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文檔簡介
第7講函數的性質
知識梳理
1、函數的單調性
(1)單調函數的定義
一般地,設函數/(X)的定義域為/,區(qū)間
如果對于。內的任意兩個自變量的值與,乙當為時,都有/區(qū))</(%),那么就
說〃x)在區(qū)間。上是增函數.
如果對于。內的任意兩個自變量的值與,血,當演<三時,都有/&)</(%),那么
就說/'(x)在區(qū)間D上是減函數.
①屬于定義域/內某個區(qū)間上;
②任意兩個自變量X],X?且為<七;
③都有/(占)</(2)或/(占)>/(2);
④圖象特征:在單調區(qū)間上增函數的圖象從左向右是上升的,減函數的圖象從左向右是
下降的.
(2)單調性與單調區(qū)間
①單調區(qū)間的定義:如果函數/(X)在區(qū)間。上是增函數或減函數,那么就說函數了(X)
在區(qū)間D上具有單調性,D稱為函數/(X)的單調區(qū)間.
②函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質.
(3)復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”,即在對應的取值區(qū)間上,外層函數是增(減)函數,
內層函數是增(減)函數,復合函數是增函數;外層函數是增(減)函數,內層函數是減(增)
函數,復合函數是減函數.
2、函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性定義圖象特點
如果對于函數/(X)的定義域內任意一個X,都有關于y軸對
偶函數
f(-x)=f(x),那么函數/(X)就叫做偶函數稱
如果對于函數/(X)的定義域內任意一個X,都有關于原點對
奇函數
f(-x)=-f(x),那么函數/(X)就叫做奇函數稱
判斷了(-x)與y(x)的關系時,也可以使用如下結論:如果”-x)-〃x)=O或
止型=l(/(x)r0),則函數/(x)為偶函數;如果/(一丁)+/(無)=0或Z5=-1(/(》)#0),
Ax)/(x)
則函數/(x)為奇函數.
注意:由函數奇偶性的定義可知,函數具有奇偶性的一個前提條件是:對于定義域內的
任意一個x,-x也在定義域內(即定義域關于原點對稱).
3、函數的對稱性
(1)若函數y=f{x'\~a)為偶函數,則函數y=f(x)關于x=a對稱.
(2)若函數y=f(x+a)為奇函數,則函數y="x)關于點(a,0)對稱.
(3)若f(x)=/(2a-x),則函數/(x)關于x=a對稱.
(4)若/■(x)+/(2a-x)=2b,則函數/'(x)關于點(a,為對稱.
4、函數的周期性
(1)周期函數:
對于函數y=/(x),如果存在一個非零常數7,使得當x取定義域內的任何值時,都有
f(x+T)=f(x),那么就稱函數y=/(x)為周期函數,稱7為這個函數的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函數/(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么稱這個最小整數叫做
/(x)的最小正周期.
【解題方法總結】
1、單調性技巧
(1)證明函數單調性的步驟
①取值:設乙,乙是一(X)定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量,且不<馬;
②變形:作差變形(變形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商變形;
③定號:判斷差的正負或商與1的大小關系;
④得出結論.
(2)函數單調性的判斷方法
①定義法:根據增函數、減函數的定義,按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判
斷.
②圖象法:就是畫出函數的圖象,根據圖象的上升或下降趨勢,判斷函數的單調性.
③直接法:就是對我們所熟悉的函數,如一次函數、二次函數、反比例函數等,直接寫
出它們的單調區(qū)間.
(3)記住幾條常用的結論:
①若/(x)是增函數,則-/(X)為減函數;若/(x)是減函數,則-/(x)為增函數;
②若/(X)和g(x)均為增(或減)函數,則在/(X)和g(x)的公共定義域上/Xx)+g(x)為增
(或減)函數;
③若/(x)>0且/(x)為增函數,則函數J而為增函數,上為減函數;
“X)
④若〃x)>0且/(x)為減函數,則函數為減函數,上為增函數.
“X)
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數/(x)是偶函數=函數/(x)的圖象關于歹軸對稱;
函數/(x)是奇函數=函數/(x)的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數>="X)在x=0處有意義,則有/(0)=0;
偶函數y=/(x)必滿足f(x)=/(|x|).
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反;奇函數在其定義域內
關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同.
(5)若函數/(x)的定義域關于原點對稱,則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數
的和的形式.記g(x)=;[/(x)+/(-x)],/z(x)=1[/(x)-/(-x)],則/(x)=g(x)+〃(x).
(6)運算函數的奇偶性規(guī)律:運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除
四則運算所得的函數,$nf(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x),f(x)+g(x).
對于運算函數有如下結論:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;
奇乂(十)奇=偶;奇、(+)偶=奇;偶x(+)偶=偶.
(7)復合函數y=/[g(x)]的奇偶性原來:內偶則偶,兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數模型
奇函數:①函數/(;0=加(巴士3("0)或函數=.
a-1a+1
②函數〃x)=±(a*-aT).
③函數/(x)=loga葉絲=loga(l+3-)或函數/(x)=loga上%=log”(1--—)
x—mx-mx+mx+m
注意:關于①式,可以寫成函數+胃”。)或函數於f-烹1M機
偶函數:①函數/(工)=±(/+尸).
②函數f(x)=log“3'K+l)一寸.
③函數〃|x|)類型的一切函數.
④常數函數
3、周期性技巧
函數式滿足關系(xeR)周期
f(x+T)=f(x)T
/(x+T)=-/?2T
〃X+T)=I;/(X+T)=-42T
/(X)/(x)
/(x+T)=/(x-T)2T
f(x+T)=-f(x-T)4T
f/(a+x)=/(a-x)
2(b-a)
[f(b+x)=fib-x)
"(a+x)=/(a-x)
2a
[/(x)為偶函數
[f(a+x)=-f(a-x)
2(/?-a)
f(b+x)=-f(b-x)
[f(a+x)=-f(a-x)
2a
/(x)為奇函數
[f(a+x)=/(a-x)
4(6-a)
f(b+x)=-f(b-x)
\f(a+x)=f{a-x)
t/(x)為奇函數4。
[f(a+x)=-f(a-x)
4(2
/(x)為偶函數
4、函數的的對稱性與周期性的關系
(1)若函數y="X)有兩條對稱軸X=a,x=b(a<b),則函數/(x)是周期函數,且
T=2(b-a);
(2)若函數y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<6),則函數y=/(x)是周
期函數,且T=2(b-a);
(3)若函數y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,O)(a<b),則函數y=f(x)
是周期函數,且T=4(b-a).
5、對稱性技巧
(1)若函數>=/(無)關于直線x=a對稱,則f(a+x)=f(a-x).
(2)若函數y=/(x)關于點(a,b)對稱,則/(a+x)+/(a-x)=2b.
(3)函數y=f{a+x)^y=f(a-x)關于歹軸對稱,函數y=/(a+x)與y=-/(a-x)關
于原點對稱.
必考題型全歸納
題型一:函數的單調性及其應用
例1.已知函數/(X)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數八,叫,總有
)(、2卜)(為)>0成立,則函數/()一定是()
x2-再
A.奇函數B.偶函數C.增函數D.減函數
例2.若定義在R上的函數/)對任意兩個不相等的實數a,b,總有/⑷?°)>o成立,則
必有()
A./)在R上是增函數B.於)在R上是減函數
C.函數次x)先增后減D.函數")先減后增
例3.下列函數中,滿足“/(x+y)=/(x)/(y)”的單調遞增函數是
B.f(x)=X3
D./(x)=3*
變式1.函數/(x)=/—3x+2|的單調遞增區(qū)間是()
-3)「3]
A.-?+°°IB.1,萬和[2,+8)
C.(一8,1]和—,2D.1—8,力和[2,+8)
變式2.(江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學年高三上學期期中數學試題)已知函數
2x
/(%)二一一-,xe(04w).
x+1?
(1)判斷函數/(x)的單調性,并利用定義證明;
(2)若求實數加的取值范圍.
變式3.(2024?全國?高三專題練習)設a>0,awl,證明:函數0卜)="是x的增函數
(X>0).
變式4.(2024?上海靜安?高三??计谥校┘褐瘮?(x)=E■-巴(a>0),且/(0)=0.
a2'
(1)求。的值,并指出函數/(X)的奇偶性;
(2)在(1)的條件下,運用函數單調性的定義,證明函數/(X)在(-8,+8)上是增函數.
【解題總結】
函數單調性的判斷方法
①定義法:根據增函數、減函數的定義,按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判
斷.
②圖象法:就是畫出函數的圖象,根據圖象的上升或下降趨勢,判斷函數的單調性.
③直接法:就是對我們所熟悉的函數,如一次函數、二次函數、反比例函數等,直接寫
出它們的單調區(qū)間.
題型二:復合函數單調性的判斷
例4.函數丫=正+3%的單調遞減區(qū)間為)
(3
A.B.卜|,+8
I2.
C.[0,+?)D.(-8,-3]
例5.(陜西省寶雞市金臺區(qū)2024學年高三下學期期末數學試題)函數y=log2(2x--)的
單調遞減區(qū)間為()
A.(1,2)B.。,2]
C.(0,1)D.[0,1)
例6.(陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試)函數y=lg(2cosx-K)的單調遞增
區(qū)間為()
A.(2%無?+加,2左尤?+2萬)("eZ)B.I2k/r+7r,lk7t+—nl(A:eZ)
C.2k加一三,2k兀eZ)D.f2k7T,2k7r+^\(^kGZ)
【解題總結】
討論復合函數y=/[g(x)]的單調性時要注意:既要把握復合過程,又要掌握基本函數的
單調性.一般需要先求定義域,再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合,
然后分別判斷它們的單調性,再用復合法則,復合法則如下:
1、若〃=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數或都是減函數,則y=/[g(x)]為
增函數;
2、若〃=g(x),y=在所討論的區(qū)間上一個是增函數,另一個是減函數,則
尸/[g(x)]為減函數?列表如下:
〃=g(x)y=/(?)y=/[gW]
增增增
增減減
減增減
減減增
復合函數單調性可簡記為“同增異減”,即內外函數的單性相同時遞增;單性相異時遞減.
題型三:利用函數單調性求函數最值
例7.(河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數學試題)已知函數/(x)為定義在R上的
單調函數,且/(/(X)—才―2x)=10,則/(x)在-2,2]上的值域為.
例8.(上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數學試題)已知函數/(切=亮[0>0)為偶函數,
則函數/(x)的值域為
例9.(河南省部分學校大聯考2024學年高三下學期3月質量檢測)已知函數
/(》)=°,+3工+1(。>0且。片1),若曲線y=/(.x)在點(0"(0))處的切線與直線
x+2y-l=0垂直,則/(X)在[-1,2]上的最大值為.
變式5.(新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考)若函數/(x)=?詈在
區(qū)間[。,1]上的最大值為3,則實數“.
【解題總結】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性,再求最值.常用到下面的結論:
1、如果函數y=〃x)在區(qū)間(0,句上是增函數,在區(qū)間g,c)上是減函數,則函數
y=/(x)(xea,c)在X=6處有最大值/(b).
2、如果函數y=/(x)在區(qū)間(a,句上是減函數,在區(qū)間[b,c)上是增函數,則函數
y=〃x)(xea,c)在x=6處有最小值/(b).
3、若函數y=/(x)在[a,句上是嚴格單調函數,則函數y=〃x)在口,句上一定有最
大、最小值.
4、若函數y=〃x)在區(qū)間[“,切上是單調遞增函數,則y=〃x)的最大值是/(6),最
小值是f[a}?
5、若函數y=/(x)在區(qū)間[a,b]上是單調遞減函數,則y=〃x)的最大值是7(a),最
小值是f(b).
題型四:利用函數單調性求參數的范圍
(3a-l)x+4a(x<1)
例10.已知函數/'(x)=1a八,滿足對任意的實數目,X,且為二乙,都有
IL-1)
[/(再)一/(%2)](%一%2)<0,則實數a的取值范圍為()
A.'l]B.[o,1]「11、「1八
C.D.—,1
L63;L6)
例11.(吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考)若函數/(x)=log“W一國(a>(
且awl)在區(qū)間內單調遞增,貝|Ja的取值范圍是()
A.13.加C〔2D.]廿)
例12.(四川省廣安市2024學年高三上學期期末數學試題)已知函數
-%2—ctx—9,x?1
/(%)=a在R上單調遞增,則實數Q的取值范圍為()
—,x>1
A.[-5,0)B.—2)
C.[-5,-2]D.(-oo,0)
變式6.(江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數學(理)試題)已知函數
/3=噫仁—依+3)在[0,1]上是減函數,則實數。的取值范圍是()
A.(0,1)B.(1,4)
C.(O,l)u(l,4)D.[2,4)
2
變式7.(天津市復興中學2024學年高三上學期期末數學試題)已知函數/(x)=x+2kx-5
在[-2,4]上具有單調性,則實數左的取值范圍為().
A.B.k>2
C.或左之2D.k<-4或左>2
【解題總結】
若已知函數的單調性,求參數。的取值范圍問題,可利用函數單調性,先列出關于參數
。的不等式,利用下面的結論求解.
1、若a>/(x)在[加,〃]上恒成立Oa>在[加,?]上的最大值.
2、若a</(x)在[?i,網上恒成立u>a</(x)在[加,網上的最小值.
題型五:基本初等函數的單調性
例13.(2024?天津河西?天津市新華中學校考模擬預測)已知函數》=/(%+2)是區(qū)上的偶
2
函數,對任意肛,x2e[2,+oo),且占二%都有“*),0)>0成立.若a=/(log/8),
X]-x2
(InloA
e2,則。,b,。的大小關系是()
I)
A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a
例14.(多選題)(甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數學試題)已知函
數/(X)在區(qū)間[-5,5]上是偶函數,在區(qū)間[0,5]上是單調函數,且〃3)</■⑴,則()
A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)
C./(-!)</(!)D./(-3)>/(5)
例15.(2024屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數學試題)下列函數中,既是偶函數又在
區(qū)間(0,+8)上單調遞增的是()
32|jt|
A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD.y=2
【解題總結】
1、比較函數值大小,應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內,然后利用函數單調性解決.
2、求復合函數單調區(qū)間的一般步驟為:①求函數定義域;②求簡單函數單調區(qū)間;③
求復合函數單調區(qū)間(同增異減).
3、利用函數單調性求參數時,通常要把參數視為己知數,依據函數圖像或單調性定義,
確定函數單調區(qū)間,與已知單調區(qū)間比較,利用區(qū)間端點間關系求參數.同時注意函數定義
域的限制,遇到分段函數注意分點左右端點函數值的大小關系.
題型六:函數的奇偶性的判斷與證明
例16.利用圖象判斷下列函數的奇偶性:
—x?+2.x+1,x>0
⑴/'(>)=<
x2+2x-1,x<0
2
x+x,x<0,
(2)/(%)=<
x2-x,x>0
(3)產甘;
(4?=|log2(x+l)|;
(5)y=x2-2|x|-i.
例17.(2024?北京?高三專題練習)下列函數中,既是偶函數又在區(qū)間(。,+。)上單調遞增的
是()
A.y=COSXB.y=eNC.y=lgxD.y=~
-X
例18.(多選題)(黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數學試題)
設函數/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論正確的
是()
A./(x>g(x)是偶函數B.|/(x?g(x)是奇函數
C.是奇函數D.|/(x)-g(x)|是偶函數
變式8.(北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數學試題)下列函數中,既是奇函數又在區(qū)間(0/)
上單調遞增的是()
2
A.y=lgxB.y=-C.y=2|x|D.y=tanx
x
【解題總結】
函數單調性與奇偶性結合時,注意函數單調性和奇偶性的定義,以及奇偶函數圖像的對
稱性.
題型七:已知函數的奇偶性求參數
例19.(四川省成都市蓉城聯盟2024學年高三下學期第二次聯考)已知函數
f(x)=(e*+aef)sin2x是偶函數,貝!Ia=.
例20.(江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試)若函數
/(%)=1臉(16*+1)-於是偶函數,則10gli2=.
例21.(湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯數學試題)已知函數/(x)=+"+2,
若/(X+1)是偶函數,則。=.
變式9.若函數/(x)=2e2,+ae3+l為偶函數,則°=.
【解題總結】
利用函數的奇偶性的定義轉化為/(-x)=±/(x),建立方程,使問題得到解決,但是
在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩,為了使解題更快,可采用特殊值法求解.
題型八:已知函數的奇偶性求表達式、求值
例22.(2024年高三數學押題卷五)已知函數/(%)是奇函數,函數g(x)是偶函數.若
202371
/(x)-g(x)=xsinX,則/)
2
2023K2023兀
C.0D.-1
x2-3-x,x<0,
例23?(廣東省湛江市2024屆高三二模數學試題)已知奇函數/(%)=V[g(x)+Lx>。則
g(x)=__________
例24.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數,當X>0時,/(x)=-X,+4x-3,則函數/(X)
的解析式為.
變式10.設函數/(X)與g(x)的定義域是{xeMxw±l},函數/(X)是一個偶函數,gO)是一
且/(x)—g(x)=工,則/(X)等于()
個奇函數,
X-1
1B.4^C.-^―D.
A.、
x2-\X-1X2-1X2-1
【解題總結】
抓住奇偶性討論函數在各個分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性得出關于/(X)的方
程,從而可得/(X)的解析式.
題型九:已知/(x)=奇函數+M
例25.(寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯合二??荚嚁祵W試題)已知函數
/(x)=ax5+bsinx+c,若/(一1)+/(l)=2,貝!Jc=()
2
A.-1B.0C.1D.-
例26.(河南省濟洛平許2024屆高三第四次質量檢測數學試題)已知〃%)+1在R上單調遞
12
增,且為奇函數.若正實數Q,b滿足/(。-4)+/(6)=-2,則—+的最小值為()
ab
A.-+B.—Hy/2C.3+2y[2D.—FV2
4242
例27.(重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數學試題)已知函數
/(x)=?+cosx/n(x+JiTP")在區(qū)間[-5,5]的最大值是“,最小值是加,則/(M+M的值
等于()
nn
A.0B.10C.—D.—
42
變式11.(福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數學試題)已知函數
f(x)=aln(x+Jl+/)+6sinx+2,若"-3)=7,則/(3)()
A.等于-7B.等于-5C.等于-3D.無法確定
【解題總結】
已知/■(》)=奇函數+M,xe[-a,a],則
⑴〃-x)+/(x)=2M
⑵/(X)1Mx+/(X)mm=2河
題型十:函數的對稱性與周期性
例28.(多選題)(2024?山東煙臺?統(tǒng)考二模)定義在R上的函數/(X)滿足/(x)+/(4+x)=0,
/(2+2x)是偶函數,/(1)=1,貝U()
A./(x)是奇函數B.7(2023)=-1
100
C./(X)的圖象關于直線X=1對稱D.W>/(2左-1)=-100
k=\
例29.(多選題)(2024?湖南?高三校聯考階段練習)已知定義在R上的函數/(x)和g(”的
導函數分別是/'(X)和g,(x),若/(x)+g(x-2)=1,f'(x+2)=g'(2-x),且g(x+2)是
奇函數,則下列結論正確的是()
A./(4)=1B.g'(x)的圖像關于點(1,0)對稱
20242024
C.》⑹=0D.?/)g(左+1)=0
k=\k=\
例30.(多選題)(2024?河北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數/(%),g(%)的定義域均為R,導
函數分別為/'(%),g'(x),若/(3-X)=g(%)-2,/⑺=g'(%+l),且g(2+%)+g(-X)=0,
則()
A.4為函數g(x)的一個周期B.函數/(x)的圖象關于點(2,-2)對稱
20242024
C.2g(")=0D.2“")=4048
n=\M=1
變式12.(多選題)(2024?山東濱州?統(tǒng)考二模)函數>=/(x)在區(qū)間(-。+8)上的圖象是
一條連續(xù)不斷的曲線,且滿足〃3+空))+6x=0,函數〃l-2x)的圖象關于點(0,1)
對稱,貝U()
A./(x)的圖象關于點(1,1)對稱B.8是/(x)的一個周期
C./(x)一定存在零點D."101)=-299
【解題總結】
(1)若函數y=/(x)有兩條對稱軸X=a,x=b(a<b),則函數/(x)是周期函數,且
T=2(b-a);
(2)若函數y=〃x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(a<b),則函數y=/(x)是周
期函數,且T=2(b-0);
(3)若函數y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,0)(a<6),則函數y=f(x)
是周期函數,且T=4(b-a).
題型十一:類周期函數
例31.(2024?山西長治?高三山西省長治市第二中學校??茧A段練習)定義域為R的函數
x2-x,x&(0,1)
/(x)滿足/(x+2)=2/(x),/(x)=<門平7rJ若xe(-2,0]時,/(x)N:-L|g
,xe[l,2]2t
成立,則實數,的取值范圍是()
A.[-2,0)U(0,l)B.[-2,0)U[1,+<?)C.[-2,1]D.(-<?,-2]o(0,l]
例32.(2024?江西南昌?高三校考期中)已知定義在[。,+a)上的函數/(x)滿足
/(X)=g/(X+2),且當xe[0,2)時,/(x)=-/+2x.設〃x)在[2〃-2,2〃)上的最大值為明
"CN*),且數列{%}的前〃項的和為鼠.若對于任意正整數”不等式*(S”+1)22"-9恒
成立,則實數上的取值范圍為()
37
A.[0,+8)B,豆,+8C.——.4-00D.——,4-00
6464
例33.(2024?全國?高三專題練習)定義域為火的函數/(x)滿足〃x+2)=3/(x),當工式0,2]
13
時,/(x)=/_2x,若x£[-4「2]時,/(xR.QT)恒成立,則實數,的取值范圍是()
18t
A.(-?,-l]U(o,3]B.(f,-VT|U(0,7r|
c.[-1,O)U[3,+8)D.[-73,0)U[A/3,^)
4-|4x-8|,l<x<3
變式13.(多選題)(2024?全國?高三專題練習)已知函數/'")=1、,則下
列說法正確的是()
A.若函數y=/(x)-6有4個零點,則實數上的取值范圍為
B.關于x的方程“X)-白=0(〃eN*)有2"—1個不同的解
C.對于實數不等式^(x)-8W0恒成立
D.當xe[3i,3]("eN)時,函數/'(》)的圖象與、軸圍成的圖形的面積為4x1|]
【解題總結】
1、類周期函數
若y=/(x)滿足:/(x+加)=蛆幻或/(xQ/x-zw),則y=/(x)橫坐標每增加加個
單位,則函數值擴大左倍.此函數稱為周期為m的類周期函數.
類周期函數圖象倍增函數圖象
2、倍增函數
x
若函數y=/(x)滿足/'(TWxhBXx)或/(無尸的一),則y=/(x)橫坐標每擴大加倍,
則函數值擴大后倍.此函數稱為倍增函數.
g(x),xe[l,m)
g(x—m+1),xe[m,m
注意當加=左時,構成一系列平行的分段函數,f(x)^<g(x-m2+1),xe[m2,m3)
g(x-mn~l+1),XG[mn~x,m")
題型十二:抽象函數的單調性、奇偶性、周期性
例34.(安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題)已知定義在R上的函數/(x),
g(x)滿足:①/(0)=1;②g(x)為奇函數;③Vxe(0,+co),g(x)>0;④任意的x,yeR,
/(x)/(y)-g(x)g(y).
(1)判斷并證明函數/(x)的奇偶性;
(2)判斷并證明函數/(.X)在(0,+¥)上的單調性.
例35.(2024?河北石家莊?統(tǒng)考模擬預測)設函數/(X)定義域為R,〃尤-1)為奇函數,
/(x+1)為偶函數,當時,f(x)=-x2+l,則下列結論錯誤的是()
A.=B./(x+7)為奇函數
C./⑶在(6,8)上是減函數D.方程/(x)+lgx=0僅有6個實數解
例36.(2024?湖北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數/(x)是定義在R上的偶函數,對任意
%,馬e[0,+8),且x產吃,有〃%)一"馬)>0,若/⑴=(),則不等式(1)/(">0的解集是
A.(-l,l)U(l,+8)B.(-1,1)C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-oo,-l)u(0,1)
變式14.(四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數學試題)定義在&上的函數/Xx),對
任意玉,演?衣,滿足下列條件:①/(%+多)=/(%)+/(%)-2②"2)=4
(1)是否存在一次函數/(x)滿足條件①②,若存在,求出了(x)的解析式;若不存在,說明
理由.
(2)證明:g(x)=/(x)-2為奇函數;
變式15.(安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題)己知定義在R上的函數/(x),
g(x)滿足:
①"0)=1;
②任意的X,yeR,/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).
(1)求尸(x)-g'(x)的值;
(2)判斷并證明函數/(x)的奇偶性.
變式16.(多選題)(2024?遼寧沈陽?高三沈陽二中??奸_學考試)已知函數/(X)對任意
xeR都有〃x+4)-〃x)=2/(2),若y=/(x-i)的圖象關于直線x=l對稱,且對任意的
/,x2e(o,2),且X產Z,都有"七)一"—>0,則下列結論正確的是().
再-x2
A./(x)是偶函數B./(X)的周期7=4
C.7(2022)=0D./(X)在(-4,-2)單調遞減
【解題總結】
抽象函數的模特函數通常如下:
⑴若/(x+y)=/(x)+f(y),則/(%)=力⑴(正比例函數)
(2)若/(x+y)=/(x)/(y),則〃x)="⑴]'(指數函數)
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