滬科版九年級數(shù)學(xué)常見題型專練：解直角三角形及其應(yīng)用（5種題型）（原卷版）

第11講解直角三角形及其應(yīng)用（5種題型）

O【知識梳理】

解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：ZA+ZB=9Q°；

②三邊之間的關(guān)系：aW=c2；

③邊角之間的關(guān)系：

NA的對邊丁

cosA=NA的鄰邊=btanA=a

Uh2斜邊cNA的鄰邊b

（a,b,c分別是NA、NB、NC的對邊）

二.解直角三角形的應(yīng)用

（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問.

如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的

長度，計算出所要求的物體的高度或長度.

（2）解直角三角形的一般過程是：

①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.

②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到

實際問題的答案.

三.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

（1）坡度是坡面的鉛直高度人和水平寬度/的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用，表示，常寫成i=l：7〃的形式.

（2）把坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度，與坡角a之間的關(guān)系為：i=/z〃=tana.

（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的

正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題.

應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等.

四.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.

（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角

形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實

際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

五.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù).

（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角.

【考點剖析】

解直角三角形（共10小題）

1.（2022秋?廬陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZC=30°,AC=12,sinfi=3,求2C長.

2.（2023?來安縣一模）如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,點。和點E分別是和AB上的點，已知DE

J-AB,sinB4,AC=8,CD=2,則OE的長為（

D

A.3.2B.4C.4.5D.4.8

3.（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長為1個單位的方格紙中，AA3c的頂點在小正方形頂點位置,

那么/ABC的正切值為

4.（2023?肥東縣模擬）如圖，在四邊形4BCZ）中，ZB=60°,ZC=90°,E為邊BC上的點，AADE為

等邊三角形，BE=8,CE=2,貝!]tanNAEB的值為（）

A.迎B.迎C.3V3.口.嶇

5555

5.（2023春?廬陽區(qū)校級期中）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求

面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a,b,c,記殳工，那么三

2

角形的面積S=Yp（p-a）（p-b）（D-C）.在△ABC中，/A、NB、/C所對的邊分別為a、b、c,且

a=4,b=5,c=7,則△ABC的面積為.

6.（2023?亳州模擬）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosC=.

7.（2023春?安慶月考）如圖，RtZXABC中，ZC=90°,點。和點E分別在3C、AB上，若AC=8、CD

=2、DELAB,sinB=A,則ED的長度為（）

A.3.2B.4C.4.5D.4.8

8.（2023?懷寧縣一模）如圖，在△ABC中，AD±BC,垂足是。，若BC=14,AD=12,tanZBAD=^-,求

4

cosC的值.

9.(2022秋?蚌埠期中)如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4,BD_LAC于點D.

(1)求tan/ABC的值；

(2)求2。的長.

10.(2022秋?合肥月考)如圖，已知在△ABC中，CDLAB,垂足為點D,AD=2,BD=6,tanB=Z,點

E是邊BC的中點.

(1)求邊AC的長

(2)求NEAB的正弦值

二.解直角三角形的應(yīng)用(共5小題)

11.(2023?廬陽區(qū)校級三模)如圖，從A地到8地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=60h",ZCAB=30°,

ZCBA=50°,因城市規(guī)劃的需要，將在A、8兩地之間修建一條筆直的公路

(I)求改直的公路AB的長；

(II)問公路改直后比原來縮短了多少物2?

(參考數(shù)據(jù)：73^1.732;sin50°~0.77.cos50°?0.66,tan50°-1.19)(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

12.(2023春?定遠縣月考)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,ZA=60°,AC=2,點、D、點、E、點、F

分別是AC,AB,BC邊的中點，連接?！辍F,得到△AE。，它的面積記作S；點。八點口、點Q分別

是EF,EB,EB邊的中點，連接。閔、EiFi,得到△EEiOi,它的面積記作Si,照此規(guī)律作下去，則S2023

13.(2022秋?合肥月考)如圖，“人字梯”放在水平地面上(AB=AC),當(dāng)梯子的一邊與地面所夾的銳角a

為45°時，兩梯腳之間的距離2C為2米，當(dāng)a=60°時，則梯子頂端距地面的高度AD上升了

米.（結(jié)果保留根號）

14.（2023?繁昌縣校級模擬）十一國慶節(jié)期間，小明（A）與小亮（B）兩人來到廣場，一前一后在水平地面

4。上放風(fēng)箏，結(jié)果兩人的風(fēng)箏在空中C處糾纏在一起.如圖，小明和小亮測得NCAO=30°,ZACB=

15°,且小明和小亮之間的距離AB為11.7m,求此時C處的風(fēng)箏距離地面的高度.（結(jié)果保留一位小

數(shù).參考數(shù)據(jù)：73^1.73）

15.（2023?金安區(qū)一模）如圖，某旅游景區(qū)開發(fā)一個三角形養(yǎng)殖池塘，記為△ABC,為方便游客垂釣，修建

了棧道A。，已知NC=30°,NADB=70°,AC=200米，求棧道的長.

（參考數(shù)據(jù)：V2^1.41,sin20°七0.34,cos20°^0.94,tan20°七0.36,結(jié)果取整數(shù)）

三.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共8小題）

16.（2023?貴池區(qū)二模）池州市創(chuàng)建文明城市，在市區(qū)各路口設(shè)立遮陽棚的立柱與地面尸。夾角NPBA

=64°,棚頂CD與AB夾角/CAB=142°,AB=100cm,點C到地面的距離為156cm,求AC的長

度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)；sin64°^0.90,cos64°^0.44,tan64°片2.05）

17.（2023春?宣城月考）如圖，有一斜坡AB,坡頂B離地面的高度8C為30"?,若坡比i=l：2.5,則此斜

A.75mB.50mC.45mD.30m

18.（2022秋?金安區(qū)校級期末）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：3,則AB的

長為（）

A.12米B.4舊米C.5巡米D.缶/15米

19.（2023春?蕭縣月考）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i=l：3,如果它把某物體從地面送到離地面

10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是米.

20.（2023?廬陽區(qū)校級模擬）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娛樂休閑、鍛煉身體的方式之一，如圖，某個

周末小張同學(xué)從大蜀山西坡沿坡角為37。的山坡爬了280米，到達點E處，緊接著沿坡角為45。的山

坡又爬了160米，到達山頂A處；請你計算大蜀山的高度.（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：近八414,

73^1,732，Sin37°-0.6,cos37°-0.8,tan37°20.75）

21.（2022秋?寧國市期末）如圖，在矩形ABCD中，8。是對角線，AELBD,垂足為E,連接CE,若BD

的坡度是1：2,則tan/DEC的值是

22.（2023?長豐縣二模）安徽浮山是中國第一文山，爬山是居民周末娛樂休閑、鍛煉身體的方式之一.如圖，

某個周末小明同學(xué)從浮山山底沿斜坡爬了260米到達8處，緊接著又向上爬了坡角為45。的山坡90

米，最后到達山頂P處，若AB的坡度為1：2.4,請你計算浮山的高度PC（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)

據(jù)：72^1.414）.

23.（2023?太湖縣一模）如圖是某段河道的坡面橫截面示意圖，從點A到點3,從點8到點C是兩段不同

坡度的坡路，CM是一段水平路段.為改建成河道公園，改善居民生活環(huán)境.決定按照AB的坡度降低坡

面BC的坡度，得到新的山坡AO,經(jīng)測量獲得如下數(shù)據(jù)：CM與水平面AN的距離為129，坡面AB的長

為10加，NBAN=15。,坡面與水平面的夾角為31°.降低BC坡度后，A,B,。三點在同一條直

線上，即/。AN=15°.為確定施工點。的位置，試求坡面AO和CD的長度.（參考數(shù)據(jù)：sinl5°~

0.26,cosl5°-0.97,tanl5°心0.27,sin31°-0.52,cos31°"0.86,tan31°—0.60,結(jié)果精確到0.1m）

CDM

A

四.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共6小題）

24.（2022春?淮南月考）如圖所示，小穎在自家樓房的窗戶A處，測量樓前的一棵樹CD的高.現(xiàn)測得樹

頂C處的俯角為45°,樹底D處的俯角為60°,樓底到大樹的距禺BD為30m.則樹的高度為

（結(jié)果保留根號）.

25.（2023?夥縣校級模擬）某住宅小區(qū)計劃在1號樓頂部。處和小區(qū)大門的上方A處之間掛一些彩燈.經(jīng)

測量，得到大門的高度AB為3.8米，大門與1號樓之間的距離BC為30米.在大門E處測得1號樓頂

部。處的仰角為30°,且測傾器離地面的距離EB為1.48米.（結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):遍生2.236.

73^1.732）

（I）求該小區(qū)1號樓的高度；

（2）求大門頂部A處與1號樓頂部。處之間的距離.

26.（2023?舒城縣模擬）如圖，為測量某建筑物的高度，某人在點尸處測得建筑物頂端C處的仰角為37°,

往前走10米到達點G處，測得建筑物頂端C處的仰角為45°,已知測量工具距離地面的高度AF為1.7

米,求這個建筑物的高度DE.（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°―0.8,tan37°心0.75,

V2?l.414)

27.（2023?廬陽區(qū)校級三模）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視.小燕和小慧五一假期出外

門旅游，看見風(fēng)電場的各個山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機，她們想知道風(fēng)力發(fā)電機塔架的高度.如

圖，小燕站在C點測得C點與塔底。點的距離為25米，小慧站在斜坡BC的坡頂8處，測得輪轂A點

的仰角a=38°,已知斜坡BC的坡度i=R：1,坡面BC長30米，請根據(jù)測量結(jié)果幫她們計算風(fēng)力發(fā)

電機塔架AO的高度.（結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：sin38°心0.62,cos38°維0.79,tan38°~0.78,

迎心1.41,?心1.73）

28.（2023?合肥三模）如圖，在某居民樓的正前方8相處有一生活超市CZ）,在生活超市的頂端C處測

得居民樓頂端A的仰角為67°,測得居民樓底端2的俯角為22°,求居民樓的高度.（結(jié)果保留小

數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin67°心0.92,cos67°-0.39,tan67°-2.36,sin22°?0.37,cos22°-0.93,

tan22°^0.40)

29.（2023?利辛縣模擬）如圖，兒子和爸爸分別站在C,D兩點測得大樓的頂端A的仰角NAEG=42°,

ZAFH=22°,兩人的身高CE=16mDF=l.Sm,CD=50m,B,C,。三點在同一條直線上，求大樓

的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin22°七0.37,tan22°七0.40,sin42°七0.67,tan42°七0.90）

五.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共6小題）

30.（2023?定遠縣校級開學(xué)）如圖，某船由西向東航行，在點A測得小島。在北偏東60°方向上，船航行

了10海里后到達點B,這時測得小島。在北偏東45°方向上，船繼續(xù)航行到點C時，測得小島。恰好

在船的正北方，則此時船到小島的距離為海里.

31.（2023?郊區(qū)校級模擬）如圖，某工程隊從A處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達B處，測得A處在博

物館C的南偏東35°方向，3處在博物館C的東南方向.

（1）請計算博物館C到8處的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）博物館C周圍若干米內(nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道，通過計算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到3處時，只需

沿北偏東15。的BE方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開綠地.請計算博物館C周圍至少多少米內(nèi)

不能鋪設(shè)軌道.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin35°-0.57,cos35°心0.82,tan35°-0.70,

72^1.41,北-1.73）

32.（2018秋?淮北期末）某艦艇上午9時在A處測得燈塔C在其南偏東75°的方位上，然后以每小時10

海里的速度沿南偏東30°的方向航行，11時到達B處，在B處測得燈塔C在其北偏東15°的方位上，

則B處到燈塔C的距離是.

33.(2023春?定遠縣校級月考)如圖在南北方向的海岸線MN上，有兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的

求救信號.已知A、2相距100(?+1)海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船2的東南

方向上，MN上有一觀測點O,測得船C正好在觀測點。的南偏東75°方向上.

(1)求AC的長；

(2)已知距離觀測點。處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C.在去營救的途中

有無觸礁的危險？

N

B

D

A

M

34.(2023?包河區(qū)三模)數(shù)學(xué)興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點A處測

得河的北岸點8在其北偏東13°方向，然后向西走80米到達C點，測得點8在點C的北偏東53°方

向，求河寬.(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)sin37°?0.60,cos37°心0.80,tan37°t0.75,sin77°?0.97,

cos77°^0.22,tan77°心4.33)

35.（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，燈塔8位于港口A的北偏東67.4°方向，燈塔C位于燈塔3的正東方

向，且8,C之間的距離為18初1.一艘輪船在港口A的正南方向距港口46切?的。處，測得燈塔C在輪

船北偏東37.0°方向上，求港口A距離燈塔2有多遠？（結(jié)果取整數(shù)）

(參考數(shù)據(jù)：sin67.4°=工^,cos67.4°=上-,tan67.4°=工^,sin37.0°=3,cos37.0°=—,tan37.0°

1313555

=1)

4

D

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?安徽合肥?九年級校考階段練習(xí)）在RtaABC中，ZC=90°,當(dāng)已知NA和。時，求c,應(yīng)選

擇的關(guān)系式是（）

C.c=〃tanAD.c=a-cosA

2.（2023秋?安徽池州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，一個小球由坡底沿著坡比為1:2的坡面前進了12米，此時

小球在豎直方向上升了（）

C.1如米

A.4米B.2港米D.5百米

3.（2023春?安徽安慶?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在"RC中，ZC=90°,點。和點E分別是邊

4

和上的點，DE,LAB,sinB=-,AC=8,CD=2,則DE的長為（）

A.4.8B.4.5D.3.2

4.（2021?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D

都在這些小正方形的頂點上，45與8相交于點尸，則她尸。的余弦值為（）

n------1

C.—

3

5.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考三模）如圖，在AABC中，AB=5,BC=2,sinB--,則AC的長為（）

A

C.2百D.4

6.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，Rt^ABC中，NC=90。，點。在BC上，ZCDA=ZCAB.若

3

BC=4,tanB=-,則的長度為（）

4

15

C.—D.4

4

7.（2023?安徽六安?校考三模）點尸為正方形ABCD的邊上A3的一點，連接PC,以PC為邊作正方形

PCEF,E在AD的延長線上，連結(jié)AF,作GFLA尸交AD于G.則下列結(jié)論錯誤的是（）.

PB1AF6

A.PB=DEB.AP=GEC.——=-D.—=—

AG2EF2

8.（2022秋?安徽滁州?九年級校考階段練習(xí)）在朋BC中，BC=V3+1,訪=45°,0C=3O°,則0ABe的面

積為（）

D.V3+1

9.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，已知線段43=6,點P為線段A3上一動點，以PB為邊作等邊

APBC,以PC為直角邊，NCPE為直角，在APBC同側(cè)構(gòu)造WAPCE,點M為EC的中點，連接AW,則

AM的最小值為（）

￡■

M

C

AB

A.1B.26C.3D.6

10.（2023?安徽淮南,統(tǒng)考二模）如圖，在ABCP中，BP=2,PC=4,現(xiàn)以BC為邊在2c的下方作正方形

ABCD并連接AP,則AP的最大值為（）

A.726B.6C.6及D.20+4

二、填空題

11.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）已知銳角“WC中，AB=AC=10tan8=3,則BC的長為

12.（2023?安徽馬鞍山??？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=2AB=6,G、/是AD上的動點，且

GF=3,點E是BC的中點.請完成下列問題：

⑴若DF=6，則4FGE的大小為；

（2）當(dāng)GE+EE的值最小時，CG的長度為.

13.（2023?安徽蕪湖?校考一模）如圖，在中，ZC=90°,AC=5,M為斜邊AB上的一個動點,

過點M作MD,AC于點。，MELBC于點E.若線段DE的最小值是石，則此時.

c

14.（2023?安徽六安?統(tǒng)考三模）如圖1,工人正在用撬棒撬石頭，撬棒是杠桿，。為杠桿的支點.當(dāng)支點

k

和石頭的大小不變時，工人師傅用的力歹與其力臂/之間的關(guān)系式為尸=],其圖像如圖2所示，點尸為

k

p=7圖像上一點，過點尸作尸M_Lx軸于點^AOPM=20000cm2,若Q4=40cm,撬棒與水平地面的夾

ZCBE=ZCAF,BC=2.

（1）寫出一對相似三角形;

（2）AC的長為.

12

16.（2023?安徽馬鞍山??？家荒＃┤鐖D，在YABCD中，AB=16,3c=13,tanA=y,E為AD上一

點，連接BE,將AABE沿BE折疊得到AA'BE.若A'B與CD交于點尸且BF=BC,則DE的長為

三、解答題

17.（2022秋?安徽宣城,九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在AABC中，NA=3O°,ZB=45°,BC=3直,

求AABC的面積.

18.（2021春?安徽安慶?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，某風(fēng)景區(qū)有三個景點A,B,C,景點C在A的北偏

西60。方向、且在B的北偏西15。方向上，景點8在A的正西方向上，AB=160千米，求景點8到C的距離

（結(jié)果保留根號）.

60

BA

19.（2023?安徽六安?校考二模）知識小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地

面所成的角a一般要滿足53°W0W72°.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?O.8O,cos530?0.60,tan530?1.33,

sin72°?0.95,cos72Os?0.31,tan72°?3.08,sin66°?0.91,cos66°?0.41,tan66°?2.25）如圖，現(xiàn)有

一架長4m的架子AB斜靠在一豎直的墻AO上.

⑴當(dāng)人安全使用這架梯子時，求梯子頂端A與地面距離的最大值;

⑵當(dāng)梯子底端B距離墻面1.64m時，計算ZA8。等于多少度？并判斷此時人是否能安全使用這架梯子?

20.（2023?安徽六安?統(tǒng)考二模）如圖，有一寬為米的旗子，小明在點。處測得點2的仰角為53。，隨后

小明沿坡度為i=l:0的斜坡DE走到點E處，又測得點A的仰角為45。.已知￡?=2米，DC=6米，求

旗子A3的長度（測角器的高度忽略不計，結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：

0?1.4,A/3?1.7,sin53°?—,cos53°?—,tan53°?—）

553

21.（2023?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）如圖，某社區(qū)公園內(nèi)有A,B,C,D四個休息座椅，并建有一條從

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