高考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：雙曲線（解答題壓軸題）含答案及解析

專題23雙曲線（解答題壓軸題）

目錄

①雙曲線的弦長(zhǎng)問題..................................................1

②雙曲線的中點(diǎn)弦問題...............................................2

③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題.........................................4

④雙曲線中的最值問題...............................................6

⑤雙曲線中面積問題.................................................8

⑥雙曲線中定點(diǎn)、定值、定直線問題..................................10

⑦雙曲線中向量問題.................................................12

⑧雙曲線綜合問題...................................................13

①雙曲線的弦長(zhǎng)問題

22

1.（2023秋?山東青島?高二?？计谀┮阎p曲線C:3-2=1（°>0,6>0）.請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為

ab

條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問題.①b=6；②離心率為2；③與橢圓:+丁=1的焦點(diǎn)相同.

⑴求C的方程；

（2）直線/：y=x-3與C交于A,B兩點(diǎn),求|明的值.

22

2.（2023秋?廣西柳州?高二?？计谀┮阎p曲線C：=-與=1（。>0,。>0）經(jīng)過點(diǎn)P（20,石），焦點(diǎn)產(chǎn)到

ab

漸近線的距離為6.

（1）求雙曲線C的方程；

⑵若斜率為1的直線/與雙曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)/過雙曲線C的右焦點(diǎn)時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的值.

3.（2023?全國(guó)二專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線。的右焦點(diǎn)為（2,0）,右頂點(diǎn)為（百，0）.

⑴求雙曲線。的方程；

⑵若直線/：y=x+2與雙曲線交于A,5兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|.

22

4.（2023春?四川遂寧?高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知雙曲線5-5的焦距為6,且虛

ab

軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的0倍.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)廠且傾斜角為:的直線/與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),求

②雙曲線的中點(diǎn)弦問題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A（-2,0）,3（2,0）,直線A",8M相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是3.

（1）求點(diǎn)加的軌跡C的方程；

⑵過點(diǎn)N（2,3）能否作一條直線機(jī)與軌跡C交于兩點(diǎn)尸，Q,且點(diǎn)N是線段P。的中點(diǎn)？若能，求出直線機(jī)

的方程；若不能，說明理由.

2.(2023秋?內(nèi)蒙古包頭?高二統(tǒng)考期末)如圖1、2,已知圓A方程為(X+2)2+;/=12,點(diǎn)3(2,0).M是

圓A上動(dòng)點(diǎn)，線段MB的垂直平分線交直線于點(diǎn)N.

圖1圖2

⑴求點(diǎn)N的軌跡方程；

(2)記點(diǎn)N的軌跡為曲線r,過點(diǎn)是否存在一條直線/，使得直線/與曲線「交于兩點(diǎn)C、D,且尸是

線段8中點(diǎn).

3.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2,其一條漸近線斜率為

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)4(1,1)能否作直線/,使直線/與所給雙曲線交于P、。兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是弦尸。的中點(diǎn)？如果直線/存

在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

4.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))中心在原點(diǎn)的雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸上，且焦距為4,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中

選擇1個(gè)補(bǔ)全條件，并完成后面問題：

①該曲線經(jīng)過點(diǎn)尸(-2,3)；

②該曲線的漸近線與圓(》-4)2+^=12相切；

③點(diǎn)M在該雙曲線上，K，工為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3時(shí)，以匕，F(xiàn)?為直徑的圓

經(jīng)過點(diǎn)M.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過定點(diǎn)2(1,1)能否作直線/，使/與此雙曲線相交于48兩點(diǎn)，且。是弦的中點(diǎn)?若存在，求出I的方程；

若不存在，說明理由.

5.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）雙曲線C:二-4=1,>0力>0）的漸近線方程為，=2x,一個(gè)焦點(diǎn)到該漸

近線的距離為2.

⑴求C的方程；

⑵是否存在直線/,經(jīng)過點(diǎn)加（1,4）且與雙曲線C于A,8兩點(diǎn)，M為線段A8的中點(diǎn)，若存在，求/的方程：

若不存在，說明理由.

③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題

2

1.（2023春?上海長(zhǎng)寧?高二上海市第三女子中學(xué)校考期中）己知雙曲線C：尤2一方=1僅>o）的離心率為72；

⑴求此雙曲線的漸近線方程；

⑵若經(jīng)過點(diǎn)尸（0,-1）的直線與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)"，N,求線段的中垂線/在y軸上的截距

f的取值范圍；

2.（2023秋?浙江杭州?高二?？计谀┮阎c(diǎn)AF分別為雙曲線C:/一V=/5>0）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，

過F且垂直于x軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點(diǎn)B,AABF的面積為2（0+1）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于

P,。兩點(diǎn)，記△MON,△APQ的面積分別為H，S2（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若。=4邑，求實(shí)數(shù)2的取值范

圍.

3.（2023春?貴州黔西?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線

22

E:三-七=1（。>0*>0）的左頂點(diǎn)4過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于8,C兩點(diǎn)，若ABC的面

cib

積為忘+1.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）若直線/：丫=履-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M,N兩點(diǎn),與雙曲線E的兩條漸近線分別交于

\MN\

P,Q兩點(diǎn)，求扃的取值范圍.

2

4.（2023?廣西南寧?南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓/+匕=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、

4

B,曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距為2斯的雙曲線，設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢

圓相交于另一點(diǎn)T.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為七、X],求證%?%為一定值；

（3）設(shè)△〃15與4POB（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為鳥與邑，且PA.P8415，求S；-的取值范

圍.

④雙曲線中的最值問題

1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2尤是雙曲線cj-2=l(a>0力>0)的一條

ah

漸近線，點(diǎn)A(l,o)在雙曲線c上，設(shè)加(加,〃)("0)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AAf與y軸相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)M關(guān)于

y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線AN與y軸相交于點(diǎn)。.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵在X軸上是否存在一點(diǎn)T,使得|m+T@=|P0，若存在，求T點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，說明理由；

⑶求M點(diǎn)的坐標(biāo),使得，河尸。的面積最小.

22_

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)雙曲線C:=-2=l(a,b>0)的右頂點(diǎn)為A,虛軸長(zhǎng)為加,兩準(zhǔn)線間的

ab

距離為至.

3

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設(shè)動(dòng)直線/與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，已知設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線/的距離為d,求d的最大值.

22

3.（2023秋?江蘇,高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線鼻-9=l（a>0,人>0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2,

點(diǎn)、M（下四在雙曲線上.

（2）如圖，若直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q,P,且OPOQ=0,求『尸產(chǎn)+|。。|2的最小值.

4.（2023春?上海嘉定?高二上海市育才中學(xué)?？计谥校?已知點(diǎn)加（-2,0）,N（2,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足條件

\PM\-\PN\=2叵.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）若42是W上的不同兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，求0408的最小值.

22

5.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：卞-方=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為8、K,焦距

為4,右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，6為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R,S兩點(diǎn)，且NR4s=60。.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)。是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，N月。居的角平分線記為/,

過點(diǎn)M做/的垂線，垂足為區(qū)與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)N,求犒的最大值.

⑤雙曲線中面積問題

1.(2023春?江蘇連云港?高二?？茧A段練習(xí))己知雙曲線3-丫2=],/,耳為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)九)為其

右支上一點(diǎn)，在尸處作雙曲線的切線/.

(1)若尸的坐標(biāo)為(3,3),求證：/為/耳尸鳥的角平分線；

⑵過片，工分別作/的平行線4,3其中《交雙曲線于48兩點(diǎn)，6交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，求二口鋁和二PCD的

面積之積SPAB'SPCD的最小值.

22

2.(2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考三模)已知點(diǎn)(1,2)在雙曲線石：3一當(dāng)=1(°>0)>0)的漸近線上，點(diǎn)4(-3,2)在E

ab

上，直線/交E于8,C兩點(diǎn)，直線AB與直線AC的斜率之和為0.

(1)求直線/的斜率；

⑵若M為雙曲線E上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點(diǎn)P,Q,

求4MPQ的面積.

22

3.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))P是雙曲線二-匕=1右支上一點(diǎn)，A,8是雙曲線的左右頂點(diǎn)，過A,B分

412

別作直線PA,尸8的垂線A。，BQ,A。與的交點(diǎn)為。，PA與8。的交點(diǎn)為C.

⑴記尸,。的縱坐標(biāo)分別為%，”,求?的值；

(2)記△PBCAQAC的面積分別為凡通，當(dāng)工StanNAQBV巫時(shí)，求善的取值范圍.

25?

在雙曲線C:乂-《=l(a>0*>0)上，且C的離心率為四

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)A3,

ab5

⑴求C的方程;

4

⑵直線/交C的左支于P,。兩點(diǎn)，且直線AP,AQ的斜率之和為0,若tanNP4Q=§,直線AP,A。與y

軸的交點(diǎn)分別為M,N,求的面積.

5.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線M4與直線y=x垂直，A為

垂足且位于第一象限，直線MB與直線y=-X垂直，8為垂足且位于第四象限，四邊形Q4M3(。為原點(diǎn))

的面積為8,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)已知7(5,3)是軌跡C上一點(diǎn)，直線/交軌跡。于P,Q兩點(diǎn)，直線7P,7。的斜率之和為1,tanZPTQ=1,

求.HQ的面積.

⑥雙曲線中定點(diǎn)、定值、定直線問題

1.（2023秋?山東?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，己知點(diǎn)川3,-⑹和點(diǎn)石”,庖）在雙曲線

22

C:1-}=l（a>0,b>0）上，雙曲線C的左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)乙（二,0）且不與無軸重合的直線/與雙曲線C交

于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ與圓。:/+,2=/分別交于N兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線",AQ的斜率分別為匕，k2,求左他的值;

⑶證明：直線過定點(diǎn).

22

2.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:宏-\=1（。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小居.過居的直線

/交C的右支于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)/垂直于無軸時(shí)，M,N到C的一條漸近線的距離之和為20.

⑴求C的方程；

力口日眼用|N用

⑵證明：同卡網(wǎng)為定值.

22

3.(2023春?廣東深圳?高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知點(diǎn)42,1)在雙曲線C:0—-=1(。>1)±.

cia—1

⑴點(diǎn)4，4為c的左右頂點(diǎn)，p為雙曲線c上異于4，4的點(diǎn)，求心&?4時(shí)的值；

⑵點(diǎn)N在C上，且3M?3v=；,ADYMN,。為垂足，證明：存在定點(diǎn)。，使得1。。1為定值.

22

4.(2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線C:=-*=l(a>0,8>0)的左、右頂點(diǎn)

ab

分別為A、B,尸為雙曲線上異于A、8的任意一點(diǎn)，直線以、P8的斜率乘積為雙曲線C的焦點(diǎn)到漸

近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)〃、N在雙曲線C的右支上，直線AM、3N在，軸上的截距之比為1:3.試問直

線MN是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

22

5.(2023春?黑龍江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知雙曲線「：二-與=l(a>0,b>0),4，&為「的左、右

ab

頂點(diǎn)，尸［近,g］為「上一點(diǎn)，PA的斜率與尸4的斜率之積為：.過點(diǎn)4(3,0)且不垂直于X軸的直線/與

「交于M,N兩點(diǎn).

(1)求「的方程；

(2)若點(diǎn)E,尸為直線x=3上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME,NP的交點(diǎn)在定直線上.

22

6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知雙曲線「:二-2=1(。>0,6>0)過點(diǎn)(4,13),離心率為，直線/：x=9

ab

交X軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作直線交雙曲線r于M,N兩點(diǎn).

⑴求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若M是線段AN的中點(diǎn)，求直線的方程；

⑶設(shè)P,。是直線/上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與QN的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.

⑦雙曲線中向量問題

1.(2023秋?江蘇連云港?高三?？茧A段練習(xí))已知雙曲線C的漸近線為4x±3y=0,右焦點(diǎn)為尸(5,0),右

頂點(diǎn)為4

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率為1的直線/與雙曲線C交于N兩點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，當(dāng)=0時(shí)，求直線/的方程.

2.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C過點(diǎn)7(2,3),且有一

條傾斜角為120。的漸近線.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)廠為雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，點(diǎn)。滿足OP=PQ,直線Q尸交雙曲線C于A,B兩

點(diǎn)，若|加=2|四，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22

3.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))己知雙曲線C：=-多=1(°>0,%>0)的左頂點(diǎn)為A(-LO),A到C的

ab

一條漸近線的距離為也.

2

⑴求C的方程；

(2)過點(diǎn)P(2,0)的直線/與C交于N兩點(diǎn)，求AM.4V的值.

22

4.(2023春?山東濟(jì)南,高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線C言-1=1("0力>0)經(jīng)過4(2,0),網(wǎng)4,⑹兩點(diǎn).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：y=x-3與C交于M,N兩點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)尸，滿足OM+ON=fOP，求實(shí)數(shù)f的值.

⑧雙曲線綜合問題

22

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知A(3,l),8是雙曲線「二一與=1(。>0/>0)上的兩個(gè)點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

ab

稱.：r的兩條漸近線互相垂直.

⑴求「的方程；

⑵設(shè)尸是雙曲線「上一點(diǎn)，直線PAP8分別與直線X=g交于跖N兩點(diǎn)，求|AM|+忸N|的最小值.

2.(2023秋?遼寧阜新?高三阜新市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知雙曲線E:/-《=l(a>0,b>())的兩條漸

近線分別為k-y=2%，4丁=-2x.

（1）求雙曲線E的離心率；

⑵如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線/分別交直線4,4于A,8兩點(diǎn)（A,8分別在第一，四象限），且加?的面

積恒為8,試探究：是否存在總與直線/有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在，求出雙曲線E的方程；

若不存在，說明理由.

NV23

3.（2023秋?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）己知雙曲線、-乙=1與直線/:>=履+根（發(fā)*±彳）有

492

唯一的公共點(diǎn)

⑴若點(diǎn)N（2,9）在直線/上，求直線/的方程；

⑵過點(diǎn)M且與直線/垂直的直線分別交x軸于4無”0）,y軸于8（0,%）兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G,H,使得M在

雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P&，X）使得儼G|-|P即為定值.

22

4.（2023秋?廣東深圳?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：q-5=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為百,

ab

P2,且寓國(guó)=4,若C上的點(diǎn)M滿足幟耳H"磯=2恒成立.

⑴求C的方程；

(2)若過點(diǎn)M的直線/與C的兩條漸近線交于P,。兩點(diǎn)，且

(i)證明：/與C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

12

(ii)求同耳+國(guó)|的取值范圍.

5.(2023春?甘肅白銀?高二統(tǒng)考開學(xué)考試)過雙曲線C:5-%=1(。＞0,“0)上一點(diǎn)A卜"0)作兩條漸近線

的垂線，垂足分別為B,且|人8|4同=；.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)已知點(diǎn)尸(2,-1),兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)M,N在雙曲線C上，直線尸M,PN分別與了軸交于點(diǎn)E,F,

點(diǎn)。在直線跖V上，OE+OF=0且PQLMN,試問是否存在定點(diǎn)T,使得|QT|為定值？若是，求出點(diǎn)T的

坐標(biāo)和|QT|;若不存在，請(qǐng)說明理由.

專題23雙曲線(解答題壓軸題)

目錄

①雙曲線的弦長(zhǎng)問題..................................................1

②雙曲線的中點(diǎn)弦問題...............................................2

③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題.........................................4

④雙曲線中的最值問題...............................................6

⑤雙曲線中面積問題.................................................8

⑥雙曲線中定點(diǎn)、定值、定直線問題..................................10

⑦雙曲線中向量問題.................................................12

⑧雙曲線綜合問題...................................................13

①雙曲線的弦長(zhǎng)問題

22

1.(2023秋?山東青島?高二?？计谀?已知雙曲線C:二-2=1(a>0,6>0).請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為

ab

條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問題.①6=石；②離心率為2；③與橢圓:+丁=1的焦點(diǎn)相同.

⑴求C的方程；

(2)直線/：y=x-3與C交于A,B兩點(diǎn),求恒國(guó)的值.

2

【答案】⑴/—匕=1

3

(2)|AB1=766

【詳解】(1)選①②，可得6=若，且三=4,解得a=l,所以C的方程為/一￡=1；

a3

2

選①③，可得)=6，片+/=5-1=4,解得。=1,所以C的方程為/-(=1；

選②③，可得坐以=4,。2+從=5-1=4,解得/=1,從=3,所以C的方程為/一f=1；

/3

卜上1

(2)設(shè)網(wǎng)當(dāng),％),聯(lián)立3一，消掉》整理得/+3彳_6=0,

%+%2=-32

因?yàn)?\/1+11%1-x2\=后“％+%2)2-例%2-&J(-3)2+4x6=y/66，

二-6

所以|AB|=癡.

22

2.(2023秋?廣西柳州?高二校考期末)已知雙曲線C：彳-*=1(。>0,。>0)經(jīng)過點(diǎn)尸(20,6)，焦點(diǎn)產(chǎn)到

漸近線的距離為

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若斜率為1的直線/與雙曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)/過雙曲線C的右焦點(diǎn)時(shí)，求弦長(zhǎng)|48|的值.

22

【答案】(1)r?-v4=1

(2)24

be

【詳解】(1)若焦點(diǎn)/(C,0),其到漸近線y=：x,2x_y=0的距離d=Ia=b=6

aa

22

又因?yàn)殡p曲線C：/齊=1(°>02>0)經(jīng)過點(diǎn)尸(20,拘，

所以2=1,解得.=2,所以雙曲線C的方程為=-4=1；

a343

(2)由(1)知雙曲線的右焦點(diǎn)為(6,0),所以直線/方程為：y=x-不

設(shè)點(diǎn)人(七,%)，8(%2,%)，

聯(lián)立卜丁一夕，

[3x2-4y2=12

得/_8缶+40=0,A=(8^)2-4X40>0

所以％+%=8e，xtx2=40,

從而|AB|=J1+⑴2?4西+々)2-4%也=垃■48姐-160=24.

所以弦長(zhǎng)|4切的值為24.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(招，0).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線/：y=x+2與雙曲線交于A,8兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|.

【答案】⑴無?2->2=1

(2)2^3

【詳解】(1)由已知得〃=百，。=2,

再由理=。2+。2,得岳=1,

所以雙曲線C的方程為:-y2=i.

(2)由直線與雙曲線聯(lián)立得2/+12尤+15=0,

解得x=-3士如，

2

AB=++%)2-例％］，

??||=+1.y/6=2事).

22

4.(2023春?四川遂寧?高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知雙曲線I—七=1(〃>0/>0)的焦距為6,且虛

ab

軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的夜倍.

(1)求雙曲線的方程；

(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)/且傾斜角為:的直線/與雙曲線交于A,8兩點(diǎn)，求|AB|.

22

【答案】⑴土-當(dāng)=1

36

(2)873

22

【詳解】(1)由雙曲線十方=1(〃〉0,?！?)的焦距為6,且虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的正倍.

得2c=6,旦人=y/2a，又，=4+/=3/-9,

解得C=3,Q2=3,

所以〃=02_々2=9_3=6,

22

所以雙曲線方程為二-匕=1.

36

(2)由(1)可知雙曲線C的右焦點(diǎn)廠為(3,0),所以直線/的方程為y=x-3,

設(shè)4(%,%),2(%,%),

《上1

由，!36，得尤2+615=0,

、y=x_3

占+%=-6

所以

占％=-15

2

所以IAB卜71+1?5(石+%2)2_4卒2=0-J36-4x(-15)=8g.

②雙曲線的中點(diǎn)弦問題

1.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知A（-2,0）,3（2,0）,直線AM8M相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是3.

（1）求點(diǎn)M的軌跡c的方程;

（2）過點(diǎn)N（2,3）能否作一條直線機(jī)與軌跡C交于兩點(diǎn)尸，Q,且點(diǎn)N是線段尸。的中點(diǎn)？若能，求出直線相

的方程;若不能，說明理由.

22

【答案】(1)-匕=1("±2)

412

（2）不能,理由見解析

【詳解】(1)設(shè)M(x,y),xw±2,

,j_y-0,_y-0,j

?RAM=二，"M=二，"AM，KBM=，

x+2x-2

=整理得3/_y2=i2(xw±2),

x+2x—2

22

即點(diǎn)M的軌跡C的方程土-匕=1（%豐±2）.

412

（2）若能作出直線加，則直線機(jī)的斜率存在，設(shè)為若設(shè)尸（%,%）,。（%2，%），

=1

（演一12）（玉+彳2）（%f）（H+%）

,兩式相減得=0,

412

=1

整理可出士=3x-------

M+為

.二N是線段如的中點(diǎn)，，處=3xQ,即一,

故直線m的方程為y—3=2（x-2）,即2x-y-l=0,

將直線方程代入雙曲線方程可得V一4x+13=0,

A=(^l)2-4xl3<0,此時(shí)直線與雙曲線不相交.

故不能作出這樣的直線江

2.(2023秋?內(nèi)蒙古包頭?高二統(tǒng)考期末)如圖1、2,已知圓A方程為(X+2)2+;/=12,點(diǎn)3(2,0).M是

⑴求點(diǎn)N的軌跡方程；

⑵記點(diǎn)N的軌跡為曲線r,過點(diǎn)尸是否存在一條直線/，使得直線/與曲線「交于兩點(diǎn)C、D,且P是

線段CD中點(diǎn).

【答案】⑴工72=1

3

⑵不存在這樣的直線/

【詳解】(1)由中垂線性質(zhì)知，=

所以AB\

所以點(diǎn)N的軌跡是以A3為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為26的雙曲線

22

設(shè)此雙曲線方程為=-與=1(。>0*>0),則4=6,.2+〃=4,；.〃=1

ab

所以點(diǎn)N的軌跡方程為E—丁=i.

3

Y-J712=1

(2)設(shè)C&,%),￡>(%,%)可得，2

y-yf=1

兩式相減得?現(xiàn)+%)(%+%)(%-%)=0

由題意占+%=3,%+%=1,所以Ks=?=1

直線co方程為>-3=k上一3〉=1,

y=x-1

由〈Y,得尤2_3X+3=0

-y=1

I3

?.?A=—3＜0..?.不存在這樣的直線/.

3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2,其一條漸近線斜率為0.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)A（L1）能否作直線/,使直線/與所給雙曲線交于P、。兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是弦尸。的中點(diǎn)？如果直線/存

在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

2

【答案】⑴I一匕=i

2

⑵不存在，理由見解析

22

【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為［-3=1（。＞0力＞0）,

ab

2a=2

因?yàn)樵撾p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,一條漸近線斜率為血，貝“2二五，解得,a=l

b=E

2

因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為尤2一二=1.

2

（2）解：假定直線/存在，設(shè)以4（1,1）為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為p（%,yj、

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知國(guó)力多.由點(diǎn)尸、。在雙曲線上,

得2x；-y；=2,2月-貨=2,

兩式相減得2（玉+x2）（x1-x2）-（y1+%）（%一%）=。，

所以2x2&—々）一2（乂一切）=°，所以三生=2,

玉x2

即以A（l,l）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率％=2,

故直線PQ的方程為，-1=2（無一1）,即2x-y—1=0.

2x2-y2=2

聯(lián)立'c，消去？得2/-4x+3=0,

[2x_y_l=0

A=(T)2-4x2x3=-8<0,

因此直線,與雙曲線無交點(diǎn)，故滿足條件的直線/不存在.

4.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))中心在原點(diǎn)的雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為4,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中

選擇1個(gè)補(bǔ)全條件，并完成后面問題：

①該曲線經(jīng)過點(diǎn)尸(-2,3)；

②該曲線的漸近線與圓(x-4)2+y2=i2相切；

③點(diǎn)M在該雙曲線上，K，居為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1?時(shí)，以匕，居為直徑的圓

經(jīng)過點(diǎn)M.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過定點(diǎn)。(U)能否作直線/，使/與此雙曲線相交于A8兩點(diǎn)，且。是弦的中點(diǎn)?若存在，求出/的方程；

若不存在，說明理由.

2

【答案】⑴尤2-匕=1

3

⑵不存在，理由見解析

22

【詳解】(1)設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-多=l(a>b>0),

ab

選①，由題意可知，雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為￡(-2,0),丹(2,0),P(-2,3),

由雙曲線的定義可得2。=歸用-上間=|血而-而百|(zhì)=2,故。=1,

則6=后=7=6,所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

選②，因?yàn)閳A的方程為(x-4)2+y2=i2,圓心為(4,0),半徑為2道，

h

雙曲線E的漸近線方程為y=±—x,

a

竺

由題意可得HII工T、2=2百,解得2=6,即b=四,

因?yàn)椤?，/+/=2〃=2,貝1」〃=1*=百，

2

因此雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-^=l.

3

選③，因?yàn)橐云?為為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)所以孫，出，

由勾股定理可得|嗎「+|崢「=4C2=16,則4a2+2|M周周=16,

所以|而恒|=8-2〃=步,

11Q

2

從而SMFxF2=-\MFl\\MF2\=b=-x4x-,貝1）匕=6,

故Q=yjc2-b2=1，

2

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為/-匕=1.

3

（2）假設(shè)滿足條件的直線/存在，設(shè)點(diǎn)A（/M）I（%2，%）,2（14），

兩式作差并化簡(jiǎn)得a-%）a+%）=）（%+

所以直線/的斜率為％=上二&=3,

玉-x2

從而直線/的方程為y-1=3（%-1）,即y=3x-2,

y=3x-2

聯(lián)立-2>2，整理可得6尤2_12X+7=0,

I3

易得△=122-4X6X7<0,因此直線/不存在.

22

5.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）雙曲線C:，-1r=l（a>0力>0）的漸近線方程為'=,一個(gè)焦點(diǎn)到該漸

近線的距離為2.

⑴求C的方程；

（2）是否存在直線/,經(jīng)過點(diǎn)”（1,4）且與雙曲線C于A,2兩點(diǎn)，M為線段A8的中點(diǎn)，若存在，求/的方程:

若不存在，說明理由.

2

【答案】⑴爐一匕=1

4

⑵存在；x+3.

22R

【詳解】（1）雙曲線。：0-0=1（。＞0乃＞0）的漸近線為y=±二尤,

aba

h

因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=2x,所以Z=2,

a

\2c\

又焦點(diǎn)（c,o）到直線y=2x的距離d=收+5=2,所以c=若，

2

又/=4+火所以/=1,從=4,所以雙曲線方程為/-21=1

4

（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)人（4%）,B（x2,y2）,直線/的斜率為左，則%+%=2,

%+%=8,

所以西2-號(hào)=1,=1，

兩式相減得犬一xj_9+[=0,即+）=（%+9）（占一%）

即二牝所以4左=4,解得上=1,

（玉+馬）（玉一天）

所以直線/的方程為，-4=x-l,即y=x+3,

經(jīng)檢驗(yàn)直線/：y=x+3與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，

所以直線/的方程為y=x+3.

③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題

2

1.（2023春,上海長(zhǎng)寧,高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C：爐-2=1e＞0）的離心率為0；

b

（1）求此雙曲線的漸近線方程；

（2）若經(jīng)過點(diǎn)P（0,-l）的直線與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)M,N,求線段MN的中垂線/在y軸上的截距

f的取值范圍；

【答案】⑴y=±x

(2)(2,+8)

2

【詳解】⑴雙曲線C:尤2f=l(b>0)的離心率為四.a=l,可得c=0,所以6=1.

可得雙曲線C：x2-y=i.

可得雙曲線的漸近線方程為：>=±》.

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)尸的直線方程為>=自-1,M?,%),N(X2,%),

_2_<

(x2v

聯(lián)立方程組，一，消去y得：(1-/)/+2履-2=0,

1一爪0

解得l<k<6.

=4^2+8(1-^2)>0

.〔MN的中點(diǎn)為(丁。,丁3)，

1—K,1—K,

11”

.??線段MN的中垂線方程為：^+--7=--(%+—T),

1-KK1-K

2

令尤=0得截距t=h匚>2.

K-I

即線段的中垂線/在，軸上截距f的取值范圍是(2,+s).

2.(2023秋?浙江杭州?高二?？计谀?已知點(diǎn)A尸分別為雙曲線C:x2-y2=/m>0)的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，

過F且垂直于x軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點(diǎn)B,AASF的面積為2(四+1).

(1)求雙曲線C的方程；

⑵若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn),與雙曲線的兩條漸近線分別交于

P,。兩點(diǎn)，記△MON,△4尸。的面積分別為岳，S2(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).若S|=2S2,求實(shí)數(shù)彳的取值范

圍.

22

【答案】⑴工-匕=1

44

⑵「

22

【詳解】(1)由題意可知C。-4=1,所以A(—。,0),尸(C解),