）當定價多少時，該商場獲得的最大利潤，最大利潤是多少元？

【變式訓練3】.某廠按用戶的月需求量打件）完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x>0.每件的售價為18萬元，每

件的成本N（萬元）是基礎(chǔ)價與浮動價的和，其中基礎(chǔ)價保持不變，浮動價與月需求量打件）成反比.經(jīng)市場

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份"（〃為整數(shù)，符合關(guān)系式x=2/-2切+9億+3）（人為常數(shù)），且得到

了表中的數(shù)據(jù)

月份〃（月）112

成本y（萬元/件）1112

需求量X（件/月）120100

（1）直接寫出上的值；

⑵求y與x滿足的關(guān)系式，請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元;

⑶推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損.

類型六、新定義問題

弄懂新定義的概念和性質(zhì)是關(guān)鍵。

例.閱讀與探究.定義：在平面直角坐標系中，對于任意一個函數(shù)，將原函數(shù)中的自變量》替換為國，從

而形成一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)叫做原函數(shù)的"絕對函數(shù)例如，函數(shù)y=x+l的"絕對函數(shù)"是，=國+1,

即YU：?）；函數(shù)—+2I的"絕對函數(shù)”是7+2W一1，即函數(shù)

y=x+l的圖象如圖1,則它的“絕對函數(shù)"y=|x|+l的圖象如圖②所示.

X

⑵在圖3的平面直角坐標系中畫出y=-x+2的絕對函數(shù)的圖象；

⑶在（1）的"絕對函數(shù)"圖象上取一點4點A關(guān)于y軸的對稱點為A，0是平面直角坐標系的原點，則ANO

的面積是；

⑷函數(shù)y=f-4x+3的"絕對函數(shù)"與直線V=r+7"有四個交點時，求m的取值范圍.

【變式訓練我們定義：如果一個矩形A周長和面積都是8矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形3

的完全N倍體.

（1）若矩形A為正方形，是否存在一個正方形8是正方形A的完全2倍體？（填"存在"或"不存在”）.

【深入探究】長為3,寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？

小鳴和小棋分別有以下思路：

fx+y=10

【小鳴方程流】設(shè)新矩形長和寬為x、y,則依題意x+y=10,沖=12,聯(lián)立\，得d-10x+12=0,

'［孫=12

再探究根的情況；

12

【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)4：y=一與一次函數(shù)4：y=-x+io來研究，作出圖象，有交點，

意味著存在完全2倍體.

(2)那么長為4.寬為3的矩形C是否存在完全1倍體？請利用上述其中一種思路說明原因;

2

(3)如果長為5,寬為4的矩形C存在完全左倍體，請直接寫出上需要滿足的不等式.

【變式訓練2】.我們定義：如果一個矩形A周長和面積都是8矩形的N倍，那么我們就稱矩形A是矩形8的

完全N倍體.

⑴若矩形A為正方形，是否存在一個正方形8是正方形A的完全2倍體？(填"存在"或"不存在").

【深入探究】長為3,寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？

小鳴和小棋分別有以下思路：

【小鳴方程流】設(shè)新矩形長和寬為X、則依題意x+y=io,肛=12,

y=10

聯(lián)立二c得f-10x+12=0,再探究根的情況；

[xy=12

12

【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)個y==與一次函數(shù)4：y=-x+io來研究，作出圖象，有交點,

X

意味著存在完全2倍體.

⑵那么長為4.寬為3的矩形C是否存在完全;倍體？請利用上述其中一種思路說明原因.

⑶如果長為4,寬為3的矩形C存在完全左倍體，請求出左的取值范圍.

【變式訓練3】.如圖，已知直線/：%=左尤+。分另U與x軸、y軸交于A、8兩點，與雙曲線羽=2(人30,

X

尤＞0)交于。、E兩點，若點。的坐標為(4,1),點E的坐標為(1,4).

（1）求直線/和雙曲線的表達式；

（2）當％4%時，請直接寫出X的取值范圍；

⑶若將直線/向下平移相（加>0）個單位得到新直線，當機為何值時，新直線與雙曲線在第一象限內(nèi)有且

只有一個交點

??壓軸能力測評“

1.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，

則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售

利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

2.隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，一次性收購了10000kg小龍蝦，計劃養(yǎng)殖

一段時間后再出售.已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)10天的總成本為166000,放養(yǎng)30天的總成本為

178000元.設(shè)這批小龍蝦放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為akg,銷售單價為y元/kg,根據(jù)往年的行情預測，a與t的函

數(shù)關(guān)系為2=[]1100000,（000<0?（<22。0<1）5。）一與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示?

（1）設(shè)每天的養(yǎng)殖成本為m元，收購成本為n元，求m與n的值；

（2）求y與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元.問該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少

天后一次性出售所得利潤最大？最大利潤是多少？

（總成本=放養(yǎng)總費用+收購成本；利潤=銷售總額-總成本）

3.2015年9月19日第九屆合肥文博會開幕.開幕前夕，我市某工藝廠設(shè)計了一款成本為10元/件的工藝

品投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價X（元/件）2030405060

每天銷售量（y件）500400300200100

（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應(yīng)的點，猜想y與x

的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；

（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）開幕后，合肥市物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過38元/件，那么銷售單價定為多少時,

工藝廠銷售該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

4.列表法、表達式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)

k

關(guān)系.下表是函數(shù)y=2x+人與丁=勺部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系:

X

_7

a1

~2

2x+ba1

k_

7

X

(1)求。、b的值，并補全表格；

⑵結(jié)合表格，當y=2x+力的圖像在y=A的圖像上方時，直接寫出x的取值范圍.

X

5.如圖，在RtaABC中NACB=90。，BC=4,AC=3,點尸從點5出發(fā)，沿折線C—A運動，當它

到達點A時停止，設(shè)點P運動的路程為X,若點。是射線CA上一點，且CQ=9,連接BQ,設(shè)

⑴求出以，必與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍;

(2)先補全表格中％的值，再畫出外的函數(shù)圖像

⑶在直角坐標系內(nèi)直接畫出％的函數(shù)圖像，結(jié)合％和%的函數(shù)圖像，求出當％<%時，x的取值范圍.(結(jié)

果取精確值)

6.我們定義：如果一個矩形A周長和面積都是8矩形的N倍,那么我們就稱矩形A是矩形B的完全N倍體.

(1)若矩形A為正方形，是否存在一個正方形8是正方形A的完全2倍體？(填"存在"或"不存在").

【深入探究】

長為3,寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？

小鳴和小棋分別有以下思路：

【小鳴方程流】設(shè)新矩形長和寬為了、丫，則依題意尤+>=10,xy=U,

[x+y=10

聯(lián)立-得/_10彳+12=0,再探究根的情況；

Ixy=12O

12

【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)4：>=—與一次函數(shù)4：)=+來研究，作出圖象，有交點,

意味著存在完全2倍體.

(2)那么長為3.寬為2的矩形C是否存在完全;倍體？請利用上述其中一種思路說明原因.

⑶如果長為3,寬為2的矩形C存在完全左倍體，請直接寫出左的取值范圍：.

7.如圖，反比例函數(shù)%=:(加*0)的圖象與一次函數(shù)%=區(qū)+)(人工°)的交于A、8兩點，已知點A的坐標

為(1,4),點8的坐標為(4,”).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

⑵點。為坐標原點，求點。到直線48的距離.

8.如圖，正方形ABC。的邊長為3,以所在的直線為x軸，以AD所在的直線為'軸建立平面直角坐標

系反比例函數(shù)＞=一的圖象與交于E點,與CB交于F點.

x

(1)求證：AE=AF-,

⑵若的面積為；，求反比例函數(shù)的解析式；

⑶點P是對角線AC上的一個動點，在（2）的條件下，是否存在點尸，使得OP+EP的值最??？如果存在,

直接寫出點尸的坐標，如果不存在，請說明理由.

k

9.如圖，已知：矩形AOCB的頂點B在反比例函數(shù)y=左＞0,無＞0）的圖象上，且AB=3,BC=8.

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

⑵若動點E從A開始沿A3向8以每秒1個單位長度的速度運動，同時動點尸從8開始沿BC向C以每秒2

個單位長度的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動，設(shè)運動時間為f秒，

①當t為何值時，讖砂是等腰直角三角形？

②當t=2時，在雙曲線上是否存在一點使得四邊形￡/瀏1為平行四邊形？說明理由；

⑶若在（2）中的條件下，運動1秒時，在y軸上是否存在點。，使乩）跖的周長最??？若存在，請求出QEF

的周長最小值；若不存在，請說明理由.

10.如圖，已知反比例函數(shù)y=f和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（4力），g+l,6+左）兩點.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

⑵如下圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求點A的坐標；

⑶利用（2）的結(jié)果為條件，請問：在x軸上是否存在點尸，使,49尸是以4。為腰的等腰三角形？若存在,

直接寫出點P的坐標.

專題10反比例函數(shù)的六大實際問題

目錄

解題知識必備...................................................................22

壓軸題型講練...................................................................23

類型一、幾何類.................................................................23

類型二、表格類.................................................................30

類型三、圖形類.................................................................38

類型四、探究類.................................................................44

類型五、利潤類.................................................................51

類型六、新定義問題.............................................................55

壓軸能力測評...................................................................64

“解題知識必備??

1幾何類

反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點

坐標的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。

2表格類

解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題.

3圖形類

反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量

之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

4探究類

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用圖像解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.還能利用圖

像直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決函數(shù)問題的一種常用方法.

5利潤類

反比例函數(shù)的利潤問題，往往和二次函數(shù)或者一次函數(shù)結(jié)合，單價、總價、數(shù)量的關(guān)系，以及函數(shù)解析式

的求法，要熟練掌握；同時，一次函數(shù)解析式，分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，

綜合性較強，熟練掌握各函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵；表格類問題的利潤一般合理從表格中獲取關(guān)鍵信息列式是

解題的關(guān)鍵.

6新定義問題

弄懂新定義的概念和性質(zhì)是關(guān)鍵。

X壓軸題型講練??

類型一、幾何類

反比例函數(shù)與實際問題的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，理解題目中各點

坐標的計算方法，函數(shù)之間相交的交點的計算方法。

例.如圖，一次函數(shù)>=h+2(人中0)的圖象與反比例函數(shù)y="(〃zwO,x>0)的圖象交于點A(2,w),

與，軸交于點8,與x軸交于點C(TO).

(1)求左與7"的值；

(2)P(a,0)為x軸上的一動點，連接若尸的面積為ACBO面積的“求。的值.

【答案】⑴4=機=6；

(2)a=T0或2.

【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系

數(shù)法，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

(1)把點C的坐標代入一次函數(shù)的解析式求出左，再求出點A的坐標，把點A的坐標代入反比例函數(shù)的解

析式中，可得結(jié)論;

(2)根據(jù)SACAP=S^ABP+以CBP，構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】(1)解：把C(-4,0)代入y=履+2,得A=1,

1c

y=5%+2,

把A(2,〃)代入y=5尤+2,得〃=3,

二.A(2,3),

rvi

把A(2,3)代入y=竺,得m=6,

X

:.k=—,m=6；

2

(2)解：當x=0時，y=2,

?.3(0,2),

.尸(〃,0)為X軸上的動點，

/.尸C=|a+4|,

S.CBP=5,尸C?。8=]X|a+41x2=|〃+41f=50C?%=5X|Q+41x3,

13

SRCAP~S^ABP+S&CBP,SCOB=-x4x2=4,ABP的面積為，CSO面積的1，

33

/.—|a+4|=4x—+|a+4|,

.,.〃=一10或2.

【變式訓練11如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A(l，6)和點川〃，一2).

⑴求一次函數(shù)的表達式以及m的值；

(2)根據(jù)圖象直接寫出當x>2時，上的取值范圍;

⑶連接。4、OB,求VAOB的面積？

【答案】⑴一次函數(shù)表達式X=2X+4,反比例函數(shù)表達式%=9；

X

⑵。<y<3；

⑶^AAOB=8.

【分析】(1)把A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式>2=勺k即可求出反比例函數(shù)的解析式，把8的坐標代入

x

求出8的坐標，把A3的坐標代入一次函數(shù)乂=依+》即可求出函數(shù)的解析式；

(2)首先求出反比例函數(shù)經(jīng)過點(2,3),然后利用圖象求解即可；

(3)求出一次函數(shù)與x軸的交點C的坐標，分別求出△AOC和的面積，即可求出答案；

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】(1)把4(1,6)代入反比例函數(shù)%=?得m=6,

團反比例函數(shù)的表達式是必=9，

X

團反比例函數(shù)必=?的圖象過點

0-2=-,得〃=-3,

n

03,-2),

團一次函數(shù)％=◎+)的圖象過點A(l,6)和點5(—3,—2),

[a+b=6

回《，

[-3a+b=-2

fa=2

解得：,

[6=4

回一次函數(shù)的表達式是％=2x+4；

(2)當x=2時，y=—=3

2x

團反比例函數(shù)經(jīng)過點(2,3)

由圖象可得，當x>2時，0<y<3；

(3)如圖，設(shè)一次函數(shù)X=2x+4的圖象與x軸交于點c,

解得x=-2

0C(-2,O),

回OC=2,

團SAOB=SAOC+SBOC=gx2x6+gx2x2=8.

3k

【變式訓練2].如圖，直線％=r+4,%=m+b都與雙曲線丁=勺交于點41,加，這兩條直線分別與1軸

4x

⑴求為和雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；

k

⑵直接寫出當x>0時，不等式-%+4〉一的解集；

x

⑶若點尸在工軸上，連接AP把VABC的面積分成1:3兩部分，求此時點夕的坐標.

3Q3

【答案】（1）%=:兀+:，y=~；

（2）l<x<3；

⑶或0o].

【分析】（1）把點A（l,〃z）代入X=-x+4,確定A（L3）,分別代入%=：x+b,y=計算即可.

k

（2）首先求出％=-江+4與>=勺相交時兩橫坐標分別為1,3,結(jié)合不等式，運用數(shù)形結(jié)合思想求解即可.

X

=

(3)分SAPB3sAPC，3sAPB=SAPC計算即可.

【詳解】(1)把點代入M=-x+4,得〃z=_l+4=3,

0A(1,3),

把A(L3)分另I」代入%=[x+b,y=|,得3=：+仇3=；,

9

解得〃=:,左=3,

4

393

回為=丁+“尸)

kQ

(2)團當一x+4=一時，由丁=—,

1%

43

回一元+4=一,

x

去分母得_X2+41=3,

團(x—3)(x—1)—0,

k

回％=一工+4與丁=—相交時兩橫坐標分別為1,3,

x

k

根據(jù)圖象可知不等式-x+4>+的解集是I<xv3.

x

3Q

(3)團直線％=—兀+4,y=_x+_,

44

團5(4,0),C(-3,0),

設(shè)P(m,0),貝i」BP=4—m，PC=m+3；

團Sj8:SAPC—BP：PC,

團AP把VABC的面積分成1:3兩部分，

當sAPB=3SAPC時，得4一機=3(m+3),

解得加=二，

4

故尸[-川；

當3SAPB=SAPC時，得3(4)=(加+3),

9

解得〃7=了，

4

故哈。｝

故點的坐標為尸[-jo)或pg,o].

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，數(shù)形結(jié)合確定解析式構(gòu)成不等式的解集，三角形

面積之比，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練3】.如圖，直線＞=工+匕與雙曲線、=§卜＞0)的交點為4(1,0),與X軸的交點為3(-1,0),點C

為雙曲線＞=*＞0)上的一點.

(1)求。的值及反比例函數(shù)的表達式;

(2)如圖1,當點C的橫坐標為4時，判斷△AOC的形狀，并說明理由;

(3)如圖2,當NAOC=45。時，求點C的坐標.

2

【答案】(l)a=2,y=-(x>0)

X

?！魅恕?。為直角三角形，理由見解析

⑶cV6,

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利

用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

(1)把鞏-1,0)代入一次函數(shù)，求得一次函數(shù)的解析式，再求出點A坐標即可；再將點A坐標代入反比例

函數(shù)，即可解答；

(2)求出點C坐標，利用勾股定理的逆定理即可判斷△AOC為直角三角形；

(3)過點A做AF垂直。4交射線OC于點尸，過點A做AD垂直，軸交V軸于點D,過點尸做FE垂直AD

交直線AD于點尸，利用全等三角形的性質(zhì)得到點歹的坐標，求得。尸的解析式，點C即為反比例函數(shù)與一

次函數(shù)的交點.

【詳解】(1)解：「直線AB過點B(TO),

二.-1+8=0,解得：b=l,

「?直線AB的表達式為y=%+1.

點A。,a)在直線A3上，

Q=1+1=2,

，點A的坐標為(1,2).

又；雙曲線Y(x>0)過點A(l,2),

「#=1x2=2,

2

???反比例函數(shù)的表達式為y=—。>0).

(2)解：△AOC為直角三角形，理由如下：

?點。在y=*上，且點。的橫坐標為4,

x

*??點C的縱坐標為7，

2

即點

.-.OA2=(1-0)2+(2-0)2=5,

AC2=(4-l)2+Q-2^=：,

oc2=(4-0)2+Q-0^|=?,

,-.OA2+AC2=5+—=—=OC2

44

.：AOC為直角三角形；

(3)解：如圖(2),過點A做AF垂直。4交射線OC于點尸，過點A做AD垂直，軸交y軸于點。，過點尸

做FE垂直AD交直線AD于點尸.

AF1OA

:.ZOAF=90

又1ZAOC=45

圖2

:.OA=AF

AO_Ly軸，F(xiàn)E1AD

:.ZADO=90=ZAEF

ZDOA+ZOAD=9Q

又?.NQ4月=90

/.ZDAO+ZEAF=90

.\ZAOD=ZEAF

ADO^AEF(AAS)

:.AE=OD=2,EF=AD=1

，易得尸(3,1),

設(shè)。廠的函數(shù)解析式為y=rm

.,.l=3mBPm=1

二.Ob的函數(shù)解析式為y=；x

,2

y=一

聯(lián)立:，

y=—x

I3

2]

BP—=—x,x=±^6

x3

x>0

:.x=a，:?y=々戊

即。瓜

類型二、表格類

解題的關(guān)鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題.

例.小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)w標的圖象與性質(zhì)進行了探究，請補充完峪

y

r-5

：-4

；-3

\-2-

kl-

45-443T2口0123455

尸2

尸3

尸4

,二5

⑴根=_,再根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用描點法在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象;

-5-4-3