12.1 實數(shù)的概念（教學課件）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊同步課堂（滬教版）

21.1實數(shù)的概念2023-2024學年滬教版七年級下冊數(shù)學課件

如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)就是用兩個整數(shù)之比表示的分數(shù)：(其中q≠0).從古埃及到古代中國的數(shù)學，都認為任何一個量，總可以用有理數(shù)來表示.但是，出生于公元前約470年的古希臘數(shù)學家希帕斯(Hippa-sus)發(fā)現(xiàn)了一種實際存在的量，卻不能表示為兩個整數(shù)之比.當時，希帕斯所在的畢達哥拉斯(Pythagoras)學派認為這不合常理，是一種怪異，傳說他們把希帕斯扔到大海淹死了.后來人們知道，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，是人類理性智慧的勝利.

現(xiàn)在讓我們隨著前人的腳步，通過對下列問題的探索和思考，初步認識實數(shù)，同時學習人類理性精神的光輝典范.一、說說你所認識的數(shù)有哪些？自然數(shù)分數(shù)和小數(shù)負數(shù)有理數(shù)？二、數(shù)的擴充在公園前400多年，古希臘的畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了一類新的數(shù)，例如面積為2、3、…的正方形的邊長，它們用數(shù)學的嚴格說理方法，斷定這些數(shù)都不是有理數(shù)，如圓周率π也不是有理數(shù)。知識點1：實數(shù)的概念與分類1.面積為4的正方形的邊長為____;2.面積為9的正方形的邊長為___;3.面積為的正方形的邊長為___.

問題123

問題14.面積為2的正方形存在嗎？你能把兩個面積為1的正方形拼成一個面積為2的正方形嗎？這個就是面積為2的正方形操作如圖所示，把邊長為1的兩個正方形，分別沿著它們的一條對角線剪開，得到四個形狀一樣的直角三角形，它們的面積都是

，再把這四個直角三角形拼成一個正方形.這個也是面積為2的正方形說明：面積為2的正方形是存在。探究：面積為2的正方形的邊長為多少呢？分析：設正方形的邊長為x，則：x2=2

x就是這樣的一個數(shù)，它的平方等于2這個數(shù)所表示的正方形的邊長，是現(xiàn)實生活中真實存在的線段的長度。由于這個數(shù)與2有關(guān)，我們用表示，讀作“根號2”。面積為2正方形ABCD的邊長是.

問題2那么怎么表示x呢？類似地：面積為a的正方形的邊長等于.練習：面積為3的正方形的邊長是_______.面積為4的正方形的邊長是______.面積為5的正方形的邊長是______.

問題3是有理數(shù)嗎？

前面已經(jīng)說過有理數(shù)就是分數(shù)，我們還知道一個分數(shù)可以表示為有限小數(shù)(包括整數(shù)),或者表示為無限循環(huán)小數(shù).但是，當年希帕斯發(fā)現(xiàn)

這個數(shù)肯定不能表示為分數(shù).也就是說，

不是有理數(shù)，那就不能是有限小數(shù)，也不能是無限循環(huán)小數(shù).于是，

只能是“無限不循環(huán)小數(shù)”了.這是一種新的“數(shù)”,是我們要研究的對象.≈1.41421356237309504880

問題4無限不循環(huán)小數(shù)還有嗎?事實上，面積為3、5、6、7、8、10等的正方形的邊長都是無限不循環(huán)小數(shù)，我們熟悉的圓周率π也是無限不循環(huán)小數(shù).此外，我們還可以自己構(gòu)造一些無限不循環(huán)小數(shù).例如：0.101001000100001…(它的位數(shù)無限，相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次加1個);0.123456789101112131415161718192021…(連續(xù)不斷地依次寫正整數(shù))等.無理數(shù)也有正、負之分.如

、π、0.1010010001…等這樣的數(shù)叫做正無理數(shù)(有時在這些數(shù)的前面加上“+”號);如

、-π、-0.1010010001…等這樣的數(shù)叫做負無理數(shù)(這些數(shù)前面的“-”號不可省略).只有符號不同的兩個無理數(shù)，它們互為相反數(shù).（1）定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)(irrationalnumber)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率π、

的平方根等．（2）無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，

＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如

≈1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．方法技巧判斷無理數(shù)，了解它的四種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)③看上去有規(guī)律但實際不循環(huán)的小數(shù)，例如：0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．④含有π的數(shù)，如分數(shù)

是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如

是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．思考：我們將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).你能仿照有

理數(shù)的分類給實數(shù)分類嗎？

實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)正有理數(shù)0負有理數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負實數(shù)正實數(shù)數(shù)實正有理數(shù)負有理數(shù)0

正無理數(shù)負無理數(shù)因為非零有理數(shù)和無理數(shù)都有正負之分，那么你能類比有理數(shù)的分類方法，按大小對實數(shù)分類嗎？合作交流無理數(shù)：有理數(shù)：負實數(shù)：正實數(shù)：例1

將下列各數(shù)分別填入下列相應的括號內(nèi)：例2

判斷下列說法是否正確，并說明理由：(1)無限小數(shù)都是無理數(shù)；(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)；(3)正實數(shù)包括正有理數(shù)和正無理數(shù)；(4)實數(shù)可以分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類.解

(1)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，其中無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，所以(1)不正確.(2)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，當然也是無限小數(shù)，所以(2)正確.例2

判斷下列說法是否正確，并說明理由：(1)無限小數(shù)都是無理數(shù)；(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)；(3)正實數(shù)包括正有理數(shù)和正無理數(shù)；(4)實數(shù)可以分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類.解

(3)正實數(shù)按有理數(shù)和無理數(shù)分類，可分為正有理數(shù)和正無理數(shù)，所以(3)正確.(4)因為零是實數(shù)，但它既不是正實數(shù)，也不是負實數(shù)，而在(4)的實數(shù)分類中沒有把零包含在內(nèi)，所以(4)不正確.思考：

每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，無理數(shù)是否也能用數(shù)軸上的點表示出來呢？因為半徑為1的圓的周長為

π，所以數(shù)軸上點

A表示的數(shù)是無理數(shù)

π.0-11324●●●●●●●●●●●●●●A知識點2：實數(shù)與數(shù)軸上的點探究：能不能在數(shù)軸上找的表示π的點呢？思考2：你能在數(shù)軸上表示出和

-

嗎？1111把兩個邊長為

1

的小正方形通過剪、拼，得到一個大正方形，由大正方形的面積為2可知其邊長為

，從而說明邊長為

1

的小正方形的對角線長為____.－2－1012-

每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一點都表示一個實數(shù).★實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的.例3

如圖所示，數(shù)軸上

A，B

兩點表示的數(shù)分別為－1

和

，點

B

關(guān)于點

A

的對稱點為

C，求點

C

所表示的實數(shù)．解：∵數(shù)軸上

A，B

兩點表示的數(shù)分別為－1

和，∴點

B

到點

A

的距離為1＋，則點

C

到點

A

的距離為

1＋.設點

C

表示的實數(shù)為

x，則點

A

到點

C

的距離為－1－x，∴－1－x

＝

1＋，∴x

＝

－2－.

本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應關(guān)系，其中利用了：當點

B

關(guān)于點

A

的對稱點為點

C

時，點

C

到點

A

的距離等于點

B

到點A

的距離；兩點之間的距離為兩數(shù)差的絕對值．總結(jié)例4

如圖所示，數(shù)軸上

A，B

兩點表示的數(shù)分別為和

5.1，則

A，B

兩點之間表示整數(shù)的點共有()A．6

個

B．5

個

C．4

個

D．3

個C數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，結(jié)合數(shù)軸分析，可輕松得出結(jié)論．總結(jié)解析：∵≈1.414，∴和

5.1

之間的整數(shù)有

2，3，4，5，∴

A，B

兩點之間表示整數(shù)的點共有

4

個．

例5

在數(shù)軸上表示下列各點，比較它們的大小，并用“<”連接它們.-2