函數的性質（學生版）-2025高考數學一輪復習講義

第7講函數的性質

知識梳理

1、函數的單調性

（1）單調函數的定義

一般地，設函數/（X）的定義域為/,區(qū)間

如果對于。內的任意兩個自變量的值與，乙當為時，都有/區(qū)）＜/（%）,那么就

說〃x）在區(qū)間。上是增函數.

如果對于。內的任意兩個自變量的值與，血，當演＜三時，都有/&）＜/（%）,那么

就說/'（x）在區(qū)間D上是減函數.

①屬于定義域/內某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量X],X?且為＜七；

③都有/（占）＜/（2）或/（占）＞/（2）；

④圖象特征：在單調區(qū)間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是

下降的.

（2）單調性與單調區(qū)間

①單調區(qū)間的定義：如果函數/（X）在區(qū)間。上是增函數或減函數，那么就說函數了（X）

在區(qū)間D上具有單調性，D稱為函數/（X）的單調區(qū)間.

②函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質.

（3）復合函數的單調性

復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數是增（減）函數,

內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）

函數，復合函數是減函數.

2、函數的奇偶性

函數奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/（X）的定義域內任意一個X,都有關于y軸對

偶函數

f（-x）=f（x）,那么函數/（X）就叫做偶函數稱

如果對于函數/（X）的定義域內任意一個X,都有關于原點對

奇函數

f（-x）=-f（x）,那么函數/（X）就叫做奇函數稱

判斷了（-x）與y（x）的關系時，也可以使用如下結論：如果”-x）-〃x）=O或

止型=l(/(x)r0),則函數/(x)為偶函數；如果/(一丁)+/(無)=0或Z5=-1(/(》)#0),

Ax)/(x)

則函數/(x)為奇函數.

注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的

任意一個x,-x也在定義域內(即定義域關于原點對稱).

3、函數的對稱性

(1)若函數y=f{x'\~a)為偶函數，則函數y=f(x)關于x=a對稱.

(2)若函數y=f(x+a)為奇函數，則函數y="x)關于點(a,0)對稱.

(3)若f(x)=/(2a-x),則函數/(x)關于x=a對稱.

(4)若/■(x)+/(2a-x)=2b,則函數/'(x)關于點(a,為對稱.

4、函數的周期性

(1)周期函數：

對于函數y=/(x),如果存在一個非零常數7,使得當x取定義域內的任何值時，都有

f(x+T)=f(x),那么就稱函數y=/(x)為周期函數，稱7為這個函數的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數/(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做

/(x)的最小正周期.

【解題方法總結】

1、單調性技巧

(1)證明函數單調性的步驟

①取值：設乙，乙是一(X)定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且不＜馬；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；

④得出結論.

(2)函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判

斷.

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫

出它們的單調區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結論：

①若/(x)是增函數，則-/(X)為減函數；若/(x)是減函數，則-/(x)為增函數；

②若/(X)和g(x)均為增(或減)函數，則在/(X)和g(x)的公共定義域上/Xx)+g(x)為增

(或減)函數；

③若/(x)>0且/(x)為增函數，則函數J而為增函數，上為減函數;

“X)

④若〃x)>0且/(x)為減函數，則函數為減函數，上為增函數.

“X)

2、奇偶性技巧

(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

(2)奇偶函數的圖象特征.

函數/(x)是偶函數=函數/(x)的圖象關于歹軸對稱；

函數/(x)是奇函數=函數/(x)的圖象關于原點中心對稱.

(3)若奇函數>="X)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數y=/(x)必滿足f(x)=/(|x|).

(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數在其定義域內

關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同.

(5)若函數/(x)的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數

的和的形式.記g(x)=；[/(x)+/(-x)],/z(x)=1[/(x)-/(-x)],則/(x)=g(x)+〃(x).

(6)運算函數的奇偶性規(guī)律：運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除

四則運算所得的函數，$nf(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x),f(x)+g(x).

對于運算函數有如下結論：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇乂(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(7)復合函數y=/[g(x)]的奇偶性原來：內偶則偶,兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數模型

奇函數：①函數/(；0=加(巴士3("0)或函數=.

a-1a+1

②函數〃x)=±(a*-aT).

③函數/(x)=loga葉絲=loga(l+3-)或函數/(x)=loga上％=log”(1--—)

x—mx-mx+mx+m

注意：關于①式，可以寫成函數+胃”。)或函數於f-烹1M機

偶函數：①函數/(工)=±(/+尸).

②函數f(x)=log“3'K+l)一寸.

③函數〃|x|)類型的一切函數.

④常數函數

3、周期性技巧

函數式滿足關系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/?2T

〃X+T)=I；/(X+T)=-42T

/(X)/(x)

/(x+T)=/(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

f/(a+x)=/(a-x)

2(b-a)

[f(b+x)=fib-x)

"(a+x)=/(a-x)

2a

[/(x)為偶函數

[f(a+x)=-f(a-x)

2(/?-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)為奇函數

[f(a+x)=/(a-x)

4(6-a)

f(b+x)=-f(b-x)

\f(a+x)=f{a-x)

t/(x)為奇函數4。

[f(a+x)=-f(a-x)

4(2

/(x)為偶函數

4、函數的的對稱性與周期性的關系

(1)若函數y="X)有兩條對稱軸X=a,x=b(a<b),則函數/(x)是周期函數，且

T=2(b-a)；

(2)若函數y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<6),則函數y=/(x)是周

期函數，且T=2(b-a)；

(3)若函數y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,O)(a<b),則函數y=f(x)

是周期函數，且T=4(b-a).

5、對稱性技巧

(1)若函數>=/(無)關于直線x=a對稱，則f(a+x)=f(a-x).

(2)若函數y=/(x)關于點(a,b)對稱，則/(a+x)+/(a-x)=2b.

(3)函數y=f{a+x)^y=f(a-x)關于歹軸對稱，函數y=/(a+x)與y=-/(a-x)關

于原點對稱.

必考題型全歸納

題型一：函數的單調性及其應用

例1.已知函數/(X)的定義域是R,若對于任意兩個不相等的實數八，叫，總有

)(、2卜)(為)>0成立，則函數/()一定是()

x2-再

A.奇函數B.偶函數C.增函數D.減函數

例2.若定義在R上的函數/)對任意兩個不相等的實數a,b,總有/⑷？°)>o成立,則

必有()

A./)在R上是增函數B.於)在R上是減函數

C.函數次x)先增后減D.函數")先減后增

例3.下列函數中，滿足“/(x+y)=/(x)/(y)”的單調遞增函數是

B.f(x)=X3

D./(x)=3*

變式1.函數/(x)=/—3x+2|的單調遞增區(qū)間是()

-3)「3］

A.-?+°°IB.1,萬和［2,+8)

C.(一8,1］和—,2D.1—8,力和［2,+8)

變式2.(江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學年高三上學期期中數學試題)已知函數

2x

/(%)二一一-,xe(04w).

x+1?

(1)判斷函數/(x)的單調性，并利用定義證明；

(2)若求實數加的取值范圍.

變式3.（2024?全國?高三專題練習）設a>0,awl,證明：函數0卜）="是x的增函數

（X>0）.

變式4.（2024?上海靜安?高三?？计谥校┘褐瘮?（x）=E■-巴（a>0）,且/（0）=0.

a2'

（1）求。的值，并指出函數/（X）的奇偶性；

（2）在（1）的條件下，運用函數單調性的定義，證明函數/（X）在（-8,+8）上是增函數.

【解題總結】

函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判

斷.

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫

出它們的單調區(qū)間.

題型二：復合函數單調性的判斷

例4.函數丫=正+3%的單調遞減區(qū)間為)

(3

A.B.卜|,+8

I2.

C.[0,+?)D.(-8,-3]

例5.（陜西省寶雞市金臺區(qū)2024學年高三下學期期末數學試題）函數y=log2（2x--）的

單調遞減區(qū)間為()

A.(1,2)B.。,2]

C.(0,1)D.[0,1)

例6.(陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試)函數y=lg(2cosx-K)的單調遞增

區(qū)間為()

A.(2%無?+加，2左尤?+2萬)("eZ)B.I2k/r+7r,lk7t+—nl(A：eZ)

C.2k加一三，2k兀eZ)D.f2k7T,2k7r+^\(^kGZ)

【解題總結】

討論復合函數y=/［g(x)］的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的

單調性.一般需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，

然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：

1、若〃=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數或都是減函數，則y=/［g(x)］為

增函數；

2、若〃=g(x),y=在所討論的區(qū)間上一個是增函數，另一個是減函數，則

尸/［g(x)］為減函數?列表如下：

〃=g(x)y=/(?)y=/[gW]

增增增

增減減

減增減

減減增

復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

題型三：利用函數單調性求函數最值

例7.(河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數學試題)已知函數/(x)為定義在R上的

單調函數，且/(/(X)—才―2x)=10,則/(x)在-2,2］上的值域為.

例8.(上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數學試題)已知函數/(切=亮［0>0)為偶函數,

則函數/(x)的值域為

例9.(河南省部分學校大聯考2024學年高三下學期3月質量檢測)已知函數

/(》)=°，+3工+1(。>0且。片1),若曲線y=/(.x)在點(0"(0))處的切線與直線

x+2y-l=0垂直，則/(X)在［-1,2］上的最大值為.

變式5.(新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考)若函數/(x)=?詈在

區(qū)間［。，1］上的最大值為3,則實數“.

【解題總結】

利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值.常用到下面的結論：

1、如果函數y=〃x)在區(qū)間(0,句上是增函數，在區(qū)間g,c)上是減函數，則函數

y=/(x)(xea,c)在X=6處有最大值/(b).

2、如果函數y=/(x)在區(qū)間(a,句上是減函數，在區(qū)間［b,c)上是增函數，則函數

y=〃x)(xea,c)在x=6處有最小值/(b).

3、若函數y=/(x)在［a,句上是嚴格單調函數，則函數y=〃x)在口，句上一定有最

大、最小值.

4、若函數y=〃x)在區(qū)間［“，切上是單調遞增函數，則y=〃x)的最大值是/(6),最

小值是f［a}?

5、若函數y=/(x)在區(qū)間［a,b］上是單調遞減函數，則y=〃x)的最大值是7(a),最

小值是f(b).

題型四：利用函數單調性求參數的范圍

(3a-l)x+4a(x<1)

例10.已知函數/'(x)=1a八，滿足對任意的實數目,X,且為二乙,都有

IL-1)

［/(再)一/(%2)］(%一%2)<0,則實數a的取值范圍為()

A.'l］B.［o,1］「11、「1八

C.D.—,1

L63；L6)

例11.(吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考)若函數/(x)=log“W一國(a>(

且awl)在區(qū)間內單調遞增,貝|Ja的取值范圍是()

A.13.加C〔2D.］廿)

例12.（四川省廣安市2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數

-%2—ctx—9,x?1

/(%)=a在R上單調遞增，則實數Q的取值范圍為()

—,x>1

A.[-5,0)B.—2)

C.[-5,-2]D.(-oo,0)

變式6.（江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數學（理）試題）已知函數

/3=噫仁—依+3）在［0,1］上是減函數，則實數。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,4）

C.（O,l）u（l,4）D.［2,4）

2

變式7.（天津市復興中學2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數/（x）=x+2kx-5

在［-2,4］上具有單調性，則實數左的取值范圍為（）.

A.B.k>2

C.或左之2D.k<-4或左>2

【解題總結】

若已知函數的單調性，求參數。的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數

。的不等式，利用下面的結論求解.

1、若a>/（x）在［加，〃］上恒成立Oa>在［加，?］上的最大值.

2、若a</（x）在［?i,網上恒成立u>a</（x）在［加，網上的最小值.

題型五：基本初等函數的單調性

例13.（2024?天津河西?天津市新華中學校考模擬預測）已知函數》=/（%+2）是區(qū)上的偶

2

函數，對任意肛，x2e［2,+oo）,且占二%都有“*），0）>0成立.若a=/（log/8）,

X］-x2

(InloA

e2，則。，b,。的大小關系是（）

I)

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

例14.（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數學試題）已知函

數/（X）在區(qū)間［-5,5］上是偶函數，在區(qū)間［0,5］上是單調函數，且〃3）＜/■⑴，則（）

A./（-1）＜/（-3）B./（0）＞/（-1）

C./（-!）＜/（!）D./（-3）＞/（5）

例15.（2024屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數學試題）下列函數中，既是偶函數又在

區(qū)間（0,+8）上單調遞增的是（）

32|jt|

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD.y=2

【解題總結】

1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數單調性解決.

2、求復合函數單調區(qū)間的一般步驟為：①求函數定義域；②求簡單函數單調區(qū)間；③

求復合函數單調區(qū)間（同增異減）.

3、利用函數單調性求參數時，通常要把參數視為己知數，依據函數圖像或單調性定義,

確定函數單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關系求參數.同時注意函數定義

域的限制，遇到分段函數注意分點左右端點函數值的大小關系.

題型六：函數的奇偶性的判斷與證明

例16.利用圖象判斷下列函數的奇偶性：

—x?+2.x+1,x>0

⑴/'(>)=<

x2+2x-1,x<0

2

x+x,x<0,

(2)/(%)=<

x2-x,x>0

(3)產甘;

(4?=|log2(x+l)|；

(5)y=x2-2|x|-i.

例17.（2024?北京?高三專題練習）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（。，+。）上單調遞增的

是（）

A.y=COSXB.y=eNC.y=lgxD.y=~

-X

例18.(多選題)(黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數學試題)

設函數/(x)，g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論正確的

是()

A./(x>g(x)是偶函數B.|/(x?g(x)是奇函數

C.是奇函數D.|/(x)-g(x)|是偶函數

變式8.(北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數學試題)下列函數中，既是奇函數又在區(qū)間(0/)

上單調遞增的是()

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2|x|D.y=tanx

x

【解題總結】

函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對

稱性.

題型七：已知函數的奇偶性求參數

例19.(四川省成都市蓉城聯盟2024學年高三下學期第二次聯考)已知函數

f(x)=(e*+aef)sin2x是偶函數，貝!Ia=.

例20.(江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試)若函數

/(%)=1臉(16*+1)-於是偶函數，則10gli2=.

例21.(湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯數學試題)已知函數/(x)=+"+2,

若/(X+1)是偶函數，則。=.

變式9.若函數/(x)=2e2，+ae3+l為偶函數，則°=.

【解題總結】

利用函數的奇偶性的定義轉化為/（-x）=±/（x）,建立方程，使問題得到解決，但是

在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

題型八：已知函數的奇偶性求表達式、求值

例22.（2024年高三數學押題卷五）已知函數/（%）是奇函數，函數g（x）是偶函數.若

202371

/(x)-g(x)=xsinX,則/)

2

2023K2023兀

C.0D.-1

x2-3-x,x<0,

例23?（廣東省湛江市2024屆高三二模數學試題）已知奇函數/（%）=V[g(x)+Lx>。則

g(x)=__________

例24.已知函數/（x）是定義在R上的奇函數，當X>0時，/（x）=-X，+4x-3,則函數/（X）

的解析式為.

變式10.設函數/（X）與g（x）的定義域是{xeMxw±l},函數/（X）是一個偶函數，gO）是一

且/（x）—g（x）=工，則/（X）等于（）

個奇函數，

X-1

1B.4^C.-^―D.

A.、

x2-\X-1X2-1X2-1

【解題總結】

抓住奇偶性討論函數在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于/（X）的方

程，從而可得/（X）的解析式.

題型九：已知/（x）=奇函數+M

例25.（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯合二?？荚嚁祵W試題）已知函數

/（x）=ax5+bsinx+c,若/（一1）+/（l）=2,貝！Jc=（）

2

A.-1B.0C.1D.-

例26.（河南省濟洛平許2024屆高三第四次質量檢測數學試題）已知〃％）+1在R上單調遞

12

增，且為奇函數.若正實數Q,b滿足/（。-4）+/（6）=-2,則—+的最小值為（）

ab

A.-+B.—Hy/2C.3+2y[2D.—FV2

4242

例27.(重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數學試題)已知函數

/(x)=?+cosx/n(x+JiTP")在區(qū)間[-5,5]的最大值是“，最小值是加，則/(M+M的值

等于()

nn

A.0B.10C.—D.—

42

變式11.(福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數學試題)已知函數

f(x)=aln(x+Jl+/)+6sinx+2,若"-3)=7,則/(3)()

A.等于-7B.等于-5C.等于-3D.無法確定

【解題總結】

已知/■(》)=奇函數+M,xe[-a,a],則

⑴〃-x)+/(x)=2M

⑵/(X)1Mx+/(X)mm=2河

題型十：函數的對稱性與周期性

例28.(多選題)(2024?山東煙臺?統(tǒng)考二模)定義在R上的函數/(X)滿足/(x)+/(4+x)=0,

/(2+2x)是偶函數,/(1)=1,貝U()

A./(x)是奇函數B.7(2023)=-1

100

C./(X)的圖象關于直線X=1對稱D.W>/(2左-1)=-100

k=\

例29.(多選題)(2024?湖南?高三校聯考階段練習)已知定義在R上的函數/(x)和g(”的

導函數分別是/'(X)和g，(x),若/(x)+g(x-2)=1,f'(x+2)=g'(2-x),且g(x+2)是

奇函數，則下列結論正確的是()

A./(4)=1B.g'(x)的圖像關于點(1,0)對稱

20242024

C.》⑹=0D.?/)g(左+1)=0

k=\k=\

例30.(多選題)(2024?河北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數/(%),g(%)的定義域均為R,導

函數分別為/'(%),g'(x),若/(3-X)=g(%)-2,/⑺=g'(%+l),且g(2+%)+g(-X)=0,

則()

A.4為函數g(x)的一個周期B.函數/(x)的圖象關于點(2,-2)對稱

20242024

C.2g(")=0D.2“")=4048

n=\M=1

變式12.(多選題)(2024?山東濱州?統(tǒng)考二模)函數>=/(x)在區(qū)間(-。+8)上的圖象是

一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足〃3+空))+6x=0,函數〃l-2x)的圖象關于點(0,1)

對稱，貝U()

A./(x)的圖象關于點(1,1)對稱B.8是/(x)的一個周期

C./(x)一定存在零點D."101)=-299

【解題總結】

(1)若函數y=/(x)有兩條對稱軸X=a,x=b(a<b),則函數/(x)是周期函數，且

T=2(b-a)；

(2)若函數y=〃x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(a<b),則函數y=/(x)是周

期函數，且T=2(b-0)；

(3)若函數y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,0)(a<6),則函數y=f(x)

是周期函數，且T=4(b-a).

題型十一：類周期函數

例31.(2024?山西長治?高三山西省長治市第二中學校?？茧A段練習)定義域為R的函數

x2-x,x&(0,1)

/(x)滿足/(x+2)=2/(x),/(x)=<門平7rJ若xe(-2,0]時，/(x)N：-L|g

，xe[l,2]2t

成立，則實數，的取值范圍是()

A.[-2,0)U(0,l)B.[-2,0)U[1,+<?)C.[-2,1]D.(-<?,-2]o(0,l]

例32.(2024?江西南昌?高三校考期中)已知定義在[。,+a)上的函數/(x)滿足

/(X)=g/(X+2),且當xe[0,2)時，/(x)=-/+2x.設〃x)在[2〃-2,2〃)上的最大值為明

"CN*),且數列｛%｝的前〃項的和為鼠.若對于任意正整數”不等式*(S”+1)22"-9恒

成立，則實數上的取值范圍為()

37

A.[0,+8)B,豆，+8C.——.4-00D.——,4-00

6464

例33.(2024?全國?高三專題練習)定義域為火的函數/(x)滿足〃x+2)=3/(x),當工式0,2]

13

時，/(x)=/_2x,若x￡[-4「2]時，/(xR.QT)恒成立，則實數,的取值范圍是()

18t

A.(-?,-l]U(o,3]B.(f,-VT|U(0,7r|

c.[-1,O)U[3,+8)D.[-73,0)U[A/3,^)

4-|4x-8|,l<x<3

變式13.(多選題)(2024?全國?高三專題練習)已知函數/'")=1、，則下

列說法正確的是()

A.若函數y=/(x)-6有4個零點，則實數上的取值范圍為

B.關于x的方程“X)-白=0(〃eN*)有2"—1個不同的解

C.對于實數不等式^(x)-8W0恒成立

D.當xe[3i,3]("eN)時，函數/'(》)的圖象與、軸圍成的圖形的面積為4x1|]

【解題總結】

1、類周期函數

若y=/(x)滿足：/(x+加)=蛆幻或/(xQ/x-zw),則y=/(x)橫坐標每增加加個

單位，則函數值擴大左倍.此函數稱為周期為m的類周期函數.

類周期函數圖象倍增函數圖象

2、倍增函數

x

若函數y=/(x)滿足/'(TWxhBXx)或/(無尸的一)，則y=/(x)橫坐標每擴大加倍,

則函數值擴大后倍.此函數稱為倍增函數.

g(x),xe[l,m)

g(x—m+1),xe[m,m

注意當加=左時，構成一系列平行的分段函數，f(x)^<g(x-m2+1),xe[m2,m3)

g(x-mn~l+1),XG[mn~x,m")

題型十二：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性

例34.(安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題)已知定義在R上的函數/(x),

g(x)滿足：①/(0)=1;②g(x)為奇函數；③Vxe(0,+co),g(x)>0；④任意的x,yeR,

/(x)/(y)-g(x)g(y).

(1)判斷并證明函數/(x)的奇偶性；

(2)判斷并證明函數/(.X)在(0,+￥)上的單調性.

例35.(2024?河北石家莊?統(tǒng)考模擬預測)設函數/(X)定義域為R,〃尤-1)為奇函數，

/(x+1)為偶函數,當時,f(x)=-x2+l,則下列結論錯誤的是()

A.=B./(x+7)為奇函數

C./⑶在(6,8)上是減函數D.方程/(x)+lgx=0僅有6個實數解

例36.(2024?湖北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數/(x)是定義在R上的偶函數，對任意

%,馬e[0,+8),且x產吃,有〃%)一"馬)>0,若/⑴=(),則不等式(1)/(">0的解集是

A.(-l,l)U(l,+8)B.(-1,1)C.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(-oo,-l)u(0,1)

變式14.(四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數學試題)定義在&上的函數/Xx),對

任意玉,演?衣,滿足下列條件：①/(%+多)=/(%)+/(%)-2②"2)=4

(1)是否存在一次函數/(x)滿足條件①②，若存在，求出了(x)的解析式；若不存在，說明

理由.

(2)證明：g(x)=/(x)-2為奇函數;

變式15.(安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題)己知定義在R上的函數/(x),

g(x)滿足：

①"0)=1；

②任意的X,yeR,/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).

(1)求尸(x)-g'(x)的值；

(2)判斷并證明函數/(x)的奇偶性.

變式16.(多選題)(2024?遼寧沈陽?高三沈陽二中?？奸_學考試)已知函數/(X)對任意

xeR都有〃x+4)-〃x)=2/(2),若y=/(x-i)的圖象關于直線x=l對稱，且對任意的

/，x2e(o,2),且X產Z，都有"七)一"—>0,則下列結論正確的是().

再-x2

A./(x)是偶函數B./(X)的周期7=4

C.7(2022)=0D./(X)在(-4,-2)單調遞減

【解題總結】

抽象函數的模特函數通常如下：

⑴若/(x+y)=/(x)+f(y),則/(%)=力⑴(正比例函數)

(2)若/(x+y)=/(x)/(y),則〃x)="⑴]'(指數函數)