廣西桂林市2024-2025學(xué)年高一年級上冊12月聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

廣西桂林市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)合檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(每小題5分，共40分.)

1.已知集合4={目0<%<2},8=<九土」<0〉，則AB=()

x2

A.1x|l<x<21B,{x|l<x?2}

C.1x|0<x<21D.{x[0<xvl}

【答案】A

【解析】由^^<0n(x—l)(x—2)<0nl<x<2,

x2

因此B=,所以AB-|x|l<x<21.

故選：A.

2.設(shè)a=ln3,底氏尸，C=3H則()

e

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

【答案】C

2

【解析】Qa=ln3>lne=l,人=1嗚3<皈J=。，c=3-=|,

:.a>c>b.

故選：C.

3.清朝末年，面對清政府的腐朽沒落，梁啟超在《少年中國說》中喊出“少年智則國智，少

年富則國富，少年強則國強”的口號.其中“國強”是“少年強”的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】少年強則國強；國強不一定少年強，所以“國強”是“少年強”的必要條件.

故選：B.

4.函數(shù)=+x—2的零點一定位于下列哪個區(qū)間()

【答案】C

【解析】因為函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且—2=5+!—2<0,

3

/(1)=1+1-2=-1<0,

，(2)=(￡|+2-2=1>0

根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)y（x）=+x-2的零點一定位于區(qū)間停，2）內(nèi)?

故選：C.

5.下面命題正確的是（）

A.已知尤eR,貝『'九〉1"是"工<1”的充要條件

x

B.命題“玉21,三<2”的否定是“以<1,%2>2"

C.已知尤,yeR,貝iJ"W+M>0”是“尤>0”的既不充分也不必要條件

D.已知a,beR,則“a—35=0?是“2=3”的必要不充分條件

b

【答案】D

【解析】A：顯然當x=-1時，!<1成立，但x>l不成立，因此本選項說法不正確;

X

B：命題“土之1,爐<2”的否定是“V%>1,X2>2，因此本選項說法不正確;

C：當％=—3時，顯然國+國>0成立，但是x〉0不成立，

當%〉0時，顯然W+|y|>0,所以本選項說法不正確；

D：當。=人=0時，顯然a—3〃=0成立，但巴沒有意義,

b

由‘?=3n〃=3bn〃—3b=0,所以本選項說法正確.

b

故選：D.

6.某學(xué)?？萍紕?chuàng)新小組準備模擬東風(fēng)31彈道導(dǎo)彈的發(fā)射過程，假設(shè)該小組采用的飛行器的

飛行高度（單位：米）與飛行時間（單位：秒）之間的關(guān)系可以近似用函數(shù)y=alog3X+b

來表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過2秒時的高度為10米，經(jīng)過6秒時的高度為30米，欲達到

50米的高度，需要（）秒.

A.15B.16C.18D.20

【答案】C

10=alog,2+b

【解析】由題意可得4“,解得a=20力=10-20log32,

30=alog36+b

設(shè)達到50米的高度需要x秒，201og3x+10-201og32=50,解得％=18,

所以達到50米的高度需要18秒.

故選：C.

【答案】C

【解析】由函數(shù)解析式可得，函數(shù)/（x）=lx—II一1

{X

定義域為8,1）（1,+8）,所以排除A；

因為1]\2=忖-』,

(1+x-l)X

所以函數(shù)圖像關(guān)于直線尤=1對稱，故排除AD；

又因為/(0)=|0-l|—12=0,所以排除B.

故選：C.

8.制作一個面積為In?且形狀為直角三角形的鐵支架，則較經(jīng)濟(夠用，又耗材最少)的

鐵管長度為()

A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m

【答案】c

2

【解析】設(shè)一條直角邊為x,由于面積為In?，所以另一條直角邊為一，

x

所以斜邊長為卜+百，

當且僅當X且-=饕,即x=0時取等號,

所以較經(jīng)濟(夠用，又耗材最少)的鐵管長度為5m.

故選：C.

二、多選題(每小題6分，兩個答案對的，選對一個得3分；三個答案對的，選對一個得2

分；有錯選的得。分；共18分.)

ln(x-a)(x>2)

9.已知3是函數(shù)/(%)=〈”…的一個零點，則()

e(x<2)

A.a=4B.a=2C.f(6)=e2D.f(f(6))=4

【答案】BD

【解析】顯然e%wO，x<2,

當x=3時，代入函數(shù)可得ln(3-“)=0,可得。=2,所以/(x)=ln(x—2),(x>2).

則/(6)=ln4W2,則/(7(6))=f(ln4)=eln4=4

故選：BD

2r+1

io.關(guān)于函數(shù)/(%)=------,正確的說法是()

x-l

A./(%)有且僅有一個零點B./（%）的定義域為{x|x#l}

C./(x)在(1,+8)單調(diào)遞增D./(%)的圖象關(guān)于點(L2)對稱

【答案】ABD

2x+1

【解析】函數(shù)/(%)=-----的定義域為{xlx/1},B選項正確;

x-l

f(x)=2X+1=------=2-\—-—，所以/(X)在(一",1)和(L+co)上遞減,

X~1X~1X~1

C選項錯誤；

令/(%)=生口=0,解得了=-5,所以/(X)有且僅有一個零點，A選項正確；

X-12

設(shè)點(x,y)是函數(shù)/(力圖象上的任意一點，則y一,

X-1

且(羽y)關(guān)于(1,2)的對稱點為(2-%,4-y),

2（2-x）+l_5-2x_2x-5

而“2-%）=

2—x—11—xx~l

口4.2x+l4（x-l）2x+l2x-5

且4—y=4----------=—^------L----------=--------，

x~lx~lx—1X~1

所以點(2-x,4—y)在函數(shù)/(x)的圖象上，所以D選項正確.

故選：ABD.

11.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足，x—=-/(X)，且+為奇函數(shù),

〃—l)=—1,"0)=2.下列說法正確的是()

A.3是函數(shù)y=f{x}的一個周期

3

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=］對稱

C.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點對稱

D./(1)+/(2)+/(3)++7(2023)=2

【答案】AC

【解析】對于A項，因為—1]=—“X),所以/(》一3)=-/卜一|)=/(%),

所以3是函數(shù)y=/(x)的一個周期，故A正確；

對于BC項，因為/(x+j]為奇函數(shù)，所以/1—x+'l]=_/[x+T]

所以，點是函數(shù)y=/(x)圖象的對稱中心，故B錯誤，C正確;

對于D項，因為為奇函數(shù)，所以/1―%+區(qū))=—，

所以/f-x+-j=~f(x)，~f(x)>所以/，%+0=

又因為了

即〃%)=〃T),函數(shù)t(x)為偶函數(shù),/(l)=/(-l)=-L/(2)=/(-1)=-1,

/(3)=/(0)=2,所以〃1)+〃2)+/(3)=0,

/(1)+/(2)+/(3)++/(2023)=674.[/(1)+/(2)+/(3)]+/(2023)

=0+/(1)=-1,

故選：AC.

三、填空題(每小題5分，共15分.)

%>-1

12.己知函數(shù)/Xx)='「，，貝4/(0)—/(一3)=______.

log2(l-x),^<-l

【答案】—1

[解析]/(0)-/(-3)=2^-log2[1-(-3)]=1-2=-1.

13.已知函數(shù)/(%)=九2(恁*——)是奇函數(shù)，則。=.

【答案】1

【解析】由題知，/(X)的定義域為R,因為/(幻是奇函數(shù)，所以/(—x)=-/(x),

所以/(-x)=(-x)2(?e-l-ex)=-%2(?ev-e-x)=-/(x),

所以aer—e'=—恁'+片~所以(a—1把一工=(1—a)e"恒成立,所以a=l.

14.不等式初1/+如+1>0的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】0Wm<4

【解析】當機=0時，不等式顯然恒成立，即xeR,滿足條件.

當口學(xué)0時，為二次函數(shù)，要恒大于零只有開口向上，_<0.

所以m>0,_=機2-4機<0，即0<機<4.

綜上所述：0Wm<4.

四、解答題(第15題13分，第16、17題各15分，第18、19題各17分，共77分.)

15.己知集合尸={x|212—3x+l<0},Q={x|(x—a)(x—a—1)W0}.

(1)若a=l,求PcQ；

(2)若是xeQ的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

,1

解：(1)P={尤|一3x+l<0}={x|—Kx<l},

2

當a=l時，e={x|(^-l)(x-2)<0}={x|l<%<2},

則PcQ={l}.

(2)Va<a+l,2={x|(x-a)(x-a-l)<0}={x|a<x<a+l},

尸是％wQ的充分條件，2,解得。

1<?+1…

即實數(shù)。的取值范圍是o,1.

16計算:

i

A<2\2

(1)—3Q3?4〃3b-3

7\7

(2)210g32-log3—+log38-log29-log32；

(3)已知5“=3,5&=4,用a,。表示log2536.

1

(1(2、(1(2、

6、_2、2

-36』，-I--3

解：(1)Ya%*_3a+4涼萬=-a^b-2--3a2b-'-4a3b

55

7\77\7

111-2-l+|

9I,3+2-3.9---

一?a=--a2b2

55

(2)21og32-log3—+log38-log29-log32

=21og32-51og32+2+31og32--^—-log32=0.

I%2

(3)由5"=3,5“=4知：a=log53,Z?=21og52,jfnlog2536=log56=log52+log53,

b

所以log2536=ci+—.

17.若函數(shù)/'(x)為R上的奇函數(shù)，且當％>0時，/(%)=X2-4%+3.

(1)求;'(x)在R的解析式;

(2)若aeR,g(x)=f(x)-a,試討論a取何值時g(x)有兩個零點？a取何值時g(x)

有四個零點？

解：(1)由于函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù)，則/(。)=0,

當x<0時，可得-x>0,貝|]/(%)=—/(一%)=—[(一%)2—4(一%)+3]=—%2—4%—3,

x2-4%+3,x>0

綜上所述，函數(shù)/(力的解析式為〃x)=<0,x=0

—X—4x—3,x<0

(2)由函數(shù)g(x)=/(x)—a,令g(x)=0,可得a=/(x),

作出函數(shù)y=/(x)與直線丁=。的圖象，如圖所示:

y

結(jié)合圖象，可得：

當l<a<3或一3<。<一1時，函數(shù)g（%）=/（%）-。有2個零點；

當0<。<1或一1<。<0時，函數(shù)g（九）=/（%）-。有4個零點.

18.某國產(chǎn)車企在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大

量投放市場.已知該車型年固定研發(fā)成本為20億元，受到場地和產(chǎn)能等其它因素的影響，

該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該車x萬臺（OWxWlO）且全部售完，每臺售價20萬元，每年需投入

%2+6x+4,0<x<3,

的其它成本為C（x）=144（單位：億元）.（其中，利潤=銷售收入

'724x+------107,3<%<10

、x

一總成本）

（1）寫出年利潤S（x）（億元）關(guān)于年產(chǎn)量無（萬臺）的函數(shù)解析式；

（2）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，并求出最大年利潤；

（3）若該企業(yè)當年不虧本，求年產(chǎn)量x（萬臺）的取值范圍.

解：（1）當0WxW3時，銷售收入為20%億元（每臺售價20萬元，x萬臺），

總成本為固定研發(fā)成本20億元加上其他成本必+6x+4億元.

根據(jù)利潤=銷售收入-總成本，可S(x)=20x-(20+/+6x+4)=-%2+14x-24.

當3<xW10時，銷售收入為20x億元,

144

總成本為20+24%H-------107億兀.

x

144144

則5(%)=20%-(20+24%+------107)=87-4%-------

XX

—%2+14x—24,04xK3

所以S(x)=<144

87-4%------,3<%<10

,14r

(2)當0WxW3時，S(x)=—d+14x—24,圖象開口向下，對稱軸為〈=一=,八=7.

2x(-1)

但0WxW3,所以在這個區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以5(力2=S(3)=9億元.

當3aW10時，根據(jù)基本不等式，有4x+>2.=48.

所以S(x)=87—(4x+—)487—48=39億元，當且僅當4x=——，即％=6取等號.

xx

因為39>9,所以當年產(chǎn)量為6萬臺時，該企業(yè)獲利最大，最大年利潤為39億元.

(3)當0WxW3時，S(X)=-X2+14X-24>0,即爐—14X+24W0，解得2WxW12.

結(jié)合0WxW3,知道此時2WxW3滿足題意.

144144

當3<xW10時，S(x)=87—4x------>0,即4x+-------87<0,

當3<xW10時，y=4f—87x+144單調(diào)遞減，且％=3時,y=4義9—87x3+144<0.

144

則當34W10,4爐—87x+144W0恒成立，即S(x)=87—4x——20恒成立.

綜上所得，該企業(yè)當年不虧