河北省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

］已知集合M={xIx+230},N={xIx—1<0},則MC|N=（）

A.{x|-2<x<1}B.{xI-2<x<1}

C.{x|x>-2}D.{xIx<1}

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)集合M,N,然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】由題意，M={x|x+2>0}={x|x>-2},N={x|x—1<0}={X|X<1},

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，Mn^={x|-2<x<l}.

故選：A

2.在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3—i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因?yàn)椋?+3譏3-i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

3.已知向量Q==（1,—1）,若（a+&）_L（Q+,則（）

A,丸+4=1B.%+4=-1

第1頁(yè)/共14頁(yè)

C2/z=1D.2/z=-1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出Z+；lB，a+nb,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)?=(1,1)范=(1,—1),所以Z+XB=(1+41—2),?+//S=(1+//,1-//),

即(1+丸)(1+〃)+——〃)=0,整理得：2//=-1.

故選：D.

4.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為石，則圓錐的體積為()

A.2山兀B.3島C.6G兀D.9岳

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程，求出解后可求圓錐的體

積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，，則圓錐的母線長(zhǎng)為+3,

而它們的側(cè)面積相等，所以2兀rxG=7irxV3+r2即2百=，3+口，

故廠=3,故圓錐的體積為』7rx9xG=3G7r.

3

故選：B.

5.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽

同學(xué)抽到不同主題概率為()

5211

A.-B.-C.—D.一

6323

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古

典概率求解作答.

第2頁(yè)/共14頁(yè)

【詳解】用1,2,3,4,5,6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表:

乙

123456

甲

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)。,5)。,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能,

其中甲乙抽到相同結(jié)果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6個(gè),

305

因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率P=—=—.

366

故選：A

6.在VASC中，(a+c)(sin/-sinC)=6(sin/—sin5),則NC=()

7C712,71

A.—B.—C.—

633

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=&(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a—c)=b(a—b),^a2-c2=ab-b2，

則/+〃一故COSC=CY-=心」,

2ablab2

TT

又0<C<7T,所以C=—.

3

第3頁(yè)/共14頁(yè)

故選：B.

7.已知/(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點(diǎn)N到直線8C的距離為()

A.B.1C.V2D.272

3

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),

,AB=(1,0,0),3c=(-1,2,-2),

點(diǎn)/到直線3C的距離為:

ABJl-(cos<AB,BC>)2

d=

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角，屬于容易題.

二、多選題：本題共1小題，共6分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

8.下列說(shuō)法正確的是()

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率

是0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,m+l,8,9的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5

C.已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)排名為班級(jí)第9名，則小明成績(jī)是全班數(shù)學(xué)成績(jī)的第

20百分位數(shù)

D,甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人,甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為80分，方差為2,乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平

均數(shù)為82分，方差為4,那么甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差是3

【答案】AB

第4頁(yè)/共14頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、分層抽樣的方差的計(jì)算方法逐一分析選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)A,由古典概型計(jì)算公式可得每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是金=01，故A正確；

60

對(duì)B,已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,m+1,8,9的平均數(shù)為5,

110

則一（1+2+加+冽+1+8+9）=5,即一（21+2加）=5,解得加二一，

662

199

則數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5乂（5+'+1）=5,故B正確；

對(duì)C,已知某班共有45人，小明在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)排名為班級(jí)第9名，

將數(shù)學(xué)成績(jī)從小到大排列，小明成績(jī)?yōu)榈?6名，

又由一=80%,則小明成績(jī)的百分位數(shù)是80,故C錯(cuò)誤；

45

20x80+40x82244

對(duì)D,由題意得甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為上零一匕2=—

20+403

甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為

20[2+(80—72]+40r/，oc24*13480114”

[4+(82-------Y]=——+—=——士4.2,

20+4020+403272727

故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分.

9.在正四棱臺(tái)4BCD—481G，中，AB=2,4耳==④，則該棱臺(tái)的體積為

［答案］巫#J屈

66

【解析】

【分析】結(jié)合圖像，依次求得從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過(guò)4作垂足為易知4〃為四棱臺(tái)ABCD—481G3的高,

第5頁(yè)/共14頁(yè)

因?yàn)?8=2,4片=1,/4=血,

則4G=<4G=|xGA禺=與AO==：xGAB=41，

故=4cJ=字，則4M=J%/_"="g=

所以所求體積為「=』*(4+1+"1”包=趣.

326

故答案為：巫

6

10.已知點(diǎn)/（一1,一2）,5（2,2）,C（-2,-l）,則V4BC的面積為.

【答案】47

【解析】

【分析】先計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，再用余弦定理計(jì)算出cosB,進(jìn)而得到sinB,再套用三角形面積公式即

可求解.

【詳解】點(diǎn)/（T—2）,5（2,2）,C（-2,-l）

，一，廠ccu222_25+25-2_24

cnAB+BC-ACsinB=Jl-cos2B=一,

:.AB=5,AC=y/2,BC=5,「.cosB=----------------,

2ABBC2x5x5-2525

1177

S“BC=—iBBCsinB：—x5x5x——=

222

7

故答案為：—

2

四、解答題：本題共5小題，第11小題13分，第12、13小題15分，第14、15小題17分,

共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

11.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)是三，且滿足z+21=3-2i.

（1）求復(fù)數(shù)Z的模目;

（2）若復(fù)數(shù)z（2-mi）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】（1）V5

（2）（-oo,-l）

第6頁(yè)/共14頁(yè)

【解析】

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)及其共軟復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模運(yùn)算即可得解.

（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的幾何意義運(yùn)算即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)2=。+歷R）,貝！|三=”歷，

z+2z=a+bi+2（a-bi^=3a-bi=3-2i,

??tz—1>b=2,

「?2=1+2i,則|z|=A/12+22=V5；

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）知，z=1+21,

z（2—mi）=（1+2i）（2-mi）=（2+2加）+（4—加）i,

由題意，復(fù)數(shù)z（2-加i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，

2+2m<0

5.八，解得：m<-l,

4-m>0

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（---1）.

12.已知Q=（l,cosx）,加=[g,sinx],xe（0,7i）

一一八sinx+cosx…4

（1）右。//6，求1---------的值；

sinx-cosx

（2）若￡_[_3，求sinx—cosx的值.

【答案】（1）—2

⑵姮

3

【解析】

【分析】（1）由向量平行求出tanx,將所求式子轉(zhuǎn)換為含有tanx的式子即可;

（2）由向量垂直求得sinxcosx=-1，進(jìn)一步根據(jù)角的范圍即可求解.

3

【小問(wèn)1詳解】

第7頁(yè)/共14頁(yè)

當(dāng)X時(shí)，3=(1,0),B=IxlwOx；,此時(shí))與否不平行,

IT

所以cosxwO,

2

a=(l,cosx),B=[g,sinx],allb

,1

sinx=—cosx,

3

sinx1

/.tanx=-----=—,

cosx3

.-+1

sinx+cosxtanx+133

...-----------=--------二三—二-2；

sinx-cosxtanx-1，_】

3-

【小問(wèn)2詳解】

?「方j(luò)_B,

.,.萬(wàn)=0,

11?

/.lx-+sinxcosx=0A,

3

即sinxcosx=--<0,

sinx>0,cosx<0，

sinx-cosx>0,

_V15

一亍.

13.某中學(xué)高一年級(jí)舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)?/p>

介于50至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方

第8頁(yè)/共14頁(yè)

圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中°的值，并估計(jì)本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；

(2)若按照分層隨機(jī)抽樣從成績(jī)?cè)冢?0,90),［90,100］的兩組中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求

至少有1人的成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的概率.

【答案】(1)a=0.020,中位數(shù)約為74.3,平均數(shù)約為75；

5

【解析】

【分析】(1)利用頻率分布直方圖所有小矩形面積之和等于1求出。的值，再估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù).

(2)求出抽取的6人中在［80,90),［90,100］的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概率求解即得.

【小問(wèn)1詳解】

由頻率分布直方圖，M10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1,解得a=0.020,

成績(jī)?cè)冢?0,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的頻率依次為0.05,0.3,0.35,0.2,0.1,

顯然本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)加e(70,80),則0.35+(加—70)x0.035=0.5,解得加374.3,

本次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為x=55x0,05+65x0.3+75x0.35+85x0.2+95x0.1=75>

所以a=0.020,中位數(shù)約為74.3,平均數(shù)約為75.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知，成績(jī)?cè)冢?0,90),［90,100］的頻率之比為0.2:0.1=2:1,

則在［80,90)中隨機(jī)抽取6x:=4人，記為1,2,3,4,在［90,100］中隨機(jī)抽取6x—=2人，記為a,b,

33

從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為。={12,13,14,la,1823,24,2a,2b,34,3a,3A4a,4Aa",共15個(gè)樣

本點(diǎn),

第9頁(yè)/共14頁(yè)

設(shè)事件/="至少有1人的成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)”,則/={1。/”2a,2"3a,3"4a,4"必},有9個(gè)樣本點(diǎn),

93

因此p(z)=百

5

3

所以至少有1人的成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的概率］.

14.已知在V/8C中，A+B=3C,2sin(>l-C)=sinB.

(1)求sirk4；

（2）設(shè)48=5,求45邊上的高.

【答案】（1）亞

10

（2）6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；

（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出6,根據(jù)等面積法

求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

-.-A+B=3C,

7T

...兀一C=3C,即。二一，

4

又2sin(4-C)=sin5=sin(4+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cos/sinC,

/.sin4二3cos/,

71

即tan4=3,所以0</<—,

2

Vwio

【小問(wèn)2詳解】

上,…，1麗

由(1)知，cosA---^=------,

Vioio

由sin"sin(/+C)=sin,cosC+cos.sinCq呼+祟=等

第10頁(yè)/共14頁(yè)

02V5

5x----

b

由正弦定理，—,可得6=—^-=2V10,

sinCsinBVf

V

:.-AB-h=-AB-AC-smA,

22

h=b-sin^4=2^/wx￡3=g.

10

15.如圖，在三棱臺(tái)45C—451G中，4/_1平面48。,48,2。,48=2。=44]=2,4。1=1,M為

5C中點(diǎn).，N為4g的中點(diǎn),

(1)求證：4N//平面ZMG；

(2)求平面ZMG與平面ZCG4所成夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)。到平面的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵2

3

(3)-

3

【解析】

【分析】(1)先證明四邊形跖MG是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；

(2)利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；

(3)方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長(zhǎng)，方法二無(wú)需找垂線段長(zhǎng)，直接利用等體積法求解

【小問(wèn)1詳解】

第11頁(yè)/共14頁(yè)

B

AT

連接上W,C/.由M,N分別是20,54的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且4加=十=1,

由棱臺(tái)性質(zhì)，4Q//AC,于是〃N〃4G，由"乂=4G=i可知，四邊形是平行四邊形，則

4N//MG，

又4N(Z平面G〃Z,MC]U平面G〃Z,于是4N〃平面ZMC].

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)M作垂足為E,過(guò)E作EELZG，垂足為P，連接旅,。也.

由Affiu面ABC,面Z8C,故又ME工AC,ACHAA,=A,ZC,Z4u平面

ACCAAX,則ME，平面zcc/i.

由NC]U平面ZCG4,故世，ZG，又EF工4孰,MEcEF=E,ME,EFu平面MEF,于是

ACA，平面"EE,

由MFu平面MEF,故A。，"F.于是平面AMC,與平面ACC.A,所成角即ZMFE.

JR122

又ME二-2二1,cosZ.CACX——j=,貝ijsin/C/G=,故￡/二Ixsin/CZG=,在

中，ZMEF=90°＞則MF=Jl+g=卡,

EF